Презентация "Похвальное слово логарифмам и логарифмической линейке"

Похвальное слово

логарифмам и

логарифмической линейке

Учитель математики Красинец А.В.

1. Из истории появления логарифма Из истории появления логарифма Конец XVI и первая половина XVII веков – время бурного развития производства и торговли в Европе, прежде всего в Англии и Нидерландах. Потребность в сложных расчётах быстро росла, и значительная часть трудностей была связана с умножением и делением многозначных чисел.

Конец XVI и первая половина XVII веков – потребность в сложных расчётах

1.

Из истории появления логарифма В конце XVI века нескольким математикам, почти одновременно, пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое сложение. Возьмем для примера число 10 и говорить будем о положительных числах.

… Заменить трудоёмкое умножение на простое сложение

1.

Пусть есть два числа

X

a=10x

Допустим, мы можем представить их в виде

Y

b=10y

ТОГДА

ab=10x+y

Пусть есть два числа

X

a=10x

Допустим, мы можем представить их в виде

Y

b=10y

ТОГДА

ab=10x+y

По сумме (x+y) можно «восстановить» значение произведения.

Если у нас есть какой-то способ по a и b знать значения x и y, то для умножения достаточно просто сложить x и y, а затем по сумме (x+y) «восстановить» значение произведения.

Пусть есть два числа

X

a=10x

Допустим, мы можем представить их в виде

Y

b=10y

ТОГДА

ab=10x+y

По сумме (x+y) можно «восстановить» значение произведения.

Если у нас есть какой-то способ по a и b знать значения x и y, то для умножения достаточно просто сложить x и y, а затем по сумме (x+y) «восстановить» значение произведения.

В данном случае числа x и y называют десятичными логарифмами чисел a и b

x=lg(a)

y=lg(b)

Из истории появления логарифма

И математики принялись за составление таблиц логарифмов положительных чисел.

1.

Из истории появления логарифма Первым эту идею опубликовал в своей книге «Arithmetica integra» Михаэль Штифель, который, впрочем, не приложил серьёзных усилий для реализации своей идеи.

Михаэль Штифель (нем. Michael Stifel, около 1487, Эсслинген-на-Неккаре — 19 апреля 1567, Йена) — немецкий математик

Из истории появления логарифма К открытию логарифмов Непер пришел не позднее 1594 года, но лишь двадцать лет спустя, в 1614 году, опубликовал свое «Описание удивительной таблицы логарифмов», содержавшее определение Неперовых логарифмов, их свойства и таблицы логарифмов.

Изобретателем логарифмов считают шотландского барона Джона Непера (1550—1617).

1.

2. Логарифмы вокруг нас Логарифмы вокруг нас Логарифмическая спираль задается в полярных координатах функцией r = aebφ где a и b- константы, e -основание натуральных логарифмов

a = 0.01

b = 0.15

2.

Логарифмы вокруг нас Улитка

В природе форма этой линии известна нам с детства

В подсолнухе семечки расположены по дугам, близким к логарифмической спирали.

Даже «близкие» нам пауки

предпочитают плести свою

паутину по «логарифмическому»

образцу.

2.

Логарифмы вокруг нас Атмосферные тайфуны, далекие галактики имеют форму, близкую к логарифмической спирали.

В природе форма этой линии известна нам с детства

2.

Логарифмы вокруг нас В астрономии звезды делятся по яркости на светила первой, второй величины, и т.д. Последовательные звездные величины воспринимаются глазом плавно, как члены арифметической прогрессии. Но физическая яркость их изменяется как геометрическая прогрессия со знаменателем 2,5. «Звездная величина» представляет собой логарифм её физической яркости по основанию 2,5.

Человеческий глаз и ухо используют логарифмическую шкалу яркости и громкости, чтобы «сгладить» большие колебания этих величин.

Астрономия

«Звездная величина» = log 2,5 (физической яркости)

2.

Логарифмы вокруг нас Единицей громкости служит «бел», практически – его десятая доля, «децибел». Степени громкости 10 децибел, 20 децибел и т.д. составляют для нашего слуха арифметическую прогрессию. Физическая же энергия составляет геометрическую прогрессию со знаменателем 10. Громкость шума, выраженная в белах, равна десятичному логарифму его физической силы.

Физика

«Громкость шума» = lg (физической силы шума)

Человеческий глаз и ухо используют логарифмическую шкалу яркости и громкости, чтобы «сгладить» большие колебания этих величин.

2.

Логарифмы вокруг нас Оба эти явления – следствия общего психофизического закона Вебера-Фехнера, согласно которому ощущение изменяется пропорционально логарифму раздражения. Как видно, логарифмы вторгаются и в область психологии.

Ощущение изменяется пропорционально log (раздражения)

Психология

Человеческий глаз и ухо используют логарифмическую шкалу яркости и громкости, чтобы «сгладить» большие колебания этих величин.

2.

Логарифмы вокруг нас Интересно, но нажимая на клавиши рояля, мы, можно сказать, играем на логарифмах. Так называемые «ступени» темперированной хроматической гаммы расставлены к числу колебаний и к длинам волн звуков, по логарифмической шкале с основанием 2

Ступени гаммы расставлены по шкале log (числу колебаний, длинам волн звуков)

Музыка

Человеческий глаз и ухо используют логарифмическую шкалу яркости и громкости, чтобы «сгладить» большие колебания этих величин.

2.

3. Логарифмическая линейка Логарифмическая линейка Логарифмическая линейка  позволяет выполнять несколько математических операций, в том числе, умножение и деление чисел, возведение в степень, вычисление логарифмов, тригонометрических функций.

Точность вычисления обычных линеек - два-три десятичных знака

3.

Логарифмическая линейка С помощью логарифмической линейки находят лишь мантиссу числа, его порядок вычисляют в уме. Точность вычисления обычных линеек - два-три десятичных знака. Для выполнения других операций используют бегунок и дополнительные шкалы. Следует отметить, что, несмотря на простоту, на логарифмической линейке можно выполнять достаточно сложные расчёты. Раньше выпускались довольно объёмные пособия по их использованию.

Вплоть до 1970-х гг. логарифмические линейки были так же распространены, как пишущие машинки и мимеографы. Ловким движением рук инженер без труда перемножал и делил любые числа и извлекал квадратные и кубические корни. Чуть больше усилий требовалось для вычисления пропорций, синусов и тангенсов.

3.

4. Устройство логарифмической линейки Устройство логарифмической линейки Рассмотрим логарифмические линейки, используемые во второй половине 20 века в России. Стандартная логарифмическая линейка состояла из трех, покрытых белым целлулоидом, частей.

M

N

Q

3

2

1

Корпус (M,N)

На корпусе линейки наносилось шесть шкал длиной по 25 см каждая. Длина шкалы в 25 см позволяла получить результаты с точностью до четырех значащих цифр с ошибкой, не превосходящей единицы последнего знака.

Бегунок (Б)

Движок (Q)

На движке так же было нанесено шесть неравномерных шкал длиной 25 см, по три с лицевой и обратной сторон.

Бегунок представлял собой прямоугольную рамку со стеклом, на середине которого нанесена тонкая черта – указатель.

4.

Устройство логарифмической линейки Шкала К служит для вычисления кубов чисел, откладываемых на шкале D. Если число отложить на шкале К, то на шкале В будет корень третей степени этого числа. Отрезки, нанесенные на эту шкалу, пропорциональны (m/3)*lg X, где m – длина шкалы в миллиметрах (250). На участке от 1 до 2 цена наименьшего деления соответствует 0.02, на участке от 2 до 4 – 0.05, на участке от 4 до 10 – 0.1. На участках от 10 до 20, от 20 до 40, от 40 до 100 значения наименьших делений равны соответственно 0.2, 0.5, 1. А на участках от 100 до 200, от 200 до 400 и от 400 до 1000 - соответственно равны 2,5 и 10.

для вычисления кубов чисел (шкалы D)

Шкала К

1

4

10

0,02

0,05

0,1

К

2

20

0,2

0,5

40

40

100

1

К

200

2,5

10

400

1000

4.

Устройство логарифмической линейки На этих шкалах нанесены отрезки, пропорциональные (m/2)*lg X. Цена наименьшего деления на участках от 1 до 2, от 2 до 5, от 5 до 10, от 10 до 20, от 20 до 50, от 50 до 100 равна соответственно 0.02, 0.05, 0.1, 0.2, 0.5 и 1. Служат для вычисления квадратов чисел, откладываемых на шкале D. Так же можно с помощью шкал А и В вычислять квадратные корни чисел.

для вычисления квадратов чисел (шкалы D)

Шкалы А и В

дробная часть десятичного логарифма (шкалы D)

Шкала L

Шкала L – равномерная. На ней отложены мантиссы (дробная часть десятичного логарифма) логарифмов шкалы D. Наименьшее деление этой шкалы соответствует 0.002, а метки, обозначенные цифрами 1,2,3,4.., читаются как 0.1, 0.2, 0.3, 04….

1

5

10

0,2

A, B

2

20

0,5

1

50

100

0,1

0,05

0,02

4.

Устройство логарифмической линейки Шкалы D и С называются основными. На них нанесены отрезки, пропорциональные m*lg X, при Х изменяемом от 1 до 10. Значение наименьших делений этих шкал на участке от 1 до 2 означает 0.01, на участке от 2 до 4 они означают 0.02, на участке от 4 до 10 – 0.05.

основные

Шкалы D и C

шкала обратных значений (С и D)

Шкала R

Шкала R – это шкала обратных значений. Она представляет собой шкалу С (D), но в перевернутом виде. Таким образом, метка 10 этой шкалы будет на левом конце, а 1 – на правом. На этой шкале любой отрезок P от начала шкалы равняется 250-250* lg p = 250* lg (1/p).

1

4

10

0,01

0,02

0,05

D, С

2

4.

Устройство логарифмической линейки Отрезки на этих шкалах пропорциональны следующим функциям: Для шкалы синусов (Sin): y = k ( lg sin Vs + 1 ) Для шкалы синусов и тангенсов (S&T): y = k [ lg 1/2( sin V + tg V ) +2] Для шкалы тангенсов (Tg): y = k ( lg tg Vt + 1 ) где Vs и Vt – пометки углов, соответствующие шкалам.

используются при вычислениях с тригонометрическими функциями

Шкалы Sin, S&T и Tg

шкала	углы		примечание
	от	до
Sin	5043,77`	900`	Значения углов выбраны таким образом, чтобы значения функций начала шкалы были в десять раз меньше значения функции конца той же шкалы.
Tg	5043,77`	450`
S&T	0034,38`	5043,77`

4.

Устройство логарифмической линейки Для шкалы синусов значение наименьшего деления на участке от начала до 100 – 5`, на участке от 100 до 200 – 10` , на участке от 200 до 900 - 20`. Для шкалы тангенсов на участке от начала шкалы до 200 наименьшее деление соответствует 5`, а на участке от 200 до 450 – 10`. На шкале синусов и косинусов значение наименьшего деления 1` соответствует участку от начала шкалы до 30, и 2` - для участка от 30 и дальше.

используются при вычислениях с тригонометрическими функциями

Шкалы Sin, S&T и Tg

100

200

900

5`

10`

20`

200

450

5`

10`

30

1`

2`

Sin

S&T

Tg

4.

На шкалах логарифмической линейки отмечены константы: π =3.14… , М = 1/ π , C =√4/ π C1= C =√40/ π и т.д..

Следует помнить, что каждая метка (риска) на шкалах линейке имеет не одно определенное значение, а всякое другое, которое может быть получено умножением этого значения на 10 в любой степени. То есть, числа … 1525, 152.5, 15.25, 1.525, 0.1525 … будут расположены в одном месте логарифмической линейки.

5. Работа с логарифмической линейкой Работа с логарифмической линейкой С помощью логарифмической линейки можно производить умножение, деление, возведение в степень и извлечение корней, определять натуральные значения тригонометрических функций заданных углов и по заданным натуральным значениям тригонометрических функций находить соответствующие им углы, определять логарифмы и антилогарифмы чисел, находить логарифмы тригонометрических функций и производить различные вычисления. Рассмотрим подробно правила выполнения перечисленных выше операций с помощью логарифмической линейки и начнем с умножения и деления.

5.

Устройство логарифмической линейки Умножение и деление с помощью линейки основывается на свойстве логарифмов: lg X*Y = lg X + lg Y lg X/Y = lg X – lg Y Следовательно, операция умножения сводится к сложению соответствующих отрезков на логарифмических шкалах C и D, а операция деления – к вычитанию этих отрезков.

5.1 Умножение и деление

5.1

Устройство логарифмической линейки 1. Ставим указатель бегунка на деление 41.4 на шкале D. 2. Передвигаем движок вправо так, чтобы крайняя левая цифра шкалы C (1) была под указателем бегунка. 3. Ставим указатель бегунка на деление 12 на шкале C. 4. По указателю бегунка считываем число на шкале D (497). 5. Приблизительный результат умножения 497. X = 41.4 * 12 ~ 496,8

Рассмотрим пример, в котором требуется вычислить X = 41.4 * 12

Пример на умножение

5.1

Устройство логарифмической линейки 1. Устанавливаем указатель бегунка на деление 5.15 шкалы D. 2. Перемещаем движок логарифмической линейки влево до совпадения указателя бегунка с делением 1.31 шкалы С. 3. Устанавливаем указатель бегунка на левую крайнюю цифру шкалы С (1). 4. По указателю бегунка считываем число на шкале D (393). 5. Приблизительный результат деления будет 3.93. . y = 5.15/1.31 ~ 3.93

Рассмотрим деление на примере

y = 5.15/1.31

Пример на деление

5.1

Устройство логарифмической линейки Для возведения в квадрат или в куб числа М устанавливают указатель бегунка на деление шкалы D, соответствующее числу М. По указателю бегунка на шкале А считывают квадрат числа М, а на шкале К – куб числа М. При этом необходимо вручную учитывать порядок результата.

5.2 Возведение в степень и извлечение корня

5.2

Устройство логарифмической линейки 1. Устанавливаем бегунок на деление 4.2 шкалы D. 2. По указанию бегунка считываем число на шкале А (17.64). 3. Определяем порядок результата возведения в квадрат. Для этого в первую очередь определяем порядок исходного числа. 42 = 4.2 *101, следовательно, порядок исходного числа 1. Воспользовавшись правилом возведения числа в степень ((Xn)m = Xn*m), определим порядок результата. В нашем случае n = 1 (порядок исходного числа), m = 2 (возведение в квадрат), таким образом, порядок результата будет 1*2 = 2. 4. Приблизительный результат возведения числа 42 в квадрат будет 17.64*102 = 1764. 5. По указанию бегунка считываем число на шкале К (74). 6. Определяем порядок результата возведения в куб. В этом случае n = 1, m = 3, следовательно, порядок результата будет 1*3 = 3. 7. Приблизительный результат возведения числа 42 в куб будет 74*103 = 74000. . y =423= 74*103 ~ 74000.

Рассмотрим пример возведения числа 42 в куб и квадрат с помощью логарифмической линейки

Пример на возведение в степень

5.2

Устройство логарифмической линейки Извлечение корня – действие, обратное возведению в степень, поэтому для того, чтобы извлечь квадратный корень из числа устанавливают указатель бегунка на деление, соответствующее этому числу на шкале А, а результат извлечения смотрят по указателю бегунка на шкале D. Для извлечения кубического корня указатель устанавливают по шкале К, а результат опять же будет на шкале D. Так же, как и при возведении в степень, порядок результата необходимо рассчитывать вручную..

Извлечение корня

5.2

Устройство логарифмической линейки Для нахождении десятичного логарифма числа необходимо указатель бегунка установить на деление шкалы D, соответствующее этому числу. И по указателю бегунка на шкале L определить мантиссу (дробная часть) логарифма. Затем спереди приписать к ней характеристику (целая часть) логарифма.

5.3 Работа с логарифмами

5.3

Устройство логарифмической линейки Логарифмические шкалы Sin, S&T и Tg позволяют производить разнообразные действия над формулами, содержащими тригонометрические функции. Однако, эти шкалы предназначались только для работы с синусами и тангенсами, поэтому при работе с косинусами и котангенсами было необходимо предварительно выразить их через синусы и тангенсы по формулам: cos a = sin (900-a); ctg a = 1/tg a, для а от 00 до 450; ctg a = tg (900 – a), для а от 450 до 900

5.4 Тригонометрические расчеты

5.4

6. Виды логарифмических линеек Виды логарифмических линеек

6

Виды логарифмических линеек

6

Виды логарифмических линеек

6

7. Заключение Сегодня трудно представить, что расчеты космических аппаратов, атомный проект, самолеты и многое другое, более объемное и менее объемное было сделано без компьютеров, но с помощью этой линейки. Еще тридцать лет назад представить конструктора или ученого без логарифмической линейки было невозможно. Простое приспособление с бегунком позволило человеку слетать в космос и ступить на Луну, расшифровать структуру ДНК и создать лазеры.

5.4