Презентация "Кривые второго порядка" 10 класс

§ Кривые второго порядка

• Кривые второго порядка делятся на
• 1) вырожденные и 2) невырожденные
• Вырожденные кривые второго порядка это прямые и точки, которые задаются уравнением второй степени. Если уравнению второго порядка не удовлетворяет ни одна точка плоскости, то тоже говорят, что уравнение определяет вырожденную кривую (мнимую кривую второго порядка).
• Невырожденными кривыми второго порядка являются эллипс, окружность, гипербола и парабола.

Гипотеза: Если изменим радиус окружности вдоль оси ординат путём сжатия, то получим эллипс. ПОСТРОЙКА ЭЛЛИПСА

• Для того чтобы нарисовать эллипс, потребуются нить и кнопки. Прикрепим концы нити к фокусам. Карандашом натянем нить так, чтобы его острие касалось бумаги. Будем перемещать карандаш по бумаге так, чтобы нить оставалась натянутой. При этом карандаш будет вычерчивать на бумаге эллипс.

Построение графика эллипса

• Пусть, например, на эллипсе взяты точки M1, M2, M3, M4 и т.д. (рис. 1).
• Если фокусы обозначить через F и F1, то согласно данному определению можно написать:
• F1M1 + FM1 = F1M2 + FM2 = F1M3 + FM3 = F1M4 + FM4 = const. (1)
• Геометрическое место точек, обладающих вышеуказанным свойством (1), и есть эллипс.

1. Эллипс и окружность

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек плоскости F1 и F2 есть величина постоянная и равная 2a (2a>|F1F2|).
• Точки F1 и F2 называют фокусами эллипса.
• Выберем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы фокусы F1 и F2 лежали на оси Ox на одинаковом расстоянии от O.

• В такой системе координат:
• F1(–c;0) и F2(c;0) ,
• где |OF1| = |OF2| = c.

уравнение эллипса.

• 3. Построим эллипс.

Уравнение (1):

• Уравнение (1):

• называется каноническим уравнением эллипса. Система координат, в которой эллипс имеет такое уравнение, называется его канонической системой координат.

СВОЙСТВА ЭЛЛИПСА

• СВОЙСТВА ЭЛЛИПСА
• 1) Эллипс лежит внутри прямоугольника, ограниченного x=a, y=b.
• 2) Эллипс имеет центр симметрии (начало координат) и две оси симметрии (оси Ox и Oy).
• Центр симметрии эллипса называют центром эллипса. Ось симметрии эллипса, проходящую через фокусы (ось Ox) называют большой (или фокальной) осью симметрии, а вторую ось (ось Oy) – малой осью.
• 3) Из уравнения эллипса получаем:

Точки A1 , A2 , B1 , B2 называются вершинами эллипса.

• Точки A1 , A2 , B1 , B2 называются вершинами эллипса.
• Отрезок A1A2 и его длина 2a называются большой (фокальной) осью, отрезок B1B2 и его длина 2b – малой осью.
• Величины a и b называются большой и малой полуосью соответственно.
• Длина отрезка F1F2 (равная 2c) называется фокусным расстоянием. Если M – произвольная точка эллипса, то отрезки MF1 , MF2 и их длины r1, r2 называются фокальными радиусами точки M

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Величина  , равная отношению фокусного расстояния эллипса к его большой оси, называется эксцентриситетом эллипса, т.е.

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Величина  , равная отношению фокусного расстояния эллипса к его большой оси, называется эксцентриситетом эллипса, т.е.

• Величина  характеризует форму эллипса.
• Зная эксцентриситет эллипса легко найти фокальные радиусы точки M(x;y):

• Замечания.
• 1) Пусть в уравнении эллипса a = b = r. Для этой кривой

• Геометрически, это означает, что точки кривой равноудалены (на расстояние r) от ее центра O, т.е. кривая является окружностью.
• Каноническое уравнение окружности принято записывать в виде x2 + y2 = r2 , где r – расстояние от любой точки окружности до ее центра; r называют радиусом окружности.

2) Если выбрать систему координат так, чтобы фокусы F1 и F2 были на оси Oy на одинаковом расстоянии от начала координат, то уравнение эллипса будет иметь вид

• 2) Если выбрать систему координат так, чтобы фокусы F1 и F2 были на оси Oy на одинаковом расстоянии от начала координат, то уравнение эллипса будет иметь вид

• Для этого эллипса большая ось – ось Oy, малая ось – ось Ox, фокусы имеют координаты F1(0;–c) и F2(0;c) , где

• Фокальные радиусы точки M(x;y) находятся по формулам

Точки пересечения эллипса с осями

• Найдём точки пересечения эллипса с осью Ох.
• Пусть у=0;
• тогда имеем:
• .
• Отсюда следует: эллипс пересекает ось Ох в двух точках, координаты которых (а; 0) и (-а; 0) (точки А и А1)

• Теоретический материал

• <number>

• Окружность
• является частным случаем эллипса при
• Эксцентриситет окружности равен нулю. Чем ближе значение
• эксцентриситета эллипса к нулю, тем больше форма эллипса
• приближается к форме окружности.
• Окружность, центром которой является точка ,
• определяется уравнением

• Теоретический материал

• <number>

• Исследование формы эллипса по его уравнению
• Пример 1

• Теоретический материал

• <number>

• Пример 2

• Теоретический материал

• <number>

• Пример 3

• Теоретический материал

• <number>

• Пример 4

2. Гипербола

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек плоскости F1 и F2 есть величина постоянная и равная 2a (2a < |F1F2|).
• Точки F1 и F2 называют фокусами гиперболы.
• Выберем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы фокусы F1 и F2 лежали на оси Ox на одинаковом расстоянии от O.

• В такой системе координат:
• F1(–c;0) и F2(c;0) ,
• где |OF1| = |OF2| = c.

Уравнение (2):

• Уравнение (2):

• называется каноническим уравнением гиперболы. Система координат, в которой гипербола имеет такое уравнение, называется ее канонической системой координат.

СВОЙСТВА ГИПЕРБОЛЫ

• СВОЙСТВА ГИПЕРБОЛЫ
• 1) Точек гиперболы нет в полосе, ограниченной прямыми x=a.
• 2) Гипербола имеет центр симметрии (начало координат) и две оси симметрии (оси Ox и Oy).
• Центр симметрии гиперболы называют центром гиперболы. Ось симметрии гиперболы, проходящую через фокусы (ось Ox) называют действительной (или фокальной) осью симметрии, а вторую ось (ось Oy) – мнимой осью.
• 3) Из уравнения гиперболы получаем:

Прямая ℓ называется асимптотой кривой, если расстояние от точки M кривой до прямой ℓ стремится к нулю при удалении точки M от начала координат.

• Прямая ℓ называется асимптотой кривой, если расстояние от точки M кривой до прямой ℓ стремится к нулю при удалении точки M от начала координат.
• Существуют два вида асимптот – вертикальные и наклонные.
• Вертикальные асимптоты кривая y=f(x) имеет в тех точках разрыва II рода функции y=f(x) , в которых хотя бы один из односторонних пределов функции равен бесконечности.
• Наклонные асимптоты кривой y=f(x) имеют уравнение y=k1,2x+b1,2 , где

Точки A1 , A2 называются вершинами гиперболы.

• Точки A1 , A2 называются вершинами гиперболы.
• Отрезок A1A2 и его длина 2a называются действительной (фокальной) осью, отрезок B1B2 и его длина 2b – мнимой осью.
• Величины a и b называются действительной и мнимой полуосью соответственно.
• Длина отрезка F1F2 (равная 2c) называется фокусным расстоянием. Если M – произвольная точка гиперболы, то отрезки MF1 , MF2 и их длины r1, r2 называются фокальными радиусами точки M

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Величина  , равная отношению фокусного расстояния гиперболы к ее действительной оси, называется эксцентриситетом гиперболы, т.е.

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Величина  , равная отношению фокусного расстояния гиперболы к ее действительной оси, называется эксцентриситетом гиперболы, т.е.

• Величина  характеризует форму гиперболы.
• Зная эксцентриситет гиперболы легко найти фокальные радиусы точки M(x;y). Если точка M лежит на правой ветке гиперболы (т.е. x > 0), то

• Если M лежит на левой ветке гиперболы (т.е. x < 0), то

Замечания.

• Замечания.
• 1) Если в уравнении гиперболы a=b, то гипербола называется равнобочной.
• Асимптоты равнобочной гиперболы, перпендикулярны.
•  можно выбрать систему координат так, чтобы координатные оси совпали с асимптотами. Тогда уравнение гиперболы будет
• xy=0,5a2 . (3)
• Уравнение (3) называют уравнением равнобочной гипер- болы, отнесенной к асимптотам.

2) Если выбрать систему координат так, чтобы фокусы F1 и F2 были на одинаковом расстоянии от O(0;0), но лежали на Oy, то уравнение гиперболы будет иметь вид

• 2) Если выбрать систему координат так, чтобы фокусы F1 и F2 были на одинаковом расстоянии от O(0;0), но лежали на Oy, то уравнение гиперболы будет иметь вид

• Для этой гиперболы:
• действительная ось – ось Oy,
• мнимая ось – ось Ox,
• F1(0;–c) и F2 (0;c) (где )

• асимптоты:

• фокальные радиусы точки M(x;y) находятся по формулам

3. Парабола

• Пусть ℓ – некоторая прямая на плоскости, F – некоторая точка плоскости, не лежащая на прямой ℓ.
• ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до фиксированной прямой ℓ и до фиксированной точки F (не лежащей на прямой ℓ) одинаково.
• Точку F называют фокусом параболы, прямую ℓ – директрисой.
• Выберем декартову прямоугольную систему координат так, директриса параболы ℓ была перпендикулярна оси Ox, фокус F лежал на положительной части Ox и расстояние от O до F и до ℓ было одинаковым.

• В такой системе координат:
• F (0,5p;0) и ℓ: x + 0,5p =0 ,
• где p – расстояние от F до ℓ .

• Уравнение (4): y2 = 2px
• называется каноническим уравнением параболы. Система координат, в которой парабола имеет такое уравнение, называется ее канонической системой координат.

СВОЙСТВА ПАРАБОЛЫ

• СВОЙСТВА ПАРАБОЛЫ
• 1) Парабола лежит в полуплоскости x ≥ 0.
• 2) Парабола имеет ось симметрии (ось Ox).
• Ось симметрии параболы называют осью параболы.
• 3) Из уравнения параболы получаем:

СВОЙСТВА ПАРАБОЛЫ

• СВОЙСТВА ПАРАБОЛЫ
• 1) Парабола лежит в полуплоскости x ≥ 0.
• 2) Парабола имеет ось симметрии (ось Ox).
• Ось симметрии параболы называют осью параболы.
• 3) Из уравнения параболы получаем:

Точка, в которой парабола пересекает свою ось, называется вершиной параболы,

• Точка, в которой парабола пересекает свою ось, называется вершиной параболы,
• Число p называется параметром параболы.
• Если M – произвольная точка параболы, то отрезок MF и его длина называются фокальными радиусами точки M.

Замечание. Введем систему координат так, чтобы фокус F параболы лежал на отрицательной части оси Ox, директриса была перпендикулярна Ox, и расстояние от O до F и до директрисы было одинаково.

• Замечание. Введем систему координат так, чтобы фокус F параболы лежал на отрицательной части оси Ox, директриса была перпендикулярна Ox, и расстояние от O до F и до директрисы было одинаково.

• Тогда получим для параболы уравнение
• y2 = –2px, (5)
• а для директрисы и фокуса:
• F(–0,5p;0) и ℓ : x – 0,5p = 0.

Выберем систему координат так, чтобы директриса была перпендикулярна Oy, фокус лежал на положительной (отрицательной) части оси Oy и O была на одинаковом расстоянии от F и от директрисы (рис. 2 и рис. 3):

• Выберем систему координат так, чтобы директриса была перпендикулярна Oy, фокус лежал на положительной (отрицательной) части оси Oy и O была на одинаковом расстоянии от F и от директрисы (рис. 2 и рис. 3):

• Тогда уравнение параболы будет иметь вид x2 = 2py, (6)
• а для директрисы и фокуса получим:
• F(0;  0,5p) и ℓ : y  0,5p = 0.
• Уравнения (5) и (6) тоже называются каноническими уравнениями параболы, а соответствующие им системы координат – каноническими системами координат.

4. Координаты точки в разных системах координат

• Получаем:

• Формулу (8) называют формулой преобразования координат точки при переносе начала координат в точку C(x0;y0).

5. Общее уравнение кривой второго порядка

• Рассмотрим уравнение
• Ax2 + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 (13)
• С помощью элементарных преобразований, уравнение (13) может быть приведено к виду:

• ВЫВОД: Уравнение (13) определяет кривую, каноническая система координат которой параллельна заданной, но имеет начало в точке C(x0,y0).
• Говорят: уравнение (13) определяет кривую со смещенным центром (вершиной), а уравнение (14) называют каноническим уравнением кривой со смещенным центром (вершиной).

Замечание. Приводить уравнение (13) к виду (14) необходимо, если мы хотим построить кривую. Тип кривой можно определить и без уравнения (14). А именно:

• Замечание. Приводить уравнение (13) к виду (14) необходимо, если мы хотим построить кривую. Тип кривой можно определить и без уравнения (14). А именно:
• 1) если AC = 0, то кривая является параболой;
• 2) если AC < 0, то кривая является гиперболой;
• 3) если AC > 0, A ≠ C– эллипсом;
• 4) если AC > 0, A = C – окружностью.

6. Общее определение эллипса, гиперболы и параболы

• Пусть M – произвольная точка эллипса или гиперболы.
• ri = | MFi | , di = d(M,ℓi)
• ТЕОРЕМА. Для любой точки M эллипса (гиперболы) имеет место равенство

• ЗАМЕЧАНИЕ. По определению параболы r = d.  параболу можно считать кривой, у которой эксцентриситет  = 1.
• ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Геометрическое место точек, для которых отношение расстояния до фиксированной точки (фокуса) к расстоянию до фиксированной прямой (директрисы) есть величина постоянная и равная  , называется
• 1) эллипсом, если <1 ; 2) гиперболой, если >1;
• 3) параболой, если  = 1.

7. Оптическое свойство эллипса, гиперболы и параболы

• Получаем: α = β .С физической точки зрения это означает:
• 1) Если источник света находится в одном из фокусов эллиптического зеркала, то лучи его, отразившись от зеркала, собираются в другом фокусе.
• 2) Если источник света находится в одном из фокусов гиперболического зеркала, то лучи его, отразившись от зеркала, идут далее так, как если бы они исходили из другого фокуса.
• 3) Если источник света находится в фокусе параболического зеркала, то лучи его, отразившись от зеркала, идут далее параллельно оси.

§ Поверхности второго порядка

• Поверхностью второго порядка называется геометрическое место точек в пространстве, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению F(x,y,z) = 0, где F(x,y,z) – многочлен степени 2.
•  в общем случае уравнение поверхности 2-го порядка имеет вид:
• a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+2a10x+2a20y+2a30z+a00=0 .
• Поверхности второго порядка делятся на
• 1) вырожденные и 2) невырожденные
• Вырожденные поверхности второго порядка это плоскости и точки, которые задаются уравнением второй степени. Если уравнению второго порядка не удовлетворяет ни одна точка пространства, то тоже говорят, что уравнение определяет вырожденную поверхность (мнимую поверхность второго порядка).
• Невырожденными поверхности второго порядка подразделяются на пять типов.

1. Эллипсоид

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Эллипсоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению

• где a, b, c – положительные константы.

• Система координат, в которой эллипсоид имеет уравнение (1) называется его канонической системой координат, а уравнение (1) – каноническим уравнением эллипсоида.

Величины a, b и c называются полуосями эллипсоида.

• Величины a, b и c называются полуосями эллипсоида.
• Если все они различны, то эллипсоид называется трехостным.
• Если две из трех полуосей равны, эллипсоид является поверхностью вращения. Он получается в результате вращения эллипса вокруг одной из своих осей.

Эллипсоид, у которого все три полуоси равны, называют сферой.

• Эллипсоид, у которого все три полуоси равны, называют сферой.
• Каноническое уравнение сферы принято записывать в виде
• x2 + y2 + z2 = r2,
• где r – величина полуосей, которая называется радиусом сферы.
• С геометрической точки зрения, сфера – геометрическое место точек пространства, равноудаленных (на расстояние r) от некоторой фиксированной точки (называемой центром). В канонической системе координат сферы, центр – начало координат.

2. Гиперболоиды

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Однополостным гиперболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению

• где a, b, c – положительные константы.

• Система координат, в которой однополостный гиперболоид имеет уравнение (2) называется его канонической системой координат, а уравнение (2) – каноническим уравнением однополостного гиперболоида.

Величины a, b и c называются полуосями однополостного гиперболоида.

• Величины a, b и c называются полуосями однополостного гиперболоида.
• Если a=b, то однополосный гиперболоид является поверхностью вращения. Он получается в результате вращения гиперболы

• вокруг своей мнимой оси.

• тоже определяют однополостные гиперболоиды, но они «вытянуты» вдоль оси Oy и Ox соответственно.

• Замечание. Уравнения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Двуполостным гиперболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Двуполостным гиперболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению

• где a, b, c – положительные константы.

• Система координат, в которой двуполостный гиперболоид имеет уравнение (3) называется его канонической системой координат, а уравнение (3) – каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.

Величины a, b и c называются полуосями двуполостного гиперболоида.

• Величины a, b и c называются полуосями двуполостного гиперболоида.
• Если a=b, то двуполостный гиперболоид является поверхностью вращения. Он получается в результате вращения гиперболы

• вокруг своей действительной оси.

• тоже определяют двуполостные гиперболоиды, но они «вытянуты» вдоль оси Oy и Ox соответственно.

• Замечание. Уравнения

3. Конус

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Конусом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению

• где a, b, c – положительные константы.

• Система координат, в которой конус имеет уравнение (4) называется его канонической системой координат, а уравнение (4) – каноническим уравнением конуса.

Величины a, b и c называются полуосями конуса. Центр симметрии O называется вершиной конуса.

• Величины a, b и c называются полуосями конуса. Центр симметрии O называется вершиной конуса.
• Если a=b, то конус является поверхностью вращения. Он получается в результате вращения прямой

• вокруг оси Oz .

• Замечание. Уравнения

• тоже определяют конусы, но они «вытянуты» вдоль оси Oy и Ox соответственно.

4. Параболоиды

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Эллиптическим параболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению

• где a, b – положительные константы.

• Система координат, в которой эллиптический параболоид имеет уравнение (5) называется его канонической системой координат, а уравнение (5) – каноническим уравнением эллиптического параболоида.

Величины a и b называются параметрами параболоида. Точка O называется вершиной параболоида.

• Величины a и b называются параметрами параболоида. Точка O называется вершиной параболоида.
• Если a=b, то параболоид является поверхностью вращения. Он получается в результате вращения параболы

• вокруг оси Oz.

• Эллиптический параболоид это поверхность, которая получается при движении одной параболы вдоль другой (вершина параболы скользит по параболе, оси подвижной и неподвижной параболы параллельны, ветви направлены в одну сторону).

• Замечания: 1) Уравнение

• тоже определяет эллиптический параболоид, но «развернутый» вниз.

• 2) Уравнения

• определяют эллиптические параболоиды, с осями симметрии Oy и Ox соответственно.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Гиперболическим параболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Гиперболическим параболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению

• где a, b – положительные константы.

• Система координат, в которой гиперболический параболоид имеет уравнение (6) называется его канонической системой координат, а уравнение (6) – каноническим уравнением гиперболического параболоида.

Величины a и b называются параметрами параболоида.

• Величины a и b называются параметрами параболоида.

• Замечания: 1) Уравнение

• тоже определяет параболоид, но «развернутый» вниз.

• 2) Уравнения

• определяют параболоиды, «вытянутые» вдоль осей Oz и Oy соответственно.

• Гиперболический параболоид это поверхность, которая получается при движении одной параболы вдоль другой (вершина параболы скользит по параболе, оси подвижной и неподвижной параболы параллельны, ветви направлены в разные стороны).

5. Цилиндры

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Цилиндрической поверхностью (цилиндром) называется поверхность, которую описывает прямая (называемая образующей), перемещающаяся параллельно самой себе вдоль некоторой кривой (называемой направляющей) .
• Цилиндры называют по виду направляющей: круговые, эллиптические, параболические, гиперболические.

Цилиндр

• Цилиндр
• в некоторой декартовой системе координат
• задается уравнением,
• в которое не входит одна из координат.
• Кривая,
• которую определяет это уравнение
• в соответствующей координатной плоскости, является направляющей цилиндра;
• а образующая – параллельна оси отсутствующей координаты.