Электронное пособие для подготовки к ОГЭ по алгебре в 9 классе (повторение по базовым темам алгебры 7-9 класса)
МБОУ «Чокурдахская средняя общеобразовательная школа имени А.Г. Чикачёва»
Электронное пособие для подготовки к ОГЭ по
алгебре в 9 классе
(повторение по базовым темам алгебры 7-9
класса)
Автор: Кочкина Елена Николаевна,
учитель математики МБОУ
«Чокурдахская средняя
общеобразовательная школа имени
А.Г. Чикачёва»
п.Чокурдах, Республика
Саха (Якутия).
(E-mail: fktfkt-56@mail.ru)
доп. E-mail: kochkin@alla.sakha.ru.
Тел: 8-411-58-21631
Сот.тел 8-914-227-19-13
п. Чокурдах. 2017 год.
2
Вступление
-
Пособие предназначено для повторения к государственной итоговой аттеста-
ции учащихся 9-х классов по алгебре;
-
Пособие состоит из 21 темы, каждая из которой соответствует проверяемым
базовым элементам математической подготовки учащихся 9 класса;
-
В каждую из тем включен необходимый теоретический материал, формулы,
алгоритмы, правила (теория) и образцы решений заданий (практика);
-
К каждой теме подобраны 15 типичных заданий для самостоятельного реше-
ния (реши сам) и ответы к ним;
-
Дополняют пособие 4 диагностические контрольные работы (ДКР) и кон-
трольный тест;
-
Предоставлен список использованной литературы.
Краткие методические рекомендации по использованию пособия:
Например, по теме «Владение записью чисел в стандартном виде» открываем те-
му, изучаем или повторяем правила, определения, алгоритмы, вспоминаем формулы,
разбираем предложенные решения заданий, решаем задания для самостоятельной рабо-
ты (реши сам), затем находим ответы и сравниваем свой ответ.
Можно повторять и решать в приведённом в содержании порядке, можно выбрать
любую тему, повторить, закрепить и проверить ваши знания, а затем с помощью ги-
перссылки Вернуться в содержание перейти снова в содержание пособия.
Таким образом, пользователь найдет в пособие одновременно правила, формулы,
алгоритмы, различные приемы и способы решения тех или иных заданий. После этих
тренировок можно будет смело приступить к различным тестам ОГЭ в целом. Это до-
казано опытом применения первого варианта пособия. Выпускники 9 «Б» класса 2014 и
2015 года нашей школы, показали высокие результаты, соответственно при 100%-м
выполнении качество - 80%.
Учитель может использовать это электронное пособие в процессе обучения, на
занятиях элективных курсов, при повторении.
С введением обязательной ГИА учащихся 9 класса в форме ОГЭ данное пособие
будет как нельзя актуально, можно применять с 7 класса при повторении, обобщении,
расширении знаний. Желаю удач! Приму к сведению любые замечания, советы.
3
Оглавление
Введение ..................................................................................................................................... 4
Тема 1 Владение записью чисел в стандартном виде ............................................................ 5
Тема 2 Решение задачи на проценты, нахождение отношения двух величин и
выражение его в процентах ...................................................................................................... 7
Тема 3 Сравнение чисел, изображенных точками на координатной прямой ..................... 9
Тема 4 Нахождение значения буквенного выражения ........................................................ 12
Тема 5 Выражение из формул одних величин через другие............................................... 14
Тема 6 Применение свойств арифметических квадратных корней для вычисления
значений выражений ............................................................................................................... 16
Диагностическая контрольная работа №1 ............................................................................ 18
Тема 7 Преобразование целых выражений ........................................................................... 19
Тема 8 Преобразование рациональных выражений ............................................................. 21
Тема 9 Решение квадратного уравнения ............................................................................... 23
Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными ................................... 25
Тема 11 Составление уравнения по условию текстовой задачи......................................... 29
Тема 12 Понимание формулы n-го члена арифметической прогрессии ........................... 32
Диагностическая контрольная работа № 2 ........................................................................... 34
Тема 13 Решение линейных неравенств с одной переменной ............................................ 35
Тема 14 Решение квадратного неравенства с опорой на готовый график квадратичной
функции .................................................................................................................................... 36
Тема 15 Соотнесение графика квадратичной функции с формулой .................................. 38
Тема 16 Чтение графика реальной зависимости .................................................................. 40
Диагностическая контрольная работа № 3 ........................................................................... 45
Тема 17 Решение уравнения третьей степени разложением на множители ..................... 46
Тема 18 Решение линейного неравенства с одной переменной с использованием
сравнения квадратного корня с рациональным числом ...................................................... 48
Тема 19 Решение задачи с использованием формулы n-го члена геометрической
прогрессии ................................................................................................................................ 50
Тема 20 Аналитическая запись кусочно-заданной функции по ее графику ..................... 52
Тема 21 Решение текстовых задач ......................................................................................... 55
Диагностическая контрольная работа № 4 ........................................................................... 58
Контрольный тест .................................................................................................................... 59
Список использованной литературы ..................................................................................... 62
Ответы ...................................................................................................................................... 63
4
Введение
Памяти моей любимой учительницы,
Прохорчук Евгении Сергеевны,
посвящается.
Здравствуй, незнакомый друг!
Возможно вы, ученик, или педагог. В руках у вас пособие, написанное в содруже-
стве учеников и учителя. Мы хотели не просто познакомить вас с особенностями новой
формы ГИА в 9 классе, но больше с нашим виденьем проблемы повторения и расшире-
ния знаний.
На протяжении многих лет работы в школе я заметила, что интерес к учёбе, к ма-
тематике, в частности, гаснет от обилия формул, терминов, теорем, которые нужно
«держать в голове», от умения соотнести их с практикой применения. Или обратная
картина- ученик правило выучил, а применить не может.
В своё время учёный В.Ф.Шаталов предложил «метод опор». На их основе, я по-
пробовала по каждой важной теме создавать информационные карты, где «свела под
одну крышу» теорию и практику. Моим ученикам, особенно неуверенным, это понра-
вилось, они ощутили надежду, что и у них получиться запомнить правила, алгоритмы и
решать дальше на чистом листе.
С приходом в школу ЕГЭ проблема повторения и расширения знаний до нужного
уровня обострилась во много раз, особенно у тех учащихся, кто испытывает страх: «Я
не сдам!». Надеюсь, это пособие рассеет сомнения, и к вам придёт уверенность: «У ме-
ня всё получиться!» Верьте в себя! И помните слова великого Демокрита «Твердая ре-
шимость что-нибудь сделать есть половина успеха».
С надеждой на понимание, ваш друг, Е.Н. Кочкина.
Вернуться в содержание
5
Тема 1 Владение записью чисел в стандартном виде
Теория
Практика
В науке и технике встречаются
как очень большие, так и очень
малые положительные числа.
Например, большим числом вы-
ражается объем Земли –
1083000000000 км
3
, а малым –
диаметр молекулы воды, который
равен 0,0000000003 м.
В обычном десятичном виде
большие и малые числа неудобно
читать и записывать, неудобно
выполнять над ними какие-либо
действия. В таком случае полез-
ным оказывается представление
числа в виде a 10
n
, где n – целое
число. Например:
125000 = 0,125 10
6
;
0,0031 = 3,110
−3
;
0,237 = 23,7 10
−2
.
Стандартным видом числа a
называют его запись в виде
a 10
n
, где 1 a 10 и n – целое
число. Число n называется по-
рядком числа а.
1. Представьте в стандартном виде число а = 4 350 000.
В числе а поставим запятую так, чтобы в целой части оказа-
лась одна цифра. В результате получим 4,35. Отделив запятой 6
цифр справа, мы уменьшили число а в 10
6
раз. Поэтому а больше
числа 4,35 в 10
6
раз. Отсюда:
a = 4,35 10
6
.
2. Представьте каждое из чисел 1083000000000 и 0,0000000003 в
виде произведения числа, заключенного между единицей и десятью,
и соответствующей степени числа 10:
1083000000000 = 1,083 10
12
;
0,0000000003 = 3 10
−10
.
Говорят, что мы записали числа 1083000000000 и
0,0000000003 в стандартном виде. В таком виде можно предста-
вить любое положительное число.
3. Население Франции составляет 5,9 10
7
человек, а ее территория
равна 5,4 10
5
км
2
. Какой из ответов характеризует среднее число
жителей на 1 км
2
?
1) 9,2 чел 2) 92 чел 3) 11 чел 4) 110
чел
5,9 10
7
2
Решение. 1,09 10 110 человек. Ответ: 4.
5,4 10
5
4. Запишите 0,0032 в стандартном виде.
Решение. Чтобы представить 0,0032 в стандартном виде , нужно пе-
ренести запятую в числе 0,0032 на три знака вправо. Получим число
от 1 до 10. Итак: 0,0032 = 3,2 10
-3
. Ответ: 3,2 10
-3
.
Перевод единиц измерения
5. Переведите 155,4 м: а) в километры; б) в сантиметры; в) в милли-
метры. Решение. А) Так как 1 км = 1000 м, то надо решить пропор-
цию:
1 км = 1000 м
1155,4
, x = = 0,1554 .
x км = 155,4 м 1000
Ответ: 0,1554 км или 1,554 10
-1
км.
Б) Так как 1 м = 100 см, то 1,554 м = 155,4 100см = 15540см .
Ответ: 15540 см или 1,554 10
4
см.
В) Зная, что в 1 метре 1000 миллиметров, найдем, что в 155,4 мет-
рах 155400 миллиметров.
Ответ: 155400 мм или 1,554 10
5
мм.
6
Реши сам:
1. (Демо 2010 Задание 1) Площадь территории Испании составляет 506 тыс. км
2
. Как эта величина за-
писывается в стандартном виде? 1) 5,06 10
2
км
2
2) 5,06 10
3
км
2
3) 5,06 10
4
км
2
4) 5,06 10
5
км
2
2. Площадь территории некоторой страны составляет 342 тыс км
2
. . Как эта величина записывается в
стандартном виде?
3. Площадь территории некоторой страны составляет 2 млн. км
2
. Как эта величина записывается в
стандартном виде?
4. Общее количество биомассы Мирового океана оценивается в 35 миллиардов тонн. Как эта величина
записывается в стандартном виде?
1)
35 10
6
т 2)
35 10
9
т 3)
3,5 10
8
т 4)
3,5 10
10
т
5. Найдите десятичную дробь, равную 1,65 10
−4
1) 0,0165 2) 0,00165 3) 0,000165 4) 0,0000165
6. Площадь территории некоторой страны составляет 80 тыс. км
2
Как эта величина записывается в
стандартном виде?
7. Площадь территории некоторой страны составляет 12,34 тыс. км
2
. Как эта величина записывается в
стандартном виде?
8. Найдите десятичную дробь, равную
1,27 10
−4
.
1) 0,0127 2) 0,00127 3) 0,000127 4) 0,0000127
9. Найдите десятичную дробь, равную 1,18 10
−5
.
1) 0,00000118 2) 0,0000118 3) 0,000118 4) 0,00118
10. Площадь территории некоторой страны составляет 0,03 млн. км
2
. Как эта величина записывается в
стандартном виде?
11. Численность населения Китая составляет
1,3 10
9
человек, а Вьетнама -
8,5 10
7
человек. Во
сколько раз численность населения Китая больше численности населения Вьетнама?
1) примерно в 6,5 раза 3) примерно в 15 раз
2) примерно в 150 раз 4) примерно в 1,5 раза
12 Площадь территории России составляет
1,7 10
7
территория России больше территории Норвегии?
км
2
, а Норвегии -
3,2 10
3
км
2
. Во сколько раз
1) примерно в 1,9 раза; 2) примерно в 5,3 раз 3) примерно в 53 раз 4) примерно в 530 раза
13.Общее количество биомассы Мирового океана оценивается в 35 миллиардов тонн. Как эта величи-
на записывается в стандартном виде?
1)
35 10
6
т 2)
35 10
9
т 3)
3,5 10
8
т 4)
3,5 10
10
т
14. Площадь Кораллового моря 4,07 • 10
9
м
2
, а площадь Адриатического моря 1,44 • 10
8
м
2
. Во сколько
раз площадь Кораллового моря больше площади Адриатического моря?
1) примерно в 3 раза; 2) примерно в 30 раз; 3) примерно в 0,3 раза; 4) примерно в 5,5 раза.
15. Представьте значение выражения
(6 10
−3
)
2
в виде десятичной дроби.
Ответ:
Вернуться в содержание
7
Тема 2 Решение задачи на проценты, нахождение отношения двух вели-
чин и выражение его в процентах
Теория
Практика
Задачи на проценты.
Основным понятием является часть числа. Если за-
дана величина a , то ее k -я часть равна k a .
Процентом называется одна сотая часть вели-
чины 1% =
1
= 0,01 , то есть 1% = 1/100 от целого.
100
Значит, целое составляет 100%.
Например: 39% = 0,39 ; 0,9 = 90% ; 17,5% = 0,175 .
Чтобы перевести проценты в десятичную дробь,
надо разделить число процентов на 100.Например,
125% = 125:100 = 1,25%
Чтобы обратить десятичную дробь в проценты,
надо ее умножить на 100. Например, 0,971 =
0,971•100 = 97,1%
Нахождение процентного отношения чисел.
Чтобы найти процентное отношение чисел, надо
отношение этих чисел умножить на 100%:
à
100% .
â
Полезно вспомнить:
Для записи обыкновенной дроби в виде десятичной
достаточно разделить ее числитель на знаменатель.
6
это , т.е.
6
= 0,2
30
30
Пропорции:
1. Чтобы найти неизвестный крайний член пропор-
ции, нужно произведение средних членов этой про-
порции разделить на известный крайний.
2. Чтобы найти неизвестный средний член пропор-
ции, нужно произведение крайних членов этой про-
порции разделить на известный средний
1. Сколько процентов составляет 140 от 560?
Решение:
140
100% = 25% Ответ: 25%.
560
2. Месячный проездной билет для студентов
стоит 150 рублей. Сколько процентов от сти-
пендии составляет цена проездного билета,
если стипендия – 600 рублей?
Решение:
150
100% = 25% ответ: 25.
600
3. 60 – это часть числа 500. Какой процент она
составляет от 500?
Решение: 60: 500 = 6:50=0.12
0.12=0.12ꞏ100%=12% Ответ: 12%
4. Некоторый товар поступил в продажу по
цене 600р. В соответствии с принятыми в ма-
газине правилами цена товара в течении неде-
ли остается неизменной, а в первый день каж-
дой следующей недели снижается на 10% от
текущей цены. По какой цене будет продавать
товар в течение третьей недели?
1) 420 р. 2) 486 р. 3) 480 р. 4) 120 р.
Решение: В течение первой недели он прода-
ется по цене 600 р., второй - 600 0,9 = 540 р.,
третьей - 540 0,9 = 486 р. Ответ: 2.
5. 13% от 50.
Решение:1)13% =
13
= 0,13 ; 2) 50 0,13 = 6,5 .
100
Ответ: 6,5
8
Реши сам:
1. (Демо 2010 задание 2) Из 59 девятиклассников школы 22 человека приняли участие в городских
спортивных соревнованиях. Сколько примерно процентов девятиклассников приняли участие в сорев-
нованиях:
1) 0,37% 2) 27% 3) 37% 4) 2,7%
2. Сколько процентов (приблизительно) от числа 120 составляет число 70?
1) 58% 2) 5,8% 3) 17% 4) 171%
3. Сколько процентов (приблизительно) от числа 210 составляет число 300?
1) 70% 2) 700% 3) 14,3% 4) 143%
4. На хранение заложили 200 кг яблок. После зимы оказалось, что 25 кг яблок испортились. Сколько
примерно процентов яблок хорошо сохранилось?
1) 88% 2) 12% 3) 0,88% 4) 86%
5. Расходы на одну из статей городского бюджета составляют 12,5%. Выразите эту часть бюджета де-
сятичной дробью. Ответ:
6. Содержание некоторого вещества в таблетке витамина составляют 7,5%. Выразите эту часть деся-
тичной дробью. Ответ:
7. Сколько процентов (приблизительно) от числа 160 составляет число 110?
1) 14,5% 2) 145% 3) 690% 4) 69%
8. Сколько процентов от числа 300 составляет число 90?
1) 33,3% 2) 333% 3) 30% 4) 3%
10. Сколько процентов (приблизительно) от числа 180 составляет число 290?
1) 16% 2) 161% 3) 62% 4) 6,2%
11. Стоимость одного билета в кинотеатр составляет 220 рублей. Группам предоставляются скидки:
группе от 3 до 12 человек — 5%, группе более 12 человек —10%. Сколько заплатит за билеты группа
из 10 человек?
1) 1980; 2) 198; 3) 2090; 4) 209.
12. Укажите число, соответствующее 10%.
1) 0,1 2) 0,01 3) 1 4) 10
13. Укажите число процентов, соответствующее числу 0,02.
1) 0,2% 2) 2% 3) 20% 4) 5%
14. Найдите 20% от числа 15. Ответ:
15. От какого числа 17% составляют 85? Ответ:
Вернуться в содержание
9
Тема 3 Сравнение чисел, изображенных точками на координатной пря-
мой
Теория
Практика
Иррациональные числа нельзя представить
в виде отношения
m
, где m – целое число, а n –
n
натуральное. Таким образом, множество дей-
ствительных чисел состоит из рациональных и
иррациональных чисел.
Примеры:
1. 3,010010001…(единицы разделяются последова-
тельно одним, двумя, тремя и т.д. нулями);
-5,020022000222…(число нулей и число двоек
каждый раз увеличивается на единицу).
2. Число , выражающее отношение длины
окружности к диаметру:
= 3.1415926....
3. Найдем, например, приближенное значение 2
с тремя знаками после запятой.
Так как 1
2
меньше чем 2, а 2
2
больше чем 2, то
число 2 заключено между целыми числами 1 и 2
(см. рис. а). Значит, десятичная запись числа 2
начинается так: 2 = 1,... .
Найдем теперь цифру десятых. Для этого последо-
вательно будем возводить в квадрат десятичные
дроби 1,1; 1,2; 1,3; …, пока не получим число,
больше двух.
Имеем: 1,1
2
= 1,21 ; 1,2
2
= 1,44 ; 1,3
2
= 1,69 ;
1,4
2
= 1,96 ; 1,5
2
= 2,25 . Так как 1,4
2
меньше двух,
а 1,5
2
больше 2, то число 2 больше 1,4, но
меньше 1,5 (см. рис. б). Значит, 2 = 1,4 ...... Чтобы
найти цифру сотых, будем последовательно возво-
дить в квадрат десятичные дроби 1,41; 1,42; ….
Так как 1,41
2
= 1,9881, а 1,42
2
= 2,0164 , то чис-
ло 2 больше 1,41 и меньше 1,42 (см. рис. в). Зна-
чит, 2 = 1,41... .
1. Одна из точек, отмеченных на координатной
прямой, соответствует числу 39 . Какая это точ-
ка?
1) точка Q 2) точка M 3) точка N 4) точка
Р
Решение. 6 = 36 , 7 = 49 , 8 = 64 .
36 39 49 , следовательно, числу 39
соответствует одна из точек М или N.
Точка М ближе к числу 36 , точка N ближе к
49 .
Отметим середину отрезка: 6,5 = 42,25
36 39 42,25 , следовательно,
числу 39 соответствует точка М.
Ответ: 2.
7 3
2. Укажите наибольшее из чисел 0,6; 0,63; ; .
11 7
7 3
1) 0,6 2) 0,63 3) 4)
11 7
Решение. Можно рассуждать так: 0,6<0,63;
3
0,5 0,6 .Осталось сравнить 0,63 и
7
:
7 11
7
= 0,636... >0,63. Ответ: 3.
11
3. Какое из приведенных ниже неравенств являет-
ся верным при любых значениях a и b, удовлетво-
ряющих условию a b ?
1) b − a 0 3)
a − b 3
2) b − a −1 4) a − b −2
Решение: Проанализируем каждое из неравенств,
приведенных в ответах. 1) Из условия a b сле-
дует, что b − a 0 ; ответ не подходит. 2) Из
условия b − a 0 не следует, что b − a −1;
например, при a = 1,5 и b = 1 первое равенство
верно, а второе нет. 3) Рассуждаем так же, как и в
пункте 2; ответ не подходит. 4) Из условия
a − b 0 и 0 −2 , что a − b −2 ; значит, при
любых значениях а и b, удовлетворяющих усло-
вию a b , будет выполняться условие
10
60
Реши сам:
1. (Демо 2010) Числа x и y отмечены точками на координатной прямой. Расположите в порядке возрас-
1 1
тания числа ,
x y
и 1.
1
1) ,
x
1 1 1
, 1 2) 1, ,
y y x
1 1
3) , 1,
x y
1 1
4) , ,1
y x
2. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу
1) Точка А 2) Точка В 3) Точка С 4) Точка D
3. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу
1) Точка А 2) Точка В 3) Точка С 4) Точка D
. Какая это точка?
. Какая это точка?
4. Одна из точек на координатной прямой соответствует числу √52. Какая это точка?
1) Точка К 2) Точка Е 3) Точка F 4) Точка P
5. .Расположите в порядке возрастания числа 0,0157; 0,105; 0,07.
1) 0,07; 0,105; 0,0157; 2) 0,105; 0,07; 0,0157;
3) 0,0157; 0,105; 0,07; 4).0,0157; 0,07; 0,105.
6. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу . Какая это точка?
1) точка А 2) точка В 3) точка С 4) точка D
a − b −2 . Ответ: 4.
4. Каждое из чисел 15 , 17 , 38 соотнесите с
соответствующей ему точкой на координатной
прямой.
Решение. Определим, между какими двумя сосед-
ними целыми числами находится каждое из чисел
15 , 17 , 38 .
3 15 4 , значит, числу 15 соответствует
точка А.
4 17 5 , поэтому числу 17 соответствует
точка В.
6 38 7 , следовательно, числу 38 соответ-
ствует точка D.
Ответ: 15 → A , 17 → B , 38 → D .
68
77
11
14
114
7. Расположите в порядке убывания числа 0,1327; 0,014; 0,13.
1) 0,1327; 0,014; 0,13 3) 0,1327; 0,13; 0,014
2) 0,014; 0,13; 0,1327 4) 0,13; 0,014; 0,1327
8. Расположите в порядке возрастания числа 0,0801; 0,08; 0,108.
1) 0,08; 0,0801; 0,108 3) 0,08; 0,108; 0,0801
2) 0,108; 0,0801; 0,08 4) 0,0801; 0,08; 0,108
9. На координатной прямой (см. рис) отмечены числа a и b. Какое из приведенных
утверждений неверно?
1)
a
2
b 0
2)
a + b 0
3)
a − b 0
4)
b − a 0
10. Найдите координату точки А.
Ответ:
11. Для каждого из чисел
А) -3 Б) 3 В) 5
укажите соответствующую точку прямой.
Ответ:
А
Б
В
12. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу 2,3. Какая это точка?
Ответ:
13. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу . Какая это точка?
Ответ:
14. Какие из отмеченных точек находятся на расстоянии 3 от точек А?
Ответ:
15. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу . Какая это точка?
1) точка А 2) точка В 3) точка С 4) точка D
Вернуться в содержание
12
Тема 4 Нахождение значения буквенного выражения
Теория
Практика
Полезно помнить:
1. Чтобы сложить два числа с одинако-
выми знаками, надо сложить их модули и
перед суммой поставить их общий знак
Например:
(−3) + (−6) = −(3 + 6) = −9
(+3) + (+5) = +(3 + 5) = +8
2. Чтобы сложить два отрицательных
числа, нужно поставить знак «-» и сло-
жить их модули.
Например:
(−11) + (−24) = −(11+ 24) = −35
3. Чтобы сложить два числа с разными
знаками
Надо из большего модуля вычесть
меньший и поставить знак того модуля,
который больше:
Н-Р: -15 +8 = -(15 – 8) = - 7
4. При делении и умножении:
1. Произведение двух чисел с одинаковы-
ми знаками есть число положительное.
2. Произведение двух чисел с разными
знаками есть число отрицательное.
Н-р: 6 х (-4) = -24 -12 : (-6) = 2
5. При возведении в степень:
a
1
= a
a
2
= a a
a
3
= a a a
5
7
= 5 5 5 5 5 5 5
(−3)
4
= (−3) (−3) (−3) (−3) = +81
(−2)
5
= (−2) (−2) (−2) (−2) (−2) = −32
1. Найдите: a + 0,5b
3
при a = 20 и b = −4 .
Решение.
a + 0,5b
3
= 20 + 0,5 (−4)
3
= 20 + 0,5 (−64) = 20 − 32 = −12
Ответ: -12
2. Найдите 1,5x
3
− 3x
2
+ 4 при x = −1.
Решение: При x = −1:
1,5x
3
− 3x
2
+ 4 = −1,5 − 3 + 4 = −
1
.
-0,5
Ответ :
2
x
4
x
2
3. − + + x при x = −4 .
4 2
Решение: При x = −4 :
−
x
4
+
x
2
+ =−
(−4)
4
+
(−4)
2
+ − =−
4
4
+
16
− =− + =−
x ( 4) 4 64 4 60
4 2 4 2 4 2
Ответ: -60.
4. Найдите значение выражения
x
3
5
при x = − 5 .
5
Решение. При x = − 5 :
x
3
5
=
(− 5)
3
5
5 5
(− 5)
3
5
= −
( 5)
4
= −
5
4
= −
625
= −
25
= −
. Ответ: -5.
5
5 5 5 5 5
−2
5. Найти значение выражения
1
.
4
1
−2
1 1
Решение.
= = = 16
.
4
1
2
1
4
16
−
2 2
Или
1
4
2
. Ответ: 16.
4
=
1
= 4 = 16
6.
Найдите значение выражение
x
3
5
при
x = − 5
.
5
Решение. Подставим значение х в выражение.
При значение выражения
x
3
5
равно
(- 5)
3
5
.
x = − 5
5 5
(- 5)
3
5
= −
( 5)
4
= −
5
4
= −
625
= −
25
= −
Ответ: -5.
5
5 5 5 5 5
7. Найдите значение выражения a
2
− b
2
при a = 8 ;
b = −6 .
Решение. Подставим значения а и b в выражение.
a
2
−b
2
= 8
2
−(−6)
2
= 8
2
− 6
2
(8 − 6)(8 + 6) = 214 = 2 2 7 = 2 7
Ответ: 2 7 .
13
a
Реши сам:
1. (Демо 2010 задание 4) Найдите значение выражения
a
2
a
4
x
4
+
x
3
4 3
− 1 при
x = 1. Ответ:
2. a − −
2 4
при a = −4 . Ответ:
3.
ax
a + x
4.
x − y
xy
при
при
a =
1
2
x =
1
5
и x =
1
. Ответ:
3
и y =
1
. Ответ:
3
5.
a + b
b
при
a = −2,5 и b = 3. Ответ:
6.
3a
2
+ a + 1 при
a = −
1
. Ответ:
4
7. 1 − 0,5a
2
+ 2a
3
при
a = −1. Ответ:
8. 20x
3
− 8x
2
+ 4 при x = −0,1. Ответ:
9.
1
−
при
a = 0,04 и c = 0,64 . Ответ:
10. 1 − 7 y
2
+ 30 y
3
при y = −0,1. Ответ:
11.
12.
0,2x
3
+ x
2
+ x
0,6x
3
− x
2
− x
при
при
x = 10 . Ответ:
x = −10 . Ответ:
13.
a − b
a + b
при
a = −0,2 и b = −0,6 . Ответ:
14.
a
2
+ b
2
при
a = 12 и b = −5. Ответ:
15.
x
2
− y
2
при
x = 10 и y = −6 . Ответ:
Вернуться в содержание
c
14
Тема 5 Выражение из формул одних величин через другие
Теория
Практика
Запись какого либо правила с
помощью букв называют фор-
мулой.
Запишем правило нахождение
пути по скорости и времени дви-
жения в буквенном виде. Обозна-
чим путь буквой s, скорость —
буквой v и время — буквой t. По-
лучим равенство
s = vt
— это ра-
венство называют формулой пути.
По формуле пути можно решать
различные задачи.
Полезно вспомнить:
1. Чтобы найти неизвестное сла-
гаемое надо из суммы вычесть из-
вестное:
а + х = в; х = в-а
2. Чтобы найти неизвестный
сомножитель надо произведение
разделить на известный: а*х=в;
х=в:а
3. Чтобы найти неизвестный де-
литель надо делимое разделить на
частное: а:х=в; х=а:в
4. Чтобы найти неизвестное де-
лимое надо делитель умножить на
частное: х:а=в; х=а*в
1. Автомобиль движется со скоростью 60 км/ч. За какое время он
пройдет путь в 600 км?
Решение. Заменим в формуле
s = vt
буквы s и v их значениями:
s = 600
,
v = 60
. Получим уравнение:
600 = 60t
. Из него находим,
что
t = 600 : 60
, то есть
t = 10
. Значит, чтобы проехать 600 км, ав-
томобиль должен двигаться 10 ч.
Ответ: за 10 ч.
2. Из формулы скорости газовых молекул v =
3 p
выразите дав-
d
ление газа p.
3 p V
2
d
Решение: V = ; p =
d 3
3. Зная длину своего шага, человек может приближенно подсчитать
пройденное им расстояние s по формуле s = nl , где n — число ша-
гов, l — длина шага. Какое расстояние прошел человек, сделавший
4000 шагов, если длина его шага составляет примерно 55 см? Ответ
выразите в километрах.
Решение.
s = 4000 55см = 220000см = 2200м = 2,2км
. Ответ: 2,2 км.
4. Выразите из формулы скорости равноускоренного движения
v = v
0
+ at время t.
Решение. Выполним два шага: 1) сначала выразим at ; 2) Затем вре-
мя t. 1) at = v − v ; 2) t =
v − v
0
. Ответ:
t =
v − v
0
.
0
a
a
15
Реши сам:
t
1. (Демо 2010 Задание 5) Из формулы периода обращения T = выразите время
N
вращения t. Ответ:
2. Выразите из формулы F = 1,8C + 32 переменную С. Ответ:
3. Выразите из формулы l = 1 + 7,8t переменную t. Ответ:
4. Из формулы a =
v − v
0
t
5. Из формулы a =
v − v
0
t
выразите переменную v. Ответ:
выразите переменную t. Ответ:
6. Из формулы
=
P
выразите переменную V. Ответ:
V
A
7. Из формулы
N = выразите переменную A. Ответ:
t
8. Из формулы
9. Из формулы
1
=
1
+
1
x a b
1
=
1
−
1
y a b
выразите переменную b. Ответ:
выразите переменную a. Ответ:
10. Выразите из формулы скорости равноускоренного движения v = v
0
+ at
a.Ответ:
ускорение
11. Выразите из формулы пути равномерного движения s = s
0
+ vt
nmv
2
скорость v. Ответ:
13. Из формулы давления газа
p = выразите скорость молекул v. Ответ:
3
14. Объем цилиндра вычисляется по формуле V =
R
2
H , где R – радиус основания, Н – высота ци-
линдра. Выразите из этой формулы радиус R. Ответ:
at
2
15. Из формулы пути равноускоренного движения s = выразите время t Ответ:
2
Вернуться в содержание
16
Тема 6 Применение свойств арифметических квадратных корней для
вычисления значений выражений
Теория
Практика
Арифметический квадратный
корень
Определение: a = b ,
где a 0 , b 0 , b
2
= a
Свойства:
1. ( a )
2
= a , если a 0
2. a
2
=| a |=
a, если a 0
− a, если a 0
3. a
2n
=| a
n
| , если a R
4. a b = ab , если a 0 ,
b 0
5.
a
=
a
, если a 0 , b 0
b
b
Предостережение. При возведе-
нии в квадрат произведения воз-
водите в степень все множители.
Сокращение дроби выполняйте
аккуратно.
Совет. Запишите «квадрат» (и
даже куб) умножением двух
(трех) скобок, не возводя в сте-
пень. Ответ будет без корня. Обя-
зательно сократите дробь.
1.
5 12
=
60
= 3
. Ответ: 3.
20 20
2. Найдите значение выражения
(3 5)
2
15
Решение.
(3 5)
2
=
3
2
( 5)
2
=
9
5
=
. Ответ: 3.
3
15 15 15
3. При a = 0,4 ; b = 0,2 :
a − b
2
= 0,4 − (0,2)
2
= 0,4 − 0,04 = 0,36 = 0,6
.
Ответ: 0,6.
4. 2 2 5 3 6 = 2 5 2 3 6 = 10 36 = 10 6 = 60 . Ответ: 60.
5.
( 3)
4
=
3
2
=
1
. Ответ:
1
.
18 18 2
2
6. При a = 8 :
1
a
4
=
1
( 8)
4
=
1
8
2
=
64
= 16
. Ответ: 16.
4 4 4 4
7. 3
6
2
4
5
2
= 3
6
2
4
5
2
= ( 3
3
)
2
( 2
2
)
2
5
2
=
= 3
3
2
2
5 = 27 4 5 = 540 . Ответ: 540.
8. Найдите
2 2 + x
при x = −1,19 .
15
Решение.
2 2 + x
=
2 2 −1,19
=
2 0,81
=
2 0,9
=
3
.Ответ:
3
= 0,12
15 15 15 15 25
25
9. Найдите значение выражения:
(5 3)
2
.
15
Решение:
(5 3)
2
=
25 3
=
. Ответ: 5.
5
15 3
5
17
2
6
18
50
26
15
6
10
6
Реши сам:
1. (Демо 2010 задание 6) Какое из данных выражений нельзя преобразовать к виду
15
?
10
1)
3
4 5
2)
3
3)
20
3
4)
3
2 5
10
2. Выберите выражение, значение которого — иррациональное число.
1) (2 3)
2
3) 3 2)
4)
3
12
3. Выберите выражение, значение которого — иррациональное число.
1) 2 3)
2
2) (2
50
5)
2
4) 5
4. Найдите значение выражения 2
Ответ:
5. Найдите значение выражения 3
Ответ:
13
5 2
2 5 .
3 .
6. Найдите значение выражения
Ответ:
7. Найдите значение выражения
Ответ:
8. Найдите значение выражения.
Ответ:
6
.
(2 3)
2
.
36
.
32
9. . Найдите значение выражения
Ответ:
10. Найдите значение выражения 2
Ответ:
11. Найдите значение выражения 3
Ответ:
2 5
2
.
3 .
5 4
12. Найдите значение выражения
Ответ:
13. Найдите значение выражения
Ответ:
14. Найдите значение выражения.
Ответ:
15. Найдите значение выражения
Ответ:
8 5 .
3 8 .
.
.
Вернуться в содержание
3
2
3
(2 6)
2
( 2)
6
3
6
2
4
5
2
10
15
6 10
3 8
6
18
2
S
S
2
Диагностическая контрольная работа №1
1. Найдите десятичную дробь, равную 1,65 10
−4
1) 0,0165 2) 0,00165 3) 0,000165 4) 0,0000165
2. Суточная норма потребления витамина С для взрослого человека составляет 60 мг. В 100 г свеклы в
среднем содержится 23 мг витамина С. Сколько примерно процентов суточной нормы витамина С по-
лучил человек, съевший 100 г свеклы?
1) 38% 2) 0,38% 3) 260% 4) 2,6 %
3. Числа х и y отмечены точками на координатной прямой. Расположите в порядке возрастания числа
1 1
, , 1.
x y
1
1) ,
x
1 1 1
, 1 2) 1, ,
y x y
1 1
3) 1, ,
y x
1 1
4) , , 1
y x
4. Найдите значение выражения
x
4
+
x
3
−
при
x = 1. Ответ:
4 3
5. Площадь боковой поверхности цилиндра, высота которого равна радиусу основания R, вычисляется
по формуле S = 2
R
2
. Выразите из этой формулы радиус основания R.
1) R = 2)
R =
2
S
c
−6
c
3
3) R = 4) R =
6. Представьте выражение
c
− 2
в виде степени.
1) c
0
2) c
6
3) c
−5
4) c
−1
Вернуться в содержание
S
2
1
19
Тема 7 Преобразование целых выражений
Формулы сокращенного умножения
Примеры
1. a
2
− b
2
= (a − b)(a + b)
9
−
x
4
=
3
2
−
(
x
2
)
2
=
(3
−
x
2
)(3
+
x
2
)
(2
n
−
5)(5
+
2
n
)
=
(2
n
)
2
−
5
2
=
4
n
2
−
25
2. (a b)
2
= a
2
2ab + b
2
(4 + 3z)
2
= 16 + 24z + 9z
2
25
−
10
y
+
y
2
=
5
2
−
2
5
y
+
y
2
=
(5
−
y
)
2
3. a
3
b
3
= (a b)(a
2
ab + b
2
)
27 − a
6
= 3
3
− (a
2
)
3
= (3 − a
2
)(9 − 3a
2
+ a
2
)
(4 + x)(16 − 4x + x
2
) = 4
3
+ x
3
= 64 + x
3
4. (a b)
3
= a
3
3a
2
b + 3ab
2
b
3
(2 − n)
3
= 8 −12n + 6n
2
− n
3
343 + 21x
10
+ 147x
5
+ x
15
= (7 + x
5
)
3
Способы разложения на множители
1. Вынесение общего множителя за скобки 2ab
2
− 4a
2
c = 2a (b
2
− 2ac)
2. Способ группировки 3a + 6b − a
2
− 2ab = 3 (a + 2b) − a(a + 2b) = (a + 2b)(3 − a)
3. Разложение квадратного 3-х члена на множители: ax
2
+ bx + c = a(x − x
1
)(x − x
2
) , где
уравнения ax
2
+ bx + c = 0
x
1
,
x
2
- корни
Пример: 2x
2
− x − 10 = 2(x −
5
)(x + 2) = (2x − 5)(x + 2) . Так как 2x
2
− x −10 = 0 ;
2
D = 81,
x
1
=
5
,
2
x
2
= −2 .
4. Какое из следующих тождеств равно произведению a(a − 2) ?
1) a(2 − a) 2) − a(2 + a) 3) − a(2 − a) 4) − a(a − 2)
Решение. Преобразуем данное выражение: a(a − 2) = a a − a 2 = a
2
− 2a .
Преобразуем выражения:
1) a(2 − a) = a 2 − a a = 2a − a
2
= −a
2
+ 2a
- не совпадает с исходным;
2) − a(2 + a) = −a 2 − a a = −2a − a
2
= −a
2
− 2a
- не совпадает с исходным;
3) − a(2 − a) = −a 2 − a (−a) = −2a + a
2
= a
2
− 2a - совпадает с исходным;
4) − a(a − 2) = −a a − a (−2) = −a
2
+ 2a
- не совпадает с исходным;
Другие решения: Преобразуем выражения и сравним с исходным.
1) a(2 − a) = a(−a + 2) = −a(a − 2)
- не совпадает с исходным;
2) − a(2 + a) = −a(a + 2)
- не совпадает с исходным;
3) − a(2 − a) = −a(−a + 2) = a(a − 2)
- совпадает с исходным;
4) − a(a − 2)
- не совпадает с исходным. Ответ : 3.
5. Укажите выражение, тождественно равное дроби
x − 2
.
1 − x
1) −
2 − x
2)
x −1
2 − x
1 − x
3) −
2 − x
1 − x
4)
x − 2
x − 1
Решение. Будем преобразовывать выражения, приведенные в ответах, начиная с первого:
1) −
2 − x
=
x − 2
; 2)
2 − x
=
x − 2
; 3) −
2 − x
=
x − 2
. Ответ: 3.
x −1 x −1 1 − x x −1 1 − x 1 − x
6. В какой многочлен можно преобразовать выражение (a − 3)
2
− 2a(a − 3) ?
1) − a
2
− 12 2) − a
2
+ 6a − 9 3) − a
2
+ 3a + 9 4) 9 − a
2
Решение.
(a − 3)
2
− 2a(a − 3) = a
2
− 6a + 9 − 2a
2
+ 6a = 9 − a
2
. Ответ: 4.
20
Реши сам:
1. (Демо 2010 задание 7) В какое из приведенных ниже выражений можно преобразовать произведение
(x − 4)(x − 2) ?
1) (x − 4)(2 − x) 2) − (x − 4)(2 − x) 3) (4 − x)(x − 2) 4) − (4 − x)(2 − x)
2 Какое из следующих выражений тождественно равно произведению (х - 8)(x- 3)?
1) (х - 8)(3 - х) ; 2) (8-х)(3-х); 3) (8 - х)(х - 3); 4) -(х - 8)(х - 3)
3. Преобразуйте в многочлен выражение (a − 1)
3
+ 2a(3a − 4) . Ответ:
4. Какое из выражений нельзя преобразовать в произведение (4 − y)
2
(2 − y) ?
1) − ( y − 4)
2
( y − 2) ; 2) − (4 − y)
2
( y − 2) ; 3) ( y − 4)
2
(2 − y) 4) ( y − 4)
2
( y − 2)
5. В каком случае выражение преобразовано в тождественно равное?
1) 3(x − y) = 3x − y
3) (x − y)
2
= x
2
− y
2
2) (3 + x)(x − 3) = 9 − x
2
4) (x + 3)
2
= x
2
+ 6x + 9
6. В каком случае выражение преобразовано в тождественно равное?
1) (a + b)
2
= a
2
+ b
2
3) (x − y)
2
= x
2
− y
2
7. Упростите выражение 6x + 3(x −1)
2
.
2) - (a + b)(b − a) = b
2
− a
2
4) (x + 3)
2
= x
2
+ 6x + 9
1) 3x
2
+ 3
3) 9x
2
− 6x + 9
2) 3x
2
+ 1
4) 3x
2
+ 6x − 3
8. Упростите выражение 4(1 − a)
2
+ 8a .
1) 16a
2
− 24a + 16
3) 4a
2
+ 4
9.
В выражении
4a
2
− 6ab
1) − 2a(2a − 3b)
3) − 2a(3b − 2a)
10.
В выражении
9ab − 6b
2
1) − 3b(2b − 3a)
3) − 3b(3a − 2b)
2) 4 + 8x − 4a
2
4) a
2
+ 4
вынесите за скобки множитель
− 2a
.
2) − 2a(2a − 6b)
4) − 2a(6b − 2a)
вынесите за скобки множитель – 3b
2) − 3b(3a − 6b)
4) − 3b(6b − 3a)
11. Найдите второй множитель в разложении на множители квадратного трехчлена:
2x
2
+ 5x − 3 = (x + 3)(...) .
Ответ:
12. Найдите второй множитель в разложении на множители квадратного трехчлена:
3x
2
− 5x − 2 = (x − 2)(...) .
Ответ:
13. В каком случае выражение преобразовано в тождественно равное?
1) (x − 2) y = x − 2 y
2) (x + y)( y − x) = x
2
− y
2
3) (2 − x)
2
= 4 − 4x + x
2
4) (x + y)
2
= x
2
+ y
2
14. Какое из следующих выражений тождественно равно произведению (2 − x)(3 − x) ?
1) (x − 2)(3 − x)
3) (x − 2)(x − 3)
2) (2 − x)(x − 3)
4) − (x − 2)(x − 3)
15. Какое из выражений нельзя преобразовать в произведение (m −1)
2
(m − 3) ?
1) − (m −1)
2
(3 − m)
2) − (1 − m)
2
(3 − m)
3) (1 − m)
2
(3 − m)
4) (1 − m)
2
(m − 3)
Вернуться в содержание
21
Тема 8 Преобразование рациональных выражений
Действия с алгебраическими дробями
Теория
Практика
1.
a
m
+
b
m
=
a + b
m
x
+
2
=
x
+
2
y
+
1 y
+
1 y
+
1
2.
a
m
b
=
a b
m m
3
−
x
=
3 − x
1 − x
3
1 − x
3
1 − x
3
3.
a
b
c
=
a c
d b d
x
8
=
8x
=
2x
4 (x − 1) 4 (x − 1) x − 1
4.
a
m
+
b
=
a n + b m
n m n
3a
+
7n
2
=
3a
2
+ 7bn
2
b a ab
5.
a
m
b
=
a n b m
n m n
15a
2
−
15a
2
− 5a(3a − 2)
=
15a
2
−15a
2
+ 10a
=
10a
3a − 2
5a =
3a − 2 3a − 2 3a − 2
a
:
c
=
a
d
=
a d
b d b c b c
a
2
− 4 3a + 6 (a − 2)(a + 2) 4a
2
(a − 2) 2a
: = =
2a
4a
2
3(a + 2) 2a 3
Основное свойство дроби:
a
=
a m
, b 0 , m 0
b b m
x
2
+ xy x(x + y) x
Сократите = = , при x + y 0
x
2
− y
2
(x + y)(x − y) x − y
22
Реши сам:
3 − 7m
2
1. (Демо 2010 задание 8) Представьте выражение 6m + в виде дроби
m
2. Сократите дробь
5ab − 25a
2
10ab
ab
2
− 2ab
. 1)
b − 5a
2a
2
2)
b − 5a
2b
b − 2
3)
5ab − 25a
10ab
2
4)
5
b
b −1
3. Сократите дробь
2ab
. 1)
ab
2)
2
3)
b − a
4)
4. Сократите дробь
3ax
3ax − ax
2
. 1)
3
3 − x
1
2)
ax
2
a − c
1
3)
1 + x
1
4)
x + ax
5. Укажите выражение, тождественно равное дроби
b − c
.
c − a
1)
b − c
a − c
2)
c − b
3)
a − x
c − a
c − b
4)
−
c − a
c − b
6. Укажите выражение, тождественно равное дроби
b − x
.
x − a
1)
b − x
a − x
2)
x − b
3)
−
x − a
x − b
4)
−
x − a
b − x
7. Упростите выражение:
1
−
x + y
. Ответ:
x xy
8. Упростите выражение:
b
−
b
2
+ c
2
. Ответ:
c bc
a
2
− 9
+
9. Упростите выражение:
a
2
+ 6a + 9
(a
3)
. Ответ:
10. Упростите выражение:
x
2
− 2xy + y
2
x
2
− y
2
3 + 5a
2
: (x − y)
. Ответ:
11. Упростите выражение 5a −
a + 1
Ответ:
12. Упростите выражение c −
c
2
− 5
c + 1
Ответ:
13. Упростите произведение
x + 1
2x − 2 y
y
x
2
− 1
3y
2
x
2
− y
2
Ответ:
14. Упростите частное
:
3x
6x
2
Ответ:
15. Упростите частное
5m − 5n
:
n
m
2
− n
2
n
2
Ответ:
Вернуться в содержание
23
Тема 9 Решение квадратного уравнения
Теория
Практика
Квадратное уравнение имеет вид
ах
2
+bх+с=0, где а – старший коэффици-
ент, b – средний, с – свободный коэффи-
циент.
Неполные уравнения
Неполным квадратным уравнением
называется уравнение вида
ax
2
+ bx = 0, либо аx
2
+ c = 0
1) Если c = 0 , то уравнение имеет вид
ax
2
+ bx = 0 .
Правило. Уравнение вида ax
2
+ bx = 0
решается разложением на множители –
вынесением общего множителя за скобки
и всегда имеет два корня, один из кото-
рых равен нулю.
2) Если b = 0 , то уравнение имеет вид
ax
2
+ c = 0 .
Правило. Уравнение вида ax
2
+ c = 0
решается только тогда, когда у коэффи-
циентов а и с разные знаки. Оно решается
разложением на множители по формуле
разности квадратов.
Полные уравнения
ax
2
+ bx + c = 0 ; D = b
2
− 4ac
Если D 0 , то
x
1,2
=
− b D
- два корня.
2a
Если D = 0 , то x
1
= −
b
- один корень.
2a
Если D 0 , то корней нет.
Алгоритм решения:
1.Записать коэффициенты: а, b, с.
2.Вычислить дискриминант D
3.Применить формулу корней квадратно-
го уравнения.
4.Записать ответ
1. Решить уравнение 5x
2
+ 15x = 0 .
Решение. Вынесем за скобки 5x : 5x (x + 3) = 0 - произве-
дение равно нулю, если один из сомножителей равен ну-
лю.
5x = 0 x + 3 = 0
x = 0
или
x = −3
1 2
2. 4x
2
− 9 = 0 .
Решение. Разложим левую часть уравнения на множители
(2x − 3)(2x + 3) = 0
2x − 3 = 0 2x + 3 = 0
2x = 3 или 2x = −3
x
1
=
3
x
1
= −
3
2 2
3. Решите уравнение x
2
− 5 = 0 .
Решение. Разложим левую часть уравнения на множители
x
2
− ( 5)
2
= 0
(x − 5)(x + 5) = 0
x − 5 = 0
или
x + 5 = 0
.
x
1
= 5 x
1
= −5
4. Решите уравнение 3x
2
+ 4 = 0 .
Решение. Решений нет, так как это сумма квадратов,
а не разность
5.
Реши уравнение :
2x
2
+ 3x − 2 = 0
,
Решение.
D = 9 − 4 2 (−2) = 25
.
− 3 − 5 − 8
;
− 3 + 5 2 1
. Ответ:
− 2
;
1
.
x
1
=
4
=
4
= −2
x
2
=
4
=
4
=
2
2
6. Решите уравнение 2x
2
− x − 6 = 0 .
Решение:
x =
1 1 + 4 2 6
=
1 7
; Ответ: 2, -1,5.
1,2
4 4
24
Реши сам:
1. (Демо 2010 задание 9) Решите уравнение
2.
Решите уравнение:
4x
2
+ 20x = 0
3.
Решите уравнение:
3x
2
−15 = 0
4.
Решите уравнение:
3x
2
−12x = 0
5.
Решите уравнение:
2x
2
+ 3x − 5 = 0
x
2
+ 7x − 18 = 0 .
6. Для каждого уравнения укажите число его корней, вписав в таблицу под каждой буквой соответ-
ствующий номер ответа:
А)
(x + 1)
2
= 0
Б) x
2
+ 1 = 0 В)
x
2
+ x = 0
Г)
x
2
− x = 0
1) Один корень 2) Два корня 3) Нет корней
Ответ:
А
Б
В
Г
7. Для каждого уравнения укажите число его корней, вписав в таблицу под каждой буквой соответ-
ствующий номер ответа:
А)
x
2
+ 2x = 0
Б)
x
2
+ 2 = 0
В)
(x − 2)
2
= 0
Г)
x
2
− 2x = 0
1) Один корень 2) Два корня 3) Нет корней
Ответ:
А
Б
В
Г
8. Какое из уравнений имеет иррациональные корни?
1)
x
2
− 3x − 4 = 0
3)
x
2
− 4x + 5 = 0
2)
x
2
− 4x − 3 = 0
4)
x
2
− 4x + 4 = 0
9.
Решите уравнение:
3x
2
− 8x − 3 = 0
. Ответ:
10.
Решите уравнение:
4x
2
+ 3x −1 = 0
. Ответ:
11. Найдите корни уравнения: (2x − 5)(2 + x) = 0 .Ответ:
12. Найдите корни уравнения: (2x + 9)(5 − x) = 0 . Ответ:
13. Решите уравнение:
− x
2
+ 7x −10 = 0
. Ответ:
14. Решите уравнение 2x
2
− 5x + 3 = 0 . Ответ:
15 . Решите уравнение 14 − x
2
= 0 . Ответ:
Вернуться в содержание
25
ния).
от уравнений,
П
ть решения
ые решения
и. В этом
ординаты в
ний перемен-
ние системы в
Р
переменными
x
П
y
2
= 1
. Под
лучим:
1
1
.
4
мулу x = 1 − 2 y ; y
2
= 1, п
чения второй
льзоваться в
истемы есть
;− ) , (−1;1) .
8
равнений втор
найти ее реше
= 5,
Р
п
торого урав
дставим в п
x
ельно x: x
2
−
1.
уравнения пере
ие вместо x выра
2 y
2
= 2
.
ильное урав
.
1
= 5
Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными
Теория Практика
Решить систему уравнений – значит найти
множество её решений.
Решением системы двух уравнений с двумя пе-
ременными является пара значе
ных, обращающая каждое уравне
1. Решим систему уравнений
x
2
− 3xy − 2 y
2
= 2,
x + 2 y =
ешение: Выразим из второго менную
верное числовое равенство.
через y:
x = 1 − 2 y
.
Системы уравнений с двумя
можно решать: а) графическим способом;
б) способом подстановки;
в) способом сложения (вычита
Выбор способа решения зависит
входящих в систему.
Графический способ применим к решению
одставим в первое уравнен жение
1 − 2 y , получим уравнение с переменной y:
(1 − 2 y)
2
− 3(1 − 2 y) y −
осле упрощения получим равнос нение
8 y
2
− 7 y −1 = 0
любой системы, но с помощью графиков урав-
нений можно приближенно находи
системы. Лишь некоторые найденн
Решив его, найдем, что
y = −
1
, ставив в
8
системы могут оказаться точным
можно убедиться, подставив их ко
уравнения системы.
формулу x = 1 − 2 y
1
y = −
1
, по
1
8
Способ подстановки «хорош» при решении
систем, когда одно из уравнений является
уравнением первой степени. Полезно помнить
алгоритм решения этим способом:
1. Из уравнения первой степени выражают одну
переменную через другую.
x
1
= 1 − 2 (−
8
) =
Подставив в фор олучим:
x
2
= 1 − 2 1 = −1
.;Итак система имеет два решения:
2. Подставляют полученное выражение в урав-
нение второй степени
3. Решают получившееся уравнение.
x = 1
1
,
1
4
y = −
1
1
8
и
x
2
= −1
,
1
y
2
= 1
.Ответ можно
1
4. Находят соответствующие зна
переменной.
Способом сложения лучше по
случае, когда оба уравнения с
уравнения второй степени.
записать также в виде пар: (1
4
Если система состоит из двух у ой сте-
пени с двумя переменными, то ния
обычно бывает трудно. В отдельных случаях такие
системы удается решить, используя способ подста-
новки или способ сложения.
2. Решим систему уравнений
x
2
− y
2
xy = 6.
ешение: Т.К. x 0 , выразим из в нения
еременную y через x:
y =
6
.; По ервое
x
6
уравнение вместо y выражение .
Получим уравнение относит
6
2
.
x
1
= −3, x
2
= 3.
x
26
12
По формуле
y =
6
находим y:
x
y
1
= −2
,
y
2
= 2
.
Значит, система имеет два решения:
x
1
= −3
,
y
1
= −2
и
x
2
= 3
,
y
2
= 2
.
Ответ: (−3;−2) , (3;2) .
3. Вычислите координаты точки В.
Решение. Точка В является пересечением прямых
2x − 3y = −8 и x − 4 y = −5 . Решив систему
2x − 3y = −8
x − 4 y = −5
, найдем, что
x = −3,4 ; y = 0,4 .
Ответ: В(-3,4;0,4).
xy = −12
4. Решите систему уравнений .
(x − 2)( y − 4) = −8
Решение. Преобразуем второе уравнение системы
(x − 2)( y − 4) = −8 к виду xy − 2 y − 4x + 8 = −8 .
Подставим в него xy = −12 . Выполнив преобразова-
ния, получим систему:
xy = −12
2x + y = 2
.
Решив эту систему, получим: (-2;6), (3;-4).
Ответ: (-2;6), (3;-4). Возможна запись ответа в другом
виде: x
1
= −2 , y
1
= 6 , x
2
= 3, y
2
= −4 , или
x
1
= −2
x
2
= 3
y = 6
и
y = −4
.
1 2
Другое возможное решение. Выразим из первого
уравнения одну из переменных через другую, напри-
мер,
y = −
12
x
. Подставим
y = −
12
x
во второе урав-
нение системы, получим уравнение
(x − 2)( + 4) = 8 . После преобразований получим
x
квадратное уравнение x
2
− x − 6 = 0 .
Найдем корни данного уравнения и соответствующие
значения y, получим: (-2;6), (3;-4).
27
Реши сам:
1. (Демо 2010 задание 10) Окружность, изображенная на рисунке, задается уравнением
x
2
+ y
2
= 1.
Используя этот рисунок, для каждой системы уравнений укажите соответствующее ей утверждение.
x
2
+ y
2
= 1
А)
y = −x
x
2
+ y
2
= 1
Б)
y = x − 2
x
2
+ y
2
= 1
В)
y = −1
Ответ:
1) Система имеет одно решение
2) Система имеет два решения
3) Система не имеет решений
2. Для каждой системы уравнения определите число ее решений (используйте графические соображе-
ния). В таблице под каждой буквой запишите номер соответствующего ответа.
y =
6
А)
x
1) Нет решений
y = −x
2
y =
6
Б)
x
2) Одно решение
y = −3x
y =
6
В)
x
3) Два решения
y
=
3x
Ответ:
3. Вычислите координаты точки В.
Ответ:
4. На рисунке изображен график функции
А.
y = 2x
2
+ 3x − 2 . Вычислите абсциссу точки
Ответ:
А
Б
В
А
Б
В
28
x = y + 3.
5. На рисунке изображен график функции
точки А.
Ответ:
y = −3x
2
− 5x + 2 . Вычислите абсциссу
2x − 3y = 5,
6. Решите систему уравнений:
x − 6 y = −2.
Ответ:
7 -10. Решите способом подстановки систему уравнений:
7.
y
2
− x = −1,
y = x − 1,
9.
x
2
− 2 y = 26.
xy + x = −4,
8.
x − y = 6.
x + y = 9,
10.
y
2
+ x = 29.
x + y = 2,
11. Решите систему уравнений:
xy = −15.
1) (5;-3), (-5;3) 2) (-5;7), (3;-1)
3) (5;-3), (-3;5) 4) (-5;7), (5;-7)
xy = 12,
12. Решите систему уравнений:
x − y = 4.
1) (6;2), (-6;-2) 2) (-2;-6), (6;2)
3) (6;-2), (2;-6) 4) (-6;-10), (2;-2)
13. Для каждой системы уравнений определите число ее решений (используйте графические сообра-
жения).
В таблице под каждой буквой запишите номер соответствующего ответа.
y =
1
y =
1
y =
1
А)
x
Б)
x
В)
x
y
=
−
x
y
=
x
3
y
=
−
x
2
1) Два решения 2) Одно решение 3) Нет решений
Ответ:
А
Б
В
14. На рисунке изображен график функции у = 5х
2
+ 14х - 3. Вычислите абсцис-
су точки А.
Ответ:
15. Решите систему уравнений:
2x + y = −11,
. Ответ:
3x − 5 y = 16
Вернуться в содержание
29
Тема 11 Составление уравнения по условию текстовой задачи
Теория
Практика
Решение сложных задач целесооб-
разно начать с повторения алго-
ритма решения системы уравне-
ний с 2-мя неизвестными:
-Обозначить неизвестную величи-
ну переменной (при решении зада-
чи с помощью системы уравнения
вводят несколько переменных);
-Выразить через нее другие вели-
чины;
-Составить уравнение (или систе-
му уравнений), показывающее за-
висимость неизвестной величины
от других величин;
-Решить уравнение (или систему
уравнений);
-Сделать проверку при необходи-
мости;
-Выбрать из решений (или систему
уравнений) те которые подходят
по смыслу задачи;
-Оформить ответ.
2. Задачи на движение по реке.
При решении задач на движение
по реке необходимо учесть, что
v
ïîòå÷
= v
ñîá
+ v
ò . ð.
,
v
ïðîòèâòå÷
= v
ñîá
− v
ò . ð.
где:
v
ïîòå÷
– скорость по течению ре-
ки;
v
ïðîòèâòå÷
– скорость объекта при
движении против течения реки;
v
ñîá
– собственная скорость дви-
жущегося объекта;
v
ò . ð.
– скорость течения реки.
1. Расстояние между двумя причалами по реке 14 км. На путь
против течения реки лодка затратила на 1 ч больше, чем на об-
ратный путь по течению. Найдите собственную скорость лодки,
если скорость течения реки 2 км/ч.
Обозначьте буквой х собственную скорость лодки (в км/ч) и со-
ставьте уравнение по условию задачи.
1)
14(x − 2) −1 = 14(x + 2)
2)
14
−
14
= 1
x − 2 x + 2
14 14
3)
− = 1
4)
14(x + 2) −14(x − 2) = 1
x + 2 x − 2
Решение. x (км/ч) — собственная скорость лодки, тогда
x + 2
(км/ч) — скорость по течению,
x − 2
(км/ч) — скорость
против течения.
Расстояние между причалами 14 км, следовательно,
14
x + 2
(ч) — время движения лодки по течению;
14
x − 2
(ч) — время движения лодки против течения.
Время движения лодки против течения больше, чем по течению,
14 14
на 1 час, поэтому составим уравнение:
− = 1
.
x − 2 x + 2
Ответ: 2.
2. Прочитайте задачу: «От турбазы до станции турист доехал на
велосипеде за 5 ч. На мопеде он мог бы проехать это расстояние
за 3 ч. Известно, что на мопеде он едет со скоростью на 8 км/ч
больше, чем на велосипеде. Чему равно расстояние от турбазы
до станции?»
Выберите уравнение, соответствующее условию задачи, если
буквой х обозначено расстояние (в км) от турбазы до станции.
x x
1) 5(x − 8) = 3x 3) − = 8
3 5
x x
2) 5x = 3(x + 8) 4) − = 8
5 3
Решение. Пусть х км — расстояние от турбазы до станции. Тогда
x x
км/ч — скорость, с которой турист едет на велосипеде;
5 3
км/ч — скорость, с которой турист едет на мопеде. Известно, что
скорость на мопеде на 8 км/ч больше скорости на велосипеде:
x x
запишем уравнение − = 8.
3 5
Уравнение может быть записано и в другом виде, например,
x
+ 8 =
x
, но его легко преобразовать к виду:
x
−
x
= 8.
5 3 3 5
Ответ: 3.
30
Реши сам:
1. (Демо 2010 задание 11) Прочитайте задачу: «Фотография имеет форму прямоугольника со сторона-
ми 10 см и 15 см. Ее наклеили на белую бумагу так, что вокруг всей фотографии получилась белая
окантовка одной и той же ширины. Площадь, которую занимает фотография с окантовкой, равна 500
см
2
. Какова ширина окантовки?».
Пусть ширина окантовки равна х см. Какое уравнение соответствует условию задачи?
1) (10 + 2x)(15 + 2x) = 500
2) (10 + x)(15 + x) = 500
3) 10 15 + (10x + 15x) 2 = 500
4) (10 + 2x)(15 + x) = 500
2. Прочитайте задачу.
Расстояние между двумя пристанями 24 км. Лодка проплыла от одной пристани до другой и вернулась
обратно, затратив на весь путь 5 часов.
Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч.Обозначьте буквой х соб-
ственную скорость лодки (в км/ч) и составьте уравнение по условию задачи.
1)
24
+
24
= 5 2)
24
=
24
− 5
3)
x + 2
+
x − 2
= 5
x + 2 x − 2 x + 2 x − 2 24 24
3. Прочитайте задачу: «Периметр прямоугольника равен 20 см. Длины его смежных сторон относятся
как 3 : 2. Найдите длины сторон этого прямоугольника».
Пусть a и b – стороны прямоугольника, причем a – большая сторона. Какая система уравнений не со-
ответствует условию задачи?
a + b = 10
1)
a : b = 3 : 2
2(a + b) = 20
2(a + b) = 20
3)
2a = 3b
a + b = 10
2)
a 3 4)
b
=
2
3a = 2b
4. Прочитайте задачу: «Периметр прямоугольника равен 10 см. Длины его смежных сторон относятся
как 3 : 2. Найдите длины сторон этого прямоугольника».
Пусть a и b – стороны прямоугольника, причем a – большая сторона. Какая система уравнений не со-
ответствует условию задачи?
a + b = 10
1)
a
=
3
a + b = 5
2)
2a = 3b
2(a + b) = 10
3)
2a = 3b
2(a + b) = 10
4)
a
=
3
b
2
b
2
5. Прочитайте задачу: «Периметр прямоугольника равен 30 см. Длины его смежных сторон относятся
как 4 : 1. Найдите длины сторон этого прямоугольника».
Пусть a и b – стороны прямоугольника, причем a – большая сторона. Какая система уравнений не со-
ответствует условию задачи?
a + b = 15
1)
a
= 4
b
a + b = 15
2)
a = 4b
2(a + b) = 30
3)
4a = b
2(a + b) = 30
4)
a = 4b
31
6. Прочитайте задачу: «Периметр прямоугольника равен 10 см. Длины его смежных сторон относятся
как 4 : 1. Найдите длины сторон этого прямоугольника».
Пусть a и b – стороны прямоугольника, причем a – большая сторона. Какая система уравнений не со-
ответствует условию задачи?
a + b = 5
a + b = 5
2(a + b) = 10
2(a + b) = 10
1)
a
2)
3)
4)
a 4
b
=
4
b = 4a
a = 4b
b
=
1
7. Прочитайте задачу: «В трех группах детского сада 70 детей. В старшей группе в 3 раза меньше, чем
в старшей. Сколько детей в старшей группе?»
Какое уравнение соответствует условию задачи, если буквой х обозначено число детей в старшей
группе?
1) x + (x + 15) + 3(x + 15) = 70
x
2) x +
x
+ (
x
3 3
+ 15) = 70
3) x +
+ (x + 15) = 70
3
4) x + 3x + (x + 15) = 70
8. Прочитайте задачу: «Периметр прямоугольника равен 30 см. Длины его смежных сторон относятся
как 2 : 1. Найдите длины сторон этого прямоугольника».
Пусть a и b – стороны прямоугольника, причем a – большая сторона. Какая система уравнений не со-
ответствует условию задачи?
a + b = 15
a + b = 15
2a + 2b = 30
a + b = 30
1)
a : b = 2 :1
2)
a
b =
2
3)
a = 2b
4)
a
= 2
b
9. Прочитайте задачу: «В первый день школьник прочитал 29 страниц, во второй – 34 страницы, и
вместе это составило 0,3 числа страниц в книге. Сколько страниц в книге?»
Какое уравнение соответствует условию задачи, если буквой х обозначено число страниц в книге?
0,3
1)
x
= 29 + 34 2) 0,3x = 29 + 34 3) x = 0,3 (29 + 34) 4)
x
0,3
= 29 + 34
10. В классе 25 учащихся. При посадке деревьев в школьном саду каждая девочка посадила по 2 дере-
ва, а каждый мальчик – по 3 дерева. Всего было посажено 63 дерева, Сколько в классе девочек?
Пусть в классе х девочек. Какое уравнение соответствует условию задачи?
А. (25 − x)2 = 3(63 − x) Б. 2x = 63 В. 3(25 − x) = 2x Г. 2x + 3(25 − x) = 63
11. В спортивной секции занимается 26 детей. Каждая девочка имеет по 2 медали, а каждый мальчик –
по 3 медали. Всего мальчики и девочки имеют 68 медалей. Сколько в секции занимается мальчиков?
Пусть в секции х мальчиков. Какое уравнение соответствует условию задачи?
А. 2(x + 26) = 68 − x Б. 2x + 3(26 − x) = 68
В. 68 − 2x = x + 3 Г. 2(26 − x) + 3x = 68
12. В кружке занимается 20 детей. К празднику каждая девочка сделала по 4 сувенира, а каждый маль-
чик – по 3 сувенира. Всего было сделано 72 сувенира. Сколько в кружке занималось девочек?
Пусть в кружке х девочек. Какое уравнение соответствует условию задачи?
А. 4(20 − x) + 3x = 72
В. (72 − 4x)3 = 20
Б. 72 − 7x = 20
Г. 4x + 3(20 − x) = 72
Вернуться в содержание
32
Тема 12 Понимание формулы n-го члена арифметической прогрессии
Теория
Практика
Прогрессии
1. Числовая последовательность, каждый
член которой, начиная со второго, равен
предыдущему, сложенному с одним и тем
же числом d, называется арифметической
прогрессией.
Число d – разность прогрессии.
a
n
= a
n −1
+ d ; d = a
n
− a
n −1
Формула n-го члена: a
n
= a
1
+ (n − 1)d
Свойство прогрессии: a =
a
n + k
+ a
n − k
n
2
Сумма n-членов: S =
a
1
+ a
n
n или
n
2
S =
2a
1
+ (n − 1)d
n
n
2
2. Числовая последовательность, каждый
член которой, начиная со второго, равен
предыдущему, умноженному на одно и тоже
число q, называется геометрической про-
грессией.
Число q – знаменатель прогрессии.
b = b q ; q =
b
n
n n −1
b
n −1
Формула n-го члена: b
n
= b
1
q
n−1
Свойство прогрессии: b
n
= b
n + k
b
n − k
b
1
(1 − q
n
)
Сумма n-членов: S
n
=
1 − q
, q 1
Если | q | 1, то прогрессия называется беско-
нечно убывающей геометрической прогресси-
ей.
S =
b
1
1 − q
1. Последовательность ( c
n
) - арифметическая про-
грессия, в которой c
1
= 0,62 и d = 0,24 . Найдем
пятидесятый член этой прогрессии.
Имеем: c
50
= 0,62 + 0,24 (50 − 1) = 12,38 .
2. Геометрическая прогрессия задана условиями:
b
1
= 1, b
n +1
= 3b
n
. Какое из данных чисел является
членом данной прогрессии?
1) 6 2) 12 3) 24 4) 27
Решение: Выпишем несколько первых членов про-
грессии: 3, 9, 27; число 27 является ее членом.
Ответ: 4.
Другой способ. Если заметить, что члены прогрессии
— это степени числа 3, то можно сразу указать ответ,
так как среди приведенных чисел, 27 является един-
ственным числом, отвечающим этому условию.
(
−
1)
n
3. Формулой n-го члена
c
n
=
n
задана последо-
вательность, какое из следующих чисел не является
ее членом:
А)
−1
Б)
−
1
В)
−
1
Г)
−
1
.
3 5 6
Решение: можно непосредственно вычислять один за
другим члены последовательности —
(−1)
1
(−1)
2
1
Получим c
1
=
1
= −1, c
2
=
2
=
2
,
(−1)
3
1
(−1)
4
1
c
3
=
3
= −
3
, c
4
=
4
=
4
,
(−1)
5
1
c
5
=
5
= −
5
. первые три указанных числа яв-
ляются членами последовательности, а это означает,
что верный ответ дан под буквой Г. Можно «для убе-
(−1)
6
1
дительности» найти и
c
6
=
6
=
6
, т.е. число
−
1
действительно не является членом последова-
6
тельности.
33
Реши сам:
1. (Демо 2010 задание 12) Из арифметических прогрессий, заданных формулой n-го члена, выберите
ту, для которой выполняется условие a
25
0
1)
a
n
= 2n 2) a
n
= −2n + 50 3) a
n
= −2n + 100 4) a
n
= 2n − 100
2. Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них — арифметическая про-
грессия. Укажите ее. 1) 1;
1
;
1
;
2 3
1
;... 2) 1,2,4,8 3) 1;3;5;7;...
4
4) 1;2;3;5;...
3. Геометрическая прогрессия задана условиями: b
1
= 1, b
n +1
= 3b
n
. Какое из данных чисел является
членом данной прогрессии? 1) 6 2) 12 3) 24 4) 27
4. Для каждой арифметической прогрессии, заданной формулой n-го члена, укажите ее разность d.
А) a
n
= 4n + 3 Б) b
n
= 2n + 4 В) c
n
= 3n − 2
1) d = −2 2) d = 4
Ответ:
3) d = 2 4) d = 3
А
Б
В
5. Для каждой арифметической прогрессии, заданной формулой n-го члена, укажите ее разность d.
А) a
n
= 4n + 3 Б) b
n
= 3n + 2 В) c
n
= 2n − 4
Ответ:
1) d = −4 2) d = 4 3) d = 2 4) d = 3
А
Б
В
6. Геометрическая прогрессия задана условиями: b
1
= 1, b
n +1
= 2b
n
. Какое из данных чисел является
членом данной прогрессии?
1) 10 2) 16 3) 18 4) 24
7. Геометрическая прогрессия задана условиями: b
1
= 1, b
n +1
= 3b
n
. Какое из данных чисел является
членом данной прогрессии?
1) 27 2) 22 3) 15 4) 12
8. Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них — геометрическая про-
грессия. Укажите ее.
1) 1;
1
;
1
;
2 3
1
;...
4
3) 1;3;5;7;...
2) 1;2;4;8;... 4) 1;2;3;5;...
9. Какое из чисел является членом арифметической прогрессии, заданной формулой а
n
= 2n+1.
А. -10 Б. 0 В. 11 Г. 8
10. Найдите десятый член арифметической прогрессии 3; 1;….
А. 21 Б. 20 В. - 15 Г. - 20
11. Найдите сумму одиннадцати первых членов арифметической прогрессии, если
а
1
= - 5, d= - 3
А. - 220 Б. -200 В. -150 Г. -100
12. Найдите первый член арифметической прогрессии, если разность равна 2, а двадцатый член этой
прогрессии равен.28.
А. -5; Б, 4; В. -10; Г. 0
13. Какое из чисел является членом арифметической прогрессии, заданной формулой а
n
= 3n - 1.
А.13 Б. 0 В.8 Г. - 8
14. Найдите восьмой член арифметической прогрессии -3; 2;….
А. 21 Б. 32 В. - 16 Г. - 20
15. Найдите сумму пятнадцати первых членов арифметической прогрессии, если а
1
=4, d= - 5
А. 220 Б. -275 В. -150 Г. -465
Вернуться в содержание
34
Диагностическая контрольная работа № 2
1.
Какое из выражений нельзя преобразовать в произведение (4 − y)
2
(2 − y) ?
1) − ( y − 4)
2
( y − 2)
3) ( y − 4)
2
(2 − y)
2) − (4 − y)
2
( y − 2)
4) ( y − 4)
2
( y − 2)
3 − 7m
2
2.
Представьте выражение 6m + в виде дроби.
m
Ответ:
3.
Решите уравнение 14 − x
2
= 0 .
Ответ:
4.
Для каждой системы уравнения определите число ее решений (используйте графические соображе-
ния). В таблице под каждой буквой запишите номер соответствующего ответа.
y =
6
А)
x
1) Нет решений
y
=
−
x
2
y =
6
Б)
x
2) Одно решение
y
=
−
3x
y =
6
В)
x
3) Два решения
y
=
3x
Ответ:
5.
Прочитайте задачу: «В первый день школьник прочитал 29 страниц, во второй – 34 страницы, и
вместе это составило 0,3 числа страниц в книге. Сколько страниц в книге?»
Какое уравнение соответствует условию задачи, если буквой х обозначено число страниц в книге?
0,3
1) = 29 + 34
x
2) 0,3x = 29 + 34
x
3) x = 0,3 (29 + 34)
4)
0,3
= 29 + 34
6.
Арифметические прогрессии ( a
n
), ( b
n
) и ( c
n
) заданы формулами n-го члена:
a
n
= 2n + 3 , b
n
= 3n , c
n
= 3n + 2 .
Укажите те из них, которые имеют разность, равную 3.
1) ( a
n
) 2) ( a
n
) и ( c
n
)
3) ( b
n
) и ( c
n
) 4) ( a
n
), ( b
n
) и ( c
n
)
Вернуться в содержание
А
Б
В
35
Тема 13 Решение линейных неравенств с одной переменной
Теория
Практика
Основная идея решения неравен-
ства состоит в следующем: мы заме-
няем данное неравенство другим, но
равносильным данному. Такие заме-
ны осуществляются на основе следу-
ющих утверждений:
1. Если какой-либо член нера-
венства с переменной перенести из од-
ной части неравенства в другую с проти-
воположным знаком, оставив при этом
без изменения знак неравенства, то по-
лучится неравенство равносильное дан-
ному.
2. Если обе части неравенства с
переменной умножить или разделить на
одно и тоже положительное число, оста-
вив при этом без изменения знак нера-
венства, то получится неравенство рав-
носильное данному.
Если обе части неравенства с пе-
ременной умножить или разделить на
одно и тоже отрицательное число, за-
менив при этом знак неравенства на
противоположный, то получится не-
равенство равносильное данному.
1. Решить неравенство: 2x + 7 0 .
Решение. Согласно утверждению 1, получим: 2x −7 . По
утверждению 2: x −3,5 . Промежуток (−3,5;+) будет яв-
ляться решением неравенства.
Ответ: (−3,5;+) .
2. Решите неравенство:
x − 3
0 .
x + 2
Решение.
1) Решим неравенство методом интервалов. Найдем
нули функций, стоящих в числителе и знаменателе:
x − 3 = 0 x + 2 = 0
x = 3 x = −2
2) Отметим на числовой прямой точки: x = −2 ,
x = 3 . Две точки разобьют прямую на 3 промежутка.
_
+ +
-2 3
Определим знак дроби на каждом промежутке и выберем
те из них, где дробь отрицательна. Множество решений
неравенства состоит из интервала и (−2;3) , в каждой точке
которого функция отрицательна, а также значении x = 3 ,
при котором дробь равна нулю. Таким образом, решением
неравенства является промежуток (−2;3]. Ответ: (−2;3].
Реши сам:
1. Решите неравенство 5x − 2(3x − 5) 8
1) x 2 2) x 2 3) x 4 4) x 4
2. Решите неравенство 2x − 3(x − 4) 3
1) x 9 2) x −9 3) x 9 4) x −9
3. Решите неравенство 4x − 2(3 − x) 12
1) x 3 2) x 3 3) x 9 4) x 6
4. Решите неравенство 2x − 3(5 + x) −3
1) x −12 2) x 2,4 3) x 2 4) x −12
5. Решите неравенство 4x − 3(2 − x) 8
1) x 2 2) x −2 3) x 2 4) x 3
6. Решите неравенство 2x + 3(1 − x) −3
1) x 6 2) x 6 3) x −6 4) x 3
7. Решите неравенство 4x − 3(1 + x) 3
1) x −6 2) x −6 3) x 6 4) x −3
8. Решите неравенство 2x + 3(1 − 2x) 7
1) x −1 2) x 2 3) x 1 4) x −1
9. Решите неравенство 3x − 2(1 − x) 8
1) x 2 2) x 1 3) x 2 4) x −2
10. Решите неравенство 4x − 2(x − 4) −4
1) x −6 2) x −6 3) x 0 4) x 4
Вернуться в содержание
36
Тема 14 Решение квадратного неравенства с опорой на готовый график
квадратичной функции
Теория и практика
ax
2
+ bx + c 0 , a 0
ax
2
+ bx + c 0 , a 0
Если D 0 , то x
1
, x
2
- корни
Ответ: x (−; x
1
] [x
2
;+)
Если D 0 , то x
1
, x
2
- корни
Ответ: x (x
1
; x
2
)
Если D = 0 , то x
1
- корень
Ответ: x R
Если D = 0 , то x
1
- корень
Ответ: x
Если D 0 , то корней нет
Ответ: x R
Если D 0 , то корней нет
Ответ: x
Пример: 3x
2
− 2x − 5 0 . Рассмотрим 3x
2
− 2x − 5 = 0 .
D = 4 − 4 3 (−5) = 64 : x =
2 8
; x =
5
, x = −1
1,2
2 3
1
3
2
5
Ответ: x [−1; ].
3
ax
2
+ bx + c 0 , a 0
ax
2
+ bx + c 0 , a 0
Если D 0 , то x
1
, x
2
- корни
Ответ: x [x
1
; x
2
]
Если D 0 , то x
1
, x
2
- корни
Ответ: x (−; x
1
) (x
2
;+)
Если D = 0 , то x
1
- корень
Ответ: x = x
1
Если D = 0 , то x
1
- корень
Ответ: x (−; x
1
) (x
1
;+)
Если D 0 , то корней нет
Ответ: x
Если D 0 , то корней нет
Ответ: x R
Пример: − 9x
2
+ 6x − 1 0 .
Рассмотрим − 9x
2
+ 6x − 1 = 0 ; − (9x
2
− 6x + 1) = 0 ;
− (3x − 1)
2
= 0 x =
1
1
3
Ответ: x .
Реши сам
2. На рисунке изображен график функции
y = x
2
+ 3x . Используя график, решите неравен-
ство x
2
+ 3x 0 .
1. На рисунке изображен график функции
y = x
2
− 3x . Используя график, решите нера-
венство x
2
− 3x 0 .
37
1) (0;3)
2) (0;+)
3) (−;0)
4) (−;0) (3;+)
1) (−3;0) 2) (−;−3)
3) (−;−3) (0;+)
4) (0;+)
3. На рисунке изображен
график функции
y = x
2
− 4x . Используя
график, решите графически
неравенство x
2
− 4x 0 .
1) (0;+) 2) (0;4)
3) (−;−4) 4) (−;0) (4;+)
4. На рисунке изображен график
функции y = 2x
2
− x . Используя
график, решите графически нера-
венство 2x
2
− x 0 .
1
1) (0;+) 2) (−; )
2
1 1
3) (0; ) 4) (−;0) ( ;+)
2 2
5. На рисунке изображен график функции
y = 2x
2
+ x . Используя
график, решите графически
неравенство 2x
2
+ x 0 .
1 1
1) (− ;0) 2) (− ;+)
2 2
1 1
3) (−;− ) 4) (−;− ) (0;+)
2 2
6. На рисунке изображен график функции
y = x
2
− x . Используя график, решите графиче-
ски неравенство
x
2
− x 0 .
1) (0;+)
2) (0;1)
3) (1;+)
4) (−;0) (1;+)
7. На рисунке изображен
график функции
y = x
2
+ x . Используя гра-
фик, решите графически не-
равенство x
2
+ x 0 .
1) (−1;0) 2) (−1;+)
3) (0;+)
4) (−;−1) (0;+)
8. На рисунке изображен график функции
y = x
2
− 2x . Используя график, решите графиче-
ски неравенство x
2
− 2x 0 .
1) (−;0)
2) (0;+)
3) (0;2)
4) (−;0) (2;+)
9. На рисунке изображен график функции
y = x
2
− 2x . Используя график, решите графи-
чески неравенство x
2
− 2x 0 .
1) (−;0) (2;+)
2) (2;+)
3) (0;2)
4) (0;+)
10. На рисунке изображен гра-
фик функции y = 2x
2
− 3x . Ис-
пользуя график, решите графи-
чески неравенство
2x
2
− 3x 0 .
3 3
1) ( ;+) 2) (0; )
2 2
3) (−;0) (
3
;+) 4) (0;+)
2
Вернуться в содержание
38
Тема 15 Соотнесение графика квадратичной функции с формулой
Функция вида y = ax
2
+ bx + c , где a 0 , b, c — числа; x — независимая переменная, называ-
ется квадратичной функцией.
1.
y = x
2
а) О.О.Ф. x R б) О.З.Ф. y [0;+)
в) нули функции: x = 0 г) Монотонность функции
y , если
y , если
x [0;+)
x (−;0]
д) ось симметрии — ось ординат
2.
y = ax
2
Коэффициент а отвечает за сужение параболы вдоль оси ор-
динат;
если a 1, то ветви расположены дальше от OY; если
a 1, то ветви расположены ближе к OY.
3.
y = x
2
+ c
Коэффициент с отвечает за перемещение па-
раболы вдоль оси ординат;
если c 0 , то график
вверх на с;
если c 0 , то график
вверх на с.
y = x
2
поднимается
y = x
2
поднимается
4. y = (x + b)
2
Коэффициент b отвечает за перемещение вдоль
оси OX; если b 0 , то влево на b единиц от 0;
если b 0 то вправо на b единиц от 0.
5. y = ( x + b)
2
+ c
Пример:
y = x
2
− 3
y = (x − 2)
2
− 1
y = (x + 4)
2
y = (x − 5)
2
+ 4
39
Реши сам: 1. (Демо 2010 задание 15) График какой из перечисленных ниже функций изображен на
рисунке? График какой из перечисленных ниже функций изображен на рисунке?
1) y = x
2
+ 4
2) y = x
2
+ 4x
3) y = −x
2
− 4x
4) y = −x
2
− 4
2. График какой квадратичной функции изобра-
жен на графике?
1) y = x
2
+ 4x + 6
2) y = x
2
− 4x + 5
3) y = x
2
+ 4x + 5
4) y = x
2
+ 4x + 4
3. График какой квадратичной функции изобра-
жен на графике?
1) y = x
2
− 2x + 2
2) y = x
2
+ 2x + 2
3) y = 2 − x
2
4) y = x
2
+ 1
4. График какой квадратичной функции изобра-
жен на графике?
1) y = x
2
− 2
2) y = x
2
− 4x + 5
3) y = (x − 2)
2
4) y = x
2
+ 4x + 5
5. График какой квадратичной функции изобра-
жен на графике?
1) y = x
2
− 2
2) y = x
2
+ 3x + 1
3) y = x
2
− 1
4) y = x
2
+ 2x
6. График какой квадратичной функции изобра-
жен на графике?
1) y = x
2
+ 6x + 10
2) y = (x + 3)
2
3) y = (x − 3)
2
+ 1
4) y = x
2
+ 6x + 9
7. График какой квадратичной функции изобра-
жен на графике?
1) y = 1 − x
2
2) y = x
2
3) y = x
2
+ 1
4) y = x
2
+ 3x + 1
8. График какой квадратичной функции изобра-
жен на графике?
1) y = x
2
+ 2x + 1
2) y = x
2
+ 2x + 2
3) y = x
2
− 2x + 2
4) y = x
2
− 1
9. График какой квадратичной функции изобра-
жен на графике?
1) y = (x + 1)
2
2) y = (x − 1)
2
3) y = x
2
+ 1
4) y = x
2
− 1
10. График какой квадратичной функции изобра-
жен на графике?
1) y = x
2
+ 2x
2) y = x
2
− 2x
3) y = x
2
− 2
4) y = x
2
− 1
11. График какой квадратичной функции изобра-
жен на графике?
1) y = x
2
+ 4x .
2) y = x
2
+ 2
3) y = x
2
+ 4x + 4
4) y = x
2
+ 2x
Вернуться в содержание
40
Тема 16 Чтение графика реальной зависимости
Теория
Практика
Правило (закон) соответствия между множе-
ствами X и Y, по которому для каждого элемента
из множества X можно найти один и только один
элемент из множества Y, называется функцией.
Множество X всех допустимых действительных
значений аргумента x, при которых функция y = f
(x) определена, называется областью определения
функции. Множество Y всех действительных зна-
чений y, которые принимает функция, называется
областью значений функции.
Функция считается заданной, если:
- задана область определения функции X ;
- задана область значений функции Y ;
- известно правило ( закон ) соответствия, при-
чём такое, что для каждого
значения аргумента может быть найдено толь-
ко одно значение функции.
Это требование однозначности функции являет-
ся обязательным.
Графиком функции называется множество то-
чек, удовлетворяющих у=f(х).
Представляет значительный практический ин-
терес другая задача: задан график
f
, с помощью
которого требуется перечислить основные свойства
этой функции или найти соответствующие значения
аргумента или функции..
Подобные задачи часто решаются в ходе экспе-
риментальных исследований. Построение графиков
при этом осуществляется разными методами.
Например, по точкам, найденным эксперименталь-
но.
На графике показано, как во время телевизи-
онных дебатов между кандидатами А и Б теле-
зрители голосовали за каждого из них. (По го-
ризонтальной оси откладывается время, про-
шедшее с начала голосования, а по вертикаль-
ной – число голосов, поданных за это время).
Кто из кандидатов получил больше голосов в
период с 45-ой до 60-й минуты, и на сколько
больше?
Решение: Кандидат А на конец 45-й минуты
получил 25 тыс. голосов, на 60-й минуте у него
было 40 тыс. голосов. Следовательно, с 45-й по
60-ю минуту он получил 15 тыс. голосов. Кан-
дидат Б на конец 45-й минуты получил 40 тыс.
голосов, на 60-й минуте у него было 50 тыс. го-
лосов. Следовательно, с 45-й по 60-ю минуту он
получил 10 тыс. голосов.
Кандидат А получил больше на 5 тыс. голо-
сов, чем кандидат.
Ответ: 5000
41
Реши сам:
1. (Демо 2010, Задание 16) Компания предлагает на выбор два разных тарифа для оплаты телефонных
разговоров: тариф А и тариф В. Для каждого тарифа зависимость стоимости разговора от его продол-
жительности изображена графически. На сколько минут хватит 550 р., если используется тариф В?
Ответ:
2. На рисунке изображен график продаж двух моделей сотовых телефонов в течение года. Сколько те-
лефонов обеих моделей было продано вместе за первые 6 месяцев?
3. На рисунке изображен график продаж двух моделей сотовых телефонов в течение года. Сколько те-
лефонов обеих моделей было продано вместе за первые 6 месяцев?
4. На рисунке изображен график продаж двух моделей сотовых телефонов в течение года. Сколько те-
лефонов обеих моделей было продано вместе за первые 10 месяцев?
42
5. На рисунке изображен график продаж двух моделей сотовых телефонов в течение года. Сколько те-
лефонов обеих моделей было продано вместе за первые 8 месяцев?
6. На рисунке изображен график продаж двух моделей сотовых телефонов в течение года. Сколько те-
лефонов обеих моделей было продано вместе за первые 10 месяцев?
7. На рисунке изображен график продаж двух моделей сотовых телефонов в течение года. Сколько те-
лефонов обеих моделей было продано вместе за первые 8 месяцев?
8. На рисунке изображен график продаж двух моделей сотовых телефонов в течение года. Сколько те-
лефонов обеих моделей было продано вместе за первые 6 месяцев?
43
9. На рисунке изображен график продаж двух моделей сотовых телефонов в течение года. Сколько те-
лефонов обеих моделей было продано вместе за первые 8 месяцев?
10. На рисунке изображен график продаж двух моделей сотовых телефонов в течение года. Сколько
телефонов обеих моделей было продано вместе за первые 8 месяцев?
11 На графике показано, как во время телевизионных дебатов между кандидатами А и Б телезрители
голосовали за каждого из них. (По горизонтальной оси откладывается время, прошедшее с начала го-
лосования, а по вертикальной – число голосов, поданных за это время). Кто из кандидатов получил
больше голосов в период с 20-ой до 40-й минуты, и на сколько больше?
12. Два велосипедиста одновременно выезжают в одном направлении из пункта А и В, находящихся
на расстоянии 10 км друг от друга. На рисунке изображены зависимости координат велосипедистов от
времени. Определите, через сколько часов после стоянки второго велосипедиста произошла их встре-
ча.
44
13 На графиках (см. рис.) показана зависимость общего числа произведенных рабочими А и Б в тече-
нии рабочего дня деталей от времени. Какой из рабочих произвел деталей больше в период со 2-го по
7-ой час рабочего времени и на сколько больше?
14. Из пункта А в пункт В вышел отряд туристов, и через некоторое время вслед за ним выехала
группа велосипедистов. На рисунке изображены графики движения туристического отряда и группы
велосипедистов. Определите, на сколько меньше времени затратили на путь из А в В велосипедисты,
чем туристы.
Вернуться в содержание
45
Диагностическая контрольная работа № 3
1. Решите неравенство 19 − 7x 20 − 3(x − 5) .
1
1) (−;− )
4
2) (−;−4)
3) (4;+) 4) (−4;+)
2. На рисунке изображен график функции
y = x
2
+ 2x − 3 . Используя график,
решите неравенство x
2
+ 2x − 3 0 .
Ответ:
3. График какой из перечисленных ниже функций изображен на рисунке?
1) y = x
2
+ 4
2) y = x
2
+ 4x
3) y = −x
2
− 4x
4) y = −x
2
− 4
4. Автомобилист выехал из дома, доехал до дачи и, пробыв там некоторое время, вернулся домой. На
рисунке изображен график его движения (по горизонтальной оси откладывается время, по вертикаль-
ной – расстояние, на котором автомобилист находится от дома). Найдите скорость автомобилиста на
пути к даче, выразив ее в километрах в час.
Ответ:
Вернуться в содержание
46
Тема 17 Решение уравнения третьей степени разложением на множите-
ли
Теория
Практика
Чтобы разложить многочлен
на множители нужно сгруп-
пировать члены многочлена
так, чтобы группы имели
одинаковый общий множи-
тель, записать сумму груп-
пировок и вынести общий
множитель за скобки в каж-
дой группе
x
2
+3x-4x-12=0
(x
2
+3x)+(-4x-12)=0
x(x+3)-4(x+3)=0
(x+3)(x-4)=0
x +3=0 или x-4=0
x=-3 x=4
Ответ: -3; 4 x=-3
1. Решите уравнение: 6x
4
− 3x
3
+ 12x
2
− 6x = 0
Решение.
6x
4
− 3x
3
+ 12x
2
− 6x = 0
3x
3
(2x −1) + 6x(2x −1) = 0
3x(2x −1)(x
2
+ 2) = 0
x
1
= 0
,
x
2
= 0,5
Ответ: 0; 0,5.
2.
Решите уравнение:
2x
4
− 5x
3
−18x
2
+ 45x = 0
Решение:
2x
4
− 5x
3
−18x
2
+ 45x = 0
x
3
(2x − 5) − 9x(2x − 5) = 0
x(2x − 5)(x
2
− 9) = 0
x
1
= 0
,
x
2
= 2,5
,
x
3,4
= 3
.
Ответ: 0; 2,5; -3; 3.
3x
2
+ 2x − 5
3. Сократите дробь .
3x
2
+ 5x
Решение. Корни квадратного трехчлена 3x
2
+ 2x − 5 : x
1
= 1,
x = −
5
. Имеем:
2
3
2
3(x − 1)(x +
5
)
3x + 2x − 5
=
3
=
(x − 1)(3x + 5)
=
x − 1
.
3x
2
+ 5x
x(3x + 5) x(3x + 5) x
Замечание. Можно разложить трехчлен на множители способом
группировки:
3x
2
+ 2x − 5 = (3x
2
− 3x) + (5x − 5) = 3x(x − 1) + 5(x − 1) = (x − 1)
x − 1
Ответ: .
x
4. (Демо 2010, Задание 17) Решите уравнение
x
3
− 6x
2
− 4x + 24 = 0 .
Решение. Разложим на множители левую часть уравнения. Получим:
x
2
(x − 6) − 4(x − 6) = 0 , (x − 6)(x
2
− 4) = 0 , x − 6 = 0 или
x
2
− 4 = 0 . Значит, уравнение имеет корни: -2; 2; 6.
Ответ: -2; 2; 6.
47
Реши сам:
1. Найдите произведение корней уравнения (x
2
+ 2)
2
− 5(x
2
+ 2) + 6 = 0 .
6 − x 2
2. Решите уравнение
3x
2
− 12
−
x − 2
= 1.
3. Найдите наибольший корень уравнения x − 8 + 7 = 0 .
4. Докажите, что уравнение (x
2
− 2x + 2)(2x
2
− 4x + 3) = 1 имеет корень равный 1, а других корней
у него нет.
5. Найдите произведение корней уравнения (x
2
− 15)
2
− 11(x
2
− 15) + 10 = 0 .
6. Решите уравнение
x − 3
−
x + 2
20
x
2
− 4
+ 2 = 0 .
7. Найдите наименьший корень уравнения
x − 9 + 8 = 0 .
8. Докажите, что уравнение (x
2
− 4x + 5)(2x
2
− 8x + 9) = 1 имеет корень равный 2, а других корней
у него нет.
9. Найдите произведение корней уравнения (x
2
− 2)
2
− 7(x
2
− 2) + 6 = 0 .
2x 144
10. Решите уравнение
x + 6
−
x
2
− 36
= 1.
11. Найдите наибольший корень уравнения x − 10 + 9 = 0 .
12. Докажите, что уравнение (x
2
− 2x + 2)(2x
2
− 4x + 3) = 1 имеет корень равный 1, а других кор-
ней у него нет.
13. Разложите на множители:
y
2
− xy
2
+ xy − y .
14. Решите уравнение
x
3
+ 5x
2
− x − 5 = 0 .
Модель 1
Баллы
Критерии оценки выполнения задания
2 Ход решения верный, оба его шага выполнены, получен верный ответ.
1 Ход решения правильный, многочлен в левой части уравнения разложен на
множители, но при этом допущена ошибка в знаке, например, получен дву-
член , ответ дан с учетом этой ошибки. 24x+
Или: допущена описка на последнем шаге.
0 Другие случаи, не соответствующие указанным критериям.
Модель 2
Баллы
Критерии оценки выполнения задания
2 Ход решения верный, оба его шага выполнены, получен верный ответ.
1 Ход решения правильный, многочлен в левой части уравнения разложен на
множители, но при этом допущена ошибка в знаке, например, получен дву-
член , ответ дан с учетом этой ошибки. Или: допущена описка на последнем
шаге. 24x+
0 Другие случаи, не соответствующие указанным критериям.
Вернуться в содержание
x
x
x
48
Тема 18 Решение линейного неравенства с одной переменной с исполь-
зованием сравнения квадратного корня с рациональным числом
Теория
Практика
12 − 2a 1 − 5a
1. Решите неравенство − 0
4 5
Решение. Умножим обе части неравенства
12 − 2a
−
1 − 5a
0 на 20, получим неравенство
4 5
5(12 − 2a) − 4(1 − 5a) 0 . Решив его, получим
a −5,6 . Наименьшее целое значение а, удовле-
творяющее этому неравенству, равно -5.
Ответ: -5.
2. Решите неравенство ( 19 − 4,5)(5 − 3x) 0 .
Решение: 1) Определим знак разности 19 − 4,5 .
Так как 4,5 = 20,25 и 20,25 19 , то
19 − 4,5 0 .
2) Получаем неравенство (5 − 3x) 0 . Отсюда
x 1
2
.
3
2
Ответ: (1 ;+) . Другая возможная форма отве-
3
2
та: x 1
3
Модель 1
Баллы
Критерии оценки выполнения задания
4 Ход решения верный, оба его шага выполнены, получен верный ответ.
3 Ход решения верный, правильно выполнен первый шаг, но при решении
линейного неравенства допущена вычислительная ошибка или описка.
0 Другие случаи, не соответствующие указанным критериям.
Модель 2
Баллы
Критерии оценки выполнения задания
3 Ход решения верный, оба его шага выполнены, получен верный ответ.
2 Ход решения верный, правильно выполнен первый шаг, но при решении
линейного неравенства допущена вычислительная ошибка или описка.
1 Знак разности определен правильно, но при дальнейшем решении знак не-
равенства не изменен, и с учетом этого получившееся неравенство решено
верно.
Или: знак разности определен неправильно, и с учетом этого дальнейшие
шаги выполнены правильно.
0 Другие случаи, не соответствующие указанным критериям.
49
Реши сам
1. Укажите число целых решений неравенств: (2x − 1)
2
− 3(2x − 1) 0 .
2. Решите неравенство (
3
−
2
3. Решите неравенство (
5
−
2
4. Решите неравенство (
3)(16 − x
2
) 0 .
6)(10 − 4x) 0 .
− 2,5)(9 − x
2
) 0 .
5. Решите неравенство
(x − 4)(x + 2)
2
7 − x
0 .
6. Укажите число целых решений неравенства (x − 1)
2
− 6(x − 1) + 5 0 .
7. Найдите область определения функции y =
+
4
16 − x
2
8. При каких значениях a неравенство
x
2
− (2a + 2)x + 3a + 7 0 выполняется при всех значениях х?
9. Решите неравенство (
−
5
)(3 − 2x) 0
2
10. Найдите область определения выражения
x
2
− 4
11. Найдите наибольшее целое значение n, при котором разность (3-2n)-(8-1,5n) положительна.
12. Найдите наибольшее целое значение n, при котором разность (7n-3)-(9+2n) отрицательна
13. Решите неравенство (2,5 − 6)(10 − 3x) 0
Вернуться в содержание
6
x − 1
5
4 + 7x − 2x
2
50
Тема 19 Решение задачи с использованием формулы n-го члена геомет-
рической прогрессии .
Теория
Практика
Числовая последовательность, каждый член
которой, начиная со второго, равен предыду-
щему, умноженному на одно и тоже число q,
называется геометрической прогрессией.
Число q – знаменатель прогрессии.
b = b q ; q =
b
n
n n −1
b
n −1
Формула n-го члена: b
n
= b
1
q
n−1
Свойство прогрессии: b
n
= b
n + k
b
n − k
b
1
(1 − q
n
)
Сумма n-членов: S
n
=
1 − q
, q 1
Если | q | 1, то прогрессия называется бесконеч-
но убывающей геометрической прогрессией.
S =
b
1
1 − q
1. В геометрической прогрессии сумма первого и
второго членов равна 108, а сумма второго и тре-
тьего членов равна 135. Найдите первые три чле-
на этой прогрессии.
Решение.
1) Пусть ( h
n
) - данная геометрическая прогрес-
сия. Составим систему
h
1
+ h
1
q = 108
.
h
1
q + h
1
q
2
= 135
h
1
(1 + q) = 108
h
1
(1 + q) = 108
Далее:
h q(1 + q) = 135
,
q 108 = 135
. От-
1
сюда q =
5
, h = 48.
4
1
2) h = 48
5
= 60 , h = 60
5
= 75
2
4
3
4
Ответ: 48, 60, 75.
2. (Демо ). В геометрической прогрессии сумма
первого и второго членов равна 108, а сумма вто-
рого и третьего членов равна 135. Найдите первые
три члена этой прогрессии.
Решение. 1) Пусть ( h
n
) - данная геометрическая
прогрессия. Составим систему
h
1
+ h
1
q = 108
.
h
1
q + h
1
q
2
= 135
h
1
(1 + q) = 108
h
1
(1 + q) = 108
Далее:
h q(1 + q) = 135
,
q 108 = 135
. От-
1
5
сюда q = , h
1
= 48.
4
5 5
2) h
2
= 48
4
= 60 , h
3
= 60
4
= 75
Ответ: 48, 60, 75.
51
Модель 1 Баллы Критерии оценки выполнения задания
4 Ход решения верный, оба его шага выполнены, получен верный от-
вет.
3 Ход решения верный, решение доведено до конца, но допущена од-
на вычислительная ошибка и ответ отличается от правильного.
0 Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
Модель 2 Баллы Критерии оценки выполнения задания
3 Ход решения верный, оба его шага выполнены, получен верный от-
вет.
2 Ход решения верный, решение доведено до конца, но допущена од-
на вычислительная ошибка или описка и ответ отличается от пра-
вильного.
1 Верно найдены и первый член прогрессии, но решение не заверше-
но. q
Или: ход решения верный, но допущены две вычислительные
ошибки или описки.
0 Другие случаи, не соответствующие указанным критериям.
Реши сам:
1. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных пяти и меньших 200.
2. Сумма первых четырех членов геометрической прогрессии равна 40, знаменатель прогрессии равен
3. Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии.
3. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных трем и не превосходящих 150.
4. Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна 39, знаменатель прогрессии равен -4.
Найдите сумму первых четырёх членов этой прогрессии.
5. В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 60, а сумма второго и третьего
членов равна 84. Найдите первые три члена этой прогрессии
6. В геометрической прогрессии b
2
= −6 , b
5
= 48 . Является ли членом этой прогрессии число 192?
7.Найдите сумму всех отрицательных целых чисел, кратных трем и
больших - 170.
8. Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна - 61, знаменатель прогрессии равен -3.
Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии.
9. Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна 39, знаменатель прогрессии равен -4.
Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии.
10. Найдите сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 150, которые не делятся на 5.
11. В геометрической прогрессии b
3
=
3
, b
6
= 12 . Есть ли среди членов этой прогрессии число 144?
2
12. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии, если ее четвертый член равен
1
, а знаменатель равен
1
.
24 2
13. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии, если ее пятый член равен
знаменатель равен − 2 .
3
, а
4
14. Сумма первого и четвертого членов геометрической прогрессии равна 36, а сумма второго и пятого
членов равна 72. Сколько членов этой прогрессии, начиная с первого, нужно сложить, чтобы их сумма
была равна 124?
15. Разность пятого и первого членов геометрической прогрессии равна 80, а разность шестого и вто-
рого членов равна 240. Сколько членов этой прогрессии нужно сложить, чтобы их сумма была равна
364?
Вернуться в содержание
52
Тема 20 Аналитическая запись кусочно-заданной функции по ее графи-
ку
Теория
Практика
Квадратичная функция
Линейная функция
Обратная пропоциональность.
Функция у= õ
Полезно вспомнить:
Решение сложных задач целе-
сообразно начать с повторе-
ния алгоритма решения си-
стемы уравнений с 2-мя неиз-
вестными:
-Обозначить неизвестную ве-
личину переменной (при реше-
нии задачи с помощью системы
уравнения вводят несколько
переменных);
-Выразить через нее другие ве-
личины;
-Составить уравнение (или си-
стему уравнений), показываю-
щее зависимость неизвестной
величины от других величин;
-Решить уравнение (или систе-
му уравнений);
-Сделать проверку при необхо-
димости;
1. Прямая y = −3x + b касается окружности x
2
+ y
2
= 40 в точке
с положительной абсциссой. Определите координаты точки каса-
ния.
Решение. 1) Найдем значения b, при которых система
y = −3x + b
имеет единственное решение. Выполнив подста-
x
2
+ y
2
= 40
новку, получим уравнение x
2
+ (−3x + b)
2
= 40 , т.е.
10x
2
− 6xb + b
2
− 40 = 0 .
2) Плученное уравнение имеет единственное решение, когда его
дискриминант равен нулю. Имеем:
D = 9b
2
− 10(b
2
− 40) = 400 − b
2
. Решив уравнение
400 − b
2
= 0 , получим: b = 20 .
3) Таким образом, получили уравнения двух прямых, касающихся
окружности: y = −3x − 20 и y = −3x + 20 .
Найдем абсциссы точек касания, подставив найденные значения b в
уравнение 10x
2
− 6xb + b
2
− 40 = 0 :
при b = −20 получим уравнение x
2
+ 12x + 36 = 0 , откуда
x = −6 ; этот корень не удовлетворяет условию задачи;
при b = 20 получим уравнение x
2
− 12x + 36 = 0 , откуда x = 6 ;
этот корень удовлетворяет условию задачи;
Найдем соответствующее значение y:
y = −3x + 20 = −3 6 + 20 = 2 .
Координаты точки касания: (6;2).
Ответ: (6;2).
2. Прямая 2x + 3y = c , где с — некоторое число, касается гипербо-
6
лы y = в точке с отрицательными координатами. Найдите с.
x
2 c
Решение. Из уравнения 2x + 3y = c выразим y: y = − x + .
3 3
2 c 6
Графики функций y = − x + и y = имеют единственную
3 3 x
общую точку в том и только том случае, если уравнение
−
2
x +
c
=
6
имеет один корень.
3 3 x
Получаем: 2x
2
− cx + 18 = 0 ; D = c
2
− 144 = 0 ; c = 12 . Так как
точка касания имеет отрицательные координаты, то c 0 (учащие-
ся могут прийти к этому выводу хотя бы из геометрических сооб-
ражений). Поэтому, условию задачи удовлетворяет только c = −12
2
(в этом случае получаем прямую y = − x − 4 , которая касается
3
53
-Выбрать из решений (или си-
стему уравнений) те которые
подходят по смыслу задачи;
-Оформить ответ.
При решении систем: Способ
подстановки применим при
решении систем, когда одно из
уравнений является уравнением
первой степени. Полезно пом-
ветви гиперболы, расположенной в третьей четверти, т.е. в точке с
отрицательными координатами).
Комментарий. Подробное обоснование, почему выбрано значение
c 0 , не требуется. Возможно наличие схематичного рисунка.
Ответ:
c = −12
.
3. Прямая y = −3x + b касается окружности x
2
+ y
2
= 10 в точке
с положительной абсциссой. Определите координаты точки каса-
ния.
Решение. 1) Найдем значения b, при которых система
y = −3x + b
нить алгоритм решения этим
способом:
x
2
+ y
2
= 10
имеет единственное решение. Выполнив подста-
1. Из уравнения первой степени
выражают одну переменную
через другую.
2. Подставляют полученное вы-
ражение в уравнение второй
степени
3. Решают получившееся урав-
нение.
4. Находят соответствующие
значения второй переменной.
новку, получим уравнение x
2
+ (−3x + b)
2
= 10 , т.е.
10x
2
− 6xb + b
2
− 10 = 0 .
2) Плученное уравнение имеет единственное решение, когда его
дискриминант равен нулю. Имеем:
D : 4 = 9b
2
− 10(b
2
− 10) = 100 − b
2
. Решив уравнение
100 − b
2
= 0 , получим: b = 10 .
3) Таким образом, получили уравнения двух прямых, касающихся
окружности: y = −3x + 10 и y = −3x − 10 .
Найдем абсциссы точек касания, подставив найденные значения b в
уравнение 10x
2
− 6xb + b
2
− 10 = 0 :
при b = −10
получим уравнение
x
2
+ 6x + 9 = 0 , откуда x = −3 ;
этот корень не удовлетворяет условию задачи;
при b = 10 получим уравнение x
2
− 6x + 9 = 0 , откуда x = 3 ;
этот корень удовлетворяет условию задачи;
Найдем соответствующее значение y:
y = −3x + 10 = −3 3 + 10 = 1.
Координаты точки касания: (3;1).
Ответ: (3;1). Замечание. Выбрать касательную, удовлетворяющую
условию задачи, можно и из графических соображений. Для этого
достаточно схематически изобразить окружность и две прямые.
Модель 1 Баллы Критерии оценки выполнения задания
6 Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен
верный ответ.
5 Ход решения верный, все его шаги выполнены, но допущена вы-
числительная ошибка или описка.
0 Другие случаи, не соответствующие указанным критериям.
Модель 2 Баллы Критерии оценки выполнения задания
4 Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен
верный ответ.
3 Ход решения верный, все его шаги выполнены, но допущена вы-
числительная ошибка или описка.
2 Значение с выбрано неверно.
1 Указаны значения с = ±12.
0 Другие случаи, не соответствующие указанным критериям.
Реши сам:
54
x
1. Найдите все значения k, при которых прямая
функции
y = kx пересекает в трех различных точках график
3x + 7, если x -3
-2, если - 3 x 3 .
3x − 11, если x 3
2. При каких отрицательных значениях k прямая
точках?
y = kx − 4 пересекает параболу y = x
2
− 2x в двух
3. При каких отрицательных значениях k прямая
ся?
y = kx − 4 и парабола y = x
2
+ 3x не пересекают-
4. Постройте график функции:
− x
2
− 4x − 3, если x 1
y =
x + 1, если −1 x 1
2
, если x 1
x
При каких значениях m прямая
y = m имеет с графиком этой функции две общие точки?
5. Постройте график функции:
4
, если x −2
y =
x, если − 2 x 1
x
2
− 4x + 4, если x 1
При каких значениях m прямая y = m имеет с графиком этой функции одну общую точку?
6. При каких значениях а отрезок с концами в точках А(-5;-6) и В(-5;а) пересекает прямую
2x − y = −3 ?
7. При каких значениях а отрезок с концами в точках А(-3;a) и В(-3;-8) пересекает прямую
2x − y = 3 ?
Вернуться в содержание
55
Тема 21 Решение текстовых задач
Теория
Практика
Задачи на движение. При решении
задач на движение используется одна
из трех формул:
S = v t , v =
S
, t =
S
. Необходимо
t v
помнить, что величины должны быть
в одной системе единиц, что большую
помощь может оказать рисунок, гра-
фик, таблица.
Задачи на движение по реке. При
решении задач на движение по реке
необходимо учесть, что
v
ïîòå÷
= v
ñîá
+ v
ò . ð.
,
v
ïðîòèâòå÷
= v
ñîá
− v
ò . ð.
где:
v
ïîòå÷
– скорость по течению реки;
v
ïðîòèâòå÷
– скорость объекта при
движении против течения реки;
v
ñîá
– собственная скорость движу-
щегося объекта;
v
ò . ð.
– скорость течения реки.
Решать их желательно, используя
схемы или таблицы.
Задачи на бассейны и трубы. Такие
задачи фактически являются задачами
на движение. Работа или объем бас-
сейна есть, условно говоря, путь,
пройденный точкой; производитель-
ность, с которой выполняется работа
или наполняется бассейн есть ско-
рость.
Решение сложных задач целесообраз-
но начать с повторения алгоритма
решения системы уравнений с 2-мя
неизвестными:
-Обозначить неизвестную величину
переменной (при решении задачи с
помощью системы уравнения вводят
несколько переменных);
-Выразить через нее другие величины;
-Составить уравнение (или систему
уравнений), показывающее зависи-
мость неизвестной величины от дру-
гих величин;
-Решить уравнение (или систему
уравнений);
-Сделать проверку при необходимо-
сти;
-Выбрать из решений (или систему
1. Из сосуда, доверху наполненного 88%-м раствором кисло-
ты, отлили 2,5 литра жидкости и долили 2,5 литра 60%-го
раствора этой же кислоты. После этого в сосуде получился
80%-й раствор кислоты. Найдите вместимость сосуда в лит-
рах.
Решение.
Пусть х (литров) – вместимость сосуда.
1) Т.к. сосуд был доверху наполнен 88%-м раствором кисло-
ты, то кислоты в нем было 0,88х литров, а воды – 0,12х.
2) В 2,5 литрах жидкости содержится 2,5 0,88 = 2,2 литра
кислоты и 0,3 литра воды.
3) В 2,5 литрах 60%-го раствора этой же кислоты будет
2,5 0,6 = 1,5 литра кислоты и 1 литр воды.
4) Когда из первоначального сосуда отлили 2,5 л жидкости и
долили 2,5 литров 60% раствора кислоты, то получилось
0,88x − 2,2 + 1,5 литров кислоты и 0,12x − 0,3 + 1 воды.
5) Т.к. в результате получается 80%-й раствор кислоты, то в
нем будет 80% кислоты и 20% воды, т.е. выполняется условие
0,88x − 2,2 + 1,5 = 4(0,12x − 0,3 + 1) . Решая это уравнение, по-
лучим x = 8,75 литров – вместимость сосуда.
Ответ: 8,75.
2. Расстояние между городами А и В равно 900 км. Два поез-
да одновременно отправляются, один из А в В, другой из В в
А. Они встречаются в пункте С. Первый поезд прибывает в
город В через 4 часа после встречи со вторым поездом, в вто-
рой прибывает в город А через 16 часов после встречи с пер-
вым поездом. Определите расстояние АС.
Решение.
Расстояние от А до С в 2 раза больше расстояния от С до В.
Добавим участок от А до Д, тогда t
АД
=4 (часа). АВ поделим на
3 равных участка. 900:3=300 км, т.е. AД=ДC=CB=300км.
Итак, АС=AД+ДC=600 км.
Ответ: 600.
3. Имеется два сплава с разным содержанием золота. В пер-
вом сплаве содержится 35%, а во втором — 60% золота. В
каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы
получить из них новый сплав, содержащий 40% золота?
Решение. Пусть х — масса первого сплава, y — масса второго
сплава. Тогда количество золота в первом сплаве составляет
0,3х, а во втором — 0,55у. Масса нового сплава равна x + y , а
количество золота в нем составляет 0,4(x + y) . Получим
уравнение 0,3x + 0,55 y = 0,4(x + y) . Преобразуем уравнение,
получим: 30x + 55 y = 40x + 40 y ,
6x + 11y = 8x + 8 y , 3y = 2x . Отсюда: x : y = 3 : 2 .
Ответ: в отношении 3:2. Ответ может быть дан и в другом ви-
56
уравнений) те которые подходят по
x 3
смыслу задачи;
-Оформить ответ.
Полезно вспомнить:
Задачи на проценты. Основным по-
нятием является часть числа, если за-
дана величина a , то ее k -я часть рав-
на k a , и определение : Процентом
называется одна сотая часть вели-
чины 1% =
1
= 0,01, то есть 1%
де, например = .
y 2
4. И пункта А в пункт В, расположенный ниже по течению
реки, отправился плот. Одновременно навстречу ему из пунк-
та В вышел катер. Встретив плот, катер сразу повернул и по-
плыл назад. Какую часть пути от А до В пройдет плот к мо-
менту возвращения катера в пункт В, если скорость катера в
стоячей воде вчетверо больше скорости течения реки?
Решение. Пусть скорость течения реки (и плота) х км/ч. Тогда
скорость катера против течения равна 4x − x = 3x км/ч, а по
100
течению 4x + x = 5x км/ч. Следовательно, скорость катера
= 1/100 от целого. Значит, целое со-
ставляет 100%.
Например: 39% = 0,39 ; 0,9 = 90%
против течения в 3 раза больше скорости плота, а по течению
- в 5 раз больше скорости плота. Если плот до встречи про-
плыл S км, то катер — в 3 раза больше, т.е. 3S км. После
17,5% = 0,175
Чтобы перевести проценты в деся-
встречи катер пройдет 3S
км, а плот - 5 раз меньше, т.е.
3S
5
тичную дробь, надо разделить число
процентов на 100.Например, 125% =
125:100 = 1,25%
км. Всего плот пройдет
S +
3S
5
=
8S
. Отношение пройденно-
5
8S
го плотом пути ко всему пути равно
5
4S
=
2
.
5
Другое возможное решение. Пусть скорость течения реки (и
плота) х км/ч. Тогда скорость катера против течения равна
4x − x = 3x км/ч, а по течению 4x + x = 5x км/ч. Скорость
сближения катера и плота равна
AB
3x + x = 4x
км/ч. Встреча
произошла через
4x
ч. За это время плот проплыл
x
AB
=
AB
4x 4
км, а катер -
3AB
км. Обратный путь катер
4
пройдет за
3AB
4
=
3AB
ч. Плот за это время проплывет рас-
5x
стояние равное
20x
x
3AB
20x
=
3AB
20
км, а всего он проплывет
AB
+
3AB
=
2
AB км.
4 20 5
2
Ответ: плот пройдет
5
всего пути.
57
Модель 1 Баллы Критерии оценки выполнения задания
6 Ход решения верный, все его шаги выполнены, получен верный ответ.
5 Ход решения верный, все его шаги выполнены, но допущена одна ошибка –
в преобразованиях или в вычислениях, с ее учетом дальнейшие шаги вы-
полнены правильно.
0 Другие случаи, не соответствующие указанным критериям.
Модель 2 Баллы Критерии оценки выполнения задания
4 Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный
ответ.
3 Ход решения верный, все его шаги выполнены, но допущена вычислитель-
ная ошибка или описка.
2 Найдены части пути, которые проплывет плот до и после встречи, но реше-
ние не доведено до конца и не найдена часть всего пути от А до В, прой-
денная плотом.
1 Найдены части пути, которые проплывет плот до и после встречи, но реше-
ние не доведено до конца и допущена одна арифметическая ошибка.
0 Другие случаи, не соответствующие указанным критериям.
Реши сам:
1. Из пункта А в пункт В, расположенный выше по течению реки, вышла моторная лодка, собственная
скорость которой в 5 раз больше скорости течения. Одновременно навстречу ей из пункта В отправил-
ся плот. Встретив плот, лодка сразу повернула назад и пошла вниз по течению реки. Какую часть пути
от В до А пройдет плот к моменту возвращения лодки в пункт А?
2. Из пункта А в пункт В, расположенный ниже по течению реки, отправился плот. Одновременно
навстречу ему из пункта В вышла лодка, собственная скорость которой в 2 раза больше скорости те-
чения. Встретив плот, лодка сразу повернула назад и пошла вниз по течению. Какую часть пути от А
до В останется пройти плоту к моменту возвращения лодки в пункт В?
3. При смешивании первого раствора соли, концентрация которого 40%, и второго раствора этой же
соли, концентрация которого 48%, получился раствор с концентрацией 42%. В каком соотношении
были взяты первый и второй растворы?
4 Два оператора, работая вместе, могут набрать текст газеты объявлений за 8 ч. Если первый оператор
будет работать 3 ч, а второй — 12 ч, то они выполнят только 75% всей работы. За какое время может
набрать весь текст каждый оператор, работая отдельно?
5. На пост мэра города претендовало три кандидата: Андреев, Борисов, Васильев. Во время выборов за
Васильева было отдано в 1,5 раза больше голосов, чем за Андреева, а за Борисова — в 4 раза больше,
чем за Андреева и Васильева вместе. Сколько процентов избирателей проголосовало за победителя?
6. Рыболов отправляется на лодке от пристани против течения реки с намерением вернуться назад че-
рез 5 ч. Перед возвращением он хочет побыть на берегу 2 ч. На какое наибольшее расстояние он мо-
жет отплыть, если скорость течения реки равна 2 км/ч, а собственная скорость лодки 6 км/ч?
7. Моторная лодка отправилась по реке от одной пристани до другой и через 2,5 ч вернулась обратно,
затратив на стоянку 15 мин. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость лодки равна
18 км/ч, а расстояние между пристанями 20 км.
8. Расстояние между двумя пристанями по реке равно 21 км. Моторная лодка отправилась от одной
пристани до другой и через 4 ч вернулась назад, затратив на стоянку 24 мин. Найдите собственную
скорость моторной лодки, если скорость течения реки равна 2 км / ч.
9. Лодка может проплыть 15 км по течению реки и еще 6 км против течения за то же время, за какое
плот может проплыть 5 км по этой реке. Найдите скорость течения реки, если известно, что собствен-
ная скорость лодки 8 км / ч ,
10. Катер проплывает 20 км против течения реки и еще 24 км по течению за то же время, за какое
плот может проплыть по этой реке 9 км . Скорость катера в стоячей воде равна 1 5 км/ч. Найдите ско-
рость течения реки.
11. . Клиент внес 3000 р. на два вклада, один из которых дает годовой доход, равный 8 % , а другой
— 1 0 % . Через год на двух счетах у него было 3260 р. Какую сумму клиент внес на каждый вклад?
Вернуться в содержание
58
Диагностическая контрольная работа № 4
3x
2
+ 2x − 5
1. Сократите дробь
.
3x
2
+ 5x
2. Решите систему уравнений
xy = −12
.
(x − 2)( y − 4) = −8
3. Арифметическая прогрессия задана формулой n-го члена a
n
= 4n + 1 . Найдите сумму членов
арифметической прогрессии с двадцать пятого по пятидесятый включительно.
4. Найдите все значения a, при которых неравенство
x
2
+ (2a + 6)x + 12a + 4 0 не имеет решений.
5. Имеются два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве содержится 30%, а во вто-
ром – 55% золота. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них
новый сплав, содержащий 40% золота?
Вернуться в содержание
59
Контрольный тест
1. Расположите в порядке возрастания числа 0,0157; 0,105; 0,07.
1). 0,07; 0,105; 0,0157; 2) 0,105; 0,07; 0,0157;
3). 0,0157; 0,105; 0,07; 4).0,0157; 0,07; 0,105.
2. Одна из точек на координатной прямой соответствует числу √52. Какая это точка?
Ответ:
3. Представьте выражение
y
15
y
−11
y
8
в виде степени с основанием у.
Ответ:
4. Какое из следующих выражений тождественно равно произведению (х - 8)(x- 3)?
1) (х - 8)(3 - х) ;
2)(8-х)(3-х) ;
3) (8 - х)(х - 3) ;
4) -(х - 8)(х - 3).
5. Упростите выражение
1
(
c
−
d
)
при условии, что с + d ≠ 0.
Ответ:
c + d d c
6. Стоимость одного билета в кинотеатр составляет 220 рублей. Группам предоставляются скидки:
группе от 3 до 12 человек — 5%, группе более 12 человек —10%. Сколько заплатит за билеты группа
из 10 человек?
1) 1980; 2) 198; 3) 2090; 4) 209.
7. Площадь Кораллового моря 4,07 • 109 м2, а площадь Адриатического моря 1,44 • 108 м2. Во сколько
раз площадь Кораллового моря больше площади Адриатического моря?
1) примерно в 3 раз 2) примерно в 30 раз;
3) примерно в 0,3 раза; 4) примерно в 5,5 раза.
8. На рисунке изображен график функции у = 5х2 + 14х - 3. Вычислите абс-
циссу точки А.
Ответ:
9. Решите систему уравнений:
2x + y = −11
.
3x − 5 y = 16
Ответ:
60
4 − x 0.
x − 4 0.
x + 4 0.
10. Прочитайте задачу. Расстояние между двумя пристанями 24 км. Лодка проплыла от одной пристани
до другой и вернулась обратно, затратив на весь путь 5 часов.
Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч.Обозначьте буквой х соб-
ственную скорость лодки (в км/ч) и составьте уравнение по условию задачи.
1)
24
+
x + 2
24
= 5
x − 2
2)
24
=
x + 2
24
− 5
x − 2
3)
x + 2
+
x − 2
= 5
4) 24(x + 2) + 24(x − 2) = 5
24 24
11. Какое из приведенных ниже неравенств не следует из неравенства а > b - с?
1)a + с>b; 2)b<а + с; з)а-b-с>0; 4)а-b-с>0.
12. Какая из прямых пересекает график функции
1)у=-5х; 2)у = 4x; 3)у = -2; 4)у = 3.
y = −
4
в двух точках?
x
13 Решите уравнение: − x
2
+ 7x − 10 = 0 Ответ
14. На рисунке изображен график функции у = f(x), заданной на про-
межутке [—2; 3,5]. Из приведенных ниже утверждений выберите вер-
ное:
1) функция у = f(x) принимает наибольшее значение при х = 1;
f(x) ≥ 0 при -0,5 < х < 3,5;
2) функция у = f(x) возрастает на промежутке [1; 3,5];
3)f(0) = 3.
15. Для каждой системы неравенств укажите множество ее решений:
А)
x 2,
Б)
x −2,
В)
x 2,
Ответ:
16. На рисунке показано движение двух ве-
лосипедистов А и В. По вертикальной оси
отложено расстояние (в километрах), по
горизонтальной —время (в минутах). Кто
из них преодолел большее расстояние в
период с десятой по сорок пятую минуту и
на сколько?
Ответ:
А
Б
В
61
(3x + 1)( y − 2) = 0.
17. Сократите дробь
3x
2
− x
3x
2
+ 5x − 2
Вторая часть:
при 3х2 + 5х - 2 ≠0
18. Найдите значение выражения: √ (4 -2√5)2 +√(5-2√5)2
19. Лесхоз планировал заготовить216 новогодних елей. Первые три дня лесхоз выполнял установлен-
ную ежедневную норму, а потом стал изготавливать на 2 ели больше. Поэтому уже за день за1 день до
срока было заготовлено 232 ели. Сколько елей ежедневно заготавливал лесхоз в первые три дня рабо-
ты?
20. Решите систему уравнений:
9x
2
+ 3x + 2 y = 3,
21. Постройте множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению
x
2
+ y
2
− 1
=
0
x
2
− y
2
Вернуться в содержание
62
Список использованной литературы
1. Демонстрационный вариант ОГЭ 2018г.-9класс
2. Кузнецова Л.В. И др., ГИА выпускников 9 класса в новой форме Алгебра 2010/
ФИПИ- М. Интелект-Центр, 2010г.- 128.
3. Кузнецова Л.В. И др., Алгебра: сборник заданий для подготовки к ГИА в 9 кл.-
М.Просвещение, 2010.-239.
4. В.В. Веременюк. Учимся быстро решать тесты.
5. Сайт «ТИО» (Макарова Ю.А.)
Ответы
Тема/зад.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
5,06 10
5
3,4 10
5
2 10
6
3,5 10
10
0,000165
8 10
4
1,234 10
4
0,000127
0,0000118
3 10
4
15
530
30
0.000006
2
3)
1)
4)
1)
0,125
0,075
4)
3)
2)
4)
1)
2)
3
500
3
1)
3)
4)
3)
4)
2)
3)
1)
3)
-4
B;E;G
C
B
S,P
D
4
-5/12
-76
1/5
-2
1/6
15/16
-2,5
3,94,2
0,9
310
-690
1/2
13
8
5
TN
(F-32)/1,8
(L - 1)/7,8
at+v
0
(v-v
0
)/a
P/
Nt
a(b-x)/x
by/(b+y)
(v-v
0
)/t
(S-S
0
)/t
3P
nm
V
H
2S
a
6
4)
2)
4)
260
90
0,5
2/3
1/4
540
60
120
20
12
1/2
2
ДКР №1
3)
1)
1)
-5/12
3)
4)
3)
7
2)
2)
a
3
+ 3a
2
− 5a − 1
4)
4)
4)
1)
3)
3)
1)
2x-1
3x+1
3)
3)
8
3 − m
2
m
2)
2)
1)
3)
4)
−
1
y
−
c
b
(a-3)
1
x + y
5a − 3
a + 1
c − 5
c + 1
6 y
x + y
2x
x − 1
5n
m + n
9
2;-9
0;-5
5
0;4
1;-2,5
a-1;б-3;
в-2;г-2
a-2;б-3;
в-1;г-2
3)
3;-1/3
-1;1/4
-2;5/2
5;-9/2
2;5
1;3/2
14
10
a-2;б-3;
в-1
a-1;б-1;
в-2
-
-2
1/3
(4;1)
(5;2),
(2;-1)
(4;-2),
(1;-5)
(6;5),
(-4;-5)
(4;5),
(13;-4)
3)
1)
a-3;б-2;
в-3
1/5
(-3;-5)
11
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
12
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
ДКР №2
4)
3 − m
2
m
14
a-1;б-1;
в-2
-
-
13
1)
1)
2)
4)
1)
2)
3)
4)
1)
2)
14
1)
3)
2)
4)
1)
2)
1)
4)
3)
2)
15
2)
3)
1)
2)
4)
1)
3)
2)
1)
2)
3)
16
220
300тыс
500тыс
500тыс
400тыс
400тыс
400тыс
300тыс
400тыс
600тыс
Б на 15т
1час
А на 10
45 мин
ДКР №3
2)
(-3;1)
2)
80
17
18
19
20
2/3;3
(-6;2)
(-1;7)
[1;0)
− 2 (1; )
(−7; )
(−9; )
21
5/17
1/3
3:1
12 и 24
80
8
2
12
2
3
2000;1000
ДКР №4
(x-1)/x
(3;4),(-2;6)
3926
[1;5]
3:2
Контр.тест
Алгебра - еще материалы к урокам:
- Самостоятельная работа по алгебре "Многочлен" 7 класс
- Презентация "Наибольшее и наименьшее значения функции" 11 класс
- Методическая разработка урока алгебры "Линейная функция и её график" 7 класс
- Итоговый контрольный срез по алгебре за 1 полугодие 8 класс (по учебнику А.Г. Мерзляк)
- Презентация "Правила вычисления производных (Правила дифференцирования)" 11 класс
- Конспект урока математики "Решение уравнений" 6 класс
