Презентация "Радианная мера углов и дуг" 10 класс


Подписи к слайдам:
Фрагмент урока

Алгебра и начала анализа 10 класс Тригонометрия

  • Тема: Радианная мера углов и дуг

Тригонометрия

  • («три» - три, «гониа» - угол, «метриа» - измеряю)
  • раздел математики, изучающий соотношение сторон и углов в треугольнике

Радианом называется величина центрального угла, который опирается на дугу окружности длиной в один радиус (обозначается 1 рад).

  • 1 рад
  • R
  • R
  • R
  • A
  • B
  • O
  •  AB=R
  • AOB=1 рад
  • 600
  • 1 рад

  • Из скольких дуг, длиной R, состоит окружность?
  • Подсказка: вспомните формулу длины окружности…
  • R
  • R
  • R
  • R
  • R
  • R
  • ?

  • Задание 1. Вывести правила перевода из радианной меры в градусную и наоборот.
  • Ответ: α0= α0· рад  правило перевода из градусной меры в радианную;
  • α рад= α·  правило перевода из радианной меры в градусную.
  • 1 рад = ; 1 рад 57019’
  • 10 = рад; 10  0,017 рад
  • 3600 – 2 рад
  • 10 – х рад
  • 3600 – 2 рад
  • х 0 – 1 рад

Окружность с центром в начале системы координат Oxy и радиусом, равным единице, называется единичной, а ограниченный ей круг – тригонометрическим.

  • Приняв точку пересечения окружности с положительной частью оси Ох за начало отсчета;
  • Выбрав положительное направление – против часовой стрелки, отрицательное – по часовой стрелке;
  • Отложив от начала отсчета дугу в 1 рад, мы получим, что тригонометрическая окружность в некотором смысле «эквивалентна» понятию «числовая прямая».
  • x
  • y
  • 0
  • 1
  • 1
  • 0
  • «+»
  • «»
  • 1

  • 0
  • 1
  • 0
  • 3
  • 2
  • 6
  • 2
  • у
  • х
  • 1
  • –
  • –
  • Проследите за одновременным движением точки на координатной прямой и на тригонометрической окружности:
  • Обязательно разберитесь, почему на прямой семь точек, а на окружности их пять.

Так как дуги – это части окружности, то длины некоторых из них будут выражены через число  (объясните почему).

  • Откладывая в положительном и отрицательном направлениях от начала отсчета прямой угол получим точки, соответствующие числам …
  • и (объясните
  • почему);
  • Выполнив поворот на развернутый угол в положительном и отрицательном направлениях получаем две совпадающие точки окружности с координатами…
  • и .
  • x
  • y
  • 0
  • 1
  • 1
  • 0
  • 1

Напомним, что декартова система разбивается координатными осями на четыре координатные четверти – I, II, III и IV.

  • Задание 2. Определите границы координатных четвертей через углы поворота в радианной мере, взятых в положительном направлении.
  • Задание 3. Выполните предыдущее задание, при условии, что выбирается отрицательное направление углов поворота.
  • Задание 4. Какой координатной четверти принадлежит точка окружности с координатой 6,28?
  • x
  • y
  • 0
  • 1
  • 1
  • 0
  • 1
  • I
  • II
  • III
  • IV

 это соотношение может Вам понадобиться для понимания некоторых фактов!

  • Отметив на окружности точки с абсциссой 0,5 мы получим точки, соответствующие числам …
  • и (объясните
  • почему);
  • Аналогично, получаются точки окружности с координатами
  • ; .
  • Обратите внимание на симметричность относительно оси Ox полученных точек!
  • x
  • y
  • 0
  • 1
  • 1
  • 0
  • 1
  • 0,5
  •  0,5

 это соотношение может Вам понадобиться для понимания некоторых фактов!

  • Отметив на окружности точки с ординатой 0,5 мы получим точки, соответствующие числам …
  • и (объясните
  • почему);
  • Аналогично, получаются точки окружности с координатами
  • ; .
  • Обратите внимание на симметричность относительно оси Oy полученных точек!
  • x
  • y
  • 0
  • 1
  • 1
  • 0
  • 1
  • 0,5
  •  0,5

Графики функций y=x и y=x  прямые, являющиеся биссектрисами координатных четвертей.

  • Постройте графики функций y=x и y=x. Подумайте, какие углы поворота соответствуют точкам пересечения этих прямых с тригонометрической окружностью?...
  • …Ответ:
  • ; ; ; .
  • x
  • y
  • 0
  • 1
  • 1
  • 0
  • 1

Отметим на тригонометрической окружности точку А, соответствующую произвольному острому положительному углу поворота .

  • Если добавить полный поворот к углу α , то мы снова окажемся в той же точке А. Но теперь ее координата равна (подумайте)… .
  • Вообще, любую точку окружности можно получить поворотом на угол, вида α+2n, где n и α[0;2).
  • x
  • y
  • 0
  • 1
  • 1
  • 0
  • A(α)
  • A(α+2)

Итогом нашей предыдущей работы является данная окружность, на которой отмечены наиболее часто встречающиеся в различных таблицах углы.

  • Примечание. На чертеже отмечены только положительные углы поворота.
  • Задание 5. Найдите координаты всех точек, отмеченных на данной окружности (указание: рассмотрите различные прямоугольные треугольники с гипотенузой-радиусом (см.рис.) и примените теорему Пифагора ; помните о симметричности точек).
  • x
  • y
  • 0
  • 1
  • 1
  • 0
  • 1
  • 0,5
  • 0,5
  • -0,5
  • -0,5

Ответы и решения.

  • Задание 2. - I четверть, - II четверть,
  • - III четверть, - IV четверть.
  • Задание 3. - I четверть, - II четверть,
  • - III четверть, - IV четверть

Ответы и решения.

  • Задание 4. 6,28IV (см.рис.)
  • 6,28<2 (обязательно разберитесь в совпадении цвета цифр и некоторых частей окружности)!
  • x
  • y
  • 0
  • 1
  • 1
  • 0
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 2

Ответы и решения.

  • Задание 5.

Домашнее задание

  • 1) Выучить формулы перевода из градусной меры угла в радианную и обратно
  • 2) Переведите в радианную меру углы: 75, 15, 130, 220, 340