Ученики на Учителя.com


Конспект урока "Взаимосвязь свойств функций и графиков производных" 10 класс

Грязева Галина Сергеевна учитель математики гимназии № 5 города Мурманска
Взаимосвязь свойств функций и графиков производных.
Цель:
Образовательная –показать учащимся различные взаимосвязи между графиками функций,
свойствами производных, графиками производных функции, свойствами функции; научить
ориентироваться в разнообразии заданий, связанных с этой взаимосвязью
Развивающая – развивать познавательный интерес учащихся, умение выделять главное,
сравнивать, анализировать
Воспитательная – воспитание умения работать в сотрудничестве в парах и группе, оценивать
работу товарища.
Оборудование и материалы для урока: компьютер, проектор, экран (интерактивная доска),
презентация для сопровождения урока, листы с заданиями для учащихся.
Ход урока.
I. Постановка цели урока - 1мин
Вы изучали тему «Исследование функций с помощью производной»: находили критические
точки, производную, определяли свойства и строили график функции. Сегодня мы посмотрим на
эту тему под иным углом зрения: как через график производной функции определить свойства
самой функции. К сожалению, наш учебник не предлагает нам задания такого типа, но они
включались в тесты Единого Государственного Экзамена.
Поэтому нам сегодня необходимо дойти до самой сути взаимосвязи свойств функции и
графика её производной. Наша задача - научиться ориентироваться в разнообразии заданий,
связанных с графиками функций и их производных.
II. Повторение - 6 мин.
-- Давайте вспомним, а какие свойства функции связаны с её производной?
(возрастание, убывание, экстремумы функции).
Рассмотрим график некоторой функции у=f(х), будем считать, что она определена на всей
числовой прямой.
Компьютер-слайд 2
--Назовите точки экстремума данной функции.
ОТВЕТЫ 2 и 5 или х
max
=2, x
min
=5 слайд 2
--Напомните мне необходимое условие существования точек экстремума
ОТВЕТЫ: если точка х
0
является точкой экстремума, то производная в этой точке равна
нулю или не существует.
--А как мы определяем характер точек экстремума, точек максимума и достаточное
условие: если в точке х
0
функция непрерывна и при переходе через х
0
производная
меняет знак с + на – (- на +), то х
0
– точка максимума(минимума) функции.
-- Определите промежутки возрастания убывания нашей функции
на промежутке [2;5] функция убывает, на промежутках
(-∞;2]; [5;+ ∞) функция возрастает. слайд 2
-- А как через производную мы определяем, что функция убывает или возрастает на промежутках
признак монотонности функции: если f
‘
(x)≥ 0(≤0) в каждой точке интервала, то
функция возрастает (убывает) на этом интервале.
Итак, давайте ещё раз кратко повторим эти свойства:
--если производная больше или равна 0,то…..
функция возрастает
--производная меньше или равна 0,то…..
функция убывает
--если производная равна нулю или не существует в некоторых точках …
то в этих точках возможны точки экстремума
--если производная меняет знак при переходе через точку с + на -, то…
то это точка максимума
-- а если с - на +, …
то это точка минимума.
III Основная часть 17 мин.
1) Можно поставить и обратную связь. Закончите мою мысль
--Если функция возрастает, то производная…..
Больше или равна 0
--Если функция убывает, то ……..
производная меньше или равна 0
--Если функция имеет точку максимума, то ……
в этой точке производная равна нулю или не существует
и производная меняет знак с + на -.
--Если функция имеет точку минимума, то……..
в этой точке производная равна нулю или не существует
и производная меняет знак с – на +.
--А если график функции имеет точку перегиба ,то…….
в этой точке производная равна нулю или не существует, но производная не поменяла
свой знак.
Мы установили одну цепочку связи:
запись на доске
т.е имея график функции мы можем определить свойства производной функции.
2) Рассмотрим задания, связывающие график функции и свойства производной.
Приготовьте лист под № 2, задание № 1, СЛАЙД –3
По графику функции у=f(х) укажите:
1) при каких значениях x производная функции f
‘
(x)=0 ;
2) при каких значениях x производная функции f
‘
(x)>0;
3) при каких значениях f
‘
(x)<0;
Поработайте в паре, помогите друг другу дойти до самой сути задания.
ПРОВЕРКА через 3 мин.,…ОТВЕТЫ…ПОЧЕМУ
ответы СЛАЙД -3
3) Но производная сама является функцией, значит, у неё имеется свой график. Давайте
установим зависимость поведения графика производной от свойств функции.
Приготовьте лист № 1
Рассмотрим таблицу «Взаимосвязь свойств функции и её производной»
Обратите внимание: в первой колонке указано свойство функции, во второй колонке – необходимо
поставить знак производной, далее идёт колонка, где вы должны схематично изобразить поведение
графика производной функции.
Давайте первое свойство разберём вместе.
Функция возрастает
Функция возрастает, значит, производная имеет знак больше 0
Т.к производная – это функция, которая больше 0, то где будет расположен её график на интервале
(а;b) выше оси Х
изобразим его схематично(на доске цветным мелом)
Возможны другие варианты -слайд-4. Главное, чтобы график был выше оси Х.
Попробуйте сами заполнить дальше таблицу, рассуждая аналогично.
Проверка через 4 мин: по одному у доски заполняют таблицу
Точка максимума функции ---
Точка минимума функции ---
Точки перегиба функции ---
Давайте ещё раз уточним цепочку взаимосвязи: График производной ---свойства функции.
---Если график производной расположен выше оси Х на интервале, то функция …..
возрастает на этом интервале
-- Если график производной расположен ниже оси Х на интервале, то….
функция убывает на этом интервале
--- Если график производной пересекает ось Х в точке х
0,
располагаясь сначала выше, потом ниже
оси Х, то х
0
для функции является…..
точкой максимума
График
функции
Свойства
производ
ной
--- Если график производной пересекает ось Х в точке х
0,
располагаясь сначала ниже, потом выше
оси Х, то х
0
для функции является……
точкой минимума
Если точка х
0
лежит на оси Х , график производной проходит через эту точку и расположен выше
или ниже оси Х, то для графика функции эта точка будет являтся …..
точкой перегиба
ИТАК, мы установили ещё одну связь На доске:
Наша задача научиться выполнять различные задания, связанные с этой взаимосвязью.
IV. Закрепление 12 мин.
Приготовьте лист под № 2, задание №2, СЛАЙД -5
Функция определена на множестве действительных чисел. На рисунке изображён график её
производной y=f
‘
(x).
1) Сколько точек экстремума имеет функция у=f(x)?
2) Укажите точку минимума функции у=f(x)
3) Исследуйте функцию y=f(x) на монотонность и укажите количество промежутков, на
которых функция возрастает;
4)Укажите длину промежутка убывания функции y=f(x).
ПРОВЕРКА через 5мин…. ОТВЕТЫ….ПОЧЕМУ?
ОТВЕТЫ: 1) СЛАЙД -5;
3 задание. СЛАЙД -6.
Рассмотрите одновременно и график функции и график производной этой функции. Можно
говорить ещё об одной взаимосвязи
На рисунке изображён график функции y=ax
2
+bx+c и четыре прямые. Одна из этих прямых –
график производной данной функции. Укажите номер этой прямой.
ПРОВЕРКА через 2 мин
ОТВЕТ: СЛАЙД -6
Как определяли….варианты…..
можно от графика производной перейти на свойства функции и на график функции, а можно
наоборот от графика функции перейти на свойство производных и на график производной.
V Тест 6 мин
Давайте проверим, как вы поняли суть взаимосвязи графиков и свойств функции и её производной.
Выполним разноуровневый тест.
Каждый возьмите лист под № 3, постарайтесь выполнять задания самостоятельно.
СЛАЙД -7
ПРОВЕРКА через 5мин.Быстрая, только ответы
Уровень А
1) СЛАЙД -8 2) СЛАЙД -9
Уровень В
1) СЛАЙД -10 2)СЛАЙД -11
Уровень С
1) СЛАЙД -12 2)СЛАЙД -13 3)СЛАЙД -14
VI Итог урока 1 мин.
Сегодня на уроке мы установили различные взаимосвязи и рассмотрели разнообразные задания,
связанные с графиками функций и графиками производных и их свойствами. Эти задания хороши
тем, что на их выполнение можно потратить очень мало времени, т.к. они не требуют решений и
график
функции
график
производной
График
производ
функц
Свойства
функции
вычислений: посмотрел на график – оценил – записал ответ. А на Едином Государственном
Экзамене это очень важно быстро и правильно отвечать на вопросы.
Дома проверьте, как вы разобрались в взаимосвязях графиков функций и производных, лист №
4.Вам необходимо построить графики производных по графикам функций. СЛАЙД 15
Литература: 1.Мордкович А.Г. учебник «Алгебра и начала анализа 10 класс» -
М:Мнемозина,2000
2. .Мордкович А.Г.задачник «Алгебра и начала анализа 10 класс » -
М:Мнемозина,2000
Скачать материал

Алгебра - еще материалы к урокам: