Конспект урока "«Поиски различных способов решения планиметрической задачи». Подготовка к ЕГЭ (Уровень С4)" 11 класс

Конспект урока и презентация в 11 классе

по теме:

«Поиски различных способов решения

планиметрической задачи».

Подготовка к ЕГЭ (Уровень С4)

Епифанова Татьяна Николаевна - учитель математики

ГБОУ СОШ №1358 г. Москвы

Важнейшим фактором развития математического

мышления у школьников является их желание и

стремление находить различные способы решения

сложных задач. Это способствует развитию познава-

тельных способностей, наблюдательности, настойчи-

вости, сообразительности и умению догадываться.

Рассмотрим урок в форме проблемного диалога,

на котором рассматривалось решение сложной задачи

несколькими способами.

Метод обучения на уроке : частично-поисковый.

При этом методе способ поиска решения задач

определяет учитель, но сами решения отдельных

вопросов находят учащиеся.

Цели урока: 1) Систематическое включение

учащихся в процесс решения сложной

геометрической задачи различными способами. 2)

Активизация познавательной деятельности учащихся

с элементами проблемного обучения. 3) Развитие у

учащихся творческих и познавательных

способностей, логики, интуиции, умения мыслить, а

также таких психологических качеств, как

восприятие, воображение, память, внимание.

На слайде №2 условие задачи.

Задача. В



КМР на стороне КР взята точка А так,

что КА:АР=1:3, а на стороне РМ – точка В, так, что

РВ:ВМ=4:1, причём отрезки КВ и МА пересекаются в

точке С. Докажите, что S

ΔКСМ

: S

ΔКРМ

=1:8.

Применим такой метод решения задачи, когда

педагог учит поиску решения, ставит вопросы, даёт

указания в такой последовательности, чтобы ученики

не просто запоминали предлагаемое им готовое реше-

ние, а сами его находили. При таком подходе

учителю будет принадлежать направляющая,

руководящая роль, а школьникам основная работа.

Рассмотрим, как можно осуществить этот подход

применительно к нашей задаче.

Учитель предлагает школьникам внимательно

ознакомиться с условием задачи.

На слайде № 2 чертёж к задаче.

Учитель: Подумайте, какой вспомогательный

треугольник можно рассмотреть и зачем?

Ученики затрудняются ответить.

Учитель даёт указания.

Учитель: Рассмотрите ΔКВМ и выразите

отношения площадей S

ΔКСМ

ΔКВМ

и S

ΔКВМ

ΔКРМ

через отношения линейных элементов. Тогда, что вы

сможете найти?

Ученики: Тем самым найдём отношение

площадей искомых треугольников КСМ и КРМ через

отношения линейных элементов.

Далее следует молчание. Ученики испытывают

трудности при следующем шаге. Учитель советует.

Учитель: Попробуйте провести высоту из точки М в

треугольниках КСМ и КВМ. Что вы заметили?

Ученики: Треугольники КСМ и КВМ имеют

общую высоту, проведённую из вершины М. По-

этому, отношение их площадей равно отношению ос-

нований КС и КВ.

Учитель: Запишите это равенство и запомните.

Ученики записывают: S

ΔКСМ

ΔКВМ

=КС:КВ (1)

Учитель: Как вы думаете для каких треугольников

можно провести аналогичные рассуждения?

Ученики: Аналогичные рассуждения можно провести

для треугольников КВМ и КРМ. Они имеют общую

высоту, проведённую из точки К. Поэтому,

ΔКВМ

ΔКРМ

=ВМ:РМ (2).

Учитель: Подумайте, какие отношения можно

получить, исходя из равенств (1) и (2)?

Ученики: Исходя из этих равенств, можно найти

отношение площадей искомых треугольников КСМ и

КРМ через линейные элементы. Для этого сначала

выразим S

ΔКВМ

из равенств (1) и (2) :

ΔКВМ

КВ

КС

· S

ΔКСМ

;

ΔКВМ

ВМ

РМ

· S

ΔКРМ

Следовательно, S

ΔКСМ

: S

ΔКРМ

ВМ·КС

РМ·КВ

(3)

Учитель: Как можно упростить это отношение?

Ученики: Исходя из условия задачи, выразим длину

отрезка ВМ через длину отрезка РМ. По условию

РВ:ВМ =4:1, поэтому ВМ:РМ =1:5, то есть ВМ=

РМ.

Значит, S

ΔКСМ

: S

ΔКРМ

КС

КВ

. (4).

Поэтому задача сводится к нахождению отношения

КС

КВ

. Очевидно, что это отношение надо пытаться

связать с условием задачи. Только как это сделать?

Ученики затрудняются продолжить решение.

Учитель даёт указания.

Учитель: Ключевым моментом в этой задаче является

вспомогательное построение: проведите из точки В

отрезок ВН ∥ МА. Какой теоремой теперь можно

воспользоваться?

Слайд №3.

Ученики: Теоремой о пропорциональных отрезках.

Учитель: Действительно, применение этой теоремы

является одним из ключевых моментов при решении

данной задачи выбранным способом. Сформулируйте

и примените её.

Ученики: Стороны угла, пересекаемые

параллельными прямыми, рассекаются ими на

пропорциональные части.

Применим эту теорему для двух углов.

1) Для угла АРМ: РН : НА = РВ : ВМ.

Так как по условию РВ : ВМ = 4 : 1, то

РН : НА = 4 : 1 (5)

2) Для угла РКВ: КС : СВ = КА: НА (6)

Далее ученики затрудняются продолжить решение.

Учитель даёт совет.

Учитель: Вспомните, какую промежуточную задачу

мы решаем и попытайтесь использовать при этом

равенства (5) и (6).

Ученики: Данная задача была сведена к поиску

отношения длин отрезков КС и КВ. Очевидно, что

для этого достаточно найти отношение длин

отрезков КС и СВ, используя равенства (6) и (5).

Воспользовавшись равенством (5), найдём

РА

НА

Но так как по условию

КА

РА

, то перемножив эти

два последних равенства, получим:

КА

НА

. Тогда из

равенства (6) будет следовать, что КС:СВ=5:3, а

значит, КС:КВ=5:8.

Следовательно, S

ΔКСМ

: S

ΔКРМ

= 1:8.

Задача решена.

Учитель: Давайте попробуем решить задачу вторым

способом, который начинается так же, как и первый,

но доказательство того факта, что КС:СВ=5:3,

проводится иначе.

Ученики: Может быть также, как и в первом способе

выполнить вспомогательное построение?

Только, как это сделать?

Ученики затрудняются. Учитель даёт указания.

Учитель: Проведите две дополнительные прямые

так, чтобы образовались две пары подобных

треугольников.

Ученики: Попробуем провести через точку К

прямую, параллельную стороне РМ, и продолжить

отрезок МА до пересечения с этой прямой в точке Е.

Слайд №4.

Учитель: Это верное построение. Теперь

самостоятельно подумайте над дальнейшими

действиями.

Ученики: На чертеже мы видим две пары подобных

треугольников: ΔЕАК подобен ΔМАР и

ΔЕКС подобен ΔМВС. Легко доказать, что они

подобны по первому признаку подобия.

Один из учеников доказывает подобие этих

треугольников.

Учитель: Продолжайте рассуждения. Вы на верном

пути. Используя эти суждения, к каким

умозаключениям можно придти?

Ученики: Понятно, что из подобия треугольников

следует равенство отношений соответствующих

отрезков. Осталось догадаться, какие это будут

отношения и в какой последовательности их надо

рассматривать?

Учитель: Вспомните какую промежуточную задачу

мы решаем и продолжите дальнейшие действия.

Ученики: Нам надо доказать, что КС:СВ=5:3.

Учитель: А для этого какие треугольники надо

рассмотреть?

Ученики: ΔЕКС и ΔМВС, так как из их подобия

следует, что КС:ВС=ЕК:МВ.

Учитель: Попытайтесь теперь выразить отрезки ЕК

и МВ через длину какого-нибудь одного отрезка.

Ученики: Используя подобие ΔЕАК и ΔМАР,

получим: ЕК:МР=АК:АР. Так как по условию

АК:АР=1:3, то ЕК:МР=1:3, а значит ЕК=

МР.

Очевидно, что длину отрезка МВ следует также

выразить через длину отрезка МР. Это легко

сделать, так как по условию РВ:ВМ=4:1. Значит,

МВ=

МР. Поэтому, КС:ВС=

МР:

МР=5:3.

Заканчивается решение задачи также, как и в первом

способе.

Учитель: Как вы думаете, какое дополнительное

построение, аналогичное построению во втором

способе, можно провести?

Ученики: Через точку М можно провести прямую

параллельную стороне КР и продолжить отрезок КВ

до пересечения с этой прямой в точке О.

Слайд №5.

Учитель: Завершите решение задачи третьим

способом самостоятельно.

Ученики без труда заканчивают решение.

Для сильных школьников и тех, кто посещает

факультатив, можно предложить решить эту задачу с

помощью векторов и с помощью теоремы Менелая.

Для решения задачи векторным способом

целесообразно доказать ученикам два ключевых

геометрических утверждения, связанных с

отношением отрезков.

Слайд №6.

Утверждение 1: Если точка С делит отрезок АВ

в отношении



, то для любой точки О





Слайд №7.

Утверждение 2: Если точка С лежит на прямой

АВ, точка О не лежит на АВ и имеет место равенство

OBxOAyOC 

, то у+х=1.

Для решения задачи с помощью теоремы

Менелая учитель может указать треугольники, к

которым эту теорему можно применить. (Например,

△ ВСМ и △ АСК ).

Вероятно, что не все ученики решат исходную

задачу двумя последними способами. Для сильных

школьников, увлечённых математикой, эти решения

можно рассмотреть на факультативе.

Итак, какие выводы можно сделать?

Обучая различным способам решения геометри-

ческих задач в форме проблемного диалога, учитель

ставит перед учениками вопросы, даёт указания,

ссылки на ключевые моменты, с помощью которых

они могли бы самостоятельно находить различные

решения. При таком подходе учитель решает задачу с

учеником, а не за ученика, учит поиску решения. На

примере рассмотренной задачи очевидно, как много

полезного и важного может дать длительная работа

над сложной задачей несколькими способами. А,

главное, проблемный диалог стимулирует

интеллектуальное развитие школьников, так как

активно задействует всю познавательную сферу:

внимание, память, мышление и речь.

Скачать материал

Конспект урока "«Поиски различных способов решения планиметрической задачи». Подготовка к ЕГЭ (Уровень С4)" 11 класс

Алгебра - еще материалы к урокам:

Предметы

Похожие материалы