Ученики на Учителя.com


Конспект урока "История развития систем счисления. Позиционный принцип в системе счисления. Алфавит системы счисления" 9 класс

Урок 1.
Тема: История развития систем счисления.
Позиционный принцип в системе счисления. Алфавит системы
счисления.
Цели:
Формирование первоначальных представлений о системах счисления;
Уметь ориентироваться в позиционных системах счисления;
Освоить понятия «базис» и «алфавит» систем счисления;
Ход урока:
1. Теоретическая основа урока
На заре разума человек начинал считать, пользуясь унарной системой
счисления. Под унарной системой понимают систему счисления, в
которой для записи чисел применяется только один вид знаков -
палочка. Каждое число в такой системе обозначается с помощью строки,
составленной из отдельных палочек. Количество палочек равно
изображаемому числу. Например, число 12 в такой системе
изображается как
| | | | | | | | | | | |.
По современным данным, развитые системы нумерации впервые
появились в Древнем Египте и Месопотамии. До нас дошли надписи
внутри пирамид, на плитах и обелисках. Эти надписи сделаны в виде
картинок-иероглифов. Сохранились также два математических
папируса, позволяющих узнать об арифметике древних египтян. Для
записи чисел египтяне применяли иероглифы один, десять, сто, ...,
десять миллионов. Все остальные числа записывались с помощью этих
иероглифов и операции сложения. Так что в египетской записи чисел
особую роль играли десятка и ее степени.
Интересна и римская система счисления. В этой системе семь чисел
обозначаются буквами:
1 -I; 5 - V; 10 - X; 50 - L; 100 - C; 500 - D; 1000 - M ,
а остальные числа записываются комбинациями этих букв. Если в
комбинации буквы идут в порядке от больших к меньшим, то
соответствующие числа складываются. Например, XXVII означает
10+10+5+1+1=27, MMMD означает 1000+1000+1000+500=3500.
Если же какие-то буквы нарушают порядок, то их значения
вычитаются из значения следующей буквы. Например, IV означает 5-
1=4, XIX означает 10+(10-1)=19, MCMXCIV означает
1000+(1000-100)+(100-10)+(5-1)=1994.
Если складывать и вычитать в такой системе еще можно без особого
труда, то умножать очень сложно, а деление представляет собой почти
непосильную проблему. Вместе с тем в римской системе счисления
есть одна важная идея: вклад буквы в число зависит не только от самой
буквы, но и от порядка следования (позиции) букв в записи числа. Так,
например, буква I дает вклад +1 в число VI и вклад -1 в число IV.
Развитие этой идеи приводит к современным позиционным системам
счисления.
Начало десятичной системы счисления было положено в Древнем
Египте и Вавилоне и было в основном завершено индийскими
математиками в V-VII вв.н.э. Арабы, познакомившись с этой
нумерацией первыми, по достоинству оценили ее. Получив название
арабской, эта система в XII в.н.э. распространилась по всей Европе и,
На заре разума человек начинал считать,
пользуясь унарной системой счисления .
Для записи чисел применяется только один вид
знаков - палочка.
………….………..
││ ││ ││ ││ │9
││ ││ ││ ││8
││ ││ ││ │7
││ ││ ││6
││ ││ │5
││ ││4
││ │3
││2
│1
MCMXCIV означает
В римской системе счисления семь чисел обозначаются буквами:
MDCLXVI
1000500100501051
а остальные числа записываются комбинациями этих букв.
Если в комбинации буквы идут в порядке от больших к
меньшим, то соответствующие числа складываются.
Например XXVII означает
MMMD означает
Если же какие-то буквы нарушают порядок, то их значения
вычитаются из значения следующей буквы
IV означаетНапример
XIX означает
10 +10 +5 +1+1 =27
XX
V
II
1000+1000+1000+500=3500
=45 -1IV
10+(10-1)=19,
1000+(1000-100)+(100-10)+(5-1)=1994
Записать в тетрадь таблицу
и примеры
Получив название арабской, эта система в XII в.н.э.
распространилась по всей Европе и, будучи проще и удобнее
остальных систем счисления, быстро их вытеснила.
Начало десятичной системы счисления
было положено в Древнем Египте и
Вавилоне и было в основном завершено
индийскими математиками в V-VII вв.н.э
Например, число 444 записано тремя одинаковыми цифрами,
но каждая из них имеет свое значение: четыре сотни, четыре
десятка и четыре единицы. То есть его можно записать вот так:
41041004444
012
104104104444
или
будучи проще и удобнее остальных систем счисления, быстро их
вытеснила. Например, число 444 записано тремя одинаковыми цифрами,
но каждая из них имеет свое значение: четыре сотни, четыре десятка
и четыре единицы. То есть его можно записать вот так:
444 = 4
.
100 + 4
.
10 + 4
.
1.
или
444 = 4
.
10
2
+ 4
.
10
1
+ 4
.
10
0
.
В XIII в. монах Беда Достопочтенный составил описание правил счета,
согласно которым различные загибы фаланг пальцев позволяли
изображать единицы, десятки, сотни и тысячи, а определенные жесты
рук - считать до миллиона.
История развития двоичной системы счисления - одна из самых
ярких страниц в истории математики. Официальное "рождение"
двоичной арифметики связывают с именем Г.В.Лейбница: он в 1703
г. опубликовал статью "Memories de Academie Royale des Siences", в
которой были рассмотрены правила выполнения всех арифметических
операций над двоичными числами. Лейбниц не рекомендовал двоичную
систему для практических вычислений: он считал ее полезной лишь
при рассмотрении теоретических вопросов.
До начала 30-х гг. XX в. двоичная система счисления оставалась
вне поля зрения прикладной математики. Потребность в создании
надежных и простых по конструкции счетных механических устройств и
удивительная простота двоичной арифметики привели к более
глубокому изучению двоичной системы как системы, пригодной для
аппаратурной реализации.
Первые двоичные вычислительные механические машины были
построены во Франции и Германии. Пионером в проектировании
вычислительных устройств двоичного действия на электронно-ламповой
основе является инженер Дж. Атанасов, болгарин по происхождению,
проживающий в США. Одновременно с ним (1937) двоичную
машину, но на релейной (электромагнитной) основе спроектировал
Дж. Штибиц. В 1941 г. немецкий инженер К. Цузе построил сначала
механическую, а затем и релейную двоичную вычислительную
машину.
История восьмеричной и шестнадцатеричной системы счисления не
может сравниться по богатству событий с историей двоичной системы.
В качестве любопытного курьеза можно упомянуть тот факт, что
шведский король Карл XII в 1717 г. увлекался восьмеричной
системой, и намеревался королевским указом ввести ее как
общегосударственную.
Под системой счисления принято понимать совокупность правил
для обозначения (записи) и наименования чисел.
Системы счисления делятся на два вида: непозиционные и
позиционные. Непозиционной системой счисления называется такая
система, в которой количественный эквивалент каждой цифры не
зависит от ее положения (позиции) в ряду других цифр,
изображающих число. Примерами таких систем являются унарная
система и римская системы счисления.
Наиболее совершенными являются позиционные системы
счисления, т.е. системы, в которых значение каждой цифры в
изображении числа зависит от ее положения (позиции) в ряду других
Официальное "рождение"
двоичной арифметики
связывают с именем
Г.В.Лейбница: он в 1703 г.
опубликовал статью
"Memories de Academie Royale
des Siences", в которой
были рассмотрены правила
выполнения всех
арифметических операций над
двоичными числами. Лейбниц
не рекомендовал двоичную
систему для практических
вычислений: он считал ее
полезной лишь при
рассмотрении теоретических
вопросов.
системы, в которых
значение каждой цифры в
изображении числа зависит
от ее положения (позиции)
в ряду других цифр,
изображающих число.
Например в десятичной.
Под системой счисления принято понимать совокупность
правил для обозначения (записи) и наименования чисел.
Системы счисления
непозиционные позиционные
система счисления в
которой количественный
эквивалент каждой цифры
не зависит от ее положения
(позиции) в ряду других
цифр, изображающих число.
Например унарная система и
римская системы счисления.
Записать в тетрадь
определение и схему
цифр, изображающих число. Например, в десятичном числе 3638
имеется две цифры 3, но каждая из них имеет свой смысл: первая
(справа налево) означает количество десятков в числе, а вторая -
количество тысяч.
Каждая система счисления имеет свое основание (базис). Базис
системы счисления - это последовательность так называемых
ключевых чисел, каждое из которых задает значение цифры "по месту".
Например,
базис двоичной системы счисления : ..., 2
n
, .., 2
4
, 2
3
, 2
2
, 2
1
, 2
0
;
базис восьмеричной системы счисления : ..., 8
n
, .., 8
2
, 8
1
, 8
0
;
В общем виде: ..., q
n
=q
n
, ..., q
3
=q
3
, q
2
=q
2
, q
1
=q, q
0
=1.
Число q называют основанием системы счисления.
Каждое число в любой из таких систем может быть записано в
следующем виде:
A
q
= a
n*
q
n
+a
n-1*
q
n-1
+...+a
2*
q
2
+a
1*
q
1
+a
0*
q
0
+… (1)
Примеры:
726
8
=7*8
2
+2*8
1
+6*8
0
,
3185.34
10
=3*10
3
+1*10
2
+8*10
1
+5*10
0
+3*10
-1
+4*10
-2
.
Запись числа в виде 726
8
называется свернутой записью, а
в виде 7*8
2
+2*8
1
+6*8
0
развернутой записью числа.
Пользуясь формулой (1), можно переводить числа из любой системы
счисления в десятичную. Достаточно лишь подсчитать значение
получившегося выражения. Например:
1) перевести восьмеричное число в десятичную систему.
742
8
=7*8
2
+4*8
1
+2*8
0
=7*64+4*8+2=482
10
2) перевести двоичное число в десятичную систему.
1011,1
2
=1*2
3
+0*2
2
+1*2
1
+1*2
0
+1*2
-1
=8+2+1+0,5=11,5
10
Основанием двоичной системы является число 2, десятичной - 10,
восьмеричной - 8 или 2
3
, шестнадцатеричной - 16 или 2
4
.
Алфавитом системы счисления называется набор символов, с
помощью которых обозначаются цифры, числа в данной системе.
Например, алфавит двоичной системы состоит всего лишь из двух
цифр - 0 и 1. Мы познакомимся с такими системами счисления, как
двоичная, десятичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Знание этих
систем счисления имеет большое практическое значение. Обмен
информацией между узлами и устройствами большинства современных
ЭВМ осуществляется путем передачи командных слов, которые, как
правило, являются двоичными словами. Использование двухбуквенного
алфавита диктуется инженерными требованиями. Однако пользоваться
словами, записанными в двоичной форме, из-за большой длины
отдельных слов (до 64 букв в слове) и своеобразной "зрительной
однородности" текста человеку неудобно. Поэтому программисты и
инженеры, обслуживающие ЭВМ, заменяют все двоичные "машинные
слова" на эквивалентные им восьмеричные или шестнадцатеричные
слова и числа. В первом случае длина исходного слова сокращается в
три раза, во втором - в четыре. Такие слова становятся более удобными
для рассмотрения и запоминания.
Алфавит двоичной системы - 0, 1
восьмеричной - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
десятичной - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
шестнадцатеричной- 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
Таким образом получается, что все числа в двоичной системе
Каждое число в любой из таких систем может
быть записано в следующем виде:
......
0
01
2
2
1
1
qaqaqaqaqaA
n
n
n
nq
012
8
868287726
Примеры:
210123
10
10410310510810110334,3185
Определения и примеры
двух последних слайдов
записать в тетрадь
Алфавитом системы счисления называется набор
символов, с помощью которых обозначаются цифры,
числа в данной системе.
Алфавит
двоичной системы -
10,
1,2, 3,4,
5,6,7.
десятичной -
шестнадцатиричной-
A,
B,
C, D,E,F
0,1,2,3, 4,
5,6,7,8,9,
0,
0,1,2,3, 4,
5,6,7,8,
9
восьмеричной -
2 знака
8 знаков
10 знаков
16 знаков
Определение и алфавиты
различных систем записать
в тетрадь
записываются при помощи только двух цифр, в восьмеричной при
помощи восьми цифр, в десятичной при помощи десяти цифр, а в
шестнадцатеричной - десяти цифр и шести букв
2. Практическая часть
Переведите из десятичной системы счисления (арабской) в римскую
числа
45
900
1554
Переведите из римской системы счисления в десятичную (арабскую)
числа
LX
CXI
MDCCCXII
Запишите в развернутом виде числа.
А
10
=143511
А
8
=143511
А
7
=5612,306
А
16
=5678,397
Напишите алфавит девятеричной системы счисления;
Какое минимальное основание должна иметь система счисления,
если в ней можно записать числа
341
123
111
XLV
CM
MDLIV
60
111
1812
1*10
5
+4*10
4
+3*10
3
+
+5*10
2
+1*10
1
+1*10
0
1*8
5
+4*8
4
+3*8
3
+5*8
2
+
+1*8
1
+1*8
0
5*7
3
+6*7
2
+1*7
1
+2*7
0
+
+3*7
-1
+0*7
-2
+6*7
-3
5*16
3
+6*16
2
+7*16
1
+
+8*16
0
+3*16
-1
+9* 16
-2
+
+7*16
-3
0,1,2,3,4,5,6,7,8
5
4
2
3. Домашнее задание
1. Конспект урока, выучить основные понятия темы.
2. Переведите из десятичной системы счисления (арабской) в римскую
числа.
а) 55 б)1500 в) 1917
3. Переведите из римской системы счисления в десятичную (арабскую)
числа.
а) XL б) IXC в) MCMLXI
4. Запишите в развернутом виде числа.
а) А
10
=5678,397 б) А
7
=143511
в) А
8
=5670,327 г) А
16
=143511
5. Запишите алфавит:
а) троичной системы счисления;
б) шестеричной системы счисления.
6. Какое минимальное основание должна иметь система счисления,
если в ней можно записать числа.
а) 222 б) 376 в) 555
Скачать материал

Информатика - еще материалы к урокам: