Параллельное проектирование. Площадь ортогональной проекции. Изображение пространственных

Тема: Параллельное проектирование. Площадь ортогональной проекции.

Изображение пространственных фигур.

Чертеж - хорошее средство для получения и запоминания информации поскольку ~ 80 % информации человек получает с помощью зрения. В современном техническом чертеже передается информация, необходимая для производства, поэтому чертеж является одним из основных производственных документов. Чертеж - хорошее средство для получения и запоминания информации поскольку ~ 80 % информации человек получает с помощью зрения. В современном техническом чертеже передается информация, необходимая для производства, поэтому чертеж является одним из основных производственных документов.

Параллельное проектирование

Пусть π - некоторая плоскость, l - пересекающая ее прямая.

a//l , A принадлежит прямой a

Точка пересечения прямой a с плоскостью π (A‘) называется параллельной проекцией точки A на плоскость π в направлении прямой l.

Таким образом, каждой точке A пространства сопоставляется ее проекция A' на плоскость π. Это соответствие называется параллельным проектированием на плоскость π в направлении прямой l.

Точку А называют прообразом, а точку А’ – образом.

Параллельное проектирование для объемных фигур. Если рассматривать любую геометрическую фигуру как множество точек, можно построить в заданной плоскости проекцию данной фигуры. Таким образом можно получить изображение (или «проекцию») любой пространственной фигуры на плоскость.

а



Соотношения пространственных фигур их изображениям на плоскости

• Фигура в пространстве

• Её изображение на плоскости

Произвольный треугольник

Произвольный треугольник

Фигура в пространстве

Прямоугольный треугольник

Произвольный треугольник

Равнобедренный треугольник

Произвольный треугольник

• Фигура в пространстве

• Её изображение на плоскости

Её изображение на плоскости

Равносторонний треугольник

Произвольный треугольник

Параллелограмм

Произвольный параллелограмм

Прямоугольник

Произвольный параллелограмм

• Её изображение на плоскости

• Фигура в пространстве

Фигура в пространстве

Её изображение на плоскости

Квадрат

Произвольный параллелограмм

Трапеция

Произвольная трапеция

Произвольный параллелограмм

Ромб

Фигура в пространстве

Её изображение на плоскости

Равнобокая трапеция

Произвольная трапеция

Прямоугольная трапеция

Произвольная трапеция

Круг (окружность)

Овал (эллипс)

Свойство №1

• Если прямая параллельна или совпадает с прямой l, то ее проекцией в направлении этой прямой является точка.
• Если прямая не параллельна и не совпадает с прямой l, то ее проекцией является прямая.

Свойство №2

Параллельное проектирование сохраняет отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой.

В частности, при параллельном проектировании середина отрезка переходит в середину соответствующего отрезка.

Свойство №3

Если две параллельные прямые не параллельны прямой l, то их проекциями в направлении l являются две параллельные прямые или одна прямая.

Ортогональная проекция точки

Ортогональной проекцией точки А на данную плоскость называется проекция точки на эту плоскость параллельно прямой, перпендикулярной этой плоскости.

a┴α, l//a

А

α

А’

a

l

Ортогональная проекция фигуры

Ортогональная проекция фигуры на данную плоскость состоит из ортогональных проекций всех точек данной фигуры на эту плоскость. Ортогональная проекция используется при изображении пространственных тел на плоскости, особенно в технических чертежах. Она дает более реалистичное изображении, в отличии от произвольной параллельной проекции. Особенно круглых тел.

Алгоритм изображения пирамиды.

1. Изображение пирамиды начинают всегда с изображения ее основания:

Вершины основания пирамиды выбираем так, чтобы получить наиболее наглядное изображение;

Далее вершины соединяются тонкой вспомогательной линией;

2. Построение высоты пирамиды:

Исходя из свойств пирамиды и свойств многоугольника, лежащего в основании строится основание высоты;

Высота изображается вертикальным отрезком, параллельным краю листа бумаги.

3. Построение боковых ребер:

Вершина пирамиды соединяется отрезками с вершинами основания.

4. Невидимые отрезки отмечаем штриховой линией.

5. Выделяем контур.

Построить изображение пирамиды в основании которой лежит равнобедренный треугольник.

Задача №1

Здесь и в дальнейшем строить изображение пирамиды будем согласно приведенному алгоритму.

• Строим основание пирамиды.

Равнобедренный треугольник изображается произвольным треугольником.

2. Строим высоту пирамиды.

По свойству пирамиды основание высоты – центр описанной около треугольника окружности, то есть точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Одним из таких перпендикуляров будет медиана, проведенная к основанию треугольника.

На проекционном чертеже основание высоты занимает произвольное местоположение на проведенной медиане.

3. Строим боковые ребра, обозначаем невидимые линии, выделяем контур.

Задача №2

Построить изображение пирамиды в основании которой лежит прямоугольный треугольник.

• Строим основание пирамиды.

Прямоугольный треугольник изображается произвольным треугольником.

2. Строим высоту пирамиды.

По свойству пирамиды основание высоты – центр описанной около треугольника окружности, то есть точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

В основании прямоугольный треугольник, поэтому основание высоты – середина гипотенузы.

3. Строим боковые ребра, обозначаем невидимые линии, выделяем контур.

Задача №3

Построить изображение пирамиды в основании которой лежит правильный треугольник.

• Строим основание пирамиды.

Правильный треугольник изображается произвольным треугольником.

2. Строим высоту пирамиды.

По свойству пирамиды основание высоты – центр описанной около треугольника окружности, то есть точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

В основании правильный треугольник, поэтому основание высоты – точка пересечения его медиан.

3. Строим боковые ребра, обозначаем невидимые линии, выделяем контур.

Задача №4

Построить изображение пирамиды в основании которой лежит прямоугольник.

• Строим основание пирамиды.

Прямоугольник изображается произвольным параллелограммом.

2. Строим высоту пирамиды.

По свойству пирамиды основание высоты – центр описанной около четырехугольника окружности, то есть точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

В основании прямоугольник, поэтому основание высоты – точка пересечения его диагоналей.

3. Строим боковые ребра, обозначаем невидимые линии, выделяем контур.

Задача №5

Построить изображение пирамиды в основании которой лежит квадрат.

• Строим основание пирамиды.

Квадрат изображается произвольным параллелограммом.

2. Строим высоту пирамиды.

По свойству пирамиды основание высоты – центр описанной около четырехугольника окружности, то есть точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

В основании квадрат, поэтому основание высоты – точка пересечения его диагоналей.

3. Строим боковые ребра, обозначаем невидимые линии, выделяем контур.

Задача №6

Построить изображение пирамиды в основании которой лежит равнобедренная трапеция.

• Строим основание пирамиды.

Трапеция изображается трапецией.

2. Строим высоту пирамиды.

По свойству пирамиды основание высоты – центр описанной около четырехугольника окружности, то есть точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

В основании равнобедренная трапеция, поэтому основание высоты занимает произвольное местоположение на отрезке соединяющем середины оснований.

3. Строим боковые ребра, обозначаем невидимые линии, выделяем контур.

Алгоритм изображения призмы.

1. Изображение призмы начинают всегда с изображения ее основания:

Вершины основания призмы выбираем так, чтобы получить наиболее наглядное изображение;

Далее вершины соединяются тонкой вспомогательной линией;

2. Построение высоты призмы:

Исходя из свойств пирамиды и свойств многоугольника, лежащего в основании строится основание высоты;

Высота изображается вертикальным отрезком, параллельным краю листа бумаги.

3. Построение боковых ребер:

Вершина пирамиды соединяется отрезками с вершинами основания.

4. Невидимые отрезки отмечаем штриховой линией.

5. Выделяем контур.

Построить изображение призмы в основании которой лежит равнобедренный треугольник.

Задача №1

Здесь и в дальнейшем строить изображение призмы будем согласно приведенному алгоритму.

• Строим основание призмы

Равнобедренный треугольник изображается произвольным треугольником.

2. Строим высоту призмы.

По свойству пирамиды основание высоты – центр описанной около треугольника окружности, то есть точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Одним из таких перпендикуляров будет медиана, проведенная к основанию треугольника.

На проекционном чертеже основание высоты занимает произвольное местоположение на проведенной медиане.

3. Строим боковые ребра, обозначаем невидимые линии, выделяем контур.

Задача №2

Построить изображение призмы в основании которой лежит прямоугольный треугольник.

• Строим основание призмы .

Прямоугольный треугольник изображается произвольным треугольником.

2. Строим высоту призмы .

По свойству призмы основание высоты – центр описанной около треугольника окружности, то есть точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

В основании прямоугольный треугольник, поэтому основание высоты – середина гипотенузы.

3. Строим боковые ребра, обозначаем невидимые линии, выделяем контур.

Задача №3

Построить изображение призмы в основании которой лежит правильный треугольник.

• Строим основание призмы .

Правильный треугольник изображается произвольным треугольником.

2. Строим высоту пирамиды.

По свойству призмы основание высоты – центр описанной около треугольника окружности, то есть точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

В основании правильный треугольник, поэтому основание высоты – точка пересечения его медиан.

3. Строим боковые ребра, обозначаем невидимые линии, выделяем контур.

Задача №4

Построить изображение призмы в основании которой лежит прямоугольник.

• Строим основание призмы .

Прямоугольник изображается произвольным параллелограммом.

2. Строим высоту пирамиды.

По свойству призмы основание высоты – центр описанной около четырехугольника окружности, то есть точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

В основании прямоугольник, поэтому основание высоты – точка пересечения его диагоналей.

3. Строим боковые ребра, обозначаем невидимые линии, выделяем контур.

Задача №5

Построить изображение пирамиды в основании которой лежит квадрат.

• Строим основание пирамиды.

Квадрат изображается произвольным параллелограммом.

2. Строим высоту пирамиды.

По свойству пирамиды основание высоты – центр описанной около четырехугольника окружности, то есть точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

В основании квадрат, поэтому основание высоты – точка пересечения его диагоналей.

3. Строим боковые ребра, обозначаем невидимые линии, выделяем контур.

Задача №6

Построить изображение пирамиды в основании которой лежит равнобедренная трапеция.

• Строим основание пирамиды.

Трапеция изображается трапецией.

2. Строим высоту пирамиды.

По свойству пирамиды основание высоты – центр описанной около четырехугольника окружности, то есть точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

В основании равнобедренная трапеция, поэтому основание высоты занимает произвольное местоположение на отрезке соединяющем середины оснований.

3. Строим боковые ребра, обозначаем невидимые линии, выделяем контур.