Презентация "Геометрические построения" 7 класс

Геометрические построения

Задача: Докажите, что диаметр окружности, проходящий через середину хорды, перпендикулярен хорде.

Докажите, что любой луч, исходящий из центра окружности, пересекает окружность в одной точке

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит, через все его вершины

Теорема:
Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к сторонам, проведенных через середины этих сторон.

Доказательство:
∆АОВ- Равнобедренный, т.к. ОА=ОВ=R. D – середина стороны АВ поэтому ОD – медиана, а значит и высота ∆АОВ. Следовательно центр окружности лежит на прямой, перпендикулярной стороне АВ и проходит через ее середину.
Аналогично ∆ВОС равнобедренный, а ОЕ- серединный перпендикуляр к стороне ВС и т.д.

Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, называют серединным перпендикуляром.

Касательная к окружности

Прямая, проходящая через точку окружности перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту точку, называется касательной.

Задача: Докажите, что касательная к окружности не имеет с ней других общих точек, кроме точки касания

Решение:
Допустим, касательная и окружность имеют, кроме точки А, общую точку В, отличную от точки А. Треугольник АОВ равнобедренный с основанием АВ. (ПОЧЕМУ?)
Т.к. у равнобедренного треугольника углы при основании равны, а угол при вершине А прямой, то в ∆АОВ два прямых угла. Получили противоречие.

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон

Теорема: Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.

Доказательство:
Пусть АВС-данный треугольник, О-центр вписанной в него окружности, D,E и F- точки касания окружности со сторонами. Прямоугольные треугольники АОD и АОЕ равны по гипотенузе и катету. У них гипотенуза АО общая, а катеты ОD и ОЕ равны как радиусы. Из равенства треугольников следует равенство углов ОАD и ОАЕ. А это значит, что точка О лежит на биссектрисе треугольника, проведенной из вершины А. Точно так же доказывается, что точка О лежит на двух других биссектрисах треугольника

Задачи на построение

Стремясь к большей точности, древние математики предпочитали строить геометрические фигуры, обходясь без измерений, а используя лишь проведение прямых линейкой и проведение окружностей циркулем.

В задачах на построение идет речь о построении геометрической фигуры с помощью данных чертежных инструментов.

Основой измерительных приборов является шкала, а на собственном опыте вы убедились, что второй конец отрезка или вторая сторона угла чаще всего проходит между белениями шкалы. При хорошем глазомере можно определить, какое деление ближе к истинному.