Ученики на Учителя.com


Конспект урока "Правильные многогранники"

1
Тема: Правильные многогранники.
Цель: дать понятия правильного многогранника, рассмотреть свойства многогранников,
познакомить с историей возникновения и развития теории многогранников.
Задачи:
Образовательная – ввести понятие правильного многогранника;
- рассмотреть виды правильных многогранников;
Развивающая – развитие инициативы, работоспособности, самостоятельности, мыслительных
способностей учащихся; умения наблюдать и рассуждать по аналогии, интереса к предмету через
использование информационных технологий;
Воспитывающая – воспитание потребности в общении с искусством и наукой.
Тип урока: изучение нового материала с помощью ИКТ.
Методы обучения:
1. По источнику передачи и восприятию информации: словесный метод беседы, наглядный
(ИКТ), практический.
2. По степени самостоятельности учащихся: репродуктивный метод, частично – поисковый.
3. По логике подачи материала - дедуктивный.
Формы организации учебной деятельности: коллективная, индивидуальная и групповая.
Оборудование: компьютер с мультимедийным оборудованием; интерактивная доска Activboard;
презентации.
Ход урока:
– Здравствуйте, дорогие друзья, уважаемые гости!
Сегодняшний урок я предлагаю начать следующими словами: «Геометрия является самым
могущественным средством изощрения наших умственных способностей» (Галилео
Галилей, итальянский физик, механик, астроном, философ и математик)
Все это время с начала года мы изучаем многогранники, рассмотрели их основные элементы,
способы вычисления поверхности и объема. Сегодня же мы познакомимся с новыми
многогранниками, которые называют правильными.
1. Запись даты и темы урока в тетради.
Объясните, что такое многогранник?
Назовите основные элементы многогранника.
Какие виды многогранников вы знаете?
Какую призму называют правильной?
Какую пирамиду называют правильной?
Устная работа с тестовыми заданиями на знание основных определений по теме многогранники
(флипчарт)
Мозговой штурм по подготовке к восприятию новой темы: Что общего у этих многогранников?
На странице флипчарта изображены три правильных многогранника, причем учащиеся еще не
знают, что это именно правильные многогранники. Желательно, чтобы ребята отметили
правильные грани, а, возможно, и то, что из каждой вершины исходит одинаковое количество
ребер.( 30 секунд обсуждения в группах)
Благодаря форме правильные многогранники как геометрические тела являются образцом
совершенства и красоты.
Название "правильные” идет от античных времен, когда стремились найти гармонию,
правильность, совершенство в природе и человеке. ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОГРАННИК-
выпуклый многогранник, гранями которого являются равные правильные многоугольники и в
каждой вершине которого сходится одно и то же число ребер.
Названия этих многогранников пришли из Древней Греции, и в них указывается число граней:
«эдра» - грань; «тетра» - 4; «гекса» - 6; «окта» - 8; «икоса» - 20; «додека» - 12 .
ТЕТРАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из четырех правильных
треугольников.
ГЕКСАЭДР (КУБ) – правильный многогранник, поверхность которого состоит из шести
правильных четырехугольников (квадратов
ОКТАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из восьми правильных
треугольников.
2
ДОДЕКАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из двенадцати
правильных пятиугольников.
ИКОСАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из двадцати правильных
треугольников.
Доказательство того, что существует ровно пять правильных выпуклых многогранников,
очень простое. Рассмотрим развертку вершины такого многогранника. Каждая вершина
может принадлежать трем и более граням.
Сначала рассмотрим случай, когда грани многогранника - равносторонние треугольники.
Поскольку внутренний угол равностороннего треугольника равен 60°, три таких угла дадут в
развертке 180°. Если теперь склеить развертку в многогранный угол, получится тетраэдр -
многогранник, в каждой вершине которого встречаются три правильные треугольные грани. Если
добавить к развертке вершины еще один треугольник, в сумме получится 240°. Это развертка
вершины октаэдра. Добавление пятого треугольника даст угол 300° - мы получаем развертку
вершины икосаэдра. Если же добавить еще один, шестой треугольник, сумма углов станет равной
360° - эта развертка, очевидно, не может соответствовать ни одному выпуклому многограннику.
Теперь перейдем к квадратным граням. Развертка из трех квадратных граней имеет угол
3x90°=270° - получается вершина куба, который также называют гексаэдром. Добавление еще
одного квадрата увеличит угол до 360° - этой развертке уже не соответствует никакой выпуклый
многогранник.
Три пятиугольные грани дают угол развертки 3*108°=324 - вершина додекаэдра. Если добавить
еще один пятиугольник, получим больше 360°.
Для шестиугольников уже три грани дают угол развертки 3*120°=360°, поэтому правильного
выпуклого многогранника с шестиугольными гранями не существует. Если же грань имеет
еще больше углов, то развертка будет иметь еще больший угол. Значит, правильных
выпуклых многогранников с гранями, имеющими шесть и более углов, не существует.
Таким образом, существует лишь пять выпуклых правильных многогранников - тетраэдр, октаэдр
и икосаэдр с треугольными гранями, куб (гексаэдр) с квадратными гранями и додекаэдр с
пятиугольными гранями.
Все правильные многогранники были известны еще в Древней Греции, и часто их называют
также платоновыми телами в честь древнегреческого философа Платона, в философии
которого они играли очень важную роль. Платон считал, что мир строится из четырёх
«стихий»: огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх
правильных многогранников.
Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося
пламени; икосаэдр – как самый обтекаемый – воду; куб – самая устойчивая из фигур – землю, а
октаэдр – воздух. В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества:
твёрдым, жидким, газообразным и пламенным. Пятый многогранник – додекаэдр символизировал
весь мир и почитался главнейшим. Это была одна из первых попыток ввести в науку идею
систематизации.
Существует и современные гипотезы о сравнении структур и процессов Земли с
правильными многогранниками.
Полагают, что четырем геологическим эрам Земли соответствуют четыре силовых каркаса
правильных платоновых тел: Протерозю - тетраэдр (четыре плиты) Палеозою - гексаэдр (шесть
плит), Мезозою - октаэдр (восемь плит), Кайнозою - додекаэдр (двенадцать плит).
Идеи Пифагора, Платона, И. Кеплера о связи правильных многогранников с гармоничным
устройством мира уже в наше время нашли свое продолжение в интересной научной гипотезе,
авторами которой (в начале 80-х годов 20 века ) явились московские инженеры В. Макаров и В.
Морозов.
Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего
воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. «Лучи» этого кристалла,
а точнее его силовое поле, создают икосаэдро-додекаэдрическую структуру Земли,
проявляющуюся в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар
правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра. 62 их вершины и середины ребер,
3
называемые авторами узлами, оказывается, обладают рядом специфичecких свойств,
позволяющих объяснить многие непонятные явления.
Если нанести на глобус очаги наиболее крупных и примечательных культур и цивилизаций
Древнего мира, можно заметить закономерность в их расположении относительно географических
полюсов и экватора планеты. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдрово-
додекаэдровой сетки.
Еще более удивительные вещи происходят в местах пересечения этих ребер: тут располагаются
очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и
другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские
завихрения Мирового океана, здесь шотландское озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник.
Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой красивой научной
гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место.
Работа в группах. Каждой группе выдается карточка с изображением модели и развертки данного
многогранника и готовая его бумажная модель, чтобы учащиеся реально могли пощупать,
потрогать, посчитать грани, ребра, вершины.
Задание группам:
1. Посчитать число граней, вершин и ребер правильного многогранника.
1 группа- тетраэдр. 2 группа- гексаэдр. 3 группа- икосаэдр. 4 группа- додекаэдр. 5 группа- октаэдр.
Отчет групп о работе.
Один представитель группы отчитывается о результатах, по ходу заполняется таблица.
Учащиеся делают соответствующие записи в тетради.
Анализируя полученные сведения, получают еще одно подтверждение теоремы Эйлера на
примерах правильных многогранников о числе граней, ребер и вершин выпуклого многогранника
(Г + В) = (Р) +2.
Устное решение задачи на определение количества граней, вершин и
ребер многогранника, представленного на чертеже.
Является ли этот многогранник правильным?
2. Используя материал карточки, вычислить площадь
поверхности данного правильного многогранника. Каждой группе
надо следовать инструкциям в карточке, заполняя пропуски и делая
необходимые вычисления.
Отчет групп о работе.
Один представитель группы отчитывается о результатах, по ходу
заполняется таблица.
Учащиеся делают соответствующие записи в тетради.
Многогранник
вершины
грани
ребра
Площадь полной
поверхности
тетраэдр
4
4
6
3
2
à
куб
8
6
12
2
6à
октаэдр
6
8
12
32
2
à
додекаэдр
20
12
30
52553
5
15
2
2
a
ctgà
икосаэдр
12
20
30
35
2
à
Объяснения учителя: Самое важное свойство правильных многогранников, сразу
обращающее на себя внимание – это их высокая степень симметричности.
Правильные многогранники – это символы симметрии в геометрии.
4
Симметрия является фундаментам свойством природы, представление о котором слагалось в
течение десятков, сотен, тысяч поколений.
В древности слово «симметрия» употреблялось в значении «гармония», «красота».
Действительно, в переводе с греческого это слово означает «соразмерность, пропорциональность,
одинаковость в расположении частей».
В школьном курсе геометрии рассматриваются три вида симметрии:
• Симметрия относительно точки (центральная симметрия);
• Симметрия относительно прямой (осевая или зеркальная симметрия);
• Симметрия относительно плоскости.
Тетраэдр:
• Правильный тетраэдр не имеет центра симметрии.
• Прямая, проходящая через середины двух противоположных ребер, является его осью
симметрии.
• Плоскость а проходящая через ребро АВ перпендикулярно к противоположному ребру СD
правильного тетраэдра ABCD, является плоскостью симметрии.
• Правильный тетраэдр имеет три оси симметрии и шесть плоскостей симметрии.
Гексаэдр:
• Куб имеет один центр симметрии- точку пересечения его диагоналей.
• Куб имеет девять осей симметрии и девять плоскостей симметрии.
• Три плоскости симметрии куба проходят через середины параллельных ребер, остальные
шесть – проходят через противоположные ребра куба.
Октаэдр имеет центр симметрии - центр октаэдра, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.
Икосаэдр имеет центр симметрии - центр икосаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей
симметрии.
Додекаэдр имеет центр симметрии - центр додекаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей
симметрии.
Именно симметрия придает пропорциональность и соразмерность форм правильных
многогранников.
«...быть прекрасным значит быть симметричным и соразмерным.» Платон
Где еще можно увидеть эти удивительные тела?
Льюис Кэрролл писал: "Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма
скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук".
Правильные многогранники встречаются в живой природе. Например, скелет одноклеточного
организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр. Из всех
многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объём при
наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать
давление водной толщи. Правильные многогранники – самые «выгодные» фигуры. И природа
этим широко пользуется. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Взять хотя
бы поваренную соль, без которой мы не можем обойтись. Известно, что она растворима в воде,
служит проводником электрического тока. А кристаллы поваренной соли (NaCl) имеют форму
куба. Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого
колчедана (FeS). Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра. Кристалл
алмаза имеет форму октаэдра. В разных химических реакциях применяется сурьменистый
сернокислый натрий (Na5(SbO4(SO4)) – вещество, синтезированное учеными. Кристалл
сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра. Икосаэдр передает форму
кристаллов бора (B). В свое время бор использовался для создания полупроводников первого
поколения.
Интересно, что икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы
некоторых вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось раньше. Для того
чтобы определить его форму, брали разные многогранники, направляли на них свет под теми же
углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую
же тень – икосаэдр.
5
Впрочем, многогранники - отнюдь не только объект научных исследований. Их формы -
завершенные и причудливые, широко используются в декоративном искусстве. Многие
художники разных эпох и стран испытывали постоянный интерес к изучению и изображению
многогранников. Примером изображения правильных многогранников является картина
«Тайная вечеря», выполненный художником XX века Сальвадором Дали. Это большое полотно
— подлинный шедевр живописи. Геометрический рационализм свидетельствует о неодолимой
вере в сакральную силу числа, спасительную совершенную форму, которая для художника
олицетворяла духовную гармонию, нравственную чистоту и величие.
Модели многогранников могут использоваться в качестве декоративных украшений. Нельзя не
увидеть симметрию в огранённых драгоценных камнях. Это – красота и наслаждение
красотой. Отклонение от симметрии воспринимается нами как нарушение естественной
красоты, гармонии.
Принцип симметрии имеет большое значение в искусстве, который был заимствован у самой
природы. В природе симметрия — постоянное явление: симметрично тело человека и животных,
симметрично строение цветка и листа. Симметрия лежит в основе многих произведений
архитектуры, в особенности классической, где правая часть здания обычно уравновешивает
левую. Симметрична Триумфальная арка на Кутузовском проспекте в Москве или здание
Большого театра, где ось симметрии отмечена фигурой Аполлона, правящего четверкой коней.
Легко отыскать примеры прекрасного, но как трудно объяснить, почему они прекрасны.
Платон
Правильные многогранники открыли нам попытки ученых приблизиться к тайне мировой
гармонии и показали неотразимую привлекательность геометрии.
3. «рефлексия»
Онлайн тестирование по теме:
http://licey102.k26.ru/dist-kurs/p21aa1.htm
Решение задач.
1. Определить тангенс двугранного угла, образованного боковой гранью и основанием
тетраэдра.
Ответ:
À22
2. Высота правильного тетраэдра равна h. Вычислить его полную поверхность.
Ответ:
À
h
2
33
2
3. Объем правильного тетраэдра равен
3
3
22
ñì
. Найдите его ребро:
A)
ñì3
; B)
ñì3
; C)
ñì2
; D)
ñì23
; E)
ñì32
.
4. Как вы полагаете, что будет, если соединить отрезками центры соседних граней
тетраэдра?
Ответ
Если соединить отрезками центры соседних граней тетраэдра, получится другой
тетраэдр.
Домашнее задание: сделать бумажную модель правильного многогранника.
Скачать материал

Геометрия - еще материалы к урокам: