Презентация "Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии"


Подписи к слайдам:
Слайд 1

      • Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии

Математические знания могут применяться умело с пользой лишь в том случае, если они усвоены творчески. А.Н. Колмогоров

  • Дорогой друг!
  • Сегодня у тебя необычный урок математики. Сегодня ты еще раз убедишься в том, что математика не только интересна сама по себе, но она необычайно полезна. В ходе сегодняшнего урока тебя ожидает большая радость творчества и огромное поле приложения математических знаний и умений.
  • Желаю тебе успехов и творческих радостей на уроке!

Ход урока

  • Организационный момент.
  • Проверка домашнего задания (5 мин. выборочно).
  • Устная работа (5 мин.).
  • Проверочный тест (5 мин.).
  • Историческая справка (5 мин.).
  • Изучение новой темы (10 мин.).
  • Исторические задачи (5 мин.).
  • Задачи на закрепление новой темы (5 мин.).
  • Домашнее задание (2 мин.).
  • Рефлексия (2 мин.).
  • Выставление оценок (5 мин.).

Устно

        • 1. Сравните числовые последовательности
        • 1). 1, 2, 4,; -8 …
        • 2). 1; -2; 4; -8 …
        • 3). 1; -2; -4; -8 …
        • 4). 1, 2, 4, 8 …
        • Найдите закономерности. .
        • Какие из приведенных последовательностей являются геометрической прогрессией?
        • 2. Сравните числовые последовательности
        • 1). 2.,3; 3,5; 4,7; 5,9 …
        • 2). -8; 1; -2; 4 …
        • 3). 3; -9; 27; 81 …
        • 4). 3; 5; 7; 9 …
        • Есть ли здесь арифметическая прогрессия?
        • Есть ли среди них геометрическая прогрессия?
        • 3. Является ли число 1/4геометрической прогрессией 8; 4; 2 ..? Если да, то укажите номер.
        • .

Ответы теста

  • I – вариант
  • 1. Числовая последовательность b1, b2, b3… bn… называется геометрической прогрессией,
  • если для всех натуральных чисел n выполняется равенство:
  • bn-1 = b1*q где b1= 0, q≠0
  • 2. Формула n-го числа геометрической прогрессии b вычисляется b n = b1 *qⁿ-_1
  • 3. Является ли геометрической прогрессией последовательность и почему?
  • 5, 25, 125…
  • Назовите следующий член прогрессии.
  • Да , 625
  • 4. b1 = 16, q = 1/2. Найти b2, b3, b4 геометрической прогрессии.
  • b1 = 16, b2= 16*1/2 = 8, b3= b2 *1/2 = 8=4, b4 = 4 *1/2= 2
  • 5. bn - геометрической прогрессии b6=1/27 , q = 1/3. Найти b1
  • bn= b1 qn-1, b1 = bn /qn-1, b1= 1/27*(1/3)5= 1/27*3= 32 =9
  • II – вариант
  • 1. Знаменателем геометрической прогрессии bn называется число qкоторое вычисляется по формуле:
  • q =b2 / b1 = bn-1 / bn
  • 2. Если все члены геометрической прогрессии положительны, то каждый ее член, начиная со второго равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов.
  • 3. Является ли геометрической прогрессией последовательность: 36, 18, 9 … и почему? Назовите следующий член последовательности.
  • Да. 4,5
  • 4. bn геометрической прогрессии, где b1 = 1, q = 2
  • Найти: b2 , b3 , b4 .
  • b2 = 1 * 2= 2 ; b3 = 2 * 2= 4 ; b4 = 4 * 2= 8
  • 5. Найдите b1 геометрической прогрессии bn, если
  • b5 =1/64 ; q = 1/2
  • b1 = b5 /q4 ; b1 =1/64:(1/2)4 = 1/ 26 * 24 = 1/4

НАЗАД, В ИСТОРИЮ!

  • На связь между прогрессиями первым обратил внимание великий АРХИМЕД (ок. 287–212 гг. до н.э)
  • Термин “прогрессия” был введен римским автором Боэцием (в 6 веке) и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Названия “арифметическая” и “геометрическая” были перенесены из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.
  • Формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом (в 3 веке). Формула суммы членов геометрической прогрессии дана в книге Евклида “Начала” (3 век до н.э.).
  • Правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречается в сочинении «Книги абака» в 1202г. (Леонардо Пизанский)
  • Понятие числовой последовательности возникло и развивалось задолго до создания учения о функциях.

Англия XVIII век

  • В XVIII в. в английских учебниках появились обозначения арифметической и геометрической прогрессий:
  • Арифметическая
  • Геометрическая

  • Сведения, связанные с прогрессиями, впервые встречаются в дошедших до нас документах Древней Греции. Уже в V в. до н. э. греки знали следующие прогрессии и их суммы:
  • Древняя Греция

Древний Египет

  • Формула, которой пользовались египтяне:
  • Задача из египетского папируса Ахмеса:
  • «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками, разность же между каждым человеком и его соседом равна меры»

Германия

  • Нашел моментально сумму всех натуральных чисел от 1 до 100, будучи еще учеником начальной школы.
  • 1 + 2 + 3 + 4 + ….. + 99 + 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + …… + (50 + 51) = 101 ∙ 50 = 5050
  • Решение
  • КАРЛ ГАУСС (1777 – 1855)

  • Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений. Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку. Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. Это был скромно одетый ученый, получавший средства к жизни от своих учеников.

  • -Я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твое пожелание, - продолжал царь. - Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь ее.
  • Сета молчал.
  • -Не робей, - ободрил его царь. – Выскажи свое желание. Я не пожалею ничего, чтобы исполнить его.
  • -Велика доброта твоя, повелитель. Но дай срок обдумать ответ. Завтра я сообщу тебе мою просьбу.
  • -Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал, -сказал царь.
  • Мудрец поклонился.

  • Когда на другой день Сета снова явился к ступеням трона, он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы.
  • -Повелитель, - сказал Сета, - прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.
  • -Простое пшеничное зерно? – изумился царь.
  • -Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна, за третью - 4, за четвертую - 8, за пятую - 16, за шестую -32…

  • -Довольно, - с раздражением прервал его царь. – Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше против предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моей милостью. Ступай. Слуги мои вынесут тебе твой мешок с пшеницей.
  • Сета улыбнулся хитро, покинул дворец и стал дожидаться у ворот дворца.

Почему так хитро улыбнулся Сета?

  • Почему так хитро улыбнулся Сета?
  • Прав ли был индусский царь, считая просьбу Сеты ничтожной, полагая, что все зерна пшеницы уместятся в один мешок?
  • Об этом ты узнаешь чуточку позже.

  • Выведем теперь формулу суммы n первых членов произвольной геометрической прогрессии.
  • Воспользуемся тем же приемом, с помощью которого была вычислена сумма в задаче№1. Пусть дана геометрическая прогрессия (bn). Обозначим сумму n первых ее членов через Sn:
  • Sn = b1 + b2 + b3 +………+bn-1 + bn. (1)
  • Умножим обе части этого равенства на q: Sn ·q = b1· q + b2 ·q + d3· q +…..+bn· q
  • Учитывая, что b1· q = b2, b2· q = b3,……bn-1· q = bn,
  • получим: Sn·q = b2 + b3 + b4+ ……+bn + dn· q (2)
  • Вычтем почленно из (2) равенство (1) и приведем подобные члены : Sn·q – Sn = (b2+b3+b4+….+bn+bn·q) – (b1+b2+b3+…..+bn) = bn·q – b1 Sn(q – 1) = bn·q – b1
  • Sn = (bn·q – b1) / (q – 1)

  • За обедом царь вспомнил об изобретателе шахмат и послал узнать, унес ли Сета свою жалкую награду.
  • -Повелитель, - был ответ, - приказание твое исполняется. Придворные математики исчисляют число следуемых зерен.
  • Царь нахмурился. Он не привык, чтобы повеления его исполнялись так медлительно.
  • Вечером, отходя ко сну, царь еще раз осведомился, давно ли Сета со своим мешком пшеницы покинул ограду дворца.
  • -Повелитель, - ответили ему, - математики твои трудятся без устали и надеются еще до рассвета закончить подсчет.

  • Утром царю доложили, что старшина придворных математиков просит выслушать важное донесение.
  • Царь приказал ввести его.
  • -Прежде чем скажешь о твоем деле, - объявил Шерам, - я желаю услышать, выдана ли, наконец, Сете та ничтожная награда, которую он себе назначил.
  • -Ради этого я и осмелился явиться перед тобой в столь ранний час, - ответил старик. – Мы добросовестно исчислили все количество зерен, которое желает получить Сета. Число это так велико…..

  • -Как бы велико оно ни было, - надменно перебил царь, - житницы мои не оскудеют. Награда обещана и должна быть выдана..
  • - Не в твоей власти, повелитель, исполнять подобные желания. Во всех амбарах твоих нет такого числа зерен, которое потребовал Сета. Нет его и в житницах целого царства. Не найдется такого числа зерен и на всем пространстве Земли. И если желаешь непременно выдать обещанную награду, то прикажи превратить земные царства в пахотные поля, прикажи осушить моря и океаны, прикажи растопить льды и снега, покрывающие далекие северные пустыни.

  • С изумлением внимал царь словам старца.
  • - Назови мне это чудовищное число,- сказал он в раздумьи.
  • Пусть все пространство их будет сплошь засеяно пшеницей. И все то, что родится на этих полях, прикажи отдать Сете. Тогда он получит свою награду…

  • -Восемнадцать квинтильонов четыреста сорок шесть квадрильонов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три миллиарда семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать, о повелитель!
  • 18 446 744 073 709 551 615

  • Такова легенда. Действительно ли было то, что здесь рассказано, неизвестно, - но что награда, о которой говорит предание, должна была выразиться именно таким числом в этом ты сам можешь убедиться.
  • Фактически, число зерен, о которых идет речь, является суммой 64 членов геометрической прогрессии, первый член которой равен 1, а знаменатель равен 2. Обозначим эту сумму через S:
  • S = 1+2+22+23+24+…….+262+263

  • S = 264 – 1
  • Значит, подсчет зерен сводится к перемножению 64 двоек. Для облегчения выкладок заменим 264 = (210)6 · 24 =
  • =1024 · 1024 ·1024· 1024 ·1024· 1024· 16 =
  • =1048576 ·1048576 ·1048576 ·16 – 1
  • и получим искомое число зерен:
  • 18 446 744 073 709 551 615
  • Масса такого числа зерен больше триллиона тонн.
  • Индусский царь не в состоянии был выдать подобной награды.
  • Но будь он силен в математике, он бы не попал впросак…

Вывод

  • Если бы царю удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая моря, и океаны, и горы, и пустыню, и Арктику с Антарктикой, и получить удовлетворительный урожай, то, пожалуй, лет за 5 он смог бы рассчитаться.
  • Такое количество зерен пшеницы можно собрать лишь с площади в 2000 раз большей поверхности Земли. Это превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени.

Самостоятельная работа

  • Каждое задание имеет определенный «вес» в баллах. Постарайтесь набрать наибольшее количество баллов.
  • Дополнительное задание – на дополнительную оценку
  • Задания на карточках

Самостоятельная работа

  • 1 вариант
  • 1. Найти сумму семи первых членов геометрической прогрессии -2; -4; -8;… (3 балла)
  • 2. Укажите сумму шести первых членов геометрической прогрессии, у которой b1=81, q=1/3. (3 балла)
  • 3. Геометрическая прогрессия задана формулой n-го члена bn=5n-1. Найти S5. (4 балла)
  • 4. Дополнительная задача. Рост дрожжевых клеток происходит делением каждой клетки на две части. Сколько дрожжевых клеток стало после пятикратного деления, если первоначально их было 1 млн. ?
  • Критерии оценки: 3–5 баллов — “3”, 6–8 баллов — “4”, 9 и более — “5”.
  • 2 вариант
  • 1. Найти сумму семи первых членов геометрической прогрессии, у которой b1=32, q=-2. (3 балла)
  • 2. Укажите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии 2;1; Ѕ ;… (3 балла)
  • 3. Геометрическая прогрессия задана формулой n-го члена bn=3n. Вычислить S5. (4 балла)
  • 4. Дополнительная задача. Каждое простейшее одноклеточное животное инфузория – туфелька размножается делением на 2 части. Сколько инфузорий стало после шестикратного деления, если первоначально их было 1000?

Сравни результаты

  • 1 вариант
  • 1) S7=- 254
  • 2) S6=121
  • 3) S5=781
  • 4) 31 000 000 кл.
  • 2 вариант
  • 1) S7=1376
  • 2) S5=3
  • 3) S5=363
  • 4) 63 000 инф.

Домашнее задание

  • а). п. 34 выучить формулы.
  • Задача 1
  • Некто продавал коня и попросил за него 1000 рублей. Купец сказал, что за коня запрошено слишком большая цена, «Хорошо, - ответил продавец, - возьми коня даром, а заплати только за гвозди в его подковах, А гвоздей во всякой подкове по 6 штук. За первый гвоздь - полушку ( 1 полушка – 1/2 копейки), за второй гвоздь - 2 полушки, за третий гвоздь -4 и т.д., за каждый гвоздь в 2 раза больше чем за предыдущий. Купец, думая, что заплатит на много меньше, чем 1000 рублей, согласился. Проторговался ли купец?
  • Задача 2
  • В нашем селе Филинском необходимо распространить информацию. Распространение происходит по следующей схеме. Каждый человек в течение часа должен проинформировать 4 человека. Первоначальной информацией владеют 2 человека. Всего не территории Филинского сельсовета проживают 2730 человек. Через какое время каждый житель Филинского будет информирован? Образует ли данная последовательность геометрическую прогрессию.
  • г). Придумать задачу на применение формулы суммы геометрической прогрессии.
  • Задачи на следующий урок:
  • Можно ли вывести формулу суммы n- первых членов геометрической прогрессии, зная b, bn, q, но не зная n? Как можно применить данные формулы для решения различных задач, связанных с геометрической прогрессией?

Ваше настроение

Спасибо!

Тест

  • Вариант 1
  • 1. Дописать пропущенное: «Числовая последовательность b1, b2, b3, .... bn, .... Называется геометрической прогрессией, если для всех натуральных и выполняется равенство
  • . где b1 ≠ 0, g ≠ 0 »
  • 2 Написать формулу n - члена геометрической прогрессии.
  • 3. Является ли геометрической прогрессией последовательность; 5, 25, 125, и почему?
  • Назовите следующий член прогрессии.
  • 4.(bn) - геометрическая прогрессия, b1 = 16, g = 1/2. Найдите b2, b3, b4.
  • 5.(bn) - геометрическая прогрессия, b6 = 1/27, g = 1/3, Найдите b1.
  • Вариант 2
  • 1. Дописать пропущенное: «Знаменателем геометрической прогрессии bп называется число g, которое вычисляется по формуле....... . »
  • 2. Дописать пропущенное: «Если все члены геометрической прогрессии положительны, то каждый ее член, начиная со второго равен ………….………..двух соседних с ним членов».
  • 3. Является ли геометрической прогрессией последовательность: 36, 18, 9, и почему?
  • Назовите следующий член прогрессии.
  • 4.(bn) - геометрическая прогрессия, b1 = 1, g = 2. Найдите b2, b3, b4
  • 5.(bn) — геометрическая прогрессия. b5=1/64, g = 1/2: Найдите b1

задачи из старинных рукописей

  • Задача 1
  • Некто продавал коня и попросил за него 1000 рублей. Купец сказал, что за коня запрошено слишком большая цена, «Хорошо, - ответил продавец, - возьми коня даром, а заплати только за гвозди в его подковах, А гвоздей во всякой подкове по 6 штук. За первый гвоздь - полушку ( 1 полушка – 1/2 копейки), за второй гвоздь - 2 полушки, за третий гвоздь -4 и т.д., за каждый гвоздь в 2 раза больше чем за предыдущий. Купец, думая, что заплатит на много меньше, чем 1000 рублей, согласился. Проторговался ли купец?
  • Задача 2
  • В нашем селе Филинском необходимо распространить информацию. Распространение происходит по следующей схеме. Каждый человек в течение часа должен проинформировать 4 человека. Первоначальной информацией владеют 2 человека. Всего не территории Филинского сельсовета проживают 2730 человек. Через какое время каждый житель Филинского будет информирован? Образует ли данная последовательность геометрическую прогрессию.
  • .
  • Задача 3
  • Индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахматной игры, своего подданного Сету, чтобы наградить его за остроумную выдумку, Сета издеваясь над царем, потребовал за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую - два зерна, за третью - четыре зерна и т.д.. Оказалось, что царь не был в состояние выполнить это «скромное» желание Сеты.