Презентация "Свойства вписанного в окружность четырехугольника со взаимно перпендикулярными диагоналями"

Свойства вписанного в окружность четырехугольника со взаимно перпендикулярными диагоналями.

Выполнила работу :Лисина Олеся

Учащаяся 8г класс

МБОУ «СШ №1»

Подготовила учитель математики:

Шаранцова Лариса Александровна

2019 уч. год

А

D

B

P

a

b

d

c

C

Ι) Четырехугольник с перпендикулярными диагоналями.

Теорема:

Диагонали четырехугольника

перпендикулярны тогда и только

тогда,когда равны суммы

квадратов его противолежащих

сторон

А

D

B

P

a

b

d

c

C

Рис 1

Доказательство:

Пусть точка Р — точка пересечения диагоналей четырехугольника.

Введем обозначения длин сторон(рис 1а)

1)Применяя теорему Пифагора в каждом из четырех прямоугольных треугольников (рис 1а),получим,что АР2 + BP2=a2;СР2+ДР2=с2;ВР2+СР2=b2;АР2+ДР2=d2.

Следовательно,a2+c2=b2+d2.

ΙΙ)Свойства вписанного в окружность четырехугольника со взаимно перпендикулярными диагоналями.

Вписанный в окружность четырехугольник со взаимно перпендикулярными диагоналями обладает рядом замечательных свойств.

Приведем несколько задач.

1)Теорема:

Суммы градусных мер дуг,стягиваваемых противоположными сторонами четырехугольника,равны и составляют 1800.

Доказательство.

По условию АС ВД,значит, треугольник РДС

прямоугольный(рис 2) и

 РСД+ РДС=90º.

По свойству вписанных углов получим,что

дуги АmД + BnC =180º. Аналогично доказываем,

что дуги ApB+DkC=180º

.О

m

p

n

k

C

B

A

D

P

Рис 2

2)Сумма квадратов противо

положных сторон четырехугольника

равна квадрату диаметра описанной

около четырехугольника окружность.

Доказательство.

Проведем диаметр описанной

окружности через одну из вершин

четырехугольника,например диаметр

DM(рис 3), и соединим точку М

с вершинами А и С.

.О

m

p

n

k

C

B

A

D

P

Рис 2

Поскольку дуги

͜ DmA+ ͜ BnC=180º(см задачу 1)

и ͜ DmA + ͜ AlM=180º,то

дуги AlM=BnC,а отсюда АМ=ВС.

Из прямоугольного треугольника

МАD(MAD =90º) имеем

AD2+AM2=DM2,то есть

AD2+BC2=4R2.

.О

m

p

n

k

C

B

A

D

P

Рис 2

3)Площадь четырехугольника равна полусумме произведений противоположных сторон.

Доказательство(рис 3).

SАВСД=SАМСД=S∆АМД+S∆ДМС=1/2(AD∙AM+DC∙MC)=

1/2(AD∙BC+DC∙AB).

К тому же выводу придем,применив теорему Птолемея:

AC∙BD=AD∙BC+AB∙DC.

Поскольку АС ┴ ВD,то S =1/2AC∙BD,а тогда S=1/2(AD∙BC+AB∙DC).

Теорема Птолемея

Если четырехугольникABCD вписан в окружность, то произведение его

диагоналей равно сумме произведений его противоположных сторон:

AC∙ BD = AB ∙CD + AD ∙BC

А

D

B

P

a

b

d

c

C

Спасибо за внимание!