Ученики на Учителя.com


Разработка занятия "Решение уравнений и их систем с параметрами" 10 класс

Муниципальное образовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа №3
г.Суровикино Волгоградской области
Кафедра учителей математики, физики и информатики.
Разработка занятия спецкурса по математике
для профильной группы
10 класса
Тема:
«Решение уравнений и их систем с параметрами».
Разработала: учитель математики Тахтарова С.Х.
Суровикино 2007
Тема:
«Решение уравнений и их систем с параметрами».
Цель: формирование умения проводить исследование задач с
параметрами и представлять защиту своего проекта; формирование
коммуникативной компетенции - умения работать в группе и рефлексии
собственной деятельности.
Эпиграфы к уроку:
«Помните терему Виета!
Не делите на ноль!
Не извлекайте корень
четной степени из отрицательного числа!» (надписи в древней гробнице,
перевод с клинописного (шутка))
«…что за прелесть эти задачи с параметрами!
Каждая из них – поэма!» (из разговора двух математиков)
Вступительное слово учителя.
Друзья! Мы заканчиваем с вами изучение первого раздела образовательного
модуля «Уравнения и неравенства». До этого мы изучили образовательный
модуль «Числовые множества. Тождественные преобразования
алгебраических выражений». Вы познакомились со следующими
дидактическими единицами: комплексные числа; теорема Безу; схема
Горнера; деление многочленов «уголком»; соединения и бином Ньютона;
треугольник Паскаля; обобщенная Теорема Виета; метод интервалов;
симметричность в уравнениях (возвратные уравнения); преобразования
графиков функций; метод Гаусса; метод Крамера (метод матричного
исчисления).Это позволило расширить ваши знания сверх обязательной
программы и решать более сложные задания, которые в тестах ЕГЭ имеют
высокий уровень (С).К ним традиционно относятся задачи с параметрами.
Ведь в каждой из них необходимо провести мини научное исследование с
применением знаний из разных разделов, тем, блоков.
Нетрадиционность наших занятий состоит не только в том, что мы
изучаем что-то новое сверх программы, но и в том, что мы учимся не по
отдельно взятому пособию, а имеем целый арсенал источников. В конце
изучения первого модуля проводились исследования различных источников
информации – пособий для поступающих в вузы, учебно-тренировочных
материалов для подготовки к ЕГЭ и учебников для профильной школы с
целью поиска и решения задач, в которых встречаются изученные ранее
дидактические единицы. Эти исследования закончились защитой проектов
«Школа-вуз», «ЕГЭ» и «Профильная школа». К сегодняшнему занятию
подготовка велась в группах, объединенных одной общей проблемой,
решение которой не зависело от источника получения информации. В
результате мы имеем группы:
1. Уравнения высших степеней и прогрессии.
2. Системы уравнений.
3. Модули и графики.
В каждой группе распределены роли:
• выступающих с защитой своего проекта,
• статиста- фиксирующего вклад каждого члена группы в совместную
деятельность,
• контролеров- проверяющих решение предложенных своим оппонентам
заданий,
• практиков-реализующих исполнение предложенного другими
группами задания.
Итак, перед вами задачи
• выступить со своим проектом,
• принять активное участие в обсуждении,
• решить задачи, предложенные оппонентами и защитить свое решение.
Каждый вид деятельности будет оцениваться по 10-ти балльной шкале. Во
время урока работает экспертная комиссия, которая оценивает работу групп
по следующим критериям:
виды деятельности и критерии
оценивания
1-я
группа
2-я
группа
3-я
группа
примечания
1. выступление группы
• грамотность
• доступность
изложения
• различные способы
решения
• наглядность
2. Участие группы в
обсуждении
• вопросы
• поправки
• добавления
3. Решение задач оппонентов
• правильность
• рациональность
• качество защиты своего
решения
Затем ученик-статист собирает сведения, заполняет таблицу и подсчитывает
средний балл каждой группы.
вид деятельности
1 группа
2 группа
выступление
1 эксперт
2 эксперт
3 эксперт
участие в
обсуждении
1 эксперт
2 эксперт
3 эксперт
решение задач
1 эксперт
2 эксперт
3 эксперт
средний балл
Этот балл имеет право получить каждый член группы, однако в группе свой
статист производит оценку работы каждого ученика и может «перебросить»
баллы от одного ученика к другому так, чтобы средний балл остался
прежним.
Таблица статисту группы
фамилия, имя ученика
итоговый балл за занятие
1.
2.
…
Ход работы:
1. Отчет групп
1-ая группа:
Найти значение параметра
, при котором корни уравнения
0512
23
образуют арифметическую прогрессию и найти эти
корни.
Решение.
Пусть d –разность арифметической прогрессии, x+d, x, x-d корни уравнения
и члены арифметической прогрессии. Согласно обобщенной теореме Виета:
(x+d) + (x-d) + x = - 12, откуда следует, что x = - 4 это один из корней
исходного уравнения. Подставив его в исходное уравнение имеем:
- 64 + 192 – 20 +
=0, т.е.
= - 108.
Подставив найденное значение параметра, найдем другие корни уравнения
0108512
23
. Воспользовавшись схемой Горнера ( или делением
«уголком» ) определим коэффициенты и разложим многочлен, стоящий в
левой части уравнения на множители.
1
12
5
- 108
- 4
1
8
- 27
0
В результате получим:
434
0278
0)278)(4(
2,1
2
2
Ответ: при
= - 108,
434
2,1
,
4
3
Члены других групп задают вопросы и получают задание от первой
группы.
Задание для второй и третьей группы :
Найти значение параметра
, при котором корни уравнения
06456
23

образуют геометрическую прогрессию и найти эти
корни.
(1 или 2 человека в группе приступают к поиску решения этого задания)
Ответ:
4,2,8,14
321
2-ая группа:
Найти значение параметра
при котором система уравнений
6)75()24(
2)3(2
имеет более одного решения.
Решение.
Если две прямые имеют более одной общей точки, то они совпадают и
система линейных уравнений имеет бесконечно много решений. Значит,
должно выполняться условие
2
1
2
1
2
1
с
с
в
в
а
а
или по формулам Крамера
0
21
. Выбирая второй способ решения имеем:
0:1
,0
2
1,2
02
,0
844)3)(24(1410
7524
32
21
1
21
2
2
при
при
при
Следовательно, при
1
система уравнений имеет более одного решения.
Ответ:
1
Эта группа рассматривает также случаи, когда система не имеет решений или
имеет единственное решение на примере следующих заданий:
1).Найти наибольшее целое
, при котором система

)1(43
32
не
имеет решений.
Решение.
Это возможно при выполнении условий
0
0
,0
2
1
В результате получаем ответ: при
=2
2). При каких значениях параметра система имеет единственное решение.
Для ответа на этот вопрос достаточно проверки условия
0
Другим группам предлагается задание:
При каких значениях параметра
система

162)8(
52)1(
имеет
единственное решение.
3-я группа.
Найти значения параметра
, при которых уравнение
78
2
имеет
ровно два решения.
Решение.
предлагаются два способа решения:
1-ый аналитический и 2-ой графический.
1 способ.
ОДЗ.
0
Находим промежутки знакопостоянства подмодульного выражения и решаем
уравнение, пользуясь определением модуля.
1) при
<1 и
>7 имеем
78
2
,078
2
уравнение имеет два различных решения, если
дискриминант больше нуля, т.е.
>-9, но с учетом ОДЗ имеем
0
.
2) при 1<
<7 имеем
78
2
,
078
2
уравнение имеет два
различных решения, если дискриминант больше нуля, т.е.
<9, но с учетом
ОДЗ имеем 0
<9
При
= 0 исходное уравнение имеет два корня, а при
= 9 три различных
корня.
Рассмотрим решения на оси
параметров.
Ответ: при
>9 и
=0 уравнение имеет два различных решения.
2 способ.
0
0
9
4 корня
2 корня
2
корн
корня
3 корня
2 корня
Найдем точки пересечения графика функции
78
2
с осью ОХ
(
7,1
21
), координаты вершины параболы (
9,4
00
) и построим
схематично график функции
78
2
.
Графически
это семейство прямых, параллельных оси ОХ
Из рисунка видно, что графики имеют ровно две общие точки только при
условии
>9 и
=0
Задание оппонентам: найти значения параметра
, при которых
уравнение
32
2
имеет ровно три решения.
Ответ:
4
После выступления групп по мере подготовленности на доску
выносятся решения предложенных для самостоятельного решения заданий.
Контролеры проверяют правильность решения и сообщают об этом
экспертам..
Затем слово предоставляется экспертам, статисту и статистам групп
для подведения итогов и оценки работы. Учащиеся высказывают свое мнение
о работе на занятии.
Домашним заданием после таких занятий является самостоятельный
поиск и решение подобных или других интересных заданий с параметрами и
обсуждение их на следующих занятиях.
Скачать материал

Алгебра - еще материалы к урокам: