Ученики на Учителя.com


Презентация "Решение уравнений с параметрами"

Скачать материал
Подписи к слайдам:
  • Учитель математики гимназии №1925 Дунаева Елена Александровна
Если дано уравнение F(x;a)=0,которое надо решить относительно переменной x и в котором буквой а обозначено произвольное действительное число , то F(x;a)=0 называют уравнением с параметром а.
  • Если дано уравнение F(x;a)=0,которое надо решить относительно переменной x и в котором буквой а обозначено произвольное действительное число , то F(x;a)=0 называют уравнением с параметром а.
  • Основная трудность, связанная с решением уравнения (и тем более неравенств) с параметром , состоит в том ,что при одних значениях параметра не имеет решений , при других – имеет бесконечное количество, при третьих - оно решается по одним формулам и т.д.
ПРИМЕР 1.
  • ПРИМЕР 1.
  • Решим уравнение 2а(а-2)х=а-2 при всех х.
  • Обычно корень уравнения bх=с мы находим без труда : х=с:b.Поскольку b отличен от нуля ,то мы можем смело на него делить . В заданном уравнении коэффициент при х равен 2а(а-2) . Значение параметра может быть любым, поэтому сначала следует рассмотреть ситуацию, при которой этот коэффициент равен нуля.
  • 1)при 2а=0 получаем 0х=0-2;
  • 0=-2,
  • из этого следует , что при а=0 уравнение не имеет решений.
  • 2)При а -2=0 ,т.е а=2 , получаем 0х=2-2;
  • 0=0,
  • из этого следует , что при а=2 уравнение бесконечно много решений.
  • 3)Осталось рассмотреть остальные случаи, т.е а ≠{0;2} . В этом случае коэффициент отличен от нуля ,и поэтому на него можно делить.
  • Получим х = ( а-2 )/2а(а-2), т.е а=1/2а.
  • При записывании ответа нужно быть очень внимательным, чтоб не потерять решения.
  • ОТВЕТ : при а =0-х € ø , при а =2 - х € R, при а € (-∞;0)(2;+∞) х=1/2а.
ПРИМЕР 2.
  • ПРИМЕР 2.
  • Решим уравнение (а-1)х²+2(2а+1)+(4а+3)=0
  • По виду это уравнение- квадратное, но т.к. значение параметра а нам не известно , то коэффициент при х² а-1 может быть равным 0,следовательно а=1,то уравнение будет уже линейным.
  • Рассматриваем 2 случая: а=1 и а ≠1.
  • 1)При а=1 ур-е принимает вид: 0∙х² + 2∙3х + 7 = 0,т.е. 6х = -7,х = -7/6.
  • 2)При а ≠1 мы имеем квадратное ур-е
  • (а-1)х² + 2(2а+1)х + (4а+3)=0
  • Дискриминант = (2(2а+1))² - 4(4а+3)(а-1)= 4 (5а+4).
  • 1)Если D<0, то квадратное ур-е не имеет корней
  • При 4(5а+4)<0; а<-4/5 х €ø
  • 2)Если D=0 ,то ур-е имеет один корень
  • а=-4/5, то х = - 1/3
3)Если D>0 ,то уравнение имеет 2 корня
  • 3)Если D>0 ,то уравнение имеет 2 корня
  • а>-4/5 (но а≠1) , то х х1,2=(-2(2а+1) ± √ (4(5а+4)) )/( 2(а-1) )
  • Упростив, получаем х1,2 = ( -(2а+1)± √ (5а+4) )/( а-1)
  • Ответ:1)при а=1 , х = -7/6;
  • 2) При а <-4/5 , х €ø;
  • 3) При а =-4/5, х = - 1/3;
  • 4) При а > - 4/5 и а ≠1 , х1,2 = ( -(2а+1 ) ± √ (5а+4) )/( а-1)
ПРИМЕР 3.
  • ПРИМЕР 3.
  • При каких а корни ур-е 2ах² - 2х – 3а – 2=0 меньше 3 .
  • Если а = 0 ,то ур-е принимает вид -2х-2=0 ; х = -1 удовлетворяет условию , он меньше 3.
  • Если а ≠ 0 , то заданное ур-е является квадратным . Графиком ф-ии у = 2ах² - 2х – 3а – 2 является парабола с ветвями вверх, если 2а > 0 , и ветвями вниз, если 2а < 0 . Поскольку корни уравнения должны быть меньше 3, то парабола должна располагаться так :
Дадим аналитическое описание графика:
  • Дадим аналитическое описание графика:
  • 1)Ветви вверх , следовательно 2а > 0
  • 2)Парабола должна пересекаться или касаться с осью абсцисс , иначе у уравнения я не будет корней . Корни есть , значит дискриминант неотрицателен D>=0
  • 3)В точке х=3 имеем ƒ(3)>0. Если будет задан ещё и второй конец промежутка, то на том конце тоже надо определять знак.
  • 4)Также обычно анализируют положение точки вершины параболы , но в данном случае это совершенно неважно, т . к . оба корня должны находиться на этом отрезке.
  • Итак, объединяем в систему.
  • 1)2а>0 ; а> 0
  • 2)D>=0 ; D= 24а² +16а +4; 24а² +16а +4 > = 0 ; дискриминант уравнения 24а² +16а +4 = 0 меньше 0, следовательно а€R
  • 3) ƒ(3)>0; 15а-8>0 ; а>8/15 ;
  • решение этой системы : а>8/15
Аналогичные рассуждения позволяют составить вторую систему
  • Аналогичные рассуждения позволяют составить вторую систему
  • 1)2а<0 ;а< 0;
  • 2)D>=0,аналогично а € R
  • 3)ƒ(3)<0 ; а<8/15
  • Решение системы: а< 0
  • Решение совокупности двух смстем: а< 0 или а>8/15
  • Ответ: а € ( -∞; 0); (8/15;+∞)
ПРИМЕР 4.
  • ПРИМЕР 4.
  • 8 а (sin⁶ х + cos⁶ х) = (а ² +4) cos 4 х , при каких а уравнение имеет хотя бы одно решение.
  • Преобразуем выражение sin⁶ х + cos⁶ х
  • Т.к sin² х + cos² х=1, то возведем в куб, из этого следует что 1= sin⁶ х + cos⁶ х+3sin²cos²х ; отсюда
  • sin⁶ х + cos⁶ х = 1 - 3/4 sin²2х.
  • Преобразуем cos 4 х
  • cos 4 х = 1 – 2 sin ² 2x
  • Подставляем все в выражение и получаем
  • 8 а(1 - 3/4 sin²2х ) = (а ² +4) (1 – 2 sin ² 2x)
  • Раскрыв скобки , приведем подобные и получаем
  • sin ² 2x( 2а ² +8-6а ) = а² + 4 - 8а
  • Т.к 0 <= sin ² 2x<=1 ,то 0 <= (а² + 4 - 8а)/ ( 2а ² +8-6а ) <=1
  • Я думаю, что решить это двойное неравенство не составит труда, поэтому перехожу к ответу
  • Ответ: а € ( -∞; 4-2√3]; [4+2√3;+∞)
ПРИМЕР 5.
  • ПРИМЕР 5.
  • При каком а ур-е 2sin ²3x – (2a+1)sin3x + a = 0 имеет 3 различных корня на промежутке [2π/3;π] ?
  • Сделаем замену: sin3x = T ; Т € [-1 ; 1 ]
  • 2t² - (2a+1) t + a = 0
  • Найдем дискриминант :
  • D=(2a+1) ² -8a ; сократив , получаем 4а² - 4а +1 .Это полный квадрат, следовательно, √ D= 2а -1
  • T1=(2a+1 -2a +1)/4= 0.5
  • T2=(2a+1+2a-1)/4= a
  • Сделав обратную замену ,получаем
  • Sin3x=0.5 ; это ур-е имеет 2 решения , следовательно нам нужен ещё один корень.
  • Sin3x=а из этого ур-я нам надо получить одно решение, а это будет при
  • а=-1,0,-1. Делаем подстановку:
  • При а =1 sin3x =1; х= π/6+2π/3 , проверяем, входит ли он в промежуток. Входит, значит это значение пойдет в ответ.
  • При а =-1 sin3x =-1; ; х= -π/6+2π/3, проверяем , не входит .
  • При а=0 sin3x =0; х= π/6, тоже не входит . Ответ : а=1.
ПРИМЕР 6.
  • ПРИМЕР 6.
  • При каких значениях а , для которых при каждом х из промежутка [-2 , -1) значение выражения х ⁴- 2 х² неравно значению выражения ах ²+ 5 .
  • То есть х ⁴- 2 х² ≠ ах ²+ 5 .
  • Перенесём все в одну сторону и вынесем х ² из второго и третьего слагаемых х ⁴- х²(2+ а) + 5 ≠0
  • Сделаем замену х ² =t ,но так как на х наложены условия , то на t тоже надо наложить условия: так как заменяем х ² ,то и промежуток надо возвести в квадрат и получаем t € ( 1 ; 4 ].
  • t ²- t (2+а) + 5 ≠0
  • Найдем дискриминант D= (2+а)²+ 4*5= (2+а)²+ 20 , так как это сумма квадрата и положительного числа , то и сумма будет положительной, а, следовательно , у этого уравнения 2 различных корня.
  • Таким образом, t ²- t (2+а) + 5 ≠0 в трех случаях , которые объединены совокупностью . Но сначала введем функцию и найдем область определения , которую мы и будем рассматривать : у = t ²- t (2+а) + 5 ; D (y) = R .
Ситуация 1.
  • Ситуация 1.
  • Оба корня находятся по разные стороны отрезка , причем первый корень может проходить через 1 ,а может и на проходить , так как в промежутке единица строго не включена (напоминаю , что задание найти а ,где выражение неравно нулю , поэтому график функции может проходить через единицу ),а через 4 он не может проходить ,так как 4 включена в промежуток.
  • Ранее я рассматривала примере 3 метод анализа графиков , так же и этот график надо анализировать , но так дискриминант мы анализировали уже , а коэффициент при t² больше нуля ,поэтому t вершинное может находиться только как показано на графике , и поэтому эти положения не нужно исследовать.
  • Таким образом , нужно анализировать только знаки на конце отрезка:
  • У(1)≤0 и у(4)<0
  • у(1)=1-(2+а)-5=1-2-а-5=-6-а; у(4)=16-4(2+а)-5=16-8-4а-5=3-4а
  • Получаем систему из двух неравенств:
  • 1)-6-а≤0; а≥-6
  • 2)3-4а<0; а>0.75
  • Решением этой системы является пересечение этих множеств , а именно а >0.75 . Это решение первого уравнения из совокупности , остальные два рассмотрим дальше.
Ситуация 2.
  • Ситуация 2.
  • Оба корня находятся по левую сторону отрезка , причем опять же второй корень может проходить через 1 ,а может и на проходить , а первый корень должен находиться левее второго . В этом случае нам надо рассматривать положение вершины , так как данном случае вершина должна находиться левее 1 , иначе если вершина будет больше 1 ,то это будет соответствовать другому случаю . И опять же рассматриваем знак на конце отрезка ,а именно в 1 и получаем систему опять же из двух уравнений:
  • У(1)≥0 и t вершинное<1;
  • у(1) мы уже посчитали - это -6-а , теперь посчитаем t вершинное = -b/2a= (2+a)/2
  • Получаем систему из двух неравенств:
  • 1)-6-а≥0; а≤-6
  • 2) (2+a)/2 <1; Переносим 1 в левую сторону ,приводим к общему знаменателю и делим на 2 . Получаем а<0 .
  • Решением этой системы является пересечение этих множеств , а именно а ≤-6 . Это решение второго уравнения из совокупности .
Ситуация 3.
  • Ситуация 3.
  • Оба корня находятся по правую сторону отрезка , причем опять же первый корень не может проходить через 4 . Второй корень должен находиться правее первого . в этом случае так же нам надо рассматривать положение вершины , так как данном случае вершина должна находиться правее 4 ,иначе если вершина будет меньше 4 ,то это будет соответствовать другому случаю . И опять же рассматриваем знак на конце отрезка ,а именно в 4 и получаем систему опять же из двух уравнений:
  • У(4)>0 и t вершинное>4;
  • у(4) мы уже посчитали - это 3-4а ,теперь посчитаем t вершинное мы тоже уже подсчитали - это (2+a)/2 .
  • Получаем систему из двух неравенств:
  • 1) 3-4а >0; а<0.75
  • 2) (2+a)/2 >4; Переносим 4 в левую сторону ,приводим к общему знаменателю и делим на 2 . Получаем а>6.
  • У этой системы нет решения ,так как лучи не пересекаются . В ответ пойдёт объединение двух лучей: а >0.75 и а ≤-6 .
  • Ответ : а € (-∞ ; -6] ; (0.75 ; +∞).

Алгебра - еще материалы к урокам: