Презентация "Радианная мера углов и дуг" 10 класс

Алгебра и начала анализа 10 класс Тригонометрия

• Тема: Радианная мера углов и дуг

Тригонометрия

• («три» - три, «гониа» - угол, «метриа» - измеряю)
• раздел математики, изучающий соотношение сторон и углов в треугольнике

Радианом называется величина центрального угла, который опирается на дугу окружности длиной в один радиус (обозначается 1 рад).

• 1 рад

• R

• R

• R

• A

• B

• O

• 

• 

• 

•  AB=R
• AOB=1 рад

• 600

• 1 рад

• Из скольких дуг, длиной R, состоит окружность?
• Подсказка: вспомните формулу длины окружности…

• R

• R

• R

• R

• R

• R

• ?

• Задание 1. Вывести правила перевода из радианной меры в градусную и наоборот.
• Ответ: α0= α0· рад  правило перевода из градусной меры в радианную;
• α рад= α·  правило перевода из радианной меры в градусную.
• 1 рад = ; 1 рад  57019’
• 10 = рад; 10  0,017 рад

• 3600 – 2 рад
• 10 – х рад

• 3600 – 2 рад
• х 0 – 1 рад

Окружность с центром в начале системы координат Oxy и радиусом, равным единице, называется единичной, а ограниченный ей круг – тригонометрическим.

• Приняв точку пересечения окружности с положительной частью оси Ох за начало отсчета;
• Выбрав положительное направление – против часовой стрелки, отрицательное – по часовой стрелке;
• Отложив от начала отсчета дугу в 1 рад, мы получим, что тригонометрическая окружность в некотором смысле «эквивалентна» понятию «числовая прямая».

• x

• y

• 0

• 1

• 1

• 0

• «+»

• «»

• 1

• 0

• 1

• 0

• 3

• 2

• 6

• 

• 

• 2

• у

• х

• 1

• –

• –

• Проследите за одновременным движением точки на координатной прямой и на тригонометрической окружности:

• Обязательно разберитесь, почему на прямой семь точек, а на окружности их пять.

Так как дуги – это части окружности, то длины некоторых из них будут выражены через число  (объясните почему).

• Откладывая в положительном и отрицательном направлениях от начала отсчета прямой угол получим точки, соответствующие числам …
• и (объясните
• почему);
• Выполнив поворот на развернутый угол в положительном и отрицательном направлениях получаем две совпадающие точки окружности с координатами…
• и .

• x

• y

• 0

• 1

• 1

• 0

• 1

Напомним, что декартова система разбивается координатными осями на четыре координатные четверти – I, II, III и IV.

• Задание 2. Определите границы координатных четвертей через углы поворота в радианной мере, взятых в положительном направлении.
• Задание 3. Выполните предыдущее задание, при условии, что выбирается отрицательное направление углов поворота.
• Задание 4. Какой координатной четверти принадлежит точка окружности с координатой 6,28?

• x

• y

• 0

• 1

• 1

• 0

• 1

• I

• II

• III

• IV

 это соотношение может Вам понадобиться для понимания некоторых фактов!

• Отметив на окружности точки с абсциссой 0,5 мы получим точки, соответствующие числам …
• и (объясните
• почему);
• Аналогично, получаются точки окружности с координатами
• ; .
• Обратите внимание на симметричность относительно оси Ox полученных точек!

• x

• y

• 0

• 1

• 1

• 0

• 1

• 0,5

•  0,5

 это соотношение может Вам понадобиться для понимания некоторых фактов!

• Отметив на окружности точки с ординатой 0,5 мы получим точки, соответствующие числам …
• и (объясните
• почему);
• Аналогично, получаются точки окружности с координатами
• ; .
• Обратите внимание на симметричность относительно оси Oy полученных точек!

• x

• y

• 0

• 1

• 1

• 0

• 1

• 0,5

•  0,5

Графики функций y=x и y=x  прямые, являющиеся биссектрисами координатных четвертей.

• Постройте графики функций y=x и y=x. Подумайте, какие углы поворота соответствуют точкам пересечения этих прямых с тригонометрической окружностью?...
• …Ответ:
• ; ; ; .

• x

• y

• 0

• 1

• 1

• 0

• 1

Отметим на тригонометрической окружности точку А, соответствующую произвольному острому положительному углу поворота .

• Если добавить полный поворот к углу α , то мы снова окажемся в той же точке А. Но теперь ее координата равна (подумайте)… .
• Вообще, любую точку окружности можно получить поворотом на угол, вида α+2n, где n и α[0;2).

• x

• y

• 0

• 1

• 1

• 0

• A(α)

• A(α+2)

Итогом нашей предыдущей работы является данная окружность, на которой отмечены наиболее часто встречающиеся в различных таблицах углы.

• Примечание. На чертеже отмечены только положительные углы поворота.
• Задание 5. Найдите координаты всех точек, отмеченных на данной окружности (указание: рассмотрите различные прямоугольные треугольники с гипотенузой-радиусом (см.рис.) и примените теорему Пифагора ; помните о симметричности точек).

• x

• y

• 0

• 1

• 1

• 0

• 1

• 0,5

• 0,5

• -0,5

• -0,5

Ответы и решения.

• Задание 2. - I четверть, - II четверть,
• - III четверть, - IV четверть.
• Задание 3. - I четверть, - II четверть,
• - III четверть, - IV четверть

Ответы и решения.

• Задание 4. 6,28IV (см.рис.)
• 6,28<2 (обязательно разберитесь в совпадении цвета цифр и некоторых частей окружности)!

• x

• y

• 0

• 1

• 1

• 0

• 1

• 2

• 3

• 4

• 5

• 6

• 2

Ответы и решения.

• Задание 5.

Домашнее задание

• 1) Выучить формулы перевода из градусной меры угла в радианную и обратно
• 2) Переведите в радианную меру углы: 75, 15, 130, 220, 340