Ученики на Учителя.com


Методические рекомендации для преподавателя по геометрии к разделу "Прямые и плоскости в пространстве"

Автономное учреждение
профессионального образования
Ханты-Мансийского автономного округа - Югры
«Сургутский политехнический колледж»
Методические рекомендации для преподавателя по
геометрии к разделу «Прямые и плоскости в пространстве»
Сургут 2020 г.
Методические рекомендации для преподавателя по геометрии к разделу
«Прямые и плоскости в пространстве»
Сургутский политехнический колледж. - 2020
Составители: Е.А.Рязанцева, преподаватель математики, первая категория
А.Н.Макарова, преподаватель математики, первая категория
Пособие предназначено для оказания помощи в преподавании геометрии на 1
курсе по учебнику Л.С. Атанасяна и др. (М.: Просвещение) к разделу «Прямые и
плоскости в пространстве». На изучении данного раздела отводится 20 часов.
Одобрено на заседании методического объединения «Математика, информатика,
физика»
Протокол № от « » 2020 г.
Рекомендовано к печати Методическим советом Сургутского политехнического
колледжа.
Протокол № от « » 2020 г.
П о я с н и т е л ь н а я з а п и с к а
Пособие предназначено для оказания помощи в преподавании геометрии на 1
курсе по учебнику Л.С. Атанасяна и др. (М.: Просвещение) к разделу «Прямые и
плоскости в пространстве». На изучении данного раздела отводится 20 часов.
В пособии содержится поурочное планирование изучения учебного материала,
сформулированы задачи уроков и даны примерные планы их проведения, приведены
решения некоторых задач из учебника, задания для самостоятельных работ,
контрольная работа по данному разделу.
Преподавателю следует исходить из того, что изучение курса стереометрии
должно базироваться на сочетании наглядности и логической строгости. Опора на
наглядность – непременное условие успешного усвоения материала, и в связи с этим
нужно уделить большое внимание правильному изображению на чертеже
пространственных фигур.
Важная роль при изучении стереометрии отводится задачам. Пособие
содержит большое количество разнообразных по трудности задач, что даёт
возможность осуществить индивидуальный подход к обучающимся, в частности,
организовать работу с учащимися со слабыми знаниями и проявляющими интерес к
математике.
К данному пособию разработано приложение в виде сборника
дифференцированных заданий для проверки знаний «Прямые и плоскости в
пространстве». Тематика и содержание заданий охватывают требование учебника
«Геометрия 10-11 класс» Л.С. Атанасяна.
Сборник позволяет осуществить дифференцированный контроль знаний, так
как задания распределены по двум уровням. Задания первого уровня соответствует
обязательным программным требованиям, задания второго уровня предназначены
для обучающихся со средними способностями и проявляющих повышенный интерес
к математике. Для каждого уровня разработаны задания таким образом, чтобы
можно было осуществить проверку теоретических знаний: устная работа,
математический диктант, задания по готовым чертежам, а также предложены задачи
практического содержания.
У р о к 1
П о в т о р е н и е
Ц е л ь : проверить теоретические знания обучающихся; адаптация в новом
коллективе.
Вступительная беседа.
Здравствуйте, ребята.
Французский писатель Анатоль Франс (1844 – 1924) однажды заметил: «Учиться
надо весело… чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом».
Давайте сегодня на уроке будем следовать этому совету писателя, будем активны,
внимательны, будем работать с большим желанием. И вы продемонстрируете свои
знания, полученные в школе.
Основные темы повторения:
1. Действия с обыкновенными и десятичными дробями;
2. Формулы сокращенного умножения;
3. Решение линейных и квадратных уравнений;
4. Решение линейных и квадратных неравенств;
5. Решение систем уравнений и неравенств;
6. Построение графиков функций;
7. Основные фигуры на плоскости и их свойства.
Урок 2
Контрольный срез
Цель: проверить практические умения и навыки обучающихся.
Входной контрольный срез по математике для обучающихся I курса
I вариант
№1. Вычислить
      
  
№2. Решить уравнение
1)
 
 ;
2)
  ;
3)




.
№3. Решить неравенство
1)  8;
2)
 
 
№4. Найдите высоту равнобокой трапеции, у которой основания 5 см и 11
см, а боковая сторона 4 см.
№5. Построить график функции   
. Укажите при каких
значениях функция возрастает?
№6. Решить систему уравнений


II вариант
№1. Вычислить
    
№2. Решить уравнение
1)  
 
;
2)
  ;
3)




№3. Решить неравенство
1)  ;
2)
 
  
№4. Две стороны параллелограмма относятся как 3:4, а периметр его
равен 2,8 м. Найдите стороны параллелограмма.
№5. Построить график функции
 . Укажите при каких
значениях функция положительна?
№6. Решить систему уравнений

 
У р о к 3 -4
Стереометрия. Основные понятия, аксиомы.
Ц е л ь : ознакомить обучающихся с содержанием курса стереометрии; изучить
аксиомы стереометрии.
Х о д у р о к а
I. Вступительная беседа.
В планиметрии все фигуры, которые рассматривались при доказательстве каждой
теоремы или при решении задач, располагались на плоскости (на листе бумаги или
на доске и т. д.). Таким образом, мы имели дело только с одной плоскостью, и все
точки, линии, углы, вообще геометрические фигуры лежали только на ней.
В курсе стереометрии нам предстоит рассматривать такие случаи, когда не все
точки, линии и углы данной или данных фигур будут располагаться на одной
плоскости.
II. Объяснение нового материала.
Вопросы к обучающимся:
1. что такое геометрия? (Геометрия – наука о свойствах геометрических фигур);
2. какой раздел геометрии вы изучали в 7-9 классах? (Планиметрия);
3. что такое планиметрия? (Планиметрия – раздел геометрии который изучает
свойства фигур на плоскости);
4. основные понятия планиметрии (точка, прямая).
Приступаем к изучению нового раздела геометрии – стереометрия.
Стереометрия – раздел геометрии, в котором изучается свойства фигур в
пространстве.
Основные понятия в пространстве: точка, прямая и плоскость.
Наряду с точкой, прямой и плоскостью в стереометрии рассматривают
геометрические тела, изучают их свойства, вычисляют их площади и объемы.
Вопросы к обучающимся:
1. Что такое аксиома? (Аксиома – утверждение принимаемое без доказательств,
на основе которых доказываются далее теоремы и вообще строится вся
геометрия);
D
B
С
А
C
1
A
1
A
D
1
D
C
B
1
B
2. Какие аксиомы планиметрии вы знаете? (через любые две точки можно
провести прямую, и притом только одну, развернуты угол равен 180
0
).
Аксиомы стереометрии
А1. Через любые три
точки, не лежащие на
одной прямой, проходит
плоскость, и притом
только одна
А2. Если две точки
прямой лежат в
плоскости, то все точки
прямой лежат в этой
плоскости
А3. Если две плоскости
имеют общую точку, то
они пересекаются по
прямой, проходящей
через данную точку
Всем знакома ситуация: если ножки стула не одинаковые по длине, то стул стоит
на трех ножках, то есть опирается на три «точки», а конец четвертой ножки
(четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе. Этот пример
служит наглядным подтверждением аксиомы А1.
Рассмотрим следующую ситуацию: для проверки «ровности» при укладке
тротуарной плитки используют брусок, который прикладывают к поверхности
дорожки. Если на дорожке есть ложбинки или бугорок, то в каких-то местах между
бруском и плоскостью дорожки образуется просвет. Если поверхность дорожки
ровная, то между бруском и дорожкой никакого просвета нет, то есть брусок всеми
своими точками прилегает к ее поверхности. Этот пример служит наглядным
подтверждением аксиомы А2.
Наглядной иллюстрацией третьей аксиомы является пересечение двух смежных
сторон классной комнаты, пересечение двух листов книги и т. д.
Задача 1. Перечертите чертеж и ответы запишите с помощью символики.
Постройте изображение куба АВСDА
1
В
1
С
1
D
1
:
а) назовите плоскости, в которых лежат точка М, точка N;
C
1
A
1
A
D
1
D
C
N
M
B
1
B
K
б) найдите точку F – точку пересечения прямых MN и ВС. Каким свойством
обладает точка F? (Принадлежит и прямой MN, и плоскости (АВС));
в) найдите точку пересечения прямой KN и плоскости (АВС).
Некоторые следствия из аксиом
Т1. Через прямую и не лежащую на
ней точку проходит плоскость, и
притом только одна
Т2. Через две пересекающиеся прямые
проходит плоскость, и притом только
одна
III. Закрепление изученного материала.
Задача 2. АВСD – ромб, О – точка пересечения его диагоналей, М – точка
пространства, не лежащая в плоскости ромба. Точки А, D, О – лежат в плоскости α.
Дайте ответ на поставленные вопросы: 1) Лежат ли в плоскости α точки В и С? 2)
Лежит ли в плоскости МОВ точка D? 3) Назовите линию пересечения плоскостей
МОВ и АDО. 4) Вычислите площадь ромба, если сторона его равна 4 см, а угол
равен 60
0
.
IV. Домашнее задание: теория (п. 1-3), №1, 2, 3.
У р о к 5 -6
П а р а л л е л ь н о с т ь п р я м ы х , п р я м о й и п л о с к о с т и .
Ц е л ь : 1) рассмотреть взаимное расположение двух прямых в пространстве, ввести
понятие параллельных и скрещивающихся прямых, сформулировать теорему о
параллельности трёх прямых; 2) рассмотреть возможные случаи взаимного
расположения прямой и плоскости; ввести понятие параллельности прямой и
плоскости, сформулировать признак параллельности прямой и плоскости; 3)
закрепить эти понятия на модели куба и пирамиды.
Х о д у р о к а
I. Проверка домашнего задания (фронтальная).
II. Устная работа.
По чертежу назовите:
а) линию пересечения плоскостей (АВС)
и (АА
1
В
1
);
б) плоскости, которым принадлежат
точка М, точка В;
в) плоскость, в которой лежит прямая
MN; прямая KN.
Постройте:
а) точку пересечения прямой MN и плоскости (АВС);
б) точку пересечения прямой MN и плоскости (А
1
В
1
С
1
);
в) линию пересечения плоскостей (АВС) и (MNK);
г) точку пересечения прямой КN c плоскостью (АВС);
д) линию пересечения плоскостей (АА
1
В
1
) и (MNK).
Каждый раз при применении аксиомы проговариваются, результат построения
записывается с помощью символики.
III. Математический диктант.
1 вариант
2 вариант
1. Стереометрия – это …
2. Назовите основные фигуры на
плоскости.
3. Сформулируйте аксиому А2.
4. Сколько плоскостей можно
провести через две
пересекающиеся прямые?
5. Могут ли две плоскости иметь
только одну общую точку?
6. Сколько плоскостей можно
провести через три точки?
Обоснуйте ответ.
1. Планиметрия – это…
2. Назовите основные фигуры в
пространстве.
3. Сформулируйте аксиомуА1.
4. Сколько плоскостей можно
провести через прямую и не
лежащую на ней точку?
5. Могут ли прямая и плоскость
иметь одну общую точку?
6. Сколько может быть общих точек у
прямой и плоскости? Обоснуйте
ответ.
Ответы:
1 вариант
2 вариант
1. Раздел геометрии, изучающий
фигуры в пространстве.
2. Точка, прямая.
3. Если две точки прямой лежат в
плоскости, то все точки прямой
лежат в этой плоскости.
4. Одну.
5. Нет.
6. Одну, если точки не лежат на
1. Раздел геометрии, изучающий
фигуры на плоскости.
2. Точка, прямая, плоскость.
3. Через любые три точки, не
лежащие на одной прямой,
проходит плоскость, и притом
только одна.
4. Одну.
5. Да.
N
K
M
C
1
A
1
A
C
B
B
1
одной прямой; множество, если
точки лежат на одной прямой.
6. Одна, если прямая и плоскость
пересекаются; бесконечно много,
если прямая лежит в плоскости; ни
одной, если прямая и плоскость
параллельны.
III. Объяснение нового материала.
Каково может быть взаимное расположение двух прямых на плоскости
(совпадают, пересекаются, являются параллельными)? Дайте определение
параллельных прямых на плоскости.
Определение: прямые в пространстве называются параллельными, если они
лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Дан куб. Все грани – квадраты.
Являются ли параллельными прямые
АА
1
и DD
1
, АА
1
и СС
1
? Ответ обоснуйте. А
прямые АА
1
и DC параллельны? Они
пересекаются?
Значит, в пространстве есть прямые, которые не пересекаются, но не являются
параллельными, так как не лежат в одной плоскости. Такие прямые называются
скрещивающимися (а b).
Определение: две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в
одной плоскости.
По рисунку назовите пары скрещивающихся ребер; пары параллельных ребер.
Итак, алгоритм распознавания взаимного расположения двух прямых в
пространстве.
C
1
A
1
A
D
1
D
C
B
1
B
D
B
С
А
C
1
A
1
A
C
B
B
1
Не всегда по определению в пространстве можно выяснить взаимное
расположение прямых. Поэтому существуют признаки, сформулированные в виде
теорем.
Признак параллельности двух прямых в пространстве: если две прямые
параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.
Признак скрещивающихся прямых: если одна из двух прямых лежит в
плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой
прямой, то эти прямые скрещивающиеся.
Рассмотрим взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
В каком случае прямая и плоскость называются параллельными?
Определение: прямая и плоскость называются параллельными, если они не
имеют общих точек.
Имеют
хотя бы одну
общую
точку?
Имеют
более одной
общей
точки?
Нет
Да
Да
Нет
a и
а
а
а ||
Покажите на предметах обстановки классной комнаты прямые, параллельные
плоскости пола, плоскости стены.
На модели куба укажите плоскости,
параллельные прямой DC, прямой DD
1
. Как
установить параллельность прямой и плоскости?
В силу бесконечности прямой и плоскости
сделать это по определению очень трудно.
Нужен признак параллельности прямой и
плоскости.
Обратите внимание на модель куба. DC || (АА
1
В
1
). В плоскости (АА
1
В
1
) имеется
прямая AB, параллельная DC.
DC || (А
1
В
1
С
1
). В плоскости (А
1
В
1
С
1
) имеется прямая D
1
C
1
, параллельная DC.
Признак параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в
плоскости, параллельна прямой, лежащей в этой плоскости, то прямая и плоскость
параллельны.
IV. Решение задач.
№ 17.
Д а н о : DM = MB, DN = NC,
AQ = QC, AP = PB, AD = 12,
BC = 14.
Найдите P
MNQP
.
Р е ш е н и е
1.
2.
3. По определению MNQP – параллелограмм.
4. PQ = 7, PM = 6 P
MNQP
= 2 (7 + 6) = 26.
C
1
A
1
A
D
1
D
C
B
1
B
A
B
C
D
M
N
P
Q
№ 20.
Д а н о : ABCD – трапеция, MN –
средняя линия, MN α.
Доказать: пересекают ли ВС и АD
плоскость α?
Д о к а з а т е л ь с т в о
Пусть ВС α, тогда
Получили противоречие, так как MN α. Следовательно, ВС α.
Аналогично АD α.
№ 22.
Д а н о : A α, B α, C α,
AM = MC, BN = NC.
Доказать, что MN || α.
Д о к а з а т е л ь с т в о
Домашнее задание: теория (п. 4- 7), №№ 16, 24.
№ 24.
Д а н о : ABCD – трапеция,
М (АВС)
Доказать, что AD || (ВМС).
Д о к а з а т е л ь с т в о
по признаку.
У р о к 7 -8
Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми.
Ц е л и : ввести понятие угла между параллельными, пересекающимися и
скрещивающимися прямыми; находить угол между прямыми в пространстве.
Х о д у р о к а
I. Проверка домашнего задания (у доски).
II. Устная работа.
1. Каково может быть взаимное расположение прямых в пространстве?
2. В каком случае прямые называются параллельными? Скрещивающимися?
3. Сформулируйте признак параллельности прямых.
4. Сформулируйте признак скрещивающихся прямых.
5. Каково может быть взаимное расположение прямой и плоскости в
пространстве?
6. В каком случае прямая и плоскость называются параллельными?
Пересекающимися?
7. Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости.
III. Проверочная работа:
1. АВСDА
1
В
1
С
1
D
1
– куб. Все грани – квадраты. Установите взаимное
расположение прямых, прямых и плоскостей:
1 вариант
AB
1
…DC
1
AD…B
1
C
1
AB
1
…B
1
C
1
AB
1
В…DC
1
B
1
C
1
…DC
1
С
BB
1
…ВCС
1
2 вариант
AD… А
1
D
1
B
1
C
1
…DC
1
BB
1
…DC
AD… А
1
D
1
С
1
ADС…B
1
В
AB
1
…АВB
1
Ответы:
1 вариант
2 вариант
C
1
A
1
A
D
1
D
C
B
1
B
III. Объяснение нового материала.
Ввести определение угла между прямыми в пространстве.
1. Угол между параллельными прямыми равен 0
0
;
2. Углом между пресекающимися прямыми называется наименьший угол из
четырех образованных углов;
3. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между
пересекающимися прямыми, параллельными данным скрещивающимся.


IV. Решение задач.
1. Устно. Дан куб ABCDA
1
B
1
C
1
D
1.
Найдите угол между прямыми: 1)ВС и СС
1
(90
0
); 2)АС и ВС (45
0
); 3)D
1
C
1
и ВС (90
0
); 4)А
1
В
1
и АС (45
0
).
2. Задача №44 (у доски и в тетради).
3. Дополнительная задача 1. Треугольники АВС и ADC лежат в разных
плоскостях. РК – средняя линия треугольника ADC с основанием АС.
Определить взаимное расположение прямых РК и АВ и найти угол между
ними, если угол С равен 80
0
, угол В 40
0
. (Ответ: АВ и РК – скрещивающиеся,
60
0
).
4. Дополнительная задача 2. Дано: АВСD – трапеция, ADE – треугольник. МР –
средняя линия треугольника ADE. Угол АВС равен 110
0
. Определить взаимное
расположение прямых МР и АВ, найти угол между ними. (Ответ: МР и АВ –
скрещивающиеся, 70
0
).
Домашнее задание: теория (п. 7, 9), №№ 34, 45.
У р о к 9-10
Параллельность плоскостей.
Ц е л и : ввести понятия параллельных плоскостей, признака параллельности двух
плоскостей, рассмотреть свойства параллельных плоскостей, сформировать навыки
применения признака и свойств параллельных плоскостей при решении задач.
Х о д у р о к а
I. Проверка домашнего задания.
II. Математический диктант.
1 вариант
2 вариант
1. Какие две прямые в пространстве
называются параллельными?
2. Какие возможны случаи взаимного
расположения прямой и
плоскости?
3. Сформулируйте признак
параллельности прямой и
плоскости.
4. Дан куб ABCDA
1
B
1
C
1
D
1.
Запишите
по две пары параллельных,
пересекающихся и
скрещивающихся прямых с
помощью символики.
5. Верно ли утверждение: если одна
из двух параллельных прямых
параллельна плоскости, то вторая
прямая не пересекает эту
плоскость.
1. Какие прямая и плоскость
называются параллельными?
2. Какие возможны случаи взаимного
расположения прямых в
пространстве?
3. Сформулируйте признак
параллельности прямых.
4. Дан куб ABCDA
1
B
1
C
1
D
1.
Запишите
по две пары из трех возможных
случаев взаимного расположения
прямой и плоскости с помощью
символики.
5. Верно ли утверждение: если одна
из двух прямых параллельна
плоскости, а вторая пересекает эту
плоскость, то прямые параллельны.
Ответы:
1 вариант
2 вариант
1. Две прямые в пространстве
называются параллельными, если
они лежат в одной плоскости и не
пересекаются.
2. Параллельные, пересекаются,
прямая принадлежит плоскости.
3. Если прямая, не лежащая в
плоскости, параллельна прямой,
лежащей в этой плоскости, то
прямая и плоскость параллельны.
4. –
5. Да.
1. Прямая и плоскость называются
параллельными, если они не имеют
общих точек.
2. Параллельные, пересекающиеся,
скрещивающиеся.
3. Если две прямые параллельны
третьей прямой, то они
параллельны между собой.
4. –
5. Нет.
III. Объяснение нового материала.
Вопрос к обучающимся: каким может быть взаимное расположение двух плоскостей?
ПЛОСКОСТИ
ПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ
Определение. Плоскости называются параллельными, если они не пересекаются (не
имеют общих точек).
Не всегда по определению в пространстве можно выяснить взаимное
расположение плоскостей. Поэтому существуют признак, сформулированный в
виде теоремы.
Признак параллельности плоскостей: Если две пересекающиеся прямые одной
плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой
плоскости, то эти плоскости параллельны.
Д а н о : а b = М, а α, b α,
а || а
1
, b || b
1
, а
1
β, b
1
β.
Доказать, что α || β.
Д о к а з а т е л ь с т в о
1. 2.
3. Пусть α β, тогда α β = c.
4. 5.
6. а || с, b || c, но а b = М по условию.
Полученное противоречие доказывает, что наше предположение неверно.
Следовательно, α || β.
Свойства параллельных плоскостей:
1. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии пересечения
параллельны.
a
b
M
c
a
1
b
1
α
β
1
1
||
||β.
β
aa
a
a
1
1
||
||β.
β
bb
b
b
α
||β || .
αβ
a
a a c
c
=
α
||β || .
αβ
b
b b c
c
=
2. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными
плоскостями, равны.
Свойство 1.
 
 
АС
Свойство 2.

 
 
 
 
AB=CD
IV. Решение задач.
№ 48 (устно).
№ 49.
Д а н о : m α = В.
Существует ли β: m β, α || β?
1. m α = В В α.
2. m β В β.
3.
№ 50.
Д а н о : α || β, m α.
Доказать, что m || β.
Д о к а з а т е л ь с т в о
1. Пусть m || β, m β = K.
2.
Получили противоречие условию, которое опровергает наше предположение.
Следовательно, m || β.
№ 54.
Д а н о : В (ADC), АМ = МВ,
CN = NB, BP = PD.
Доказать, что (MNP) || (АВС).
Найти S
MNP
, если S
ADC
= 48 см
2
.
B
m
α
α
α β , .
β
B
c B c
B
=
m
β
α
β
α β.
α, так как α
K
Km


D
A
C
B
M
N
P
Р е ш е н и е
1. MN – средняя линия Δ АВС MN || AC.
2. NP – средняя линия Δ CBD NP || CD.
3. по признаку.
4. Δ MNP Δ ADC, K = S
MNP
= ∙ 48 = 12 (см
2
).
V. Дополнительные задания.
1. Д а н о : Δ АВС, АС α, АМ = МВ,
М β, β || α, β ВС = K.
Доказать, что МK – средняя линия
Δ АВС.
2. Одна из сторон треугольника
принадлежит плоскости α. Плоскость β
параллельна плоскости α и пересекает две
другие стороны треугольника.
Доказать, что β отсекает от
треугольника треугольник, подобный
данному.
3. Д а н о : (MNK) || (АВС).
Доказать, что MNK = АВС.
4. Д а н о : α || β, АА
1
|| ВВ
1
, АВ = 10 см.
Найти А
1
В
1
.
||
||
( )|| ( )
MN AC
NP CD
MNP ABC
MN NP
AC CD
1
2
1
4
K
M
A
B
C
α
β
K
M
A
B
C
α
β
D
A
C
B
M
N
K
A
1
B
A
B
1
α
β
5. Д а н о : α || β, а b = О, АО =
ОС,DO = ОВ.
Определить вид четырехугольника
ABCD.
Домашнее задание: теория (п. 10, 11), №№ 55, 63 (а).
№ 55.
Д а н о : а α, β || α.
Доказать, что а β.
Д о к а з а т е л ь с т в о
1. Проведем b: В b, В β, b || а.
2. по лемме.
Д а н о : α || β, А α, А а, а || β.
Доказать, что а α.
Д о к а з а т е л ь с т в о
1. Пусть а α, тогда а α = А.
У р о к 11-12
Тетраэдр, параллелепипед.
Ц е л ь : ввести понятие тетраэдра, проиллюстрировать изученные понятия,
связанные с взаимным расположением прямых и плоскостей на примере
треугольной пирамиды; ввести понятие параллелепипеда, рассмотреть свойства
ребер, граней, диагоналей параллелепипеда.
Х о д у р о к а
I. Устная работа.
1. Могут ли прямая и плоскость не иметь общих точек? (Да)
2. Верно ли, что если две прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны
двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. (Нет. Привести
контрпример – пересекающиеся плоскости, проведенные через параллельные
прямые.)
BA
O
D
C
b
a
α
β
B
a
b
β
α
3. Плоскости α и β параллельны, прямая m лежит в плоскости α. Верно ли, что
прямая m β? (Да)
4. Верно ли, что линия пересечения двух плоскостей параллельна одной из этих
плоскостей? (Нет)
5. Как могут быть расположены плоскости α и β, если плоскость α проходит через
некоторую прямую а, параллельную плоскости β? (Могут быть и параллельными, и
пересекающимися)
6. Как могут быть расположены плоскости α и β, если любая прямая, лежащая в
плоскости α, параллельна плоскости β? (Параллельны)
II. Объяснение нового материала самостоятельное пунктов 12, 13 учебника.
III. Решение задач: №№ 66, 67, 68, 69, 70, 74.
№ 69.
Д а н о : SABC – тетраэдр.
МА = МВ, BN = NC, М α, N α,
BS || α, α (ABS) = PM, α (BCS) =
= KN.
Доказать, что РМ || KN.
Д о к а з а т е л ь с т в о
1.
2.
3.
№ 70.
C
A
B
S
K
P
M
N
()
|| α || .
()α
BS ABS
BS BS PM
ABS PM
=
||
|| .
||
BS KN
KN PM
BS PM
Д а н о : ABCD – тетраэдр,
АМ = МВ, AN = ND, AK = KC.
Доказать, что (MNK) || (BCD).
Д о к а з а т е л ь с т в о
1. MK || ВС (по свойству средней линии).
2. MN || BD (по свойству средней линии).
3. .
№ 74.
Д а н о : ABCD – тетраэдр, О – точка
пересечения медиан Δ BCD, О α,
α || (АВС), α AD = М, α ВD = K,
α DС = N.
Доказать, что Δ MNK Δ АВС.
Найдите .
Р е ш е н и е
1.
2. Аналогично MK || AB, MN || AC.
3. Δ BCD Δ KND (по двум углам) KN = BC, DK = BD,
DN = DC.
4.
5. Δ MDK Δ ADB (по двум углам) MK = AB.
C
A
B
D
K
N
M
||
||
( ) || ( ).
MK BC
MN BD
MNK BCD
MK MN
BC BD
C
A
B
O
N
M
Q
D
K
MNK
ABC
S
S
α || ( )
α ( ) || .
( ) ( )
ABC
BCD KN KN BC
ABC BCD BC
=
=
2
3
2
3
2
3
2
2
.
3
3
||
DK DB
DM AD
MK AB
=
=
2
3
6. Аналогично, MN = AC.
7. Δ MNK Δ ABC (по трем сторонам).
8. .
№№ 76 (устно), 77, 78 (устно по готовому чертежу), 79, 80.
IV. Домашнее задание: теория (п. 12, 13), №№ 71, 81.
У р о к 13-14
Перпендикулярность прямой и плоскости
Ц е л и : ввести понятие перпендикулярных прямых в пространстве, прямой и
плоскости; сформулировать лемму о перпендикулярности двух параллельных
прямых третьей; сформулировать признак перпендикулярности прямой и плоскости;
формировать навыки применения полученных знаний к решению задач.
Х о д у р о к а
I. Повторение пройденного материала.
А к т у а л и з а ц и я з н а н и й .
Ц е л ь – повторить, как определяется угол между прямыми в пространстве.
Д а н о : ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
–
параллелепипед.
1. BAD = 30°.
Найдите угол между прямыми АВ и
А
1
D
1
; А
1
В
1
и AD; АВ и В
1
С
1
.
2. BAD = 90°.
Докажите, что ВС B
1
C
1
и AB A
1
D
1
.
3. АDD
1
= 90°.
Докажите, что AB CC
1
и DD
1
A
1
B
1
.
II. Объяснение нового материала.
Рассмотрим модель куба. Как называются прямые АВ и ВС? Какие прямые
называются перпендикулярными? Найдите угол между прямыми АА
1
и DC; ВВ
1
и
AD. Эти прямые тоже перпендикулярные. В пространстве перпендикулярные
прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.
Определение: прямые в пространстве называются перпендикулярными, если
угол между ними равен 90
0
.
2
3
4
9
MNK
ABC
S
S
=
B
B
1
D
1
C
D
A
A
1
C
1
⊥
⊥
⊥
⊥
Рассмотрим прямые АА
1
, СС
1
и DC.
Прямая АА
1
параллельна прямой СС
1
, а
прямая СС
1
перпендикулярна прямой CD.
Нами установлено, что АА
1
перпендикулярна
CD. Сформулируйте это утверждение.
Формулируется лемма: если одна из двух параллельных прямых
перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой
прямой.
Прямая АА
1
перпендикулярна прямым АВ, АD, ВС, СD, принадлежащим
плоскости (АВС). Какой можно сделать вывод относительно взаимного
расположения прямой АА
1
и плоскости (АВС)?
Определение: прямая и плоскость называются перпендикулярными, если прямая
перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
а α
Как проверить перпендикулярность данной прямой к данной плоскости? Исходя
из определения, необходимо проверить перпендикулярность данной прямой по
отношению к любой прямой, лежащей в плоскости. Но таких прямых – бесконечно
много. Сколько достаточно взять, чтобы ответить на данный вопрос?
Начнем с наименьшего количества
прямых. Возьмем одну прямую, лежащую в
плоскости. (Учитель демонстрирует.)
Видно, что одной прямой недостаточно.
Возьмем две прямые. Две прямые на плоскости могут быть параллельными или
пересекающимися. Что вы замечаете? Сформулируйте признак перпендикулярности
прямой и плоскости.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая
перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она
перпендикулярна к этой плоскости.
A
1
D
C
B
A
B
1
C
1
D
1
b
a
α

а
Запишем две теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью
прямых и их перпендикулярностью к плоскости.
1. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и
другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
2. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.
III. Решение задач.
№ 117.
Рассмотрим модель куба. Найдите угол
между прямой АА
1
и прямыми плоскости
(АВС): АВ, AD, АС, BD, MN.
В ы в о д : прямая АА
1
перпендикулярна
любой прямой, лежащей в плоскости (АВС).
Такие прямая и плоскость называются
перпендикулярными.
Дайте четкое определение прямой, перпендикулярной к плоскости. Докажите, что
если прямая а перпендикулярна к плоскости α, то она пересекает эту плоскость (см.
п. 16).
Доказать две теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью
прямых и их перпендикулярностью к плоскости.
№ 120.
C
1
A
1
A
D
1
D
C
B
1
B
M
N
Д а н о : ABCD – квадрат, АВ = а,
АС BD = О, ОK (АВС), ОK = b.
Найдите: АK, ВK, СK, DK.
1. Доказать, что АK = ВK = СK = DK.
3. AK = .
№ 125.
Д а н о : РР
1
α, QQ
1
α, PQ = 15 см,
РР
1
= 21,5 см, QQ
1
= 33,5 см.
Найдите P
1
Q
1
.
Р е ш е н и е
1. (РР
1
α, QQ
1
α) РР
1
QQ
1
.
2. (РР
1
, QQ
1
) = β, α β = P
1
Q
1
.
3. QK = 33,5 – 21,5 = 12 см.
4. P
1
Q
1
= РK = 9 см.
№ 127.
Д а н о : Δ АВС, А + В = 90°,
BD (АВС).
Доказать, что CD АС.
Д о к а з а т е л ь с т в о
1. А + В = 90° С = 90°.
2.
3.
A
D
C
K
B
O
⊥
2
2
22
2
22
aa
bb

+ = +


⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
C
A
B
D
⊥
⊥
( ).
АС ВС
АС BD AC BCD
BD BC
⊥
⊥ ⊥
()
.
()
АС BCD
CD AC
CD BCD
⊥
⊥
№ 128.
Д а н о : ABCD – параллелограмм,
АМ = МС, ВМ = МD.
Доказать, что МО (АВС).
Д о к а з а т е л ь с т в о
1.
2.
3.
Домашнее задание: теория (п. 15-18), №№ 119, 131.
У р о к 15-16
Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью.
Ц е л ь : ввести понятие расстояния от точки до плоскости; сформулировать
теорему о трех перпендикулярах, показать ее применение при решении задач; ввести
понятие угла между прямой и плоскостью.
Х о д у р о к а
I. Проверка домашнего задания.
II. Диктант.
Закончите предложения. Сделайте рисунок.
1. Две прямые называются перпендикулярными, если…
2. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если…
3. Прямая перпендикулярна плоскости, если она…
4. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой,
то…
7. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то…
8. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости,…
9. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то…
10. Если две плоскости перпендикулярны прямой, то они…
A D
C
B
O
M
⊥
равнобедренный
.
медиана
АМС
МО АС
МО
−
⊥
−
равнобедренный
.
медиана
BMD
МО BD
МО
−
⊥
−
( ).
МО АС
МО BD MO ABC
AC BD
⊥
⊥ ⊥
III. Решение задач.
1. Д а н о : Е (ABCD), ABCD –
прямоугольник. ВЕ АВ, ВЕ ВС.
Доказать, что: а) ВЕ CD;
б) CD (ВСЕ).
Найдите S
ECD
, если CD = 6 см,
CЕ = 8 см.
2. Д а н о : ABCD – тетраэдр,
BD ВС, DC АС, АСВ = 90°.
Доказать, что АС ⊥ BD.
Найдите S
ABD
, если AD = 25 см,
АВ = 24 см.
3. Д а н о : ABCD – тетраэдр.
AD АС, AD АВ, DC СВ.
Доказать, что: а) AD ВС;
б) ВС (ADC).
Найдите S
АВС
, если ВС = 4 см,
АС = 3 см.
4. Д а н о : ABCD – тетраэдр.
ADC = BDC,
ABD = DAB.
Найдите (АВ, CD).
Р е ш е н и е
1. Δ ADB – равнобедренный
DK – высота и медиана.
2. Δ ADС = Δ ВDС (по двум сторонам и углу между ними) АС = CB.
3.
4.
5.
перпендикуляром.
A
D
C
E
B
⊥
⊥
⊥
⊥
C
AB
D
⊥
⊥
C
A
B
D
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
A
B
C
D
K
равнобедренный
высота.
медиана
АВС
СK
СK
−
−
−
( ).
АВ DK
AB CK AB CDK
DK CK
⊥
⊥ ⊥
()
.
()
AB CDK
AB CD
CD CDK
⊥
⊥
⊥
IV. Объяснение нового материала.
Как определяется расстояние от точки до прямой
на плоскости? (Как кратчайшее расстояние от
точки до прямой, как длина перпендикуляра,
проведенного из точки к данной прямой.)
Вспомнить, как называются отрезки АМ, МН.
Определить расстояние от точки до плоскости (п.
19).
Д а н о : AD (АВС), АВ = 5, АС = 4, СВ =
3, AD = 6.
Определите вид Δ АСВ.
Найдите DC и DB.
AD – перпендикуляр к плоскости, DC –
наклонная, AC – проекция этой наклонной
на плоскость (АВС).
По условию задачи проекция АС перпендикулярна прямой СВ, проходящей через
основание наклонной – точку С.
Вы доказали, что и наклонная DС перпендикулярна прямой СВ.
Это утверждение получило название теоремы о трех перпендикулярах. Учитель
формулирует теорему о трех перпендикулярах.
Теорема о тех перпендикулярах: прямая, проведенная в плоскости через
основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость,
перпендикулярна и к самой наклонной. И обратно.
АН – перпендикуляр;
АМ – наклонная;
НМ – проекция наклонной на плоскость
α,


Предложить обучающимся сформулировать определение угла между прямой и
плоскостью. Преподаватель корректирует и дает формулировку определения.
Определение: углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не
перпендикулярную к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на
плоскость.
A
M
H
a
α
A
H
M
A B
C
D
4
6
5
3
⊥
H
A
M
a
α


V. Решение задач (по готовым чертежам).
1. Д а н о : А = 30°; АВС = 60°,
DB АВС.
Докажите, что СD АС.
2. Д а н о : ВАС = 40°, АСВ = 50°,
AD АВС.
Докажите, что СВ BD.
3. Д а н о : МА (АВС), АВ = АС,
CD = BD.
Докажите, что MD ВС
4. Д а н о : МА (АВС), BD = CD,
MD ВС.
Докажите, что АВ = АС.
5 . Д а н о : АЕ и CF – высоты, ВK
АВС.
Докажите, что KD АС.
A
B
C
D
30°
60°
α
⊥
⊥
A
B
D
C
α
⊥
⊥
A
M
B
D
C
α
⊥
⊥
⊥
⊥
B
E
D
F
C
A
K
α
⊥
⊥
5. Д а н о : Δ АВС, BD (АВС),
АМ = MD, М – центр описанной около
Δ АDС окружности.
Найдите ACD + ACB.
№ 150.
Д а н о : ABCD – прямоугольник,
АK (АВС), KD = 6 см, KВ = 7 см,
KС = 9 см.
Найдите ρ (K, (АВС)), ρ (АK, CD).
Р е ш е н и е
1. ρ (K, (АВС)) = АK.
2.
3. Δ KВС – прямоугольный. CB = см.
4. Δ AKD – прямоугольный. AK = = 2 см.
5. ρ (АK, CD) = АD; AD = 4 см.
Домашнее задание: теория (п. 19-20), №№ 140, 143.
У р о к 17-18
Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей.
Ц е л ь : ввести понятие двугранного угла и его линейного угла; дать определение
перпендикулярных плоскостей; сформулировать признак перпендикулярности двух
плоскостей; рассмотреть задачи на применение этих понятий и признаков.
Х о д у р о к а
I. Объяснение нового материала.
Пункт 22 можно прочитать вместе с учащимися.
M
B
C
D
A
⊥
A
D
C
K
B
⊥
()
.
проекция
наклонная
AK ABC
AB CB
KB CB
AB
KB
⊥
⊥
⊥
−
−
22
9 7 4 2−=
22
6 (4 2)−
2
Один из механизмов построения линейного угла двугранного угла приведен в
задаче № 166.
Покажите использование данного механизма.
ABCD – квадрат, FO (АВС).
Постройте линейный угол двугранного
угла ADCF.
1. (ADC) (DFC) = DC.
2. Из точки F к плоскости (ADC)
перпендикуляр уже построен. Проведем
из точки F перпендикуляр к прямой DC в
плоскости (DCF).
Δ DFC – равнобедренный FM – медиана и высота.
4. – линейный угол угла ADCF.
Определение: двугранным углом называется фигура, образованная прямой и двумя
полуплоскостями с общей границей, не принадлежащими одной плоскости.
Пусть О а, АО а, ВО а,
 - линейный угол двугранного угла.
Провести аналогичные рассуждения и выполнить построения.
1. ABCD – прямоугольник,
BF (АВС).
Найдите ((АВС), (FDC)).
⊥
A
D
C
F
B
O
M
()
.
наклонная
проекция
FO ABC
FM DC
OM DC
FM
OM
⊥
⊥
⊥
−
−
ОМ DC
FOM
FM DC
⊥

⊥
A
D
C
F
B
⊥
2. ABCD – квадрат
FO (АВС)
Найдите угол между (АВС) и (FDC);
Найдите угол между (FDC) и (FBC).
Перед введением понятия перпендикулярных плоскостей рассмотрим модели
многогранников.
1. Плоскости (АВС) и (DD
1
C
1
)
перпендикулярны.
Докажите это.
Каким свойством обладает прямая DD
1
относительно указанных плоскостей?
(DD
1
(DD
1
C
1
), DD
1
(АВС).)
2. ABCD – квадрат. FO (АВС).
Докажите, что (AFC) (АВС).
Каким свойством обладает прямая FO
относительно указанных плоскостей?
(FO (AFC), FO (АВС).)
Когда можно утверждать, что плоскости перпендикулярны? Выскажите
предположение.
Определение: две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными,
если угол между ними равен 90
0
.
Признак перпендикулярности плоскостей: если одна из двух плоскостей
проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости
перпендикулярны.


II. Решение задач:
A
D
C
F
B
O
⊥
C
1
A
1
A
D
1
D
C
B
1
B
⊥
F
A
D
C
B
O
⊥
⊥
⊥
1. Точка М равноудалена от всех сторон квадрата ABCD, сторона которого равна 8
см. Расстояние от точки М до плоскости квадрата равно 4 см. Угол между
плоскостью (MCD) и плоскостью квадрата равен…
2. Прямая а и плоскость α перпендикулярны плоскости β. Каково взаимное
расположение прямой а и плоскости α?
3. Треугольник МАВ и квадрат ABCD имеют общую сторону АВ, и их плоскости
взаимно перпендикулярны. Угол MAD равен…
№№ 170, 179.
Домашнее задание: теория (п. 22, 23), №№ 178, 172.
Урок 19-20
Решение задач по теме: «Прямые и плоскости в пространстве»
Цель: закрепить теоретические знания по изучаемой теме; совершенствовать
навыки решения задач; решить задачи, близкие по содержанию к задачам,
включенным в контрольную работу.
I. Повторение теоретического материала. Составить схему по пройденным
темам:
II. Решение задач.
1. Прямые АВ, АС и АD попарно перпендикулярны. Найдите длину отрезка ВD,
если AD = 4 см, BC = 3
см, АС= 6 см.
2. Точка А не лежат в плоскости треугольника ВСD. Точки F, E, K и M- середины
отрезков АВ, AD, СD, BC соответственно.
а) Докажите, что FEKM- параллелограмм.
Стереометрия. Аксиомы стереометрии.
Взаимное
расположение прямых
в пространстве
‖‖ (признак) ∩
скрещиваю
щиеся
(признак)
Взаимное расположение
прямой и плоскости
ϵ ∩
‖‖(признак) ﬩(признак)
Взаимное расположение
плоскостей
‖‖(признак) ∩
﬩(признак)
б) Найдите периметр FEKM, если АС= 4 см, ВD= 6 см.
3. Из точки к плоскости проведены две наклонные длиной 10 см и 18 см. Сумма
длин их проекций на плоскость равна 16 см. Найдите проекции наклонных на
плоскость.
4. Длина диагоналей ромба DB и АС равна 12см и 6 см соответственно. Через
точку О пересечения его диагоналей проведена прямая ОК, перпендикулярная
плоскости ромба. Расстояние от точки К до вершины ромба D равно 10 см.
Найти сторону ромба и расстояние от точки К до вершины С.
Домашнее задание.
1. Прямые АВ, АС и АD попарно перпендикулярны. Найдите длину отрезка BD,
если AB = 6 см, BC = 10 см, CD = 8
см.
2. Точка А не лежат в плоскости треугольника ВСD. Точки P, R, S и T - середины
отрезков АВ, AD, СD, BC соответственно.
а) Докажите, что PRST - параллелограмм.
3. Из точки к плоскости проведены две наклонные, сумма длин которых равна 28
см. Проекции наклонных на плоскость равны 6 см и 8 см. Найдите длины
наклонных.
4. Длина стороны квадрата ABCD равна 4 см. Через точку О пересечения его
диагоналей проведена прямая OK, перпендикулярная его плоскости. Найдите
расстояние от точки К до вершин квадрата, если ОК= 1 см.
б) Найдите периметр PRST, если АС= 10 см, ВD= 14 см.
Урок 21-22
Контрольная работа №1 по теме: «Прямые и плоскости в пространстве»
I вариант.
1. Прямые АВ, АС и АD попарно перпендикулярны. Найдите длину отрезка DС,
если АВ = 3 см, ВC = 7 см, DА = 1, 5 см.
2. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. Точки E, F, M и К- середины
отрезков АВ, ВС, СD, АD соответственно.
а) Докажите, что EFMК- параллелограмм.
б) Найдите периметр EFMК, если АС= 6 см, ВD= 8 см.
3. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите длины наклонных,
если они относятся как 1: 2, а соответствующие им проекции равны 1 см и 7
см.
4. Длина стороны квадрата АВСD равна 4 см. Через точку О пересечения
диагоналей квадрата проведена прямая ОК, перпендикулярная его плоскости.
Найдите расстояние от точки К до вершин квадрата, если ОК = 6 см.
5. . Точка М равноудалена от всех сторон правильного треугольника АВС,
сторона которого равна 4 см. Расстояние от точки М до плоскости АВС равно 2
см.
1) Докажите, что плоскость АМО перпендикулярна плоскости ВМС (О –
основание перпендикуляра, опущенного из точки М на плоскость АВС).
2) Найдите угол между плоскостью ВМС и плоскостью АВС.
II вариант.
1. Прямые АВ, АС и АD попарно перпендикулярны. Найдите длину отрезка DС,
если ВD = 9 см, ВC = 16 см, АD = 5 см.
2. Точка А не лежат в плоскости треугольника ВСD. Точки P, R, S и T- середины
отрезков АВ, AD, СD, ВC соответственно.
а) Докажите, что PRST- параллелограмм.
б) Найдите периметр PRST, если АС= 8 см, ВD= 12 см.
3. Из точки к плоскости проведены две наклонные длиной 4 см и 8 см. Найдите
расстояние от точки до плоскости, если их проекции относятся как 1 : 7.
4. Длина сторон прямоугольника равны 8 и 6 см. Через точку О пересечения его
диагоналей проведена прямая ОК, перпендикулярная его плоскости. Найдите
расстояние от точки К до вершин прямоугольника, если ОК = 12 см.
5. ABCD – квадрат со стороной, равной 4 см. Треугольник АМВ имеет общую
сторону АВ с квадратом, АМ = ВМ = 2 см. Плоскости треугольника и
квадрата взаимно перпендикулярны.
1) Докажите, что ВС АМ.
2) Найдите угол между МС и плоскостью квадрата.
Ответы:
1 вариант
2 вариант
6, 5 см
15 см
14 см
20 см
4 и 8 см
 см
10 см
13 см
60
0
60
0
6
⊥
Автономное учреждение
профессионального образования
Ханты-Мансийского автономного округа - Югры
«Сургутский политехнический колледж»
П Р И Л О Ж Е Н И Е
Д и ф ф е р е н ц и р о в а н н ы е з а д а н и я д л я п р о в е р к и з н а н и й
о б у ч а ю щ и х с я п о р а з д е л у
« П р я м ы е и п л о с к о с т и в п р о с т р а н с т в е »
С у р г у т 2016
Т е м а «Стереометрия. Основные понятия, аксиомы»
Образец оформления геометрической задачи.
Д а н о : а, А а.
Доказать, что все прямые, проходящие
через точку А и пересекающие прямую,
лежат в одной плоскости.
Д о к а з а т е л ь с т в о
1. Проведем плоскость α = (а, А).
2. Проведем b: А b, b а = В.
3.
Аналогично, любая другая прямая,
удовлетворяющая условию задачи,
принадлежит плоскости α.
I уровень
I. Математический диктант.
1 вариант
2 вариант
7. Стереометрия – это …
8. Назовите основные фигуры на
плоскости.
9. Сформулируйте аксиому А2.
10. Сколько плоскостей можно
провести через две
пересекающиеся прямые?
11. Могут ли две плоскости иметь
только одну общую точку?
12. Сколько плоскостей можно
провести через три точки?
Обоснуйте ответ.
7. Планиметрия – это…
8. Назовите основные фигуры в
пространстве.
9. Сформулируйте аксиомуА1.
10. Сколько плоскостей можно
провести через прямую и не
лежащую на ней точку?
11. Могут ли прямая и плоскость
иметь одну общую точку?
12. Сколько может быть общих
точек у прямой и плоскости?
Обоснуйте ответ.
II. Заполните пропуски, чтобы получилось верное утверждение:
а) если A a, a α, то A...α.
б) если A α, B α, то AB...α.
в) если A α, B α, C AB, то C...α.
г) если M α, M β, α β = a, то M...a.
B
b
a
A
α
α.
α
α
Аb
Bb
b
A
B

III. По рисунку ответьте на вопросы:
а) каким плоскостям принадлежат точки
А, М, K, D, Р?
б) каким плоскостям не принадлежат
точки М, K, А, Р, D?
в) каким плоскостям принадлежат
прямые DB, DK, АВ, РС, АС?
II уровень
I. По рисунку ответьте на вопросы:
a) в какой точке пересекаются
прямая AD и плоскость (АВС); BD
и (ADC); DK и (АВС); АВ и (PDC)?
б) по какой прямой пересекаются
плоскости (ABD) и (BDC); (АВС) и
(ADC); (АВС) и (ABD); (ABD) и
(ADC); (PDC) и (ABC)?
II. Ответьте на вопросы и обоснуйте свой ответ:
а) могут ли прямая и плоскость иметь только одну общую точку? Только две общие
точки?
б) можно ли провести плоскость через четыре произвольные точки пространства?
в) можно ли через точку пересечения двух прямых провести третью прямую, не
лежащую с ними в одной плоскости?
III. Решение задач.
1. Начертите пространственный четырехугольник АВСD, выберите произвольно
точки М АВ, N AD. Постройте линии пересечения плоскостей (ABD) и (CMN);
(CMN) и (АВС); (CMN) и (ADC).
2. Начертите изображение куба ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
, выберите точки M и N грани ABCD.
Постройте линии пересечения плоскостей (АВС) и (А
1
MN); (В
1
MN) и (ВСС
1
); (С
1
MN)
и (СС
1
D).
Дополнительные задачи:
1. Д а н о : ABCA
1
B
1
C
1
– треугольная призма. М АВ.
A
B
C
D
M
P
A
B
C
D
M
P
Постройте:
а) точку пересечения прямой А
1
М
и плоскости (ВВ
1
С
1
);
б) линию пересечения плоскостей
(А
1
МС
1
) и (ВВ
1
С
1
);
в) линию пересечения плоскостей
(А
1
МС
1
) и (АВС);
г) сечение призмы плоскостью
(А
1
МС
1
).
2. Д а н о : ABCD – пирамида.
М (BDC), N AD, K АВ.
Постройте сечение пирамиды
плоскостью (MNK).
Т е м ы «Параллельность прямых, прямой и плоскости»,
«Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя
прямыми»
I уровень
I. Ответьте на вопросы:
1. Каково может быть взаимное расположение прямых в пространстве?
2. Всегда ли две непересекающиеся прямые в пространстве параллельны?
3. В каком случае прямые называются параллельными? Скрещивающимися?
4. Сформулируйте признак параллельности прямых.
5. Сформулируйте признак скрещивающихся прямых.
6. Каково может быть взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве?
7. В каком случае прямая и плоскость называются параллельными?
Пересекающимися?
8. Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости.
9. Дано а || b. Докажите, что все прямые, пересекающие данные, лежат в одной
плоскости.
10. Сколько можно провести в пространстве прямых, проходящих через данную
точку, параллельных данной прямой?
11.
C
1
A
1
A
C
M
B
1
B
A
B
C
D
M
K
N
а) СС
1
…(DCB);
б) АА
1
…(DCB);
в) D
1
C
1
…(DCB);
г) В
1
С
1
…(DD
1
C
1
);
д) В
1
С
1
…DC
1
;
е) А
1
D
1
…DC
1
;
ж) ВВ
1
…АС;
з) А
1
В…ВС;
и) А
1
В…DC
1
.
12. Установите по рисункам положение прямых а и b.
ABCD – прямоугольник, ABCD – прямоугольник,
BF (АВС) BF (АВС)
ABCD – ромб, ABCD – ромб,
BF (АВС) BF (АВС)
Пример решения задачи на доказательство:
Доказать, что если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой
плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна
данной прямой.
Д а н о : a || α, a β, α β = b.
Доказать, что а || b.
Д о к а з а т е л ь с т в о
C
1
A
1
A
D
1
D
C
B
1
B
B
A
D
C
a
b
F
A
F
B
D
C
a
b
⊥
⊥
A
B
C
D
F
a
b
A
B
C
D
F
a
b
⊥
⊥
a
b
β
α
2. по определению а || b.
II. Самостоятельная работа обучающего характера
(с оказанием индивидуальной дифференцируемой помощи)
I вариант
II вариант
1. Треугольник АВС и квадрат
АЕFC не лежат в одной
плоскости. Точки К и М –
середины отрезков АВ и ВС
соответственно.
а) Докажите, что КМEF.
б) Найдите КМ, если АЕ = 8 см.
2. Плоскость α проходит через
основание AD трапеции ABCD.
Точки Е и F – середины
отрезков АВ и СD
соответственно. Докажите, что
EF.
3.
Д а н о : ОА α.
Найдите АОС, АОВ, AOD.
Найдите (а, b).
1. Квадрат АВСD и трапеция KMNL
не лежат в одной плоскости. Точки А
и D – середины отрезков KM и NL
соответственно.
а) Докажите, что KL.
б) Найдите ВС, если KL = 10см, MN
= 6 см.
2. Плоскость α проходит через
сторону АС треугольника АВС.
Точки D и Е – середины отрезков АВ
и ВС соответственно. Докажите, DE
.
3.
Д а н о : BF (АВС), ABCD – квадрат.
Найдите (АBF), (СBF), (BF,
DC).
β
β
a
b
ab
B
b
a
A
C
D
O
α
⊥
A
D
C
B
F
⊥
II уровень
I. Ответьте на вопросы:
1. Прямая пересекает две стороны треугольника. Лежит ли она в плоскости этого
треугольника?
2. Прямая пересекает вершину треугольника. Лежит ли она в плоскости этого
треугольника?
3. Три вершины параллелограмма лежат в плоскости. Принадлежит ли четвертая
вершина параллелограмма этой плоскости?
4. Хорда окружности принадлежит плоскости. Верно ли утверждение, что и вся
окружность лежит в этой плоскости?
5. Две пересекающиеся хорды окружности принадлежат плоскости. Верно ли
утверждение, что любая точка окружности принадлежит этой плоскости?
6. Сколько плоскостей можно провести через: три различные точки; две различные
точки; через прямую и не лежащую на ней точку; через две параллельные прямые?
7. Верно ли утверждение: любые три точки принадлежат плоскости; через любые
три точки проходит единственная плоскость?
8. Известно, что прямая параллельна плоскости. Параллельна ли она любой прямой,
лежащей в этой плоскости? Может ли данная прямая пересечь какую-либо прямую,
лежащую в плоскости?
9. Средняя линия трапеции лежит в плоскости α. Пересекают ли основания
трапеции эту плоскость?
10. Прямая а параллельна линии пересечения плоскостей α и β. Каково взаимное
расположение а и α; а и β?
11. Прямая b непараллельна линии пересечения плоскостей α и β. Каково взаимное
расположение b и α; b и β?
12. Сколько можно провести через данную точку: прямых, параллельных данной
плоскости; плоскостей, параллельных данной прямой?
13. Стороны АВ и ВС параллелограмма ABCD пересекают некоторую плоскость.
Докажите, что прямые AD и DC пересекают эту плоскость.
14. Плоскость α параллельна одной из двух параллельных прямых. Каково взаимное
расположение второй прямой и плоскости α?
15. Сторона АВ параллелограмма ABCD лежит в плоскости α. Докажите, что
сторона CD параллельна этой плоскости.
16. Прямая пересекает плоскость. Можно ли в плоскости провести прямую,
параллельную данной прямой?
17. Две прямые параллельны одной плоскости. Можно ли утверждать, что эти
прямые параллельны?
18. Каким может быть взаимное расположение двух прямых, из которых одна
параллельна некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость?
19. Прямые а и b скрещиваются с прямой с. Могут ли прямые а и b быть
параллельными? Пересекаться?
20. Может ли каждая из двух скрещивающихся прямых быть параллельна третьей
прямой?
21. Прямая, не лежащая в плоскости параллелограмма, параллельна одной из его
диагоналей. Каково взаимное расположение данной прямой и второй диагонали?
22. Как могут быть расположены прямая и плоскость, если данная прямая и
некоторая прямая, лежащая в этой плоскости, скрещиваются?
II. Самостоятельная работа обучающего характера.
I вариант
II вариант
1. Точки А, В, С и D не лежат в
одной плоскости. Точки E, F,
M, K – середины отрезков АВ,
ВС, СD, AD соответственно.
а) Докажите, что EFMK –
параллелограмм.
б) Найдите периметр EFMK, если
АС=6 см, BD=8 см.
2. Точка А лежит в плоскости α,
параллельной прямой а. Через точку
А проведена прямая b, параллельная
прямой а. Докажите, что прямая b
лежит в плоскости α.
3. Треугольники АВС и ADC лежат в
разных плоскостях и имеют общую
сторону АС. Точка Е лежит на
стороне АВ, F – на стороне ВС,
причем EF параллельна плоскости
ADC. Р – середина AD, а K – середина
DC.
1) Докажите, что EF || PK.
2) Каково взаимное положение
прямых РK и АВ? Чему равен угол
между этими прямыми, если АВС
= 40° и ВСА = 80°?
1. Точка А не лежит в плоскости
треугольника ВСD. Точки Р, R, S и T
– середины отрезков АВ, АD, CD и
ВС соответственно.
а) Докажите, что PRST –
параллелограмм.
б) Найдите АС, если периметр PRST
равен 14 см, а BD=6 см.
2. Прямые a и b параллельны. Через
точку В, лежащую на прямой b,
проведена плоскость α,
параллельная прямой а.
Докажите, что плоскость α
проходит через прямую b.
3. Основание AD трапеции ABCD
лежит в плоскости α. Через точки
В и С проведены параллельные
прямые, пересекающие плоскость
α в точках Е и F соответственно.
1) Докажите, что BCFE –
параллелограмм.
2) Каково взаимное положение
прямых EF и АВ? Чему равен угол
между ними, если АВС = 150°?
Поясните.
Тема «Параллельность плоскостей»
I уровень
I. Ответьте на вопросы:
1. Как могут располагаться плоскости в пространстве?
2. Сформулируйте определение параллельности плоскостей.
3. Сформулируйте признак параллельности плоскостей.
4. Сформулируйте условие пересекающихся плоскостей.
5. Сформулируйте свойства параллельных плоскостей.
6. Закончите фразу: « Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то
прямые пересечения…»
7. Закончите фразу: «Если две пересекающиеся прямые одной плоскости,
соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти
плоскости…»
8. Закончите фразу: «Отрезки параллельных прямых, заключенные между
параллельными плоскостями…»
II. Самостоятельная работа обучающего характера
I вариант
II вариант
1. Через вершины А и С
параллелограмма АВСD
проведены параллельные
прямые А
1
А и С
1
С, не лежащие
в плоскости параллелограмма.
Докажите параллельность
плоскостей А
1
АВ и С
1
СD.
2. Параллельные прямые a и b
пересекают одну из плоскостей
в точках А
1
и В
1
, а другую в
точках А
2
и В
2
соответственно.
Докажите, А
1
В
1
А
2
В
2
. Найдите
А
2
А
1
В
1
, если А
1
А
2
В
2
=140
0
.
1. Через вершины А и С
параллелограмма АВСD
проведены параллельные прямые
А
1
А и С
1
С, не лежащие в
плоскости параллелограмма.
Докажите параллельность
плоскостей А
1
АD и С
1
СВ.
2. Параллельные прямые a и b
пересекают одну из плоскостей в
точках А
1
и В
1
, а другую в точках
А
2
и В
2
соответственно.
Докажите, А
1
В
1
= А
2
В
2
. Найдите
В
1
В
2
А
2
, если В
1
А
1
А=50
0
.
II уровень
I. Ответьте на вопросы:
1. Плоскости α и β параллельны, прямая m лежит в плоскости α. Верно ли, что
прямая m параллельна плоскости β.
2. Верно ли, что если прямая а параллельна одной из двух параллельных
плоскостей, с другой плоскостью прямая а имеет только одну общую точку?
3. Верно ли, что плоскости параллельны, если прямая, лежащая в одной
плоскости, параллельна другой плоскости?
4. Верно ли, что линии пересечения двух плоскостей параллельна одной из этих
плоскостей?
5. Верно ли, что если две стороны треугольника параллельны плоскости α, то и
третья сторона параллельна плоскости α.
II. Самостоятельная работа обучающего характера
I вариант
II вариант
1. Параллелограммы АВСD и
А
1
В
1
СD не лежат в одной
плоскости. Докажите
параллельность плоскостей
ВСВ
1
и АDА
1
.
2. Концы двух пересекающихся
отрезков АС и ВD лежат на
двух параллельных плоскостях,
причем расстояние между
точками одной плоскости
равны. Докажите, что АВ СD.
Найдите углы
четырехугольника АВСD, если
один из них равен 65
0
.
1. Параллелограммы АВСD и
АВС
1
D
1
не лежат в одной
плоскости. Докажите
параллельность плоскостей
ВСС
1
и АDD
1
.
2. Концы двух пересекающихся
отрезков АС и ВD лежат на
двух параллельных плоскостях,
причем расстояние между
точками одной плоскости
равны. Докажите, что АD СВ.
Найдите углы
четырехугольника АВСD, если
один из них равен 130
0
.
Тема «Тетраэдр, параллелепипед»
I уровень
I. Ответьте на вопросы:
1. Сформулировать определение тетраэдра; параллелепипеда.
2. Выполнить рисунок тетраэдра; параллелепипеда. По рисунку указать основные
элементы (вершины, боковые ребра, ребра основания, боковые грани, основания,
высота).
3. Сформулируйте 2 свойства параллелепипеда.
II. Решение задач:
1. Точки М и N середины ребер АВ и АС тетраэдра АВСD. Докажите, что прямая
МN параллельна плоскости ВСD.
2. В параллелепипеде ABCDEFGH диагонали BH и CE пересекаются в точке О,
ВО=3 см, СО=5 см. Найдите BH и CE.
3. В прямоугольном параллелепипеде измерения равны 6, 8, 10. Найти диагональ
параллелепипеда и угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью его
основания.
II уровень
I. Ответьте на вопросы:
1. Существует ли тетраэдр, у которого пять углов граней прямые?
2. Существует ли параллелепипед, у которого: а) только одна грань –
прямоугольник; б) только две смежные грани – ромбы; в) все углы граней
острые; г) все углы граней прямые; д) число всех острых углов граней не равно
числу всех тупых углов граней?
3. Какие многоугольники могут получатся в сечении: а) тетраэдра; б)
параллелепипеда?
II. Решение задач:
1. В тетраэдре АВСD точки M, N и P являются серединами ребер АВ, ВС и СD, АС
= 10см, ВD = 12 см. Докажите, что плоскость MNP проходит через середину К
ребра АD, и найдите периметр четырехугольника, полученного при пересечении
тетраэдра плоскостью MNP.
2. Сумма всех ребер параллелепипеда АВСDA
1
B
1
C
1
D
1
равна 120 см. Найдите
каждое ребро параллелепипеда, если


,


.
Тема «Перпендикулярность прямой и плоскости»
I уровень
I. Ответьте на вопросы:
1. Сформулируйте определение перпендикулярных прямых в пространстве.
2. Закончите предложение: «Если одна из двух параллельных прямых
перпендикулярна третьей прямой, то…»
3. Какая прямая называется перпендикулярной к плоскости?
4. Сформулировать теоремы, которые устанавливают связь между
параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.
5. Сформулировать признак перпендикулярности прямой и плоскости
6. Верно ли утверждение: «Прямая называется перпендикулярной плоскости, если
она перпендикулярна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости». Ответ
обоснуйте.
7. Верно ли утверждение: «Прямая перпендикулярна плоскости, если она
перпендикулярна двум прямым, лежащим в этой плоскости»?
8. Как расположены по отношению друг к другу ребра, выходящие из одной
вершины куба?
9. Как расположены плоскости верхней и нижней граней параллелепипеда по
отношению к боковым ребрам?
10. Что можно сказать о двух (трех, четырех) прямых, перпендикулярных к одной
плоскости?
II. Заполните пропуски о взаимном расположении прямых и плоскостей:
III. Самостоятельная работа обучающего характера
I вариант
II вариант
1. Отрезок АВ не пересекает
плоскость . Через точки А и В
проведены прямые,
перпендикулярные к плоскости
и пересекающие ее в точках А
1
и
В
1
соответственно. Найдите АВ,
если А
1
В
1
= 12 см, АА
1
=6 см, ВВ
1
=11 см.
2. Через вершины А и В
прямоугольника АВСD поведены
параллельные прямые А
1
А и В
1
В,
не лежащие в плоскости
прямоугольника. Известно, что
А
1
ААВ и А
1
АAD. Найдите
В
1
В, если В
1
D=25 см, АВ=12 см,
AD=16 см.
1. Отрезок АВ не пересекает
плоскость . Через точки А и В
проведены прямые,
перпендикулярные к плоскости
и пересекающие ее в точках А
1
и
В
1
соответственно. Найдите А
1
В
1,
,
если АВ = 13 см, АА
1
=3 см, ВВ
1
=8 см.
2. Через вершины А и В ромба
АВСD поведены параллельные
прямые А
1
А и В
1
В, не лежащие в
плоскости ромба. Известно, что
В
1
ВВС, В
1
ВАВ. Найдите А
1
А,
если А
1
C=13 см
,
BD=16 см,
АВ=10 см.
II уровень
I. Математический диктант:
I вариант
II вариант
1. Закончите предложение, чтобы получилось верное утверждение .
Сделайте рисунок.
а) Две прямые называются
перпендикулярными, если…
б) Если плоскость перпендикулярна
одной из двух параллельных прямых,
то она…
в) Если две плоскости
перпендикулярны прямой, то они…
а) Прямая называется
перпендикулярной к плоскости,
если….
б) Две прямые, перпендикулярные
одной и той же плоскости…
в) Если одна из двух параллельных
прямых перпендикулярна плоскости,
то и другая прямая….
2. Ответьте на вопрос
Сколько перпендикуляров можно
провести через данную точку к
данной прямой на плоскости?
Сколько перпендикуляров можно
провести через данную точку к
данной прямой в плоскости?
3. Выпишите
а) Ребро перпендикулярное плоскости
(DСС
1
);
б) Плоскости, перпендикулярные
ребру ВВ
1
.
а) Ребро перпендикулярное
плоскости (АВВ
1
);
б) Плоскости, перпендикулярные
ребру А
1
D
1
.
4. Используя символы запишите, как расположены прямая и
плоскость (по предыдущему рисунку). Докажите.
А) СС
1
и DСВ;
б) D
1
C
1
и DCB.
А) АА
1
и DСВ;
б) В
1
C
1
и DCB.
5. АВα, СDα, Вα, Dα,
АВ=СD. Каково взаимное
расположение прямой Ас и
плоскости α? Ответ обоснуйте.
5.АВα, СDАВ (Вα, Dα), Е
, =40
0
. Тогда чему равен
? Ответ обоснуйте.
II. Самостоятельная работа обучающего характера
1. Через катеты BD и BC прямоугольных треугольников ABD и ABC проведена
плоскость α, не содержащая их общий катет. Будет ли АВ α?
2. Отрезок MH пересекает некоторую плоскость в точке K. Через концы отрезка
проведены прямые НР и МЕ, перпендикулярные плоскости и пересекающие ее в
точках Р и Е. Найдите РЕ, если НР = 4 см, НK = 5 см, МЕ = 12 см.
3. ABCD – квадрат. Отрезок MD перпендикулярен к плоскости АВС. Докажите, что
MB АС.
4. ABCD – прямоугольник. Отрезок АЕ перпендикулярен к плоскости АВС. ЕВ = 15,
ЕС = 24, ED = 20. Докажите, что треугольник EDC прямоугольный, и найдите АЕ.
5. Точка А принадлежит окружности, АK – перпендикуляр к ее плоскости, АK = 1
см, АВ – диаметр, ВС – хорда окружности, составляющая с АВ угол 45°. Радиус
окружности равен 2 см. Докажите, что треугольник KСВ прямоугольный, и найдите
KС.
⊥
⊥
Тема «Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью»
I уровень
I. Устная работа
1. По рисунку назовите: перпендикуляр, основание
перпендикуляра, наклонную к плоскости, основание
наклонной, проекцию наклонной на плоскость.
2. Сравните PK и PD.
3. Что называется расстоянием от точки P до
плоскости α.
4. Назовите угол между прямой PK и плоскостью α.
II. Тест
№
п/п
Вопрос
Варианты ответа
1
Как называется линия, соединяющая
основания перпендикуляра и наклонной?
а) отрезок; б) угол;
в) проекция; г) расстояние.
2
Прямая проведенная в плоскости и
перпендикулярная проекции наклонной на
эту плоскость, перпендикулярна и…
а) самой себе; б) самой наклонной;
в) самой проекции; г) самому
перпендикуляру.
3
Расстояние от точки до прямой равно
длине…
а) наклонной; б) медианы;
в) проекции; г)перпендикуляра
4
Из двух наклонных, исходящих из одной
точки, не лежащей на данной плоскости,
больше та, у которой…
а)перпендикуляр больше; б)
проекция меньше; в)
проекция больше; г)
перпендикуляр меньше.
5
Точка А не лежит в плоскости, а точка Е -
принадлежит этой плоскости. АЕ = 13,
проекция этого отрезка на плоскость равна
5. Каково расстояние от точки А до
данной плоскости?
а) 144; б) 8; в) 18; г) 12.
I. Решение задач
I. АМ (АВС), АВ = АС, CD = DB.
Докажите, что MD ВС.
I. ABCD – параллелограмм,
BM (АВС), МС DC.
Определите вид параллелограмма
ABCD.
I. ABCD – параллелограмм,
CM (АВС), МO BD.
Определите вид параллелограмма
ABCD.
I. Δ АВС, АВ = ВС = АС, BD
(АВС),АМ = МC, DM = 15, BD =
12.
Найдите S
ADB
.
II уровень
I. Устная работа.
1. Что такое перпендикуляр, опущенный из данной точки на плоскость?
2. Что такое наклонная, опущенная из данной точки на плоскость?
3. Что такое проекция наклонной?
4. Сформулируйте теорему о трех перпендикулярах.
5. Чему равен угол между: перпендикулярными прямой и плоскостью;
параллельными прямой и плоскостью; пересекающимися прямой и плоскостью?
6. Чему равно расстоянии: от точки до прямой; между параллельными прямыми;
между скрещивающимися прямыми; между параллельными прямой и
плоскостью; между параллельными плоскостями?
II. Решение задач.
I. ABCD – квадрат, ВЕ
(АВС),
ЕАВ = 45°, SABCD = 4.
Найдите SΔAЕС.
2. Расстояние от точки М до каждой
A
M
B
D
C
⊥
⊥
C
A
B
D
M
⊥
⊥
C
A
B
D
M
O
⊥
⊥
M
B
D
A
C
1
5
12
⊥
A
D
C
E
B
O
45°
⊥
из вершин правильного треугольника
АВС равно 4 см. Найдите расстояние
от точки М до плоскости АВС, если
АВ = 6 см.
3. Из точки М проведен перпендикуляр МВ к плоскости прямоугольника АВСD.
Докажите, что треугольники АМD и МСD прямоугольные.
4. В треугольнике АВС АВ=ВС=10 см, Ас=12 см. через точку В к плоскости
треугольника проведён перпендикуляр BD длиной 15 см. Укажите проекцию
треугольника на плоскость АВС. Найдите расстояние от точки D до прямой АС.
Тема «Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей»
I уровень
I. Найдите угол между B
1
D и (АВС); между B
1
D и (DD
1
C
1
).
ABCD – прямоугольник ABCD – параллелограмм
АА
1
(АВС) АА
1
(АВС)
II. Построить линейный угол двугранного угла.
1. Дано: АВС, АС =
ВС, АВ лежит в
плоскости , CD
. Построить
линейный угол
двугранного угла
САВD.
2. Дано:АВС, С =
90
о
, ВС лежит в
плоскости , АО
.Построить
АВСО.
3. Дано:АВС, С =
90
о
, АВ лежит в
плоскости , CD
.Построить
DАВС.
III. Решение задач:
C
1
A
1
A
D
1
D
C
B
1
B
C
1
A
1
A
D
1
D
C
B
1
B
⊥
⊥
1. Треугольник АВС – прямоугольный (
), 
, АС = , DCАВС,
DC =
. Чему равен угол между плоскостями ADB и ACB?
2 . ABCD – квадрат, S
ABCD
= 4, CM α,
CM = .
Найдите угол между прямой АС и
плоскостью α.
3 . ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
– куб.
Найдите угол между прямой DB
1
и
плоскостью (DD
1
C
1
).
4 . Δ АВС, АВ = ВС = АС, CD
(АВС),DC = АС.
Найдите синус угла между прямой BD
и плоскостью ADC.
II уровень
I. Устная работа.
Точка А лежит на ребре двугранного угла.
1. Верно ли, что  - линейный угол двугранного угла, если лучи АВ и АС
перпендикулярны его ребру?
2. Верно ли, что  - линейный угол двугранного угла, если лучи АВ и АС
лежат в гранях двугранного угла?
3. Верно ли, что - линейный угол двугранного угла, если лучи АВ и АС
перпендикулярны его ребру, а точки В и С лежат на гранях угла?
4. Линейный угол двугранного угла равен 80
0
. Найдется ли в одной из граней угла
прямая, перпендикулярная другой грани?
5.  линейный угол двугранного угла с ребром a. Перпендикулярна ли
прямая а плоскости АВС?
6. что все прямые, перпендикулярные данной плоскости и
пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости?
II. Найти угол между прямой и плоскостью
1. ВВ
1
(АВС). Найдите угол между ВС
1
и (АА
1
В
1
).
B
A
D
M
C
α
⊥
6
C
1
A
1
A
D
1
D
C
B
1
B
B
D
A C
⊥
⊥
Δ АВС – равносторонний Δ АВС – прямоугольный
( В = 90°)
Δ АВС – тупоугольный ( В > 90°)
2. АА
1
(АВС).
Найдите угол:
между В
1
F и (АВС);
между В
1
F и KK
1
F
1
;
между В
1
F и (АА
1
В
1
).
III. Решение задач:
1. Через сторону ромба ABCD проведена плоскость α. Сторона АВ составляет с
плоскостью угол 30
0
. Найдите угол между плоскостью ромба и плоскостью α,
если острый угол ромба 45
0
.
2. Двугранный угол равен 45
0
. Точка, выбранная на одной из граней, удалена от
второй грани на 5
см. Найдите расстояние от данной точки до ребра угла.
3. Равнобедренные треугольники АВС и АDС имеют общее основание АС, равное
12 см. Отрезок BD является перпендикуляром к плоскости ADC. Найдите
двугранный угол BACD, если АВ=АВ=2
см, а 
.
Тема «Решение задач по теме: «Прямые и плоскости в пространстве»
I уровень
1. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 6, 4 и 12 м. Найдите
диагональ параллелепипеда. (Ответ: 14 м.)
C
1
A
1
A
C
B
B
1
C
1
A
1
A
C
B
B
1
C
1
A
1
A
C
B
B
1
D
C
K
B
A
F
A
1
B
1
C
1
D
1
F
1
K
1
⊥
2. Измерения комнаты равны 6, 8 и 3 м. Найдите площадь всех ее стен, пола и
потолка. (Ответ: 180 м
2
.)
3. Длины сторон прямоугольника равны 8 и 6 см. Через точку О пересечения его
диагоналей проведена прямая ОК, перпендикулярная его плоскости. Найдите
расстояние от точки К до вершин прямоугольника, если ОК = 12 см. (Ответ: 13 см)
4. Длина катета прямоугольного равнобедренного треугольника равна 4 см.
Плоскость α, проходящая через катет, образует с плоскостью треугольника угол,
величина которого равна 30
0
. Найдите длину проекции гипотенузы на плоскость α.
(Ответ: 2
см)
II уровень
1. В треугольнике АВС АС = СВ = 10 см, А = 30°, ВK – перпендикуляр к
плоскости треугольника и равен 5 см. Найдите расстояние от точки K до АС.
2. Длина стороны ромба АВСD равна 5 см, длина диагонали ВD равна 6 см. Через
точку О пресечения диагоналей ромба проведена прямая ОК, перпендикулярная ее
плоскости. Найдите расстояние от точки К до вершины ромба, если ОК = 8 см.
3. Точка М равноудалена от всех вершин прямоугольного треугольника, катеты
которого 6 см и 8 см. Расстояние от точки М до плоскости треугольника равно 12 см.
Найдите расстояние от точки М до вершин треугольника.
4. Диагональ куба равна 6 см. Найдите: а) ребро куба; б) косинус угла между
диагональю куба и плоскостью одной из его граней.
5. Сторона квадрата АВСD равна а. Через сторону АD проведена плоскость α на
расстоянии
от точки В. Найдите расстояние от точки С до плоскости α. Покажите на
рисунку линейный угол двугранного угла ВАDM, Мα. Найдите синус угла между
плоскостью квадрата и плоскостью α.
6
ЛИТЕРАТУРА
1. Геометрия. 10-11 классы: Учебник для общеобразовательных учреждений/ Л. С.
Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2013.
2. Поурочные разработки по геометрии. 10 класс: Методическое пособие по
геометрии/ В. А. Яровенко – М. ВАКО, 2012.
3. Тематические тесты по геометрии. 10 – 11 классы: Учебное пособие/ В. К.
Шарапова – Ростов н/Д.: Феникс, 2014.
4. Математика. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений/ М. И.
Башмаков – М.: Издательский центр «Академия», 2014.
ИНТЕРНЕТ - РЕСУРСЫ
1. Учебно-информационные комплексы по математике для средних школ:
http://mschool.kubsu.ru/uik/index.htm
2. Сайт-справочник правил, формул и теорем по
математике:http://matemathik.narod.ru/
3. Мир Геометрии: http://geometr.info/
4. Математика, высшая математика, алгебра, геометрия, дискретная математика
http://matembook.chat.ru/
5. Литература по математике (алгебра, геометрия, математический анализ,
дискретная математика, дифференциальные уравнения).
http://www.homebook.narod.ru/index.html
6. Бесплатные обучающие программы по математике
http://www.history.ru/freemath.htm
Скачать материал

Геометрия - еще материалы к урокам: