Презентация "Несколько интересных фактов о биссектрисе" 7-9 классы

• Лицей научно-инженерного профиля
• г. Королёв

• Геометрия 8 класс
• Л.С.Атанасян и др. «Геометрия 7-9»

• Учитель математики:
• Логачёва Елена Александровна

Подготовка к олимпиадам

«Несколько интересных фактов о биссектрисе».

Несколько интересных фактов о биссектрисе

«Крупное научное открытие даёт решение крупной проблемы, но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия.»

Дьёрдь Пойя

1887-1985

(венгерский, американский математик)

• Цель и задачи урока:

Цель:

• Получение новой информации о биссектрисе.

Задачи:

• Разнообразить материал различными дополнительными сведениями.
• Сделать выводы и дать рекомендации по использованию данного материала.

Несколько интересных фактов о биссектрисе

Биссектриса 

(от лат.bi- «двойное», и sectio «разрезание»)

Биссектри́са  угла — луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла.

Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Несколько интересных фактов о биссектрисе

Биссектриса угла – геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла.

• Если у какой-нибудь точки расстояния до сторон угла равны, то эта точка обязательно лежит на биссектрисе.

Выполняются сразу два утверждения:

• Если точка лежит на биссектрисе, то расстояния от неё до сторон угла равны.

Несколько интересных фактов о биссектрисе

А

В

С

О

Несколько интересных фактов о биссектрисе

А

В

С

D

Несколько интересных фактов о биссектрисе

А

В

С

D

О

Биссектриса внутреннего угла перпендикулярна биссектрисе внешнего угла

Проверка домашней работы

1.114 (Гордин Р.К.)

Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию. Верно ли обратное.

Проверка домашней работы

1. 145. (Гордин Р.К.) Найдите сумму пяти углов при вершинах пятиконечной звезды.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Ответ: 1800

Проверка домашней работы

А

С

В

о

M

1.132. (Гордин Р.К.) Биссектриса внутреннего угла при вершине А и биссектриса внешнего угла при вершине С треугольника АВС пересекаются в точке М.

Ответ: 700

Проверка домашней работы

А

В

С

О

1.115. (Гордин Р.К.) Биссектрисы двух углов треугольника пересекаются под углом 1100. найдите третий угол треугольника.

Ответ: 400

Несколько интересных фактов о биссектрисе

А

В

С

О

Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке —инцентре — центре вписанной в этот треугольник окружности.

Несколько интересных фактов о биссектрисе

А

В

С

D

Центрами вневписанных окружностей являются точки пересечения биссектрис внешних углов треугольника.

Сколько вневписанных окружностей имеет треугольник?

Несколько интересных фактов о биссектрисе

Докажите, что точка D лежит на биссектрисе ВО.

А

С

D

В

о

К

N

M

Центр вписанной окружности в треугольник, вневписанной окружности и вершины треугольника (относительно одного угла) лежат на одной прямой.

Задача

Несколько интересных фактов о биссектрисе

А

С

D

В

о

К

N

M

Центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрис внешнего и внутреннего угла треугольника (проведенных из вершин одной стороны)

Несколько интересных фактов о биссектрисе

1

1

2

2

3

3

Дано:

А

В

С

К

M

N

Доказать: АМ, СК, BN высоты треугольника АВС.

Задача

1

1

2

2

3

3

А

В

С

К

M

N

Задача

3

1

4

4

1

1

2

2

3

3

А

В

С

К

M

N

Задача

Вершины остроугольного треугольника являются центрами вневписанных окружностей.

Основания высот треугольника образуют ортотреугольник

Несколько интересных фактов о биссектрисе

Вывод и анализ данного материала

1

• Биссектриса внутреннего угла перпендикулярна биссектрисе внешнего угла

2

• Центр вписанной окружности в треугольник, вневписанной окружности и вершины треугольника (относительно одного угла) лежат на одной прямой.

3

4

• Основания высот треугольника образуют ортотреугольник

Центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрис внешнего и внутреннего угла треугольника (проведенных из вершин одной стороны)

Несколько интересных фактов о биссектрисе

А

В

С

D

О

1

2

3

4

5

6

7

8

9

420

10

940

Существует ли треугольник, две биссектрисы которого перпендикулярны?

№1.

№2.

Гордин Р.К.

№1.72 (2 уровень)

№ 1.83 (3 уровень);

Олимпиадная задача:

№ 1.135 (задача про кота);

По желанию: обратное утверждение 1.83

Несколько интересных фактов о биссектрисе

1.83. Докажите, что, если в треугольнике один угол равен 120◦, то треугольник, образованный основаниями его биссектрис, прямоугольный.

А

В

С

А

К

N

M

Проверка домашней работы

(VII олимпиада Эйлера, 2 тур)

Решение. Из условия следует, что ∠ABD = ∠EBD = ∠CEF = ∠DEF = ∠BDE. Таким образом, внутренние накрест лежащие углы ABD и BDE при пересечении прямой BD прямыми AB и DE равны. Следовательно, AB || DE, откуда ∠BAC = ∠EDF = ∠EDB = ∠ABD = ∠ABC/2, что и требовалось доказать.

В треугольнике ABC провели биссектрису BD, в треугольнике BDC — биссектрису DE, а в треугольнике DEC — биссектрису EF. Оказалось, что прямые BD и EF параллельны. Докажите, что угол ABC вдвое больше угла BAC.

Форма урока: семинар

Методы:

• объяснительно –иллюстративный;
• проблемный;
• исследовательский;

Технологии:

• Технология применения ИКТ;
• Проблемное обучение;
• Профильное обучение;
• Технология дифференцированного обучения;

Структура урока:

• организационный;
• постановка цели и задач;
• актуализация знаний;
• введение знаний (;
• подведение первичного закрепления;
• подведение итогов ;
• определение домашнего задания и инструктаж по его выполнению.

Литература

• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия, 7-9: Учебник для общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2002;
• Гордин Р.К. Планиметрия 7-9.Задачник. Изд. МЦНМО 2006 г.
• Г.К.Пак.П13 Биссектриса. Серия: Готовимся к математической олимпиаде. Учебное пособие. // Владивосток. Издательство Дальневосточного университета, 2003,28 с.
• Л.Н.Смоляков. Еще 13 доказательств теоремы о биссектрисе.//Квант, №2,1985.
• Ресурсы сети Интернет.

С.р.

Ф.И._________________

А

В

С

D

О

1

2

3

4

5

6

7

8

9

420

10

940

№1

№2

Существует ли треугольник, две биссектрисы которого перпендикулярны?