ПРОЕКТНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ «ПРИЕМЫ БЫСТРОГО СЧЕТА»
Управления образования администрации
Жуковского района
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
Жуковская средняя общеобразовательная школа №2
имени Героя Советского Союза Е.П. Новикова
242700,Брянская область, г.Жуковка, ул.Карла Либкнехта, 2а
Тел. (48334)3-27-32;(48334)3-22-32, факс:(48334)3-27-32, e-mail: zhsch2@yandex.ru
ШКОЛЬНАЯ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ
КОНФЕРЕНЦИЯ
«ЗНАНИЕ-СИЛА»
ПРОЕКТНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА
ПО МАТЕМАТИКЕ
«ПРИЕМЫ БЫСТРОГО СЧЕТА»
Выполнил: ученица 7а класса
Паровышник Диана
Руководитель: учитель физики
и математики
Овчинникова Т.В.
г. Жуковка
2018 г.
Содержание
1Введение. Обоснование выбора темы исследования, цели, задачи работы,
актуальность исследования, методы, гипотеза, объект и предмет
исследования ........................................................................................................ 3-4
2.История возникновения вычислений ............................................................. 5-8
3. Практическое применение быстрого счета ................................................ 9-11
3.1. Умножение для числа 9 .................................................................................. 9
3.2.Умножение на 11 числа, сумма цифр которого не превышает 10 .............. 9
3.3. Умножение на 11 числа, сумма цифр которого больше 10 ........................ 9
3.4. Умножение на 111, 1111 и т. д. числа, сумма цифр которого не
превышает 10 ........................................................................................................ 10
3.5. Умножение двузначного числа на 111, 1111, 1111 и т.д., сумма цифр
которого равна или больше 10 ............................................................................ 10
3.6. Квадрат чисел, заканчивающихся на 5 ....................................................... 11
4. Заключение ....................................................................................................... 12
5.Литература………………………………………………………………… ..... 13
6. Приложение ...................................................................................................... 14
3
ВВЕДЕНИЕ
Во все времена математика была и остается одним из основных
предметов в школе, потому что математические знания необходимы всем
людям. Не каждый школьник, обучаясь в школе, знает, какую профессию он
выберет в будущем, но каждый понимает, что математика необходима для
решения многих жизненных задач: расчеты в магазине, оплата за
коммунальные услуги, расчет семейного бюджета и т.д. Кроме того, всем
школьникам необходимо сдавать экзамены в 9-м классе и в 11-м классе, а для
этого, обучаясь с 1-го класса, необходимо качественно осваивать математику
и прежде всего, нужно научиться считать.
Сейчас, на этапе стремительного развития информатики и
вычислительной техники, современные школьники не хотят утруждать себя
счетом в уме. Я считаю, что основные проблемы при изучении математики в
школе связаны с вычислительными навыками и поэтому целью моей работы
является изучение приемов быстрого счета и доказательство необходимости
умения быстрого счёта и эффективного использования этих приёмов.
Актуальность моего исследования состоит в том, что в наше время все
чаще на помощь ученикам приходят калькуляторы, и все большее количество
учеников не может считать устно. А ведь изучение математики развивает
логическое мышление, память, гибкость ума, приучает человека к точности,
к умению видеть главное, сообщает необходимые сведения для понимания
сложных задач, возникающих в различных областях деятельности
современного человека. Поэтому в своей работе я хочу показать, как можно
считать быстро и правильно и что процесс выполнения действий может быть
не только полезным, но и интересным занятием.
Гипотеза исследования: если показать, что применение приемов
быстрого счета, облегчает вычисления, то можно добиться того, что
4
повысится вычислительная культура учащихся, и им будет легче решать
практические задачи.
Я поставила перед собой следующие задачи:
1. Изучить историю возникновения вычислений
2. Рассмотреть правила вычислений, которыми пользовались в древности и
которыми пользуются сейчас.
3. Освоить правила быстрого счета .
Объект исследования: приемы быстрого счета.
Предмет исследования: процесс вычислений.
Данная работа относится к прикладным исследованиям, так как в ней
показывается роль применения приемов быстрого счета для практической
деятельности.
При выполнении работы я пользовалась следующими методами:
поисковый метод с использованием научной и учебной литература, а также
поиск необходимой информации в сети Интернет, практический метод
выполнения вычислений с применением нестандартных алгоритмов счета,
анализ полученных в ходе исследования данных.
5
История возникновения вычислений.
Подсчитывать предметы люди научились ещё в древнем веке - палеолите,
десятки тысяч лет назад. Как это происходило? Сначала люди лишь на глаз
сравнивали разные количества одинаковых предметов. Они могли
определить, в какой из двух куч больше плодов, в каком стаде больше оленей
и т.д. Если одно племя меняло пойманных рыб на сделанные людьми другого
племени каменные ножи, не нужно было считать, сколько принесли рыб и
сколько ножей. Достаточно было положить рядом с каждой рыбой по ножу,
чтобы обмен между племенами состоялся.
Чтобы с успехом заниматься сельским хозяйством, понадобились
арифметические знания. Без подсчета дней трудно было определить, когда
надо засевать поля, когда начинать полив, когда ждать потомства от
животных. Надо было знать, сколько овец в стаде, сколько мешков зерна
положено в амбары.
И вот более восьми тысяч лет назад древние пастухи стали делать из
глины кружки – по одному на каждую овцу. Чтобы узнать, не пропала ли за
день хоть одна овца, пастух откладывал в сторону по кружку каждый раз,
когда очередное животное заходило в загон. И только убедившись, что овец
вернулось столько же, сколько было кружков, он спокойно шел спать. Но в
его стаде были не только овцы – он пас и коров, и коз, и ослов. Поэтому
пришлось сделать из глины и другие фигурки. А земледельцы с помощью
глиняных фигурок вели учет собранного урожая, отмечая, сколько мешков
зерна положено в амбар, сколько кувшинов масла выжато из оливок, сколько
соткано кусков льняного полотна. Если овцы приносили приплод, пастух
прибавлял к кружкам новые, а если часть овец шла на мясо, несколько
кружков приходилось убирать. Так, еще не умея считать, занимались древние
люди арифметикой.
Затем в человеческом языке появились числительные, и люди смогли
называть число предметов, животных, дней. Обычно таких числительных
6
было мало. Например, у племени реки Муррей в Австралии было два
простых числительных: энэа (1) и петчевал (2). Другие числа они выражали
составными числительными: 3= «петчевал–энэа», 4 «петчевал–петчевал» и т.
д. Ещё одно австралийское племя – камилороев имело простые числительные
мал (1), булан (2), гулиба (3) . И здесь другие числа получались сложением
меньших: 4=«булан–булан», 5=«булан–гулиба», 6=«гулиба–гулиба» и т.д.
У многих народов название числа зависело от подсчитываемых
предметов. Если жители островов Фиджи считали лодки, то число 10
называли «боло»; если они считали кокосовые орехи, то число 10 называли
«каро». Точно так же поступали живущие на Сахалине у берегов Амура
нивхи. Ещё в XIX веке одно и то же число они называли разными словами,
если считали людей, рыб, лодки, сети, звёзды, палки.
Мы и сейчас используем разные неопределённые числительные со значением
«много»: «толпа», «стадо», «стая», «куча», «пучок» и другие.
С развитием производства и торгового обмена люди стали лучше
понимать, что общего у трёх лодок и трёх топоров, десяти стрел и десяти
орехов. Племена часто вели обмен «предмет за предмет»; к примеру,
обменивали 5 съедобных кореньев на 5 рыб. Становилось ясно, что 5 одно и
то же и для кореньев, и для рыб; значит, и называть его можно одним словом.
Постепенно люди начали использовать для счёта камешки, палочки,
части собственного тела. Вот как известный русский учёный Н.Н. Миклуха–
Маклай описывал счёт папуасов: «Папуас загибает один за другим пальцы
руки, причём издаёт определённый звук, например «бе, бе, бе…». Досчитав
до пяти, он говорит: «Ибон–бе» (рука). Затем он загибает пальцы другой
руки, снова повторяя «бе, бе…», пока не дойдёт до «ибон–али» (две руки).
Затем он идёт дальше, приговаривая «бе, бе…», пока не дойдёт до «самба–
бе» (одна нога) и «самба–али» (две ноги). Если нужно считать дальше,
папуас пользуется пальцами рук и ног кого – нибудь другого». Похожие
способы счёта применяли и другие народы. Так возникли нумерации,
основанные на счёте пятёрками, десятками, двадцатками.
7
До сих пор я рассказывала об устном счёте. А как записывали числа?
Поначалу, ещё до возникновения письменности, использовали зарубки на
палках, насечки на костях, узелки на верёвках. Найденная волчья кость в
Дольни – Вестонице (Чехословакия), имела 55 насечек, сделанных более 25
000 лет назад.
Когда появилась письменность, появились и цифры для записи чисел.
Сначала цифры напоминали зарубки на палках: в Египте и Вавилоне, в
Этрурии и Финики, в Индии и Китае небольшие числа записывали палочками
или чёрточками. Например, число 5 записывали пятью палочками. Индейцы
ацтеки и майя вместо палочек использовали точки. Затем появились
специальные знаки для некоторых чисел, таких, как 5 и 10. В то время почти
все нумерации были не позиционными, а похожими на римскую нумерацию.
Лишь одна вавилонская шестидесятеричная нумерация была позиционной.
Но и в ней долго не было нуля, а также запятой, отделяющей целую часть от
дробной. Поэтому одна и та же цифра могла означать и 1, и 60, и 3600.
Угадывать значение числа приходилось по смыслу задачи.
За несколько столетий до новой эры изобрели новый способ записи
чисел, при котором цифрами служили буквы обычного алфавита. Первые 9
букв обозначали числа десятки 10, 20,…, 90, а ещё 9 букв обозначали сотни.
Такой алфавитной нумерацией пользовались до 17 в. Чтобы отличить
«настоящие» буквы от чисел, над буквами–числами ставили чёрточку (на
Руси эта чёрточка называлась «титло»). Во всех этих нумерациях было очень
трудно выполнить арифметические действия. Поэтому изобретение в VI веке
индийцами десятичной позиционной нумерации по праву считается одним из
крупнейших достижений человечества. Индийская нумерация и индийские
цифры стали известны в Европе от арабов, и обычно их называют арабскими.
При записи дробей ещё долгое время целую часть записывали в новой
десятичной нумерации, а дробную – в шестидесятеричной. Но в начале XV в.
самаркандский математик и астроном аль–Каши стал употреблять в
вычислениях десятичные дроби. Числа, с которыми мы работаем с
8
положительными и отрицательными числами. Но, оказывается, что это не все
числа, которые используют в математике и других науках. И узнать о них
можно не дожидаясь старшей школы, а гораздо раньше, если изучать
историю возникновения чисел в математике.
9
Практическое применение быстрого счета.
1.Умножение для числа 9.
9·1, 9·2 … 9·10 – легче выветривается из памяти и труднее пересчитывается
вручную методом сложения, однако именно для числа 9 умножение легко
воспроизводится» на пальцах». Растопырьте пальцы на обеих руках и
поверните руки ладонями от себя. Мысленно присвойте пальцам
последовательно числа от 1 до 10, начиная с мизинца левой руки и
заканчивая мизинцем правой руки (это изображено на рисунке). Допустим,
хотим умножить 9 на 7. Загибаем палец с номером, равным числу, на
которое мы будем умножать 9. В нашем примере нужно загнуть палец с
номером 7. Количество пальцев слева от загнутого пальца показывает нам
количество десятков в ответе, количество пальцев справа – количество
единиц. Слева у нас 6 пальцев не загнуто, справа – 3 пальца. Таким образом,
9·7=63. Ниже на рисунке детально показан весь принцип «вычисления».
Еще пример: нужно вычислить 9·9=? По ходу дела скажем, что в
качестве «счетной машинки» не обязательно могут выступать пальцы рук.
Возьмите, к примеру, 10 клеточек в тетради. Зачеркиваем 9-ю клеточку.
Слева осталось 8 клеточек, справа – 1 клеточка. Значит 9·9=81. Все очень
просто.
2. Умножение на 11 числа, сумма цифр которого не превышает 10.
Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого 10 или меньше 10,
надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму
этих цифр, а затем к первой цифре прибавить 1, а вторую и последнюю
(третью) цифру оставить без изменения.
72х11=7(7+2)2=792;
35х11=3(3+5)5=385;
3. Умножение на 11 числа, сумма цифр которого больше 10.
10
Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого 10 или больше 10,
надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму
этих цифр, а затем к первой цифре прибавить 1, а вторую и последнюю
(третью) цифру оставить без изменения.
78х11=7(7+8)8=7(15)8=858;
94х11=9(9+4)4=9(13)4=1034;
4. Умножение на число 111, 1111 и т. д., зная правила умножения
двузначного числа на число 11.
Если сумма цифр первого множителя меньше 10, надо мысленно
раздвинуть цифры этого числа на 2, 3 и т.д. шага, сложить цифры и записать
соответствующее количество раз их сумму между раздвинутыми цифрами.
Количество шагов всегда меньше количества единиц на 1.
Пример:
24х111=2(2+4) (2+4)4=2664 (количество шагов - 2)
24х1111=2(2+4)(2+4)(2+4)4=26664 (количество шагов - 3)
При умножении числа 72 на 111111 цифры 7 и 2 надо раздвинуть на 5
шагов. Эти вычисления можно легко произвести в уме.
72 х 111111 = 7999992 (количество шагов – 5)
Если единиц во втором множителе 7, то шагов будет на один меньше,
т.е. 6.
Если единиц 8, то шагов будет 7 и т.д.
61 х 11111111 = 677777771
Эти вычисления можно легко произвести в уме.
5. Умножение двузначного числа на 111, 1111, 1111 и т.д., сумма цифр
которого равна или больше 10.
Немного сложнее выполнить устное умножение, если сумма цифр
первого множителя равна 10 или более 10.
Примеры:
11
48 х 111 = 4 (4+8) (4+8) 8 = 4 (12) (12) 8 = (4+1) (2+1) 28 = 5328.
В этом случае к первой цифре нужно прибавить 1 получим 5.
Далее 2 + 1 = 3. А последние цифры 2 и 8 оставляем без изменения.
56 х 11111 = 5 (5+6) (5+6) (5+6) (5+6) 6 = 5 (11) (11) (11) (11) 6 = 622216
67 х 1111 = 6 (6+7)…7 = 6 (13)…7 = 74437
6. Квадрат чисел, заканчивающихся на 5
Чтобы возвести в квадрат числа, заканчивающиеся на 5. Алгоритм прост.
Число до последней пятерки, умножаем на это же число плюс единица. К
оставшемуся числу приписываем 25.
a) 15
2
= (1*(1+1)) 25 = 225
b) 25
2
= (2*(2+1)) 25 = 625
c) 85
2
= (8*(8+1)) 25 = 7 225
Это верно и для более сложных примеров:
155
2
= (15*(15+1)) 25 = (15*16)25 = 24 025
12
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Как мы видим, быстрый счёт это уже не тайна за семью печатями, а
научно разработанная система. Раз есть система, значит, её можно изучать,
ей можно следовать, ею можно овладевать.
Все рассмотренные мною методы устного умножения говорят о
многолетнем интересе ученых, и простых людей к игре с цифрами.
Используя некоторые из этих методов на уроках или дома, можно развить
скорость вычислений, привить интерес к математике, добиться успехов в
изучении всех школьных предметов.
Результаты своей работы я оформила в памятку, которую предложу
всем своим одноклассникам и ученикам 5 и 7 класса. Возможно, что с
первого раза не у всех получится быстро, с ходу выполнять вычисления с
применением этих приемов, даже если сначала не получится использовать
прием, показанный в памятке, ничего страшного, просто нужна постоянная
вычислительная тренировка. Она и поможет приобрести полезные навыки
быстрого счета.
13
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Пособие
для учащихся 5-6 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1989. – 287 с.: ил.
2. Перельман Я.И. Живая математика. - Екатеринбург, Тезис, 1994.
3. Перельман Я.И. Занимательная алгебра. - Екатеринбург, Тезис, 1994.
Борода Л.Я., Борисов А.М. Некоторые формы по привитию интереса к
математике. //Математика в школе. - 1990, №11.– с.39-44.
14
ПРИЛОЖЕНИЯ
АНКЕТА
1. Зачем нужно уметь считать?
а) пригодится в жизни, например, считать деньги;
б) чтобы хорошо учиться в школе; в) чтобы быстро решать;
г) чтобы быть грамотным; д) не обязательно уметь считать.
2. Перечисли, при изучении каких школьных предметов тебе
понадобится правильно считать?
а) математика; б) физика; в) химия; г) технология; д) музыка;
е) физическая культура; ж) ОБЖ; з) информатика; и) география;
к) русский язык; л) литература.
3. Знаешь ли ты приемы быстрого счета?
а) да, много; б) да, несколько; в) нет, не знаю.
4. Применяешь ли ты при вычислениях приемы быстрого счета?
а) да; б) нет.
5. Хотели бы вы узнать приемы быстрого счета, чтобы быстро считать?
а) да; б) нет.
15
Отзыв
на индивидуальный учебный проект
Паровышник Дианы
учащейся 7а класса МБОУ Жуковской СОШ №2 им. Е.П. Новикова
на тему: «Приемы быстрого счета»
В ходе выполнения итогового индивидуального проекта по математике
ученица продемонстрировала способность и готовность к освоению
систематических знаний, их самостоятельному пополнению, переносу,
систематизации и интеграции в индивидуальный проект. У обучающейся
выявлена способность к сотрудничеству и коммуникации. Сформировалась
способность к решению личностно значимых проблем и воплощены
найденные решения в практику. В ходе выполнения проекта обучающаяся
своевременно выполняла задания, получаемые на консультациях, исправляла
недоработки, показала себя инициативной, самостоятельной и ответственной.
В выполняемой работе отмечается новизна подхода.
В целом работа свидетельствует о способности самостоятельно ставить
проблему и находить пути её решения, продемонстрировано свободное
владение логическими операциями, навыками критического мышления,
умение самостоятельно мыслить. Продемонстрирована способность
приобретать новые знания.
Работа спланирована и последовательно реализована, своевременно
пройдены все необходимые этапы обсуждения и представления.
10.05.2018г. Овчинникова Т.В.
16
Индивидуальный план выполнения проекта (для обучающихся)
Этап
работы над
проектом
Виды деятельности
Планируемая
дата
исполнения
Дата
фактически
Подпись
руководителя
Подготовка
Выбор темы учебного
проекта и тем
исследований
обучающегося.
Разработка
основополагающего
вопроса и проблемных
вопросов учебной темы.
Сентябрь -
октябрь
Октябрь
Овчинникова
Т.В.
Планирова
ние
Формулировка задач,
которые следует решить.
Выбор средств и методов
решения задач.
Определение
последовательности и
сроков работы.
Ноябрь -
январь
Январь
Овчинникова
Т.В
Достигнут
ый
результат
Самостоятельная работа.
Оформление записки,
плакатов и др.
Февраль -
март
Март
Овчинникова
Т.В
Защита
Окончательное
оформление проекта для
защиты.
Май
Май
Овчинникова
Т.В
17
Индивидуальный план выполнения проекта (для учителя)
Этап
работы над
проектом
Виды деятельности
Планируемая
дата
исполнения
Дата
фактически
Подпись
руководителя
Подготовка
Выбор темы учебного
проекта и тем
исследований
обучающегося.
Разработка
основополагающего
вопроса и проблемных
вопросов учебной темы.
Сентябрь -
октябрь
Октябрь
Овчинникова
Т.В.
Планирова
ние
Формулировка задач,
которые следует решить.
Выбор средств и методов
решения задач.
Определение
последовательности и
сроков работы.
Ноябрь -
январь
Январь
Овчинникова
Т.В.
Достигнут
ый
результат
Самостоятельная работа.
Оформление записки,
плакатов и др.
Февраль
Февраль
Овчинникова
Т.В.
Защита
Окончательное
оформление проекта для
защиты.
Май
Май
Овчинникова
Т.В.
1
