Конспект урока "Позиционные системы счисления" 5 класс


Министерство образования и науки РФ
Государственное бюджетное образовательное учреждение «Школа с
углубленным изучением французского языка № 1265»
Планирование урока математики для 5 классов на тему:
«Позиционные системы счисления».
(Урок изучения нового материала)
УМК "Математика. Психология, Интеллект" (МПИ)
Автор: учитель математики Догова А.Т.
Москва 2015
Цели урока:
Обучающие: ввести понятие "позиционная система счисления", создать
его образное сопровождение, исследовать и обобщить его ее основные
особенности.
Воспитывающие: создание условий для совершенствования
интеллектуальных ресурсов каждого ученика за счет обогащения форм
индивидуального умственного опыта.
Развивающие: развитие интереса к математике, литературе, активация
мыслительной деятельности учащихся, развитие творческого
мышления, математической речи учащихся.
Ход урока:
I. Организационный момент.
Решить задачу: чему равно 84, если 8∙8=54?
Вопрос показался для учащихся странным, ведь они давно знают, что
8∙8=64. А по условию 8∙8=54!? И как связаны числа 54 и 84?
Вопрос не лишен смысла, однако ответить на него мы сможем позже,
когда познакомимся с системами счисления.
II. Объяснение нового материала.
Для записи чисел, мы пользуемся цифрами: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Цифр всего десять (запомните, это важно). Нужно помнить, что значение
каждой цифры в записи чисел определяется не только ей самой, но и местом
(позицией) которое она занимает в записи числа. Например, число "три"
изображается цифрой 3. Можно записать 3, 03, 003, и т.д. В любом случае,
цифра 3 стоит справа, и все эти записи обозначают одно и то же число. Если
же цифру 3 переместить влево на позицию, то получится 30(три десятка), на
две позиции – 300 (три сотни) и т. д. Вот почему запись числа при такой
системе называется позиционной. Для позиционной системы характерно, что
число разбивается на разряды. Например, запись 798 означает, что число
состоит из 8 единиц, 9 десятков и 7 сотен. Единица каждого разряда в 10 раз
превосходит единицу предыдущего разряда. Поэтому такая система
счисления называется десятичной.
Почему привычная нам система счисления называется десятичной?
диница каждого разряда в 10 раз превосходит единицу предыдущего
разряда)
Запишем число 1598 в виде суммы разрядных единиц:
1∙1000+5100+9∙10+8=1∙10
3
+5∙10
2
+9∙10
1
+8.
Кроме десятичной системы счисления, существуют и другие
позиционные системы счисления с любым другим натуральным основанием
(кроме 1). Так, в Древнем Вавилоне применялась шестидесятеричная система
счисления, сохранившаяся и до наших дней. Деление часа на 60 минут, а
минуты – на 60 секунд. В древности широко использовалась
двенадцатеричная система. Возможно, даже вы слышали такое определение,
как дюжина? То есть 12! И в наше время некоторые предметы считают не
десятками, а дюжинами: столовые приборы в сервизе, стулья в мебельном
гарнитуре и т.д.
Вернемся к задаче, сформулированной в начале урока. Теперь вы
догадались, что числа, входящие в условии задачи, были записаны не в
десятичной системе счисления.
Пусть основание неизвестной системы х, тогда число 84 означает 8
единиц второго разряда и 4 единицы – первого. Тогда:
84=8х+4 и 54=5х+4.
8∙8=5х+4, т.к. 8∙8=54.
Решая уравнение, получаем: х=12. Это означает, что числа записаны в
двенадцатеричной системе. А значит, 84=8х+4=8∙12+4=100.
Итак, одно и тоже число можно записать по-разному: в системах
счисления с разными основаниями. В десятичной системе счисления число
29
10
пишется просто 29 (то есть, в нижнем право углу числа принято
указывать основание системы счисления).
В системе счисления с основанием 5 используется только пять цифр: 0,
1, 2, 3, 4. Поэтому запись числа 29
10
=104
5
:
29
5
4
5
5
0
1
В системе счисления с основанием 3 используется только три цифры: 0, 1, 2.
Поэтому 29
10
=1002
3
:
29
3
2
9
3
0
3
0
В системе счисления с основанием 2 используется только две цифры: 0 и 1.
Поэтому 29
10
=11101
2
:
29
2
1
14
2
0
7
1
2
1
1
Системы счисления с основанием больше 10 необычны – если в
десятичной системе счисления используется все десять цифр, то для 12-
ричной системы счисления, например, нужно 12 (в том числе, две
двузначные – 10 и 11). В таких случаях используются латинские буквы:
Вместо 10 – А, 11 – В и т.д.
III. Подведем итоги:
1. Позиционная система счисления дает возможность записывать любое
число с помощью небольшого количества цифр. При этом значение каждой
цифры зависит не только от ее вида, но и от ее места(позиции) в записи
числа.
2.Одно и то же число можно по-разному записать в позиционных
системах счисления с разными основаниями.
IV. Решение задач:
1. Какие цифры используются в системах счисления:
а) с основанием 6; б) с основанием 3?
2.количество предметов на рисунках представьте числами в разных
(соответствующих) системах счисления:
3. Найдите и объясните ошибку в одной из записей. Числа записаны
следующим образом:
1) 21
5
; 2)13; 3) 19
6
; 4) 112
3
.
4.Заполните таблицу, указав в клетках количество единиц в группе (для
подсказки три клетки заполнены):
Вид группы
Основание системы счисления
2
3
5
8
10
12
Группа I порядка
2
Группа II порядка
9
Группа III порядка
125
5. заполните таблицу, записав в пустые клетки числа в соответствующей
системе счисления (за образец возьмите выделенную строку):
Основание системы счисления
2
3
5
8
10
12
10
2
2
3
2
5
2
8
2
2
12
7
14
5
40
8
22
122
3
10100
2
6.Запишите число учеников в вашем классе в десятичной, пятеричной и
двоичной системах счисления.
7.Для каждого из чисел 22
3 ,
24
5,
40
8,
198
12
запишите число:
а) следующее за ним в указанной системе счисления;
б) предшествующее ему в этой системе счисления.
8. Верно ли, что:
а) 20
8
<20;
б) 20<19
12
;
в) 20
8
<19
12
;
г) 21
8
<20
12
?
9. Сравните числа в каждой паре:
а) 9 и 14
5
;
б) 14
5
и 31
5
:
в) 9 и 31
5
;
г) 34
5
и 110
3
;
д) 110
3
и 19;
е) 34
5
и 19.
Использованные источники
1. Математика: учебник для 5 класса: в2 ч. Ч.1/ Э.Г. Гельфман, О.В.
Холодная – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012.
2. Внеклассная работа по математике в 4-5 классах. С.И. Шварцбурд. –
М.: Просвещение, 2002.
3. Изучая математику: книга для учащихся 5-6 классов
общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 1995.
4. За страницами учебника математики. Пособие для учащихся 5-6
классов средней школы. – М.: Просвещение, 1998