Презентация "Решение задач на комбинации призмы, шара и пирамиды"


Подписи к слайдам:
Решение задач на комбинации призмы и шара.

Решение задач на комбинации призмы, шара и пирамиды.

Шар, вписанный в пирамиду

  • В любую треугольную пирамиду можно вписать шар;
  • В пирамиду, у которой в основание можно вписать окружность; центр, которой служит основанием высоты пирамиды, можно вписать шар;
  • В любую правильную пирамиду можно вписать шар;
  • Центр шара, вписанного в пирамиду есть точка пересечения высоты пирамиды с биссектрисой угла, образованного апофемой и её проекцией на основание;
  • Центр сферы (шара), вписанного в правильную пирамиду, лежит на высоте этой пирамиды.

Шар, описанный около пирамиды

  • Около любой треугольной пирамиды можно описать шар;
  • Если около основания пирамиды можно описать окружность, то около пирамиды можно описать шар;
  • Около любой правильной пирамиды можно описать шар;
  • Центр шара, описанного около пирамиды, лежит в точке пересечения прямой, перпендикулярной основанию пирамиды, проходящей через центр описанной около основания окружности и плоскости, перпендикулярной любому боковому ребру, проведённой через середину этого ребра.

  • Рассмотрите рисунок и ответьте на вопросы:
  • 1) Где лежит центр шара?
  • 2) Как найти радиус вписанного шара?
  • 3) Как найти радиус описанного шара?

Рассмотрите рисунки и вставьте пропущенные слова:

  • Центр шара, вписанного в правильную треугольную пирамиду, лежит на ______ КО пирамиды и биссектрисы угла KFO, составленного ______ и её______. Треугольник KNM ______ треугольнику FKO, так как ________ NM/ KM = = FO/FK; r_______, где FO – радиус окружности, вписанной в основание пирамиды.

  • Около любой треугольной пирамиды можно описать шар. Центр шара лежит на высоте пирамиды в точке пересечения с перпендикуляром, _____ через ______ бокового ребра.
  • Треугольники КМО и КСО1_______, так как _______ . КО1 ______ пирамиды.
  • ОО1= КО1– КО=______.
  • В треугольнике СОО1 по теореме Пифагора СО=___________.

Шар, вписанный в призму

  • Шар можно вписать в прямую призму, если в основание призмы можно вписать окружность, а высота призмы равна диаметру этой окружности;
  • Центр вписанного шара лежит на середине высоты прямой призмы, проходящей через центры окружностей, вписанных в основания призмы (Rшара = Rокружности, вписанной в основание призмы).

Шар, описанный около призмы

  • Около призмы можно описать шар, тогда и только тогда, когда призма прямая и около основания можно описать окружность;
  • Центр шара, описанного около прямой призмы, лежит на середине высоты призмы, проведённой через центр окружности, описанной около основания.

  • Решите задачу №1.
  • В четырёхугольную призму ABCDA1B1C1D1 , вписана сфера. Площади граней ABB1A1 и CDD1C1 соответственно равны 6см и 5 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
  • Решите задачу №2.
  • Сфера описана около четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1. Двугранные углы при рёбрах AA1 и BB1 сооттветственно равны 60º и 95º. Найдите величины двугранных углов при рёбрах CC1 и DD1.

Тест по теме: «Вписанные и описанные многогранники».

  • В а р и а н т 1
  • Уровень А
  • 1. Нельзя описать шар около…
  • 1) куба;
  • 2) прямоугольного параллелепипеда;
  • 3) прямого параллелепипеда.
  • 2. Можно описать шар около пирамиды, основанием которой является…
  • 1) тупоугольный треугольник;
  • 2) ромб;
  • 3) прямоугольная трапеция.
  • 3. Центр вписанного шара равноудалён…
  • 1) от вершин многогранника;
  • 2) рёбер многогранника;
  • 3) граней многогранника.
  • 4. Нельзя вписать шар в пирамиду, у которой равны…
  • 1) углы между боковыми рёбрами и высотой пирамиды;
  • 2) апофемы;
  • 3) двугранные углы при рёбрах основания.

  • 5. Нельзя вписать шар в пирамиду, основанием которой является…
  • 1) ромб;
  • 2) прямоугольник;
  • 3) квадрат.
  • 6. Можно вписать шар в пирамиду, у которой равны…
  • 1) двугранные углы при рёбрах основания;
  • 2) боковые рёбра;
  • 3) углы между боковыми рёбрами и высотой пирамиды.
  • 7. В прямую треугольную призму вписан шар. Тогда высота призмы не может быть равна…
  • 1) диаметру вписанной в основание окружности;
  • 2) диаметру шара;
  • 3) радиусу шара.
  • 8. DABC – правильная пирамида. Q – центр вписанного
  • шара. Тогда радиус шара – отрезок…
  • 1) QM;
  • 2) QL;
  • 3) QK.

  • 9. Объём многогранника, описанного около шара радиуса r, равен…
  • 1) V= 1/3r*Sполн;
  • 2) V= 3r*Sполн;
  • 3) V= Sполн/3r/
  • Уровень В
  • 1. Ребро куба равно 6 см. Тогда радиус вписанного в куб шара равен…
  • 2. Радиус описанного около куба шара равен 23 см. Тогда ребро куба равно …
  • 3. В правильную треугольную призму
  • вписана сфера, радиус которой равен 2 см.
  • Тогда расстояние от центра сферы до
  • ребра основания равно…

  • 4. Около правильной треугольной призмы описан шар
  • радиуса 10 см. АВ = 6√3 см. Тогда боковое ребро
  • призмы равно… .
  • 5. В правильную треугольную пирамиду
  • DABC вписан шар с центром О.
  • М – точка касания шара и боковой
  • поверхности грани ABD. МК=2√3 см.
  • Тогда периметр основания пирамиды
  • равен… .
  • 6. SABC – пирамида, CS┴ (ABC). ⁄ ACB=90º, BC= 6 см,
  • AC = 8 см, CS= 24 см. Тогда радиус описанного около
  • пирамиды шара равен… .

  • В а р и а н т 2.
  • Уровень А
  • 1. Можно описать шар около…
  • 1) прямоугольного параллелепипеда;
  • 2) прямого параллелепипеда;
  • 3) наклонного параллелепипеда.
  • 2. Нельзя описать шар около пирамиды, основанием которой является…
  • 1) тупоугольный треугольник;
  • 2) ромб;
  • 3) равнобедренная трапеция.
  • 3. Центр описанного шара равноудалён от…
  • 1) вершин многогранника;
  • 2) рёбер многогранника;
  • 3) граней многогранника.
  • 4. Нельзя не описать шар около пирамиды, у которой равны…
  • 1) двугранные углы при рёбрах основания;
  • 2) апофемы;
  • 3) боковые рёбра.

  • 5. Можно вписать шар в пирамиду, основанием которой является…
  • 1) ромб;
  • 2) прямоугольник;
  • 3) параллелограмм.
  • 6. Нельзя вписать шар в пирамиду, у которой равны…
  • 1) углы наклона боковых рёбер;
  • 2) апофемы;
  • 3) двугранные углы при рёбрах основания.
  • 7. В прямую треугольную призму вписан шар. Тогда высота призмы…
  • 1) равна радиусу шара;
  • 2) в два раза больше радиуса;
  • 3) в два раза меньше радиуса.
  • 8. DABC – правильная пирамида. Q – центр описанного
  • шара. Тогда радиус шара – отрезок…
  • 1) QM;
  • 2) QC;
  • 3) QL.

  • 9. Многогранник описан около шара. Тогда радиус шара равен…
  • 1) r= 3V/SПОЛН;
  • 2) r= 3Sполн/V;
  • 3) r= V/ Sполн.
  • Уровень В
  • 1. Радиус вписанного в куб шара равен 3 см. Тогда ребро куба равно… .
  • 2. Ребро куба равно 43 см. Тогда радиус описанного около куба шара равен… .
  • 3. В правильную треугольную призму вписана
  • сфера. Расстояние от центра сферы до ребра
  • основания равно 52 см. Тогда радиус сферы
  • равен… .

  • 4. ABCA1B1C1 - правильная треугольная призма,
  • боковое ребро которой равно 8 см. АВ=33 см.
  • тогда радиус описанного шара равен… .
  • 5. В правильную четырёхугольную
  • пирамиду SABCD вписан шар
  • с центром Q и радиусом равным
  • 1 см. PABCD = 83 см.
  • Тогда двугранные углы при рёбрах
  • основания равны… .
  • 6. SABC – пирамида, AS┴ (ABC).
  • AB=BC=AC=33 см.
  • AS=8 см.
  • Тогда радиус описанного около пирамиды
  • шара равен… .

Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки: