Ученики на Учителя.com


Термодинамика. Методическое пособие для решения задач по физике

1
Термодинамика. Методическое пособие для решения задач
по физике.
Гук Н. Д.
2
r
12
8
1
Основы
молекулярно-кинетической
теории.
1.1 Теоретическая справка.
Молекулярная физика основывается на молекулярно-кинетической теории строения вещества.
Основные положения МКТ
1.
Все вещества состоят из мельчайших частиц - молекул.
2.
Молекулы в веществе находятся в непрерывном хаотическом движении, которое называют
хаотическим движением.
Температура - физическая величина, являющаяся мерой средней кинетической энернии по-
ступательного хаотического движения молекул.
e
k
=
3
kT,
(1)
2
где
e
k
- средняя кинетическая энергия поступательног хаотического движения молекул,
k
- по-
стоянная Больцмана,
T
- температура (в Кельвинах).
Основное уравнение кинетической теории газов
2
PV
=
E
k
(2)
3
P
=
nkT
(3)
где
P
- давление газа,
V
- обьем газа,
E
k
- суммарная кинетическая энергия поступательного ха-
отического движения молекул,
n
- концентрация молекул газа(число молекул в единице обьема).
Среднюю квадатичную скорость поступательного движения молекулы идеального газа можно
вычислить по формуле
v
=
3kT
,
(4)
m
0
где
m
0
- масса одной молекулы газа.
Атомная единица массы(а.е.м) - масса равная
1
массы углерода
12
C
. Обратим внимание,что
в таблице Менделеева атомная масса указана именно в а.е.м.
Число Авогадро - число частиц, содержащееся в 12 г углерода
12
C
.
N
A
≈
6, 02
·
10
23
.
Моль - такое количество вещества, в котором содержится число Авогадро молекул.
Молярная масса - масса одного моля вещества. То есть масса числа Авогадро молекул этого
вещества.
N
ν
=
=
N
A
m
,
(5)
µ
где
N
- число молекул в веществе,
m
- масса вещества,
µ
- молярная масса вещества.
1.2
Примеры решения задач.
1.
Кристаллическая ячейка железа представляет собой куб, в вершинах которого находится по
одному атому, и еще один атом в центре куба. Сколько атомов приходится на одну ячейку и
каково минимальное расстояние между атомами? Молярная масса железа
µ
= 55,9 г/моль;
плотность железа
ρ
= 7,87 г/см
3
.
Решение.
В одной ячейке кристаллической решетки железа находятся 8 атомов в углах ячейки и
один в центре. Однако к кажому углу ячейки примыкают еще 7 ячеек. То есть угловой
атом относится к 8 ячейкам, а центральный только к одной. Значит, атомов на одну ячейку
приходится
8
·
1
+
1
=
2
.
3
N
A
Вычеслим размер ячейки. В одной ячейке два атома железа, значит, масса одной ячейки
2
·
m
0
, где
m
0
- масса одного атома железа.
m
0
=
µ
, по определению молярной массы.
Обьем одной ячейки
V
=
a
3
, где
a
- сторона ячейки. Получаем формулу:
ρ
=
m
0
=
2µ
Ответ:
a =
q
3
2
µ
N
A
ρ
= 2, 86
·
10
−
10
a
=
r
3
V
2µ
N
A
ρ
N
A
a
3
= 2, 86
·
10
−
10
2.
Перпендикулярно стене направлен пучок одинаковых точечных частиц массой
m
, двигаю-
щихся со скоростью
v
. Концентрация частиц в пучке равна
n
. Найдите давление пучка на
стену, если соударения частиц со стеной абсолютно упругие.
Решение.
Пусть пучок бмбардировал стену в течении времени
∆t
. За это время со стеной успели
столкнуться частицы, которые были от нее на расстоянии не больше, чем v∆t. Если площадь
сечения пучка
S
, то обьем, который занимают столкнувшиеся частицы
V
=
v∆tS
. Частиц в
этом обьеме
N
=
nV
=
nv∆tS
. Каждая частица несла импульс
p
=
mv
, и после соударения
изменила его на противоположный. Значит, каждая частица передала стене импульс
∆p
=
2mv
. Подставим эти результаты в определение давления.
P =
F
=
N ∆p
=
nv∆tS2mv
= 2nmv
2
Ответ:
P
=
2mnv
2
1.3
Задачи.
S
S∆t
S∆t
1.
Сколько молекул содержится в
V
= 1,0 мм
3
газа при температуре
t
= 27
◦
С и давлении
=
10
3
Па?
2.
Найдите отношение средних квадратичных скоростей молекул гелия и азота при одинако-
вых температурах.
3.
Какое число
N
молекул содержится в объеме
V
= 1,0 см
3
воды? Какова масса
m
одной
молекулы воды? Каков приблизительно ее диаметр
d
? Сколько молей в данном объеме?
4.
За время т = 10 сут испарилось m = 100 г воды. Сколько в среднем вылетало молекул воды
с поверхности за 1 с?
5.
Под каким давлением находится газ, если средняя квадратичная скорость его молекул равна
v
= 580 м/с, а плотность
ρ
= 9,0*10
−4
г/см3?
6.
Кристалл поваренной соли представляет собой кубическую решётку из атомов натрия и хло-
ра, расположенных в «шахматном порядке, так, что ближайшими соседями атома натрия
являются атомы хлора, а ближайшими соседями атома хлора — атомы натрия. Плотность
поваренной соли
2, 16
г/см
3
. Масса атома хлора составляет 35,5 а.е.м, масса атома натрия
—
23,0 а.е.м. В одном грамме
6
·
10
23
а.е.м. (
6
·
10
23
— число из шестёрки и 23 нулей).
(a)
Сколько атомов натрия помещается в кубик длиной ребра 20 нанометров?
(b)
Найдите расстояние между соседними атомами решётки.
4
8, 31 ).
(c)
Представим, что один грамм поваренной соли растворили в водоёме объёмом в два ку-
бических километра (при этом атомы натрия и хлора превратились в ионы). Сколько
ионов натрия, распределившихся равномерно по водоёму, будет содержаться в кубиче-
ском миллиметре жидкости?
(d)
Найти концентрация атомов натрия в кристалле соли.
7.
Струя воды налетает на стену и после неупругого столкновения растекается вдоль стены.
Найдите давление струи на стену. Плотность воды
ρ
, скорость течения воды в струе равна
v
. Плоскость стены перпендикулярна потоку. Силу тяжести не учитывать.
8.
Оценить скорость роста толщины слоя серебра при напылении в вакууме, если известно,
что атомы серебра с энергией
E =
10
−
19
Дж оказывают на подложку давление
p
=
0,1 Па.
Плотность серебра
ρ
=
10, 5
г/см
3
, молярная масса
µ
=
108 г/моль.
9.
Развивая молекулярно-кинетическую теорию, Й. Лошмидт в 1865 году предложил первый
способ оценки размера и массы молекулы. Он использовал известные в его время данные
о длине свободного пробега — расстоянии, которое пролетает молекула газа в промежутке
между. Вслед за Лошмидтом получите формулы для оценки по порядку величины размера
молекулы
r
0
и её массы
m
0
по известным данным
—
длине свободного пробега
λ
и плотно-
стям вещества
ρ
g
и
ρ
l
в газообразном и жидком состояниях. Получите ответ в общем виде
и для числовых значений
λ
≈
10
−
7
м,
ρ
l
≈
103
кг/м
3
,
ρ
g
≈
1
кг/м
3
.
2
Идеальный газ. Уравнение Клайперона-Менделеева
2.1 Теоретическая справка.
Уравнением состояния(термодинамическим уравнением состояния) системы называют функ-
циональную зависимость равновесного давления
p
в системе от обьема
V
и температуры
T
.
Для идеального газа уравнением состояния является уравнение Менделеева-Клайперона.
m
pV
=
RT,
(6)
µ
где
m
- масса газа,
µ
- молярная масса газа,
R
- универсальная газовая постоянная (
R
=
Дж
моль
·
К
2.2
Примеры решения задач.
1.
Два сосуда соединены трубкой с краном. В первом сосуде находится масса
m
1
=
2,0 кг газа
под давлением
p
1
=
4, 0
·
10
5
Па, а во втором —
m
2
=
3,0 кг того же газа под давлением
p
2
=
9, 0
·
10
5
Па. Какое давление установится в системе после открывания крана? Температура
газа постоянна.
Рис. 1.
Решение.
5
m p
+
m p
Запишем уавнения Менделеева-Клайперона для трех газов на рисунке (два начальных до
открытия крана и смесь газов в конце).
P
1
V
1
P
2
V
2
=
m
1
RT
µ
=
m
2
RT
µ
P (V
+
V )
=
m
1
+
m
2
RT
1
2
µ
Выразим
V
1
и
V
2
из первых двух уравнений и вставим в последнее.
P
m
1
RT
+
m
2
RT
=
m
1
+
m
2
RT
µP
1
Упрощая выражение получим.
Ответ:
p
=
P
1
P
2
(
m
1
+
m
2
)
1 2
2 1
µP
2
µ
p =
P
1
P
2
(m
1
+ m
2
)
m
1
p
2
+ m
2
p
1
2.
В цилиндре находится газ при температуре T
0
, отделенный от атмосферы невесомым порш-
нем. Поршень удерживается упругой пружиной (см. рисунок). До какой температуры
T
1
нужно нагреть газ, чтобы его объем увеличился в n = 1,5 раза? Если газ полностью отка-
чать из-под поршня, поршень будет находиться в равновесии у дна цилиндра. Атмосферное
давление равно
p
0
.
Рис. 2.
Решение.
Запишем два закона Клайперона-Менделеева:
P
1
S(L
0
+ L
1
) = νRT
0
P
2
S(L
0
+ L
1
+ L
2
) = νRT
1
,
где
L
0
- длина ненапряженной пружины.
L
0
+ L
1
+ L
2
= n
L
0
+ L
1
6
Закон Ньютона для поршня при выпушенном газе:
P
0
S = kL
0
,
где
k
- жесткость пружины,
P
0
- атмосферное давление (Не забывайте про атмосферное
давление. Это часто встречающаяся ошибка).
Закон Ньютона для поршня до нагрева и после:
P
0
S + kL
1
= P
1
S
P
0
S + k(L
1
+ L
2
) = P
2
S
Из законов Ньютона полычаем:
k(L
0
+ L
1
) = P
1
S
k(L
0
+ L
1
+ L
2
) = P
2
S
Поделим второе уравнение на первое:
P
2
=
L
0
+
L
1
+
L
2
=
n
P
1
L
0
+ L
1
Поделим два закона Клайперона-Менделеева:
T
1
=
P
2
(L
0
+
L
1
+
L
2
)
=
n
2
T
0
P
1
(L
0
+ L
1
)
Ответ:
T
1
=
n
2
T
0
2.3
Задачи.
1.
С какой глубины всплывал пузырек воздуха, если за время всплытия его объем увеличился
в 3 раза?
T
=
const.
2.
. В закрытой частично откачанной трубке находится столбик ртути длиной
l
= 3 см. Если
трубка горизонтальна, то объемы воздуха слева и справа от ртути равны. Если трубка вер-
тикальна, то верхний объем вдвое больше нижнего. До какого давления откачали трубку?
3.
Сосуд разделен подвижным теплонепроницаемым поршнем на две части, имеющие объемы:
левая — V/3 и правая — 2V/3 и содержащие газ с температурой T . До какой температуры
Т2 нужно нагреть газ в левой части сосуда, чтобы соотношение объемов сменилось на
обратное? Температура правой части сосуда поддерживается постоянной.
4.
В вертикальном цилиндре под поршнем площадью
S
находится
ν
молей газа. При повы-
шении температуры газа на
∆T
его объем увеличился на
∆V
. Найти массу поршня. Атмо-
сферное давление
p
A
, трения нет.
5.
Два одинаковых шара соединены тонкой горизонтальной трубкой в которой находится ка-
пелька ртути. При 0
◦
С капелька ртути находится посередине трубки. Объем воздуха в
каждом шаре и трубке до капельки равен 200 см
3
, площадь сечения трубки 20 мм
2
. На ка-
кое расстояние передвинется капелька, если один шар нагреть на 2
◦
С, а другой охладить
на 2
◦
С?
6.
Две открытые с обоих концов в атмосферу трубы с площадями сечений
S
1
и
S
2
(
S
1
<
S
2
)
состыкованы между собой. В них вставлены соединённые стержнем поршни, которые при
температуре
T
0
находятся на одинаковых расстояниях от стыка труб. Между поршнями на-
ходится идеальный газ. При какой температуре газа между поршнями правый поршень пе-
реместится влево на половину первоначального расстояния между ним и стыком труб?(Рис.
3)
7
Рис. 3.
7.
В открытой с обоих концов горизонтальной трубке с площадью поперечного сечения s = 10
см
2
на расстоянии
L
= 10 см от одного из ее концов находится поршень. С этого же конца
вставляют и начинают вдвигать в трубку другой поршень. При каком расстоянии
h
между
поршнями первый поршень сдвинется с места? Сила трения скольжения между поршнем
и стенками трубки равна
F
= 100 Н, атмосферное давление
p
0
=
1, 0
·
10
5
Па. Температуру
считать постоянной, толщиной поршней пренебречь.
8.
Идеальный газ в количестве
ν
моль участвует в процессе AB, изображённом на рисунке
в координатах
ρ(T )
, где
ρ
— плотность газа, а
T
— его температура. При каких условиях
(температуре) давление газа на 25% меньше максимального? Температура
T
0
известна. (Рис.
4)
Рис. 4.
9.
Из тонкой оболочки поверхностной плотности σ = 50 г/м
2
изготовили воздушный шар. При
каких значениях радиуса R он сможет подняться в воздух? Считайте, что шар наполняется
гелием. Окружающая температура
27
◦
C
. Давление нормальное.
10.
Воздух находится в открытом сверху вертикальном цилиндрическом сосуде сечения S = 20
см
2
под поршнем массы
m
= 20 кг. После того как сосуд стали двигать вверх с ускорением
= 5,0 м/с
2
, высота столба воздуха между поршнем и дном уменьшилась на 20 % . Считая
температуру постоянной, определите по этим данным атмосферное давление
p
0
. Трением
между поршнем и стенками сосуда пренебречь.
11.
Герметически закрытый бак высоты до самого верха заполнен водой. На его дне нахо-
дятся два одинаковых пузырька воздуха. Давление на дно бака при этом равно
p
0
. Каким
станет давление на дно, если один пузырек всплывет? Процесс считайте изотермическим.
Плотность воды принять равной
ρ
0
12.
Тонкостенный стакан массы = 50 г ставят вверх дном на поверхность воды и медленно
опускают его вглубь так, что он все время сохраняет вертикальное положение. На какой
минимальной глубине h должно оказаться дно стакана, чтобы он не всплыл? Высота стакана
= 10 см, площадь его дна
S
= 20 см
2
. Давлением водяного пара в стакане пренебречь.
8
Атмосферное давление
p
0
=
1, 0
·
10
5
Па. Процесс считайте изотермическим. Плотность
воды принять равной
ρ
0
.
13.
Вертикально расположенный цилиндр, закрытый с обоих сторон, разделен тяжелым тепло-
непроницаемым поршнем на две части, в которых находится одинаковое количество возду-
ха. При
T
1
= 400 К давление в нижней части
p
2
в два раза больше давления
p
1
в верхней.
До какой температуры
2
надо нагреть воздух в нижней части цилиндра, чтобы объемы его
верхней и нижней частей стали одинаковыми?
14.
В комнате в вертикально расположенном цилиндре под весомым поршнем, который может
перемещаться без трения, находится ν молей идеального газа при температуре T . Поршень
подвешен на пружине жёсткостью
k
. Газ охлаждают так, что в конечном состоянии его
давление уменьшается в
α
= 1,5 раза, а температура уменьшается в
β
= 2 раза. Найдите
начальное давление газа. Площадь поршня равна
S
.
15.
Подвижный поршень весом mg, подвешенный на пружине, делит объём вертикально распо-
ложенного пустого цилиндра на две части (см. рисунок 5). В положении равновесия высота
нижней части цилиндра
H
0
, удлинение пружины равно
x
0
. В нижнюю часть цилиндра
впускают
ν
молей воздуха. После установления равновесия пружина оказывается сжатой.
Величина деформации сжатой пружины
x
1
=
αx
0
(α
=
2)
. После этого воздух медленно
охлаждают до некоторой температуры, так что в конечном состоянии деформациясжатой
пружины
x
2
=
αx
0
/2
.
(a)
Найти конечную температуру воздуха.
(b)
Найти работу, совершённую воздухом в процессе охлаждения.
Рис. 5.
3
Первое начало термодинамики.
3.1 Теоретическая справка.
Внутренняя энергия идеальног газа определена выражением
U
=
N
·
i
kT
=
2
i
·
m
2
µ
RT =
C
V
T,
(7)
µ
где
N
- число молекул газа,
C
V
- теплоемкость одного моля идеального газа при постоянном
объеме.
9
Работа расширения газа при постоянном давлении равна
A
=
P ∆V,
(8)
где
∆V
- приращение объема системы. Если давление не постоянно, то работа газа численно
равна площади под графиком давления от объема при этом процессе.
Рис. 6.
Первое начало (первый закон) термодинамики: количество теплоты
Q
, сообщаемое системе,
расходуется на изменение внутренней энергии системы
∆U
и на совершение системой работы
A
:
Q
=
∆U
+
A
(9)
Теплоемкостью
C
называют физическую величину, численно равную отношению количества
теплоты
Q
, сообщаемого телу, к изменению
∆T
температуры тела в рассматриваемом процессе:
Q
C
=
(10)
∆T
Молярной теплоемкостью называют теплоемкость одного моля вещества:
Q
C
µ
=
ν∆T
(11)
Молярная теплоемкость идеального газа при постоянном объеме зависит только от количества
атомов в молекулу газа и равна
C
V
=
i
R
(12)
2
Адиабатным (адиабатическим) называют процесс, происходящий в отсутствии теплообмена с
внешней средой:
Q
=
0.
(13)
Для равновесного адиабатного процесса в идеальном газе справедливо уравнение Пуассона:
pV
γ
=
const,
(14)
где
γ =
C
p
=
i
+2
- коэффициент Пуассона (показатель адиабаты).
C
V
i
3.2
Приммеры решения задач.
1.
На диаграмме представлены изменения давления и объема идеального одноатомного газа.
Какое количество теплоты было получено или отдано газом при переходе из состояния 1 в
состояние 3?
Решение.
10
Рис. 7.
Запишем превое начало термодинамики для процесса 1-2 и распишем ∆U и A по формулам
(7) и (8):
3 3
Q
1
−
2
= ∆U
1
−
2
+ A
1
−
2
=
2
νR∆T
1
−
2
−
P
1
(V
1
−
V
2
) =
2
(νRT
2
−
νRT
1
)
−
P
1
(V
1
−
V
2
) =
3 3 5
=
2
(P
2
V
2
−
P
1
V
1
)
−
P
1
(V
1
−
V
2
)
=
2
P
2
V
2
−
2
P
1
V
1
+
P
1
V
2
В цепочке равенств учтено, что работа отрицательная (так как объем уменьшается) и урав-
нения Клайперона-Менделеева для точек 1 и 2. Запишем такое же утверждение для про-
цесса 2-3:
3 3 3
Q
2
−
3
= ∆U
2
−
3
+ A
2
−
3
=
2
νR∆T
2
−
3
=
2
(νRT
3
−
νRT
2
) =
2
(P
3
V
3
−
P
2
V
2
)
Сложим получившиеся теплоты:
3 5
Q = Q
1
−
2
+ Q
2
−
3
=
2
P
3
V
3
−
2
P
1
V
1
+ P
1
V
2
Ответ:
Q
=
3
P
3
V
3
−
5
P
1
V
1
+
P
1
V
2
=
180
кДж.
2
2
2.
Над одноатомным идеальным газом проводится циклический процесс, показанный на ри-
сунке 8. На участке 1–2 газ совершает работу
A
. Участок 3–1 — адиабата. Количество
теплоты, отданное газом за цикл, равно
Q
. Количество вещества газа в ходе процесса не
меняется. Найдите работу
A
Q
внешних сил на адиабате.
Рис. 8.
Решение.
11
В начале поймем, где газ получает тепло, а где отдает.
В процессе 1-2 давление и объем возрастают, значит растет температура и
A
1
−
2
>
0
. Газ
получает тепло.
В процессе 2-3 объем не меняется, следовательно газ не совершает работу. Давление и
температура понижиются, значит
Q
2
−
3
<
0
. Газ отдает тепло.
Процесс 3-1 адиабатический. Газ не получает и не отдает тепло.
Давление
P
2
=
2P
0
(из прямой пропорциональности на графике).
Работа на участке 1-2 - площадь трапеции под графиком 1-2
A
=
P
2
+
P
0
(2V
−
V )
=
3
P V
⇒
P V
=
2
A
2
0 0
2
0
0
0
0
3
Запишет два первых начала термодинамки для каждого из процессов (2-3) и (3-1):
Q
2−3
=
∆U
2−3
+
A
2−3
=
∆U
2−3
=
−
Q
Q
3−1
=
∆U
3−1
+
A
3−1
=
0
⇒
∆U
3−1
=
−
A
3−1
Внутрення энергия в процессе (1-2)
3 3 3 9
∆U
1
−
2
=
2
νR∆T
1
−
2
=
2
(νRT
2
−
νRT
1
)
=
2
(2P
0
2V
0
−
P
0
V
0
)
=
2
P
0
V
0
=
3A
За весь цикл внутренняя энергия не меняется.
∆U
1
−
2
+
∆U
2
−
3
+
∆U
3
−
1
=
0
3A
+
(
−
Q)
+
(
−
A
3
−
1
)
=
0
Работа внешних сил на адиабате противоположна по знаку и равна по модулю работе газа
на адиабате.
A
Q
=
−
A
3
−
1
= Q
−
3A
Ответ:
A
Q
= Q
−
3A
3.3
Задачи.
1.
Какое количество теплоты
Q
необходимо для нагревания на
∆T
= 16 К кислорода массы m
= 7,0 г, находящегося в цилиндре под поршнем, на котором лежит груз, если теплоемкость
одного моля кислорода при постоянном объеме
V
= 21 Дж/(моль*К)?
2.
Астронавты, исследуя воздух открытой ими планеты, нагрели порцию воздуха массой m =
200 г на
∆T
= 60
◦
C
один раз при постоянном давлении, а другой раз
—
при постоянном
объёме. Оказалось, что при постоянном давлении требуется подвести на
∆Q
= 1 кДж боль-
ше тепла, чем при постоянном объёме. Найдите среднюю молярную массу воздуха, считая
его идеальным газом.
3.
При сжатии идеального двухатомного газа по политропному закону, когда
pV
n
=
const
,
где n — известный показатель политропы, объем газа уменьшился в r раз. Определите
изменение
∆U
внутренней энергии газа в этом процессе, если до сжатия газ занимал объем
V
1
при давлении
p
1
.
4.
В двух теплоизолированных сосудах с объёмами
V
1
и
V
2
находятся одинаковые газы при
давлениях
p
1
и
p
2
и температурах
T
1
и
T
2
. Найдите температуру, которая установится в
сосудах после смешивания газов
12
5.
Идеальный одноатомный газ, взятый в количестве
ν
= 1 моль, переводится из начального
состояния с температурой T
0
= 300 К в состояние, в котором его температура увеличивается
в
n
1
= 3 раза, а объем уменьшается в
n
2
= 2 раза. Определите подведенное к газу коли-
чество теплоты
Q
, если из всех путей перевода газа из начального состояния в конечное,
при котором давление газа не падает ниже начального, был выбран путь, когда над газом
совершается минимальная работа.
6.
При адиабатном сжатии
ν
моль одноатомного газа была совершена работа . Найдите отно-
шение
n
средних квадратических скоростей молекул этого газа в конце и начале процесса,
если начальная температура газа равна
T
0
.
7.
В расположенном горизонтально цилиндре слева от закрепленного поршня находится
ν
=
1 моль идеального газа. В правой части цилиндра вакуум. Пружина вначале не дефор-
мирована (см. рисунок 9). Цилиндр теплоизолирован. Когда поршень освободили, объем,
занимаемый газом, увеличился вдвое. Во сколько раз изменятся температура и давление
газа? Теплоемкостями цилиндра, поршня и пружины пренебречь. Молекула газа обладает
i
степенями свободы.
Рис. 9.
8.
В длинном цилиндрическом сосуде, стоящем вертикально, на высоте
h
от дна висит на ни-
ти поршень массы
m
, отделяющий содержащийся в цилиндре газ от атмосферы. Внутри
сосуда находится нагревательный элемент. Под поршнем находится
ν
= 1 моль газа, давле-
ние которого в начальный момент времени равно внешнему атмосферному давлению
p
0
, а
температура равна
T
0
. Какое количество теплоты
Q
нужно подвести к газу, чтобы поршень
поднялся до высоты
2h
? Внутренняя энергия одного моля газа определена соотношением
U
µ
=
(C - дано). Трением пренебречь. Стенки сосуда и поршень не теплопроводны.
9.
Теплоизолированный сосуд разделен на две части нетеплопроводным поршнем, который
может перемещаться в сосуде без трения. В левой части сосуда находится
ν
= 1 моль иде-
ального одноатомного газа, в правой — вакуум. Поршень соединен с правой стенкой сосуда
пружиной, длина которой в свободном состоянии равна длине сосуда. Определите теплоем-
кость системы
C
. Теплоемкостью сосуда, пружины и поршня пренебречь.
10.
Моль гелия, расширяясь в процессе 1–2 (см. рисунок 10), где его давление
p
меняется пря-
мо пропорционально объёму
V
, совершает работу
A
. Из состояния 2 гелий расширяется в
процессе 2–3, в котором его теплоёмкость
C
остаётся постоянной и равной
C =
R/2
(R — га-
зовая постоянная). Какую работу
A
23
совершит гелий в процессе 2–3, если его температура
в состоянии 3 равна температуре в состоянии 1?
11.
Сосуд разделен нетеплопроводящей перегородкой на два отсека. В первом отсеке объемом
V
находится идеальный газ при температуре
T
под давлением
p
. Во втором отсеке объемом
2V
находится такой же идеальный газ при температуре
4T
под давлением
3p
. Какие тем-
пература и давление установятся в сосуде, если убрать перегородку? Потерями энергии в
окружающее пространство пренебречь.
12.
Один моль идеального многоатомного газа переводят из состояния B, в котором темпе-
ратура равна
t
B
= 217
◦
C, в состояние D так, что давление линейно зависит от объёма,
температура монотонно убывает, а к газу на протяжении всего процесса подводят тепло
13
Рис. 10.
(рис.11). Найдите максимально возможную работу
A
m
, которую может совершить этот газ
в таком процессе.
Рис. 11.
13.
Идеальный одноатомный газ, взятый в количестве
ν
моль, нагревают при постоянном дав-
лении. Какое количество теплоты
Q
следует сообщить газу, чтобы средняя квадратичная
скорость его молекул увеличилась в n раз? Начальная температура газа равна
T
0
.
4
Тепловые
машины.
КПД
тепловых
машин.
4.1 Теоретическая справка.
Тепловыми машинами в термодинамике называются периодически действующие тепловые
двигатели. Тепловые двигатели осуществляют превращение теплоты в работу. В тепловых дви-
гателях источник с более высоким температурным уровнем называется нагревателем, а источник
с более низким температурным уровнем — холодильником.
Работа, произведённая тепловым двигателем, A согласно первому началу термодинамики рав-
на разности количеств тепла подведённого (полученного от нагревателя)
Q
H
и отведённого (от-
данного холодильнику)
Q
X
:
A
=
Q
H
−
Q
X
(15)
На графике давления
P
от объем
V
работа газа за цикл представляет собой площадь фигуры,
ограниченной циклом.
КПД тепловой машины есть отношение работы за цикл к количеству теплоты, полученной в
цикле от нагревателя:
η
=
A
=
Q
H
−
Q
X
Q
H
Q
H
=
1
−
Q
X
Q
H
(16)
14
19
2
КПД прямого цикла Карно (обратимой тепловой машины, идеальной тепловой машины)
η
=
T
H
−
T
X
T
H
=
1
−
T
X
T
H
(17)
4.2
Примеры решения задач.
1.
Вычислите КПД циклов, изображённых на рисунке 12. Рабочим телом служит идеальный
одноатомный газ.
Рис. 12.
Решение.
При решении всех задач с КПД в начале надо понять, где газ получает тепло, а где отдает.
Если процесс идет направо или вверх на графике давления от объема, то газ получает
тепло. Если процесс идет налево вниз, то газ получает тепло.
В рассматриваемом цикле газ получает тепло только в процессе (1-2).
Работа газа за цикл это плоцадь цикла(площадь треугольника).
1
A
=
2p
0
V
0
=
p
0
V
0
2
Найдем полученную теплоту газом за цикл из первого начала термодинамики.
Q
H
= Q
1−2
=
∆U
3
1−2
+
A
1−2
3
=
νRT
2
1−2
+
3p
0
+
p
0
(2V
2
0
19
— V
0
) =
По определению КПД
=
2
(3p
0
2V
0
−
p
0
V
0
)
+
2p
0
V
0
=
2
p
0
V
0
A
p
0
V
0
2
η
=
=
=
Q
H
19
p
0
V
0
19
Ответ:
η
=
2
2.
Газообразный гелий совершает цикл, состоящий из изобарического расширения 1–2, адиа-
батического процесса 2–3 и изотермического сжатия 3–1 (см. рисунок 13). КПД цикла равен
η
.
(a)
Найти отношение работы газа за цикл к работе газа в процессе 2–3.
(b)
Найти отношение работы газа в процессе 2–3 к работе над газом при его сжатии.
15
Рис. 13.
Решение.
Газ получает тепло в процессе 1-2. Отдает в процессе 3-1. КПД выразим через
теплоты в процессах.
A
η
=
Q
1−2
=
1
+
Q
3−1
Q
1−2
Плюс в формуле появляется из-за того, что
Q
3
−
1
< 0
.
Выразим
Q
1
−
2
через
Q
3
−
1
.
1
Q
1−2
=
η
−
1
Q
3−1
Запишем для каждого из трех процессов в цикле первое начало термодинамики.
3 5 3
Q
1
−
2
=
∆U
1
−
2
+
A
1
−
2
=
2
p
1
(V
2
−
V
1
)
+
p
1
(V
2
−
V
1
)
=
3
∆U
1
−
2
⇒
∆U
1
−
2
=
5
Q
1
−
2
Q
2−3
=
∆U
2−3
+
A
2−3
=
0
⇒
A
2−3
=
−
∆U
2−3
Q
3−1
= ∆U
3−1
+ A
3−1
= A
3−1
Используя данные уравнения и условие изотермы (
T
1
=
T
3
), получаем:
A
A
A
=
−
∆U
A
=
−
∆U
A
A
5
=
∆U
=
3
Q
=
3
η
2−3
2−3
A
2−3
2−1
3
Q
1−2
=
5
=
1−2
3 1
5
1−2
Ответ:
5
η
,
3
1
.
−
A
3−1
−
Q
3−1
5 1 − η
3
5 1−
η
4.3
Задачи.
1.
Вычислите КПД цикла, изображённых на рисунке 14. Рабочим телом служит идеальный
одноатомный газ.
2.
Идеальный газ сначала изотермически расширяют, затем охлаждают при постоянном объ-
ёме, пока его температура (в кельвинах) не уменьшится в два раза, после чего газ изотер-
мически сжимают до первоначального объёма и, наконец, завершая циклический процесс,
изохорно возвращают в исходное состояние, сообщая такое же количество теплоты, что и
при изотермическом расширении. Определите КПД этого цикла
3.
Найти КПД тепловой машины, работающей с
ν
молями одноатомного идеального газа по
циклу, состоящему из адиабаты 1 – 2, изотермы 2 – 3 и изохоры 3 – 1 (рис.15). Работа,
совершенная над газом на участке 2 – 3 равна A, разность максимальной и минимальной
температур в цикле равна
∆T
.
16
3
Рис. 14.
Рис. 15.
4.
Найдите КПД цикла, проводимого с гелием, если он состоит из четверти окружности и
треугольника на P(V) диаграмме (см. рисунок 16).
Рис. 16.
5.
Идеальный газ совершает цикл, состоящий из адиабатического расширения, изотермиче-
ского сжатия и изохорического нагревания. Работа газа при расширении в 9 раз больше
работы газа за цикл.
(a)
Во сколько раз работа газа при расширении больше работы над газом при сжатии?
(b)
Найдите КПД цикла.
6.
КПД цикла 1 – 2 – 4 – 1 равен
η
1
, а КПД цикла 2 – 3 –4 – 2 равен
η
2
(рис.17). Найти КПД
цикла 1 – 2 – 3 – 4 – 1.
7.
Порция гелия участвует в следующем процессе: сначала газ совершает изотермическое рас-
ширение, получив количество теплоты Q, затем его подвергли изобарическому сжатию,
совершив над ним работу
A
=
Q
, а затем изохорически вернули к первоначальному со-
стоянию. Найти термодинамический КПД этого цикла и среднюю мощность двигателя,
работающего по такому циклу, если весь цикл длится
∆t
.
17
Рис. 17.
8.
Одноатомный идеальный газ в количестве
ν
= 1 моль участвует в прямом циклическом
процессе, составленном из двух изотерм и двух изохор. При изохорическом нагревании газ
получает
Q
1
= 1000 Дж теплоты, при изотермическом расширении газ получает ещё
Q
2
=
500 Дж теплоты. Известно, что минимальная температура в процессе
T
1
= 300 К.
(a)
Найти максимальную температуру
T
2
газа в цикле.
(b)
Найти работу
A
газа при расширении
(c)
Найти КПД
η
цикла.
9.
На pV -диаграмме (см. рисунок 18) изображены три замкнутых процесса, происходящих с
идеальным газом: 1–2–4–1, 2–3–4–2 и 1–2–3– 4–1. На участках 1–2 и 3–4 температура газа
постоянна, а на участках 2–3 и 4–1 газ теплоизолирован. Известно, что в процессе 1–2–4–1
совершается работа
A
1
=
5 Дж, а в процессе 2–3–4–2 — работа
A
2
=
4 Дж. Найдите коэф-
фициент полезного действия процесса 1–2–3–4–1, если коэффициенты полезного действия
процессов 1–2–4–1 и 2– 3–4–2 равны.
Рис. 18.
10.
С идеальным одноатомным газом провели прямой цикл, состоящий из двух изобар и двух
адиабат. Оказалось, что работа газа при изобарическом расширении равна
A
, а суммарное
количество теплоты, полученное газом за цикл, равно
Q
.
(a)
Какое количество теплоты получил газ при изобарическом расширении?
(b)
Найдите КПД цикла.
11.
Идеальная тепловая машина с КПД
η
работает по обратному циклу. Какое максимальное
количество теплоты можно забрать из холодильника, совершив механическую работу
A
?
18
12.
Летом при температуре в помещении
t
1
=
27
◦
C
промышленный морозильник при работе
на полную мощность поддерживал температуру в камере
t
2
=
−
23
◦
C
. Зимой температу-
ра в помещении упала до значения
t
3
=
7
◦
C
. Из-за отказа реле агрегат вновь заработал
на полную мощность. Какой при этом стала температура
t
x
в камере? Считайте агрегат
идеальной машиной.
13.
Идеальный газ используется как рабочее тело в тепловой машине, работающей по циклу 1–
2–3–1, состоящему из адиабатического расширения 1–2, изотермического сжатия 2–3 и
участка 3–1 линейной зависимости давления от объёма (см. рисунок 19). За цикл машина
совершает работу
A
, КПД цикла равен
η
. Найти работу, совершаемую над газом в изотер-
мическом процессе.
Рис. 19.
5
Пары. Влажность. Влажный воздух.
5.1 Теоретическая справка.
Насыщенный пар — это пар, который находится в состоянии динамического равновесия со
своей жидкостью (то есть скорость испарения жидкости равна скорости конденсации пара).
При решении задач нужно иметь в виду следующие факты.
1.
Давление и плотность насыщенного пара зависят от его температуры, но не от объёма
(при увеличении объёма испаряется дополнительное количество жидкости, при уменьшении
объёма конденсируется часть пара).
2.
Давление насыщенного водяного пара при 100
◦
C примерно равно
p
0
=
1 атм =
10
5
Па.
3.
При описании состояний ненасыщенного и даже насыщенного пара приближённо работает
уравнение Менделеева-Клапейрона.
Абсолютной влажностью называют плотность
ρ
водяного пара в атмосфере.
Относительной влажность называют отнощение плотности (давления) водяного пара в атмо-
сфере к плотности (давлению) насыщенного пара при данной температуре:
φ
=
5.2
Примеры решения задач.
p
p
np
ρ
=
ρ
np
(18)
1.
В сообщающихся сосудах находится вода при температуре
t
0
=
0
◦
. Левый сосуд закрыт
крышкой, правый открыт. Уровень воды в левом сосуде находится на расстоянии
h
= 1
см от крышки. Площадь сечения левого сосуда значительно меньше, чем площадь сечения
правого сосуда. Начальное давление воздуха под крышкой равно атмосферному давлению
19
√
2
ρgh
p
0
=
10
5
Па. Насколько сместится уровень воды в левом сосуде, если воду и воздух на-
греть до 100
◦
C (не доводя до кипения)?Давлением водяного пара при температуре 0
◦
C
пренебречь.
Рис. 20.
Решение.
Давление воздуха в левом сосуде
p
0
(т. к. давлением водяного пара в начале пренебрегаем).
После нагревания давление водяного пара в левом сосуде
p
0
(пар насышеный).
Рис. 21.
Законы для сухого воздуха Клайперона-Менделеева
P
0
hS = νRT
Закон сообщающихся сосудов
Получаем:
Ответ:
L =
h
(
q
1 +
P
0
−
1)
P
1
(h + L)S = νRT
P
1
+ P
0
= P
0
+ ρgL
ρgL(h
+ L) =
P
0
h
ρgL
2
+
ρghL
−
P
0
h
=
0
L =
−
ρgh
+
ρgh(ρgh + P
0
)
2ρg
20
5.3
Задачи.
1. Смешали объём воздуха
V
1
с относительной влажностью
φ
1
и объём
V
2
с относительной
влажностью
φ
2
. Смесь занимает объём
V
3
. Определить относительную влажность смеси.
Температура поддерживается постоянной.
2.
Определить массу воды
m
, которую теряет человек за
τ
= 1 час в процессе дыхания, исходя
из следующих данных. Относительная влажность вдыхаемого воздуха
φ
1
=
60%
, относи-
тельная влажность выдыхаемого воздуха
φ
2
=
100%
. Человек делает в среднем
n
= 15
вдохов в минуту, вдыхая каждый раз
V
= 2,5 л воздуха. Температуру вдыхаемого и вы-
дыхаемого воздуха принять равной
t
=
36
◦
; давление насыщенного водяного пара при этой
температуре
p
n
=
5, 9
кПа.
3.
В цилиндрическом сосуде под поршнем находится ν = 1 моль. Водяного пара при давлении
p
. Давление насыщенного водяного пара при этой температуре равно
2p
. Поршень вдвигают
в цилиндр так, что объём под поршнем уменьшается в 4 раза при неизменной температуре.
Найти массу
m
образовавшейся при этом воды.
4.
Смесь воды и её насыщенного пара занимает некоторый объём при температуре 90
◦
. Если
смесь нагревать изохорически, то вся вода испаряется при увеличении температуры на 10
◦
C. Чему равно давление насыщенного водяного пара при 90
◦
, если в начальном состоянии
масса воды составляла 29
%
от массы всей смеси? Объёмом воды по сравнению с объёмом
смеси пренебречь
5.
Горизонтально расположенный цилиндр разделён подвижным поршнем массы
m
= 5 кг
на две равные части объёмом
V
= 1 л каждая. С одной стороны, от поршня находится
насыщенный водяной пар при температуре
t
=
100
◦
, с другой – воздух при такой же темпе-
ратуре. Цилиндр поставили вертикально так, что снизу оказался пар. На какое расстояние x
опустится поршень, если температуру в обеих частях цилиндра поддерживают неизменной?
Площадь поршня
S
=
0, 01
м
2
.
6.
При изотермическом сжатии
m
= 9 г водяного пара при температуре
T
= 373 К его объём
уменьшился в 3 раза, а давление возросло вдвое. Найдите начальный объём пара
7.
В сосуде находятся водяной пар и вода при температуре 100
◦
С. В процессе изотермического
расширения вода начинает испаряться. К моменту, когда она вся испарилась, объём пара
увеличился в
β
= 10 раз. Найти отношение объёмов пара и воды в начале опыта.
8.
В цилиндре под поршнем находятся
ν
молей жидкости и
ν
молей её насыщенного пара
при температуре
T
0
. К содержимому цилиндра подвели количество теплоты
Q
, медленно
и изобарически нагревая его, и температура внутри цилиндра увеличилась на
∆T
. Най-
ти изменение внутренней энергии содержимого цилиндра. Начальным объёмом жидкости
пренебречь.
9.
В сосуде находится ненасыщенный пар. В процессе его изотермического сжатия объём,
занимаемый паром, уменьшается в
β
= 4 раза, а давление возрастает в
α
= 3 раза. Найти
долю пара, которая сконденсировалась в этом процессе.
10.
В цилиндре под поршнем находится ненасыщенный водяной пар под давлением
p
= 1 атм.
В процессе изобарического сжатия конечный объём, который занимает пар, уменьшается
в
k
= 4 раза по сравнению с объёмом, который он занимал вначале. При этом часть пара
конденсируется, а объём образовавшейся воды составляет
α
= 1/1720 от конечного объёма
11.
В цилиндре с вертикальными гладкими стенками под покоящимся поршнем находятся вода
и влажных воздух при температуре
t
1
=
100
◦
C
. Площадь поршня
S
= 100 см
2
, масса
M
поршня такова, что
Mg
=
0, 5P
0
S
, здесь
P
0
=
10
5
Па — давление в окружающей атмосфере.
21
Высота поршня над поверхностью воды
H
= 20 см. Температуру в цилиндре медленно
уменьшили до
t
2
=
7
◦
C
. Давление водяного пара при
t
2
=
7
◦
C считайте пренебрежимо
малым.
(a)
Найдите парциальное давление
P
1
сухого воздуха в цилиндре под поршнем при
t
1
=
100
◦
C
.
(b)
На каком расстоянии
h
от поверхности воды остановится поршень при
t
2
=
7
◦
C
?
12.
В цилиндрическом сосуде под поршнем при температуре
t = 100
◦
C
находится насыщенный
водяной пар. При изотермическом вдвигании поршня выделилось количество теплоты Q =
180 Дж. Найти совершённую при этом над паром работу. Удельная теплота парообразования
воды при 100
◦
CL =
2, 25
·
10
6
Дж/кг.
13.
В кастрюлю-скороварку залили небольшое количество воды при температуре
t
0
=
20
◦
C
,
причём занимаемый водой объём намного меньше объёма кастрюли. После этого её гер-
метично закрыли крышкой и медленно нагрели. Когда температура в кастрюле достигла
t
1
=
115
◦
C, а давление — трёх атмосфер, вся вода испарилась. Оценить по этим данным,
какую часть объёма кастрюли занимала вода до начала нагрева. Давлением водяных паров
в кастрюле при
20
◦
C
можно пренебречь.
22
Содержание
1
Основы
молекулярно-кинетической
теории. 2
1.1 Теоретическая справка. .................................................................................................................... 2
1.2 Примеры решения задач. ................................................................................................................. 2
1.3 Задачи. ................................................................................................................................................. 3
2
Идеальный
газ.
Уравнение
Клайперона-Менделеева 4
2.1 Теоретическая справка. .................................................................................................................... 4
2.2 Примеры решения задач. ................................................................................................................. 4
2.3 Задачи. ................................................................................................................................................. 6
3
Первое начало термодинамики. 8
3.1 Теоретическая справка. .................................................................................................................... 8
3.2 Приммеры решения задач................................................................................................................ 9
3.3 Задачи. ............................................................................................................................................... 11
4
Тепловые машины. КПД тепловых машин.
13
4.1 Теоретическая справка. .................................................................................................................. 13
4.2 Примеры решения задач. ............................................................................................................... 14
4.3 Задачи. ............................................................................................................................................... 15
5
Пары. Влажность. Влажный воздух.
18
5.1 Теоретическая справка. .................................................................................................................. 18
5.2 Примеры решения задач. ............................................................................................................... 18
5.3 Задачи. ............................................................................................................................................... 20
Скачать материал

Физика - еще материалы к урокам: