Презентация "Теорема Пифагора и различные способы её доказательства" 8 класс


Подписи к слайдам:
Заголовок слайда отсутствует

  • Теорема Пифагора
  • и различные способы
  • её доказательства.

  • 1. Место теоремы в курсе геометрии
  • 2. Историческая справка
  • 3. Классическая формулировка теоремы Пифагора
  • 4. Теорема Пифагора и её доказательства
  • 5. Проблемы, возникавшие при доказательстве классической формулировки теоремы Пифагора
  • Содержание:

Место теоремы в курсе геометрии.

  • Теорема Пифагора является одной из важнейших теорем планиметрии. Она позволяет значительно расширить круг задач, решаемых в курсе геометрии. На ней в значительной мере базируется дальнейшее изложение теоретического курса.

Историческая справка.

  • Пифагор( 580 - 500 гг. до н.э.) - один из величайших учёных Греции, а теорема Пифагора - одна из самых красивых в геометрии. Имеется более 500 различных её доказательств. Простейшим случаем теоремы Пифагора для треугольника со сторонами 3, 4 и 5 был известен до Пифагора египетским жрецам, а ещё ранее - китайским учёным ( около 11000 лет до н. э.). Пифагор, долго живший в Египте, специально изучал науку египетских жрецов и ознакомился с тем, как они строили на земле прямой угол при
  • помощи верёвочного треугольника со сторонами 3, 4 и 5 единиц. Пифагор обратил внимание на то, что между числами 3, 4 и 5 имеет место соотношение 32+42=52 и доказал, что такое соотношение имеет место для любого прямоугольного треугольника. Целые числа, представляющие длины сторон прямоугольного треугольник, носят название пифагорейских чисел. Теорема Пифагора устанавливает замечательное соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника.

  • Хотя теорема и связана с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах эта теорема встречается за 1200 лет до на Пифагора. Возможно тогда ещё не знали её доказательства, а само соотношение между катетами и гипотенузой было установлено опытным путём. Пифагор, по видимому, нашел доказательство этого соотношения. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принёс жертву богам быка, по другим свидетельствам - даже сто быков. Многие известные мыслители и писатели прошлого обращались к этой теореме и посвятили ей свои строки. Мы с вами познакомимся с различными доказательствами этой теоремы и с её формулировкой.

Классическая формулировка теоремы Пифагора.

  • Теорема Пифагора:
  • Сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на его гипотенузе.
  • Именно так или почти так выглядела изначальная, классическая формулировка теоремы. Картинка, иллюстрирующая теорему Пифагора, была ранее своеобразным символом геометрии, а в среде российских гимназистов получила название « Пифагоровы штаны». Саму теорему они переиначивали так: « Пифагоровы штаны на все стороны равны». И в этой шуточной формулировке запоминали её на всю жизнь. Приведём одно из многочисленных геометрических доказательств теоремы Пифагора. Оно отличается

  • от доказательства самого Пифагора, но широко известно и даже встречается в художественной литературе. Впрочем, по сути, и доказательства как такового нет.
  • Всё сводится к «предъявлению» двух картинок, посмотрев на которые вы без труда убедитесь, что теорема Пифагора доказана!
  • Также известно старинное индийское доказательство Теоремы Пифагора. Его можно найти в сочинении Бхаскары (индийский математик, живший в 12 в.). Оно сопровождается одним словом «Смотри».
  • с2=(а-в)2-2ав
  • 4S+a2+b2=
  • =4S+c2

Теорема Пифагора и её доказательства.

  • Теорема Пифагора:
  • Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательство 1 теоремы Пифагора

  • Теорема Пифагора:
  • Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов
  • Для этого необходимо знать:
  • 1. Элементы прямоугольного треугольника
  • 2. Формулу площади квадрата
  • 3. Формулу площади прямоугольного треугольника
  • Если вы этого не знаете, то
  • Доказательство теорема Пифагора:

Необходимые знания:

  • 1. Прямоугольный треугольник - это треугольник, имеющий прямой угол.
  • Элементы прямоугольного треугольника:
  • -гипотенуза - сторона, лежащая напротив прямого угла;
  • -катеты - стороны, заключающие прямой угол.
  • c
  • а
  • b
  • гипотенуза
  • катет
  • катет
  • 2. Sкв=a2, где а - сторона квадрата.
  • 3. Sпр. тр.=1/2ab, где а, b - катеты прямоугольного треугольника.

Доказательство 1.

  • Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой с.
  • b
  • Докажем, что с2=а2+b2.
  • Для этого достроим треугольник до квадрата со стороной а+b
  • c
  • c
  • c
  • c
  • b
  • a
  • b
  • b
  • b
  • a
  • a
  • a
  • Площадь квадрата со стороной а+b равна (а+b)2
  • а
  • c
  • a
  • b
  • a
  • b
  • b
  • a
  • b
  • a
  • С другой стороны наш квадрат составлен из 4 равных прямоугольных треугольников, площадь которых равна 1/2ab.
  • 1/2ab.
  • 1/2ab.
  • 1/2ab.
  • 1/2ab.
  • А также из квадрата со стороной с и его площадь есть с2.
  • с2
  • Поэтому S=4 *1/2ab + с2 = 2bc + с2.
  • Таким образом, (а+b)2 =2ab+ с2.
  • Откуда с2 = а2 + b2.
  • (а+b)2

Доказательство 2 теоремы Пифагора.

  • Теорема Пифагора:
  • Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов
  • Для этого необходимо знать:
  • 1. Элементы прямоугольного треугольника
  • 2.Определение подобных треугольников
  • 3. Первый признак подобия треугольников
  • 4. Определение высоты
  • Если вы этого не знаете, то
  • Доказательство теорема Пифагора:

Необходимые знания:

  • 1. Прямоугольный треугольник - это треугольник, имеющий прямой угол.
  • Элементы прямоугольного треугольника:
  • -гипотенуза - сторона, лежащая напротив прямого угла;
  • -катеты - стороны, заключающие прямой угол.
  • a
  • b
  • c
  • катет
  • гипотенуза
  • катет
  • 2. Два треугольника называются подобными, если углы одного соответственно равны углам другого и соответствующие стороны пропорциональны.

  • Таким образом, треугольник ABC подобен треугольникуA1B1C1, если
  • 3. Первый признак подобия треугольников:
  • Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
  • 4. Высота треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны или её продолжением и перпендикулярный этой стороне.
  • A
  • B
  • C
  • D
  • Это высота

Доказательство 2.

  • Пусть ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом C.
  • A
  • С
  • B
  • Проведём высоту СD из вершины прямого угла.
  • D
  • Треугольники ABC и ACD подобны по первому признаку.
  • Следовательно,
  • Отсюда
  • Аналогично треугольники ABC и CBD подобны по первому признаку.
  • Следовательно,
  • Отсюда
  • Сложив полученные равенства почленно и замечая, что AD+BD=AB, получим

Доказательство 3 теоремы Пифагора.

  • Теорема Пифагора:
  • Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов
  • Для этого необходимо знать:
  • 1. Элементы прямоугольного треугольника
  • 2. Соотношения в прямоугольном треугольнике.
  • Если вы этого не знаете, то
  • Доказательство теорема Пифагора:

Необходимые знания:

  • 1. Прямоугольный треугольник - это треугольник, имеющий прямой угол.
  • Элементы прямоугольного треугольника:
  • -гипотенуза - сторона, лежащая напротив прямого угла;
  • -катеты - стороны, заключающие прямой угол.
  • A
  • B
  • C
  • гипотенуза
  • катет
  • катет

  • 2. Соотношения в прямоугольном треугольнике:
  • - высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, есть среднее пропорциональное между отрезками гипотенузы, на которые она разделена этой высотой;
  • A
  • B
  • C
  • D
  • высота
  • отрезок
  • гипотенузы
  • отрезок
  • гипотенузы

  • - катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу;
  • A
  • B
  • C
  • D
  • BD- высота
  • AC- гипотенуза
  • AD - проекция
  • AB на AC
  • DC - проекция
  • BC на AC
  • AB- катет
  • BC- катет
  • Таким образом,
  • AB=AC*AD
  • BC=AC*CD

Доказательство 3.

  • Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где AD - высота.
  • A
  • B
  • C
  • D
  • Используя соотношения в прямоугольном треугольнике, докажем, что AB2 +AC2 =BC2.
  • AB2=BC*BD
  • AB2=BC*BD
  • AC2 =BC*DC
  • AC2 =BC*DC
  • Сложим почленно данные равенства
  • AB2 + AC2 = BC*BD + BC*DC =
  • =BC *( BD+DC )=
  • BC=BD+DC
  • BC*BC = BC2
  • Таким образом, AB2 +AC2 =BC2, и наша теорема доказана.

Проблемы, возникавшие при доказательстве классической формулировки теоремы Пифагора

  • Необходимо отметить, что по существу, доказательство теоремы Пифагора началось с проведения высоты в прямоугольном треугольнике. Но, до этого ещё нужно было додуматься.
  • Если же говорить о проблемах, которые возникали при доказательстве теоремы у древних геометров, то объяснялись они отсутствием алгебраического аппарата. Что такое отношение двух отрезков, они вполне чётко понимали. А вот переход от равенства отношений к равенству произведений, который любой современный школьник воспринимает как очевидный, для древних геометров был просто невозможен. Произведение отрезков для них не имело геометрического смысла.

  • Как вам уже известно, раньше теорема Пифагора формулировалась как равенство площадей. Именно в такой формулировке, сопровождаемая соответствующим доказательством, она становилась истинной теоремой геометрии, одной из её жемчужин.
  • Было бы не справедливо не отметить важность алгебраической формулировки теоремы Пифагора. Она позволяет при измерении расстояний в каком - то смысле «сойти с прямой», выйти в плоскость и далее в пространство. Об этой важнейшей роли открытой Пифагором теоремы в теории и практике геометрии сам Пифагор мог лишь догадываться.