Ученики на Учителя.com


Алгоритм, схемы, методы в модульных линейных уравнениях с параметром

Алгоритм, схемы, методы в модульных
линейных уравнениях с параметром.
2
Решить задачу содержащую параметры, значит определить, при каких
значениях параметра задача имеет значения и для всех таких значений
параметров; найти все решения задачи.
Чаще всего задачи содержащие параметр и модуль легче решить
графическим способом, но при этом способе достаточно просто указать
количество корней при том или ином значении параметра, но найти эти
корни значительно труднее.
Мы предлагаем решить систему задач, можно решить аналитически,
по определенному алгоритму, а так же систематизировать, полученную
после решения информацию по схеме, позволяющей указать кол-во
полученных при решении уравнения корней, но и найти их.
1. Изобразим числовую прямую параметра и отметим на ней
контрольные значения параметра.
2. Отметим слева полученные решения, записанные в виде функций
от значений параметра
3. Внедрим области определения параметра для каждой функции.
4. Укажем количество корней для данного параметра, которое равно
числу областей определения в которые эти значения параметра
входят и определяются числом пересечения вертикальных линий,
проведенных через контрольные значения.
Эта схема позволяет наглядно, в определенной системе увидеть и
количество корней и сами корни для соответствующих значений параметра.
Рассмотрим пример, в котором под модулем стоит выражение
свободное от параметра и этот модуль в уравнении №1.
Пример № 1. Для каждого значения параметра а решите уравнение.
12 +=+ xax
Решение: Решим уравнение используя определение модуля (Методом схем
равносильности).
12 +=+ xax
+
+=+
012
12
x
xax
−
−−=+
+=+
2
1
12
12
x
xax
xax
−
−−=
−=−
2
1
13
1
x
ax
ax
−
−−
=
−=
2
1
3
1
1
x
a
x
ax
Решим
x=a-1
а) x=a-1 единственный корень
Найдем все значения параметра а при котором
имеем
2
1
1 −−a
2
1
−a
2
1
−
Решим
3
1−−
=
a
x
3
a)
3
1−−
=
a
x
единственный корень
Найдем все значения параметра а при котором
имеем
2
1
−
2
1
3
1
−
−− a
2
3
1
1
−
−− a
2
1
+a
x=a-1
2
1
−
3
1−−
=
a
x
Ответ:
при
);
2
1
+−a
x=a-1
при
)
2
1
;( −−a
3
1−−
=
a
x
Пример№2 Найдите все значения параметра а при которых уравнение имеет
2 корня и найдите эти корни.
12 −=+ xax
Решение: Решим уравнение методом последовательного раскрытия
модуля. Уравнение равносильно совокупности 2-х систем:
12 −=+ xax
−−=+
−
−=+
−+
)1(2
01
)1(2
01
xax
x
xax
x
=−++
−
=+−+
−
02
01
02
01
aaxx
x
aaxx
x
−=+
−
−−=−
−
2)1(
01
2)1(
01
aax
x
aax
x
+
−
=
+
−
−
+
=
−
1
2
0
1
3
1
2
0
1
3
a
a
x
a
a
a
x
a
Ответ: При а>1 уравнение имеет 2 корня:
x=(a+1)/(a-1) или x=(a-2)/(a+1)
Рассмотрим пример содержащий два модуля и снова параметры
находятся вне знака модуля.
1к. 1к 1к
1
-1
-1 1
1к. 1к. 1к
4
Пример№3 Для каждого значения параметра а решите уравнения и найдите
корни этого уравнения.
2|х|+|х-1|=а
Решение: Решим уравнение методом интервалов.
1. Найдем нули подмодульных выражений х=0, х=1.
2. Отметим их на числовой прямой.
х - 0 + 1 -
х-1 - - +
Уравнение равносильно совокупности 3-х систем:
=−
=+
=+−
ax
x
ax
x
ax
x
13
1
1
10
13
0
+
=
−=
−
=
3
1
1
10
1
3
1
0
a
x
x
x
ax
a
x
x
+
=
−=
−
=
3
1
2
1
21
3
1
1
a
x
a
ax
a
a
x
a
При a<1 решений нет
Ответ: 1<a<2 x=a-1 или x=(1-a)/(-3)
a=2 x=2 или x=(1-a)/3
при a>2 x=(a+1)|3 или x=(1-a)|3
при а=1 x=a-1
Следующее уравнение содержит два модуля и параметры находятся под
модулем
Пример№4 Решите уравнение для каждого значения параметра а и найдите
соответствующие им корни.
|х-а|+|х+а+1|=3
Решение: Решим уравнение способом одновременного раскрытия модуля
|х-а|+|х+а+1|=3 Имеем следующие варианты знаков подмодульных
выражений:
х-а х+а+1
1 “-” “-”
2 “-” “+”
3 “+” “-”
4 “+” “+”
Решим уравнение для случая 1. Уравнение равносильно системе
5
x-а<0 x<a x=-2 x=-2
x+a+1>=0 x<-a-1 -2<a -2<a<1
a-x-x-a-1=3 x=-2 -2<-a-1
Решим уравнение для случая 2. Уравнение равносильно системе:
x-a<0
x+a+1>=0
a-x+x+a+1=3…..
Решим уравнение для случая 3. Уравнение равносильно системе:
x-a>=0 x>=a x>=-2 x>=-2
x+a+1<0 x<-a-1 x<2-1 x<1
x-a-x-a-1=3 a=-2 a=-2 a=-2
Решим уравнение для случая 4. Уравнение равносильно системе:
x-a>=0
x+a+1>=0
x-a+x+a+1=3…
Ответ: при а=-2 решений нет
-2<a<1 x=-2 или x=2
a=-2 и a=1 -2<=x<=1
a>1 решений нет.
При решении примеров возможна постановка различных задач, например:
Найдите все значения параметра а, при которых:
1. Уравнение не имеет решений
2. Уравнение имеет 1 решение
3. Уравнение имеет 2 решения
4. Уравнение имеет не более 2-х решений
Найдите эти решения.
6
№1
axx −=+ 31
−=−−
+
−=+
+
axx
x
axx
x
31
01
31
01
=−
−+
=+
−
4
1
2
1
xax
x
axx
x
+
−
−
=
+
+
+
=
01
1
4
1
4
01
1
2
1
2
a
a
x
a
a
x
1
2
+
=
a
x
−
+
−
=
+
+
+
=
0
1
3
1
4
0
1
3
1
2
a
a
a
x
a
a
a
x
1
4
−
=
a
x
Ответ:
при
(
)
+− ;13; Va
1
2
+
=
a
x
1 корень
при
)1;3( −−a
1
4
−
=
a
x
1 корень
при
)1;1(−a
1
2
+
=
a
x
1
4
−
=
a
x
2 корня
№2
xax 212 −=++
−=+−−
+
−=++
+
xax
x
xax
x
212
02
212
02
+=
+
−=−
+
1
02
33
02
ax
x
ax
x
+=
+
+−
=
+
1
02
3
3
02
ax
x
a
x
x
+=
+
+−
=
+
=
1
03
3
3
0
3
3
ax
a
a
x
a
x
3
3−
=
a
x
1+= ax
Ответ:
при
)3;( −−a
3
3−
=
a
x
1+= ax
2 корня
при
);3( +−a
3
3−
=
a
x
корней нет
1к 1к 1к 1к 2к 1к 1к
-3 -1
-3 1
-3
-3
-3 -1 1
-3
2к. 1к. к.н
7
при
);3( +−a
1+= ax
корней нет
при
3
3 a
x
+
=
3−=a
1 корень
№3
xax 312 −=−−
−=−−
−
−=−−
−
xax
x
xax
x
312
02
312
02
−=
−
+=
−
12
02
34
02
ax
x
ax
x
−
=
−
+
=
−
2
1
0
2
5
4
3
0
4
5
a
x
a
a
x
a
Ответ:
при
)
+ ;5a
4
3+
=
a
x
1 корень
при
)5;(−a
2
1−
=
a
x
1 корень
№4
axx =− 2
−+−
−
=−−
−
axx
x
axx
x
2
02
02
02
2
2
−−=
−+=
+−=
++=
ax
ax
x
ax
ax
x
11
11
2
11
11
2
ax
a
D
axx
+=
+=
=−−
11
1
4
02
2,1
2
ax
a
D
axx
−=
−=
=−+−
11
1
4
02
4,3
2
−−=
−−=
++=
++=
211
11
211
11
ax
ax
ax
ax
5
5
1
2
3
4
1
8
211 ++ a
11 + a
+
+
01
11
a
a
−
1
0
a
a
11 +− a
211 +− a
11 −+ a
нр
a
.
0
+−
−+
211
2
211
2
a
x
a
x
−−
−−=
−+
−+=
211
11
211
11
a
ax
a
ax
211 −+ a
11 − a
110 − a
110 − a
01 −− a
01 a
211 −− a
11 − a
−
−
01
01
a
a
1a
Ответ:
при
)0:(−a
ax −+= 11
при
0=a
ax −−= 11
ax ++= 11
ax −+= 11
при
1;0(a
ax ++= 11
ax −−= 11
ax −−= 11
ax −+= 11
при
1=a
ax +−= 11
ax −+= 11
ax −+= 11
ax −+= 11
при
);1( +=a
ax ++= 11
3
4
2
5
6
6
0 1
1к 2к 3к 3к 1к
9
№5
+=−
−
+=−
−
+=−
21
01
21
01
21
axx
x
axx
x
axx
−=+
=−
1
1
3
1
axx
x
axx
x
−=+
=−
1
1
3
1
axx
x
axx
x
+
+
+
−
=
−
−
−
=
01
1
1
1
1
01
1
3
1
3
a
a
x
a
a
x
+
+
+
−
=
−
+
−
=
0
1
2
1
1
0
1
2
1
3
a
a
a
x
a
a
a
x
Ответ:
при
)
1;2−a
a
x
−
=
1
3
1 корень
при
)
+−− ;1)2;( Vа
1
1
+
−
=
a
x
1 корень
при
)1;1(−a
a
x
−
=
1
3
1
1
+
−
=
a
x
2 корня
-
2
1
1к 1к 1к 1к 2к 1к 1к
-2 -1 1
a
x
−
=
1
3
1
1
+
−
=
a
x
Скачать материал

Алгебра - еще материалы к урокам: