Презентация "Перпендикуляр и наклонная" 10 класс

Скачать материал

Подписи к слайдам:

ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ

Пусть точка A не принадлежит плоскости π. Проведем прямую a, проходящую через эту точку и перпендикулярную π. Точку пересечения прямой a с плоскостью π обозначим O. Отрезок AO называется перпендикуляром, опущенным из точки A на плоскость π.

Наклонной к плоскости называется прямая, пересекающая эту плоскость и не перпендикулярная ей. Наклонной называют также отрезок, соединяющий точку, не принадлежащую плоскости, с точкой плоскости, и не являющийся перпендикуляром.

Теорема о перпендикуляре и наклонной

Теорема. Перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость, короче всякой наклонной, проведенной из той же точки к той же плоскости.

Доказательство. Пусть AB – наклонная к плоскости α, AO – перпендикуляр, опущенный на эту плоскость, OB-ортогональная проекция. Треугольник AOB прямоугольный, AB – гипотенуза, AO – катет. Следовательно, AO < AB.

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ

Углом между наклонной и плоскостью называется угол между этой наклонной и ее ортогональной проекцией на данную плоскость.
Считают также, что прямая, перпендикулярная плоскости, образует с этой плоскостью прямой угол.

Теорема о трех перпендикулярах

Теорема. Если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна ортогональной проекции наклонной к этой плоскости, то она перпендикулярна и самой наклонной.

Доказательство. Т.к.АО - перпендикуляр к плоскости α, то АО перпендикулярна прямой а плоскости α. Прямая а плоскости α перпендикулярна проекции OB наклонной АВ. Тогда она будет перпендикулярна двум пересекающимся прямым OB и AO. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая а перпендикулярна плоскости АOВ и, следовательно, она будет перпендикулярна наклонной АВ, принадлежащей этой плоскости.

Дано:

Д-ть:

РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Расстоянием от точки до прямой в пространстве называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую.

Расстоянием от точки до плоскости в пространстве называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную плоскость.

Упражнение 1

Верно ли утверждение: «Если из одной точки, не принадлежащей плоскости, проведены к ней две равные наклонные, то их проекции тоже равны»?

Ответ: Да.

Упражнение 2

К плоскости прямоугольника ABCD в точке пересечения диагоналей восстановлен перпендикуляр. Верно ли утверждение о том, что произвольная точка S этого перпендикуляра равноудалена от вершин прямоугольника?

Ответ: Да.

№45.13

Основание ABCD пирамиды SABCD – прямоугольник, AB < BC. Ребро SD перпендикулярно плоскости основания. Среди отрезков SA, SB, SC и SD укажите наименьший и наибольший.
Укажите все прямые углы.

Ответ: SD – наименьший; SB – наибольший.

Упражнение 3

Из точки A к данной плоскости проведены перпендикуляр и наклонная, пересекающие плоскость соответственно в точках B и C. Найдите проекцию отрезка AC, если AC = 37 см, AB = 35 см.

Ответ: 12 см.

№45.15 – из д/з

Из точки A к данной плоскости проведены перпендикуляр и наклонная, пересекающие плоскость соответственно в точках B и C. Найдите отрезок AC, если AB = 6 см, BAC = 60°.

Ответ: 12 см.

№45.16 –д/з

Из точки A к данной плоскости проведены перпендикуляр и наклонная, пересекающие плоскость соответственно в точках B и C. Найдите отрезок AB, если AC = см, BC = 3AB.

Ответ: 2 см.

Комментарий:

№45.17

Отрезки двух наклонных, проведенных из одной точки к плоскости, равны 15 см и 20 см. Проекция одного из этих отрезков равна 16 см. Найдите проекцию другого отрезка.

Ответ: 9 см.

Упражнение 5

Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, ребра которого равны a, b, c.

Ответ:

Упражнение 6

В кубе найдите угол между: а) диагональю боковой грани и плоскостью основания; б) диагональю куба и плоскостью основания; в) диагональю боковой грани и диагональным сечением.

Ответ: а) 45о;

в) 30о.

б) sin  = ;

Упражнение 4 (Пример 2. с. 362)
В правильном тетраэдре ABCD найдите угол между прямой AD и плоскостью ABC.

Ответ:

Решение. Пусть E – середина ребра BC. Искомый угол равен углу DAE. В треугольнике DAE имеем: AD = a, AE = DE =
Используя теорему косинусов, получим

2способ

Упражнение 7 (Пример 3. с. 362)

Отрезок BC длиной 12 см является проекцией отрезка AC на плоскость . Точка D принадлежит отрезку AC и AD:DC = 2:3. Найдите отрезок AD и его проекцию на плоскость , если известно, что AB = 9 см.

Ответ: 6 см; 4,8 см.

Упражнение 8

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а, а боковое ребро b. Найдите угол наклона бокового ребра к плоскости основания.

Ответ: cos  = .

Упражнение 9

Через сторону квадрата проведена плоскость, составляющая с диагональю квадрата угол 30°. Найдите углы, которые образуют с плоскостью стороны квадрата, наклонные к ней.

Ответ: 45о.

№45.18

Дан прямоугольный треугольник ABC, катеты которого AC и BC равны соответственно 20 и 15 см. Через вершину A проведена плоскость , параллельная прямой BC. Проекция одного из катетов на эту плоскость равна 12 см. Найдите проекцию гипотенузы.

Ответ: см.

№45.19

Сторона ромба равна a, острый угол 60°. Через одну из сторон ромба проведена плоскость. Проекция другой стороны на эту плоскость равна b. Найдите проекции диагоналей ромба.

Ответ: b и .

Презентация "Перпендикуляр и наклонная" 10 класс

Подписи к слайдам:

Геометрия - еще материалы к урокам:

Предметы

Похожие материалы