Конспект урока "«Поиски различных способов решения планиметрической задачи». Подготовка к ЕГЭ (Уровень С4)" 11 класс


1
Конспект урока и презентация в 11 классе
по теме:
«Поиски различных способов решения
планиметрической задачи».
Подготовка к ЕГЭ (Уровень С4)
Епифанова Татьяна Николаевна - учитель математики
ГБОУ СОШ №1358 г. Москвы
Важнейшим фактором развития математического
мышления у школьников является их желание и
стремление находить различные способы решения
сложных задач. Это способствует развитию познава-
тельных способностей, наблюдательности, настойчи-
вости, сообразительности и умению догадываться.
Рассмотрим урок в форме проблемного диалога,
на котором рассматривалось решение сложной задачи
несколькими способами.
Метод обучения на уроке : частично-поисковый.
При этом методе способ поиска решения задач
определяет учитель, но сами решения отдельных
вопросов находят учащиеся.
Цели урока: 1) Систематическое включение
учащихся в процесс решения сложной
геометрической задачи различными способами. 2)
Активизация познавательной деятельности учащихся
с элементами проблемного обучения. 3) Развитие у
учащихся творческих и познавательных
способностей, логики, интуиции, умения мыслить, а
2
также таких психологических качеств, как
восприятие, воображение, память, внимание.
На слайде №2 условие задачи.
Задача. В
КМР на стороне КР взята точка А так,
что КА:АР=1:3, а на стороне РМ точка В, так, что
РВ:ВМ=4:1, причём отрезки КВ и МА пересекаются в
точке С. Докажите, что S
ΔКСМ
: S
ΔКРМ
=1:8.
Применим такой метод решения задачи, когда
педагог учит поиску решения, ставит вопросы, даёт
указания в такой последовательности, чтобы ученики
не просто запоминали предлагаемое им готовое реше-
ние, а сами его находили. При таком подходе
учителю будет принадлежать направляющая,
руководящая роль, а школьникам основная работа.
Рассмотрим, как можно осуществить этот подход
применительно к нашей задаче.
Учитель предлагает школьникам внимательно
ознакомиться с условием задачи.
На слайде № 2 чертёж к задаче.
Учитель: Подумайте, какой вспомогательный
треугольник можно рассмотреть и зачем?
Ученики затрудняются ответить.
С
В
А
К
М
3
Учитель даёт указания.
Учитель: Рассмотрите ΔКВМ и выразите
отношения площадей S
ΔКСМ
:S
ΔКВМ
и S
ΔКВМ
:S
ΔКРМ
через отношения линейных элементов. Тогда, что вы
сможете найти?
Ученики: Тем самым найдём отношение
площадей искомых треугольников КСМ и КРМ через
отношения линейных элементов.
Далее следует молчание. Ученики испытывают
трудности при следующем шаге. Учитель советует.
Учитель: Попробуйте провести высоту из точки М в
треугольниках КСМ и КВМ. Что вы заметили?
Ученики: Треугольники КСМ и КВМ имеют
общую высоту, проведённую из вершины М. По-
этому, отношение их площадей равно отношению ос-
нований КС и КВ.
Учитель: Запишите это равенство и запомните.
Ученики записывают: S
ΔКСМ
:S
ΔКВМ
=КС:КВ (1)
Учитель: Как вы думаете для каких треугольников
можно провести аналогичные рассуждения?
Ученики: Аналогичные рассуждения можно провести
для треугольников КВМ и КРМ. Они имеют общую
высоту, проведённую из точки К. Поэтому,
S
ΔКВМ
:S
ΔКРМ
=ВМ:РМ (2).
Учитель: Подумайте, какие отношения можно
получить, исходя из равенств (1) и (2)?
Ученики: Исходя из этих равенств, можно найти
отношение площадей искомых треугольников КСМ и
КРМ через линейные элементы. Для этого сначала
выразим S
ΔКВМ
из равенств (1) и (2) :
4
S
ΔКВМ
=
КВ
КС
· S
ΔКСМ
;
S
ΔКВМ
=
ВМ
РМ
· S
ΔКРМ
.
Следовательно, S
ΔКСМ
: S
ΔКРМ
=
ВМ·КС
РМ·КВ
(3)
Учитель: Как можно упростить это отношение?
Ученики: Исходя из условия задачи, выразим длину
отрезка ВМ через длину отрезка РМ. По условию
РВ:ВМ =4:1, поэтому ВМ:РМ =1:5, то есть ВМ=
1
5
РМ.
Значит, S
ΔКСМ
: S
ΔКРМ
=
1
5
·
КС
КВ
. (4).
Поэтому задача сводится к нахождению отношения
КС
КВ
. Очевидно, что это отношение надо пытаться
связать с условием задачи. Только как это сделать?
Ученики затрудняются продолжить решение.
Учитель даёт указания.
Учитель: Ключевым моментом в этой задаче является
вспомогательное построение: проведите из точки В
отрезок ВНМА. Какой теоремой теперь можно
воспользоваться?
Слайд №3.
Ученики: Теоремой о пропорциональных отрезках.
Учитель: Действительно, применение этой теоремы
является одним из ключевых моментов при решении
данной задачи выбранным способом. Сформулируйте
и примените её.
Н
С
В
А
К
М
5
Ученики: Стороны угла, пересекаемые
параллельными прямыми, рассекаются ими на
пропорциональные части.
Применим эту теорему для двух углов.
1) Для угла АРМ: РН : НА = РВ : ВМ.
Так как по условию РВ : ВМ = 4 : 1, то
РН : НА = 4 : 1 (5)
2) Для угла РКВ: КС : СВ = КА: НА (6)
Далее ученики затрудняются продолжить решение.
Учитель даёт совет.
Учитель: Вспомните, какую промежуточную задачу
мы решаем и попытайтесь использовать при этом
равенства (5) и (6).
Ученики: Данная задача была сведена к поиску
отношения длин отрезков КС и КВ. Очевидно, что
для этого достаточно найти отношение длин
отрезков КС и СВ, используя равенства (6) и (5).
Воспользовавшись равенством (5), найдём
РА
НА
=
5
1
.
Но так как по условию
КА
РА
=
1
3
, то перемножив эти
два последних равенства, получим:
КА
НА
=
5
3
. Тогда из
равенства (6) будет следовать, что КС:СВ=5:3, а
значит, КС:КВ=5:8.
Следовательно, S
ΔКСМ
: S
ΔКРМ
=
1
5
·
5
8
= 1:8.
Задача решена.
Учитель: Давайте попробуем решить задачу вторым
способом, который начинается так же, как и первый,
но доказательство того факта, что КС:СВ=5:3,
проводится иначе.
6
Ученики: Может быть также, как и в первом способе
выполнить вспомогательное построение?
Только, как это сделать?
Ученики затрудняются. Учитель даёт указания.
Учитель: Проведите две дополнительные прямые
так, чтобы образовались две пары подобных
треугольников.
Ученики: Попробуем провести через точку К
прямую, параллельную стороне РМ, и продолжить
отрезок МА до пересечения с этой прямой в точке Е.
Слайд №4.
Учитель: Это верное построение. Теперь
самостоятельно подумайте над дальнейшими
действиями.
Ученики: На чертеже мы видим две пары подобных
треугольников: ΔЕАК подобен ΔМАР и
ΔЕКС подобен ΔМВС. Легко доказать, что они
подобны по первому признаку подобия.
Один из учеников доказывает подобие этих
треугольников.
С
В
А
К
М
7
Учитель: Продолжайте рассуждения. Вы на верном
пути. Используя эти суждения, к каким
умозаключениям можно придти?
Ученики: Понятно, что из подобия треугольников
следует равенство отношений соответствующих
отрезков. Осталось догадаться, какие это будут
отношения и в какой последовательности их надо
рассматривать?
Учитель: Вспомните какую промежуточную задачу
мы решаем и продолжите дальнейшие действия.
Ученики: Нам надо доказать, что КС:СВ=5:3.
Учитель: А для этого какие треугольники надо
рассмотреть?
Ученики: ΔЕКС и ΔМВС, так как из их подобия
следует, что КС:ВС=ЕК:МВ.
Учитель: Попытайтесь теперь выразить отрезки ЕК
и МВ через длину какого-нибудь одного отрезка.
Ученики: Используя подобие ΔЕАК и ΔМАР,
получим: ЕК:МР=АК:АР. Так как по условию
АК:АР=1:3, то ЕК:МР=1:3, а значит ЕК=
1
3
МР.
Очевидно, что длину отрезка МВ следует также
выразить через длину отрезка МР. Это легко
сделать, так как по условию РВ:ВМ=4:1. Значит,
МВ=
1
5
МР. Поэтому, КС:ВС=
1
3
МР:
1
5
МР=5:3.
Заканчивается решение задачи также, как и в первом
способе.
Учитель: Как вы думаете, какое дополнительное
построение, аналогичное построению во втором
способе, можно провести?