Разработка урока "Функциональные методы решения тригонометрических уравнений" 10 класс
Разработка урока по алгебре и математическому
анализу в классе с углубленным изучением
математики по теме
«Функциональные методы решения
тригонометрических уравнений»
Составитель
Галкина Г.Г.,
учитель математики
МОУ СОШ №27
Советского района г.Уфы
2007 – 2008 учебный год
2
Функциональные методы решения
тригонометрических уравнений
Тип урока: усвоение новых знаний
Цели урока:
1. Обучающая: повторить методы решения ранее изученных
уравнений; изучить нестандартные методы; подготовить к
итоговой аттестации
2. Воспитательная: развивать логику, наблюдательность,
установить связь тригонометрии с решением прикладных задач
Ход урока
1. Организационный момент.
2. Блиц-опрос «Это я знаю и помню прекрасно». Перечислить
основные типы ранее изученных уравнений.
Ответ: простейшие, сводящиеся к квадратным, однородные,
допускающие понижение степени, решаемые с помощью
преобразования суммы функций в произведение, решаемые с
помощью универсальной подстановки.
3. Изучение нового материала. «Немногие знают, как много
нужно знать, чтобы знать, как мало мы знаем»
1) Использование ограниченности функций
При решении некоторых тригонометрических уравнений
используется свойство ограниченности функции
sin x
и
cos x
, т.е следующие неравенства
sin 1x
,
cos 1x
,
sin cos 2xx
.
Пример 1. Решить уравнение
4 7 2 2
sin cos sin cosx x x x
(1)
3
Решение
4 7 2 2
sin cos sin cosx x x x
2 2 2 5
sin sin 1 cos cos 1 0x x x x
(2)
Т.к.
2
sin 0x
, а
2
sin 1 0x
, то
22
sin sin 1 0xx
; т.к.
2
cos 0x
, а
5
cos 1 0x
, то
25
cos cos 1 0xx
Сумма двух неположительных слагаемых равна нулю тогда и только
тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю. Значит, уравнение (2)
равносильно системе
2
2
2
5
sin 0,
sin 1 0,
cos 0,
cos 1 0.
x
x
x
x
(3)
Решением первой совокупности системы (3) являются углы
,
2
n
x n Z
, а решением второй
,
2
x k k Z
;
2,x m m Z
.
Общими являются углы
,
2
x n n Z
;
2,x m m Z
Ответ.
,
2
x n n Z
;
2,x m m Z
.
Пример 2. Решить уравнение
2004 2004
sin cos 1xx
(4)
Решение. Используя прием примера 1, сведем уравнение (4) к
равносильной системе
2
2002
2
2002
sin 0,
cos 1 0,
cos 0,
cos 1 0.
x
x
x
x
(5)
4
Находя решение каждой совокупности системы (5), установим, что
общими будут углы
,
2
n
x n Z
Ответ.
,
2
n
x n Z
.
Пример 3. Решить уравнение
cos cos 4 1xx
Решение. Уравнение равносильно совокупности двух систем
cos 1,
cos 4 1.
x
x
(6)
cos 1,
cos 4 1.
x
x
(7)
Решением первого уравнения системы (6) с учетом
0x
является
множество чисел
2
0
4,x k k Z
, а второго
2
4 4 ,xn
0
nZ
. Решая
уравнение
22
4 4 4kn
в целых неотрицательных числах, находим
1k
,
0n
. Следовательно, решением системы (6) является
4x
.
Решением первого уравнения системы (7) является множество чисел
2
12xk
,
0
kZ
, а второго
2
4 1 2xn
,
0
nZ
. Уравнение
22
1 2 4 1 2kn
в целых неотрицательных числах решения не
имеет, а значит и система (7) решений не имеет.
Ответ. 4.
Пример 4. Решить уравнение
4
sin cos 2 sinx x x
(8)
Решение. Т.к.
2 sin cos 2xx
, а
4
2 sin 4 2x
, то
уравнение (8) имеет решение тогда и только тогда, когда
sin cos 2,
sin4 0.
xx
x
(9)
5
Решая первое уравнение системы (9) методом введения
вспомогательного аргумента, получим
sin 1
4
x
, откуда
2
4
xn
,
nZ
. Решением второго уравнения является множество
4
n
x
,
nZ
. Значит, решение системы
2
4
xn
,
nZ
Ответ.
2
4
xn
,
nZ
.
Задачи для самостоятельного решения
1)
22
3sin 5sin 8
3
x
x
; 2)
sin3 sin 2 cosx x x
;
3)
64
cos 2 1 sinxx
; 4)
2
sin18 sin10 sin2 3 cos 2x x x x
.
2) Функциональные методы решения
При решении уравнений вида
f x g x
оказывается полезным
использовать свойства функций: монотонность, ограниченность,
четность, периодичность и другие. Например, если одна из функций
убывает, а другая возрастает на промежутке Х, то при наличии у
уравнения
f x g x
корня на этом же промежутке, этот корень
является единственным. Если
fx
на Х ограничена сверху, причем
max
xX
f x A
, а
gx
ограничена снизу и
g
min
xX
xA
, то
уравнение
f x g x
равносильно системе
,
.
f x A
g x A
Пример 1. Решить уравнение
2
cos 4 5x x x
(10)
6
Решение Преобразуем уравнение
2
cos 2 1xx
. Так как
2
2 1 1x
, а
cos 1x
, то уравнение (10) равносильно системе
2
cos 1,
2 1 1.
x
x
Второе уравнение имеет единственный корень 2. Подставляя его в
первое уравнение, убеждаемся, что 2 – корень первого уравнения.
Ответ. 2.
Пример 2. Решить уравнение
22
3 4,25 cos 2sinx x x x
(11)
Решение. Воспользовавшись основным тригонометрическим
тождеством, запишем (11) в виде
22
1,5 sin 1 0xx
Полученное уравнение равносильно системе
1,5 0,
sin 1 0.
x
x
решением
которой является
=1,5x
.
Ответ. 1,5.
Пример 3. Решить уравнение
2 2 2
2
log 3 2 tg ctg
44
xx
xx
(12)
Решение. Так как
2
2
3 2 4 1 4x x x
,
2
2
log 3 2 2xx
, а
22
tg ctg 2
44
xx
(сумма двух положительных взаимообратных
чисел не меньше 2), то уравнение равносильно системе
2
2
22
log 3 2 2,
tg ctg 2.
44
xx
xx
(13)
Решением первого уравнения системы (13) является число
1x
, оно
также удовлетворяет второму уравнению.
Ответ. 1.
7
Пример 4. Решить уравнение
sin sin15 cos 3/2x x x
Решение. Введем вспомогательный аргумент. Разделим обе части
уравнения на
2
1 sin 15x
. Обозначим
2
1
cos
1 sin 15x
,
2
sin15
sin
1 sin 15
x
x
, получим
2
3
cos sin sin cos
2 1 sin 15
xx
x
,
2
3
sin
1 sin 15
x
x
(14)
Так как
2
1 sin 15 2x
, то
2
33
1
22
2 1 sin 15x
Уравнение (14) решений не имеет, а значит и исходное уравнение не
имеет решений.
Ответ.
x
.
4. Задачи для самостоятельного решения
1)
2
sin 1x x x
, 2)
2cos 2 1xx
,
3)
log 1 sin log 2xx
, 4)
2sin tg ctg
4
x x x
.
5. Заключение. Сегодня изучены два новых метода. Домашнее
задание получено в течении урока.
Вывод и выставление оценок.
6. Оценка домашнего задания
7. «Еще одно, последнее сказанье…»
Ода синусу
Еще в четвертом веке у индийцев,
В астрономических трудах,
Встречалось синуса понятие
Пока в одной – не в разных четвертях.
8
Символику английский математик
В семнадцатом столетье предложил.
Фамилия – Норвурд, он много лет потратил
И много сил в тот важный труд вложил!
Был синус с треугольниками связан,
Предложено обозначенье S,
Но больше Эйлеру научный мир обязан:
Он ввел символику, какая есть сейчас.
Затем явился сам Декарт,
А с ним и “Геометрия” –
Его известный всем трактат –
И взлет тригонометрии!
Джон Валлис график вскоре начертил
И сделал два при этом оборота,
В труде «Механика» он твердо заявил,
Что бесконечно надо продолжать работу.
Вот так в различных и веках
Понятье синуса с трудом рождалось
И умолчать не можем мы никак
Какое знанье нам в наследие досталось.
Возьми единичную окружность
И точку по ней начни вращать,
При этом ординату только нужно
Тебе у точки каждой отмечать.
График функции – вот такая кривая!
9
Посмотрите, красивая какая!
Синусоидой она называется
И с нуля в свой поход отправляется.
Значения функции не всякие бывают,
И ограниченным все синус называют.
Есть максимальное значение – единица
И много раз к ней «синус икс» стремится.
Аналогично, минимумы есть
И тоже их у функции не счесть!
Нередко график ось Ох пересекает,
И это в точках
на
n
бывает.
И свойства функции могли бы продолжать,
Еще минут пятнадцать называть,
Но все присутствующие в зале,
Уже, наверное, устали.
