Решение экономических задач с помощью таблицы в ЕГЭ
Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение гимназия
г. Вятские Поляны Кировской области, ул. Гагарина, д.17, факс/телефон
(83334) 6-29-29 e-mail: vpschool3@mail.ru, сайт: гимназия-вп.рф
Решение экономических задач с помощью
таблицы в ЕГЭ
Составила: Гатауллина Гульфия Анасовна
учитель математики
МКОУ гимназии г. Вятские Поляны
Кировской области
2019
Оглавление
Введение ................................................................................................................... 3
Примеры решения задач ......................................................................................... 4
Задачи для самостоятельного решения ............................................................... 11
Заключение ............................................................................................................ 12
Список литературы ............................................................................................... 13
Введение
В условиях современных требований к выпускникам средней школы при
поступлении в ВУЗы, профилирующие предметы которых связаны с
математической наукой, ЕГЭ по математике профильного уровня расширен.
С 2015 года в него добавлено экономическая (банковская) задача. Эта
задача ориентирована на реальную жизнь. В этих заданиях рассматриваются
идеализированные жизненные ситуации, которые являются некоторыми
текстовыми упрощениями, моделями, реально возникающих, например, при
обращении в банк, покупке или продаже ценных бумаг, выпуск
производственной продукции и получение прибыли.
За правильное решение задания № 17 на ЕГЭ можно получить три балла.
В своей работе я решила обратиться к рассмотрению решения таких
задач, потому, что с одной стороны по ним представлено не много материала
в открытых источниках, а с другой – было большое желание разобраться в их
решении на собственном опыте.
Рассмотрим один из подходов к решению задач с «экономическим
содержанием» с помощью таблицы на примере следующих задач.
Примеры решения задач
1) В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей на
некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
-каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом
предыдущего года;
–
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
–
в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму
меньше долга на июль предыдущего года.
Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения
кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей?
Решение:
Пусть − срок кредита
Составим таблицу:
Год
Долг на начало
года
Основной платёж
Дополнительный
платёж
1
28
…
Очевидно, что наибольший годовой платёж будет в первом году (потому
что платежи равномерно уменьшаются в течение лет)
Наибольший годовой платёж = 9 млн
= 14
В таблице все значения становятся известными:
Год
Долг на начало
года
Основной платёж
Дополнительный
платёж
1
28
7
…
14
2
2
Общая сумма выплат (ОСВ) – это все основные платежи и все
дополнительные платежи (сумму всех дополнительных платежей найдём с
помощью формулы суммы первых членов арифметической прогрессии)
Сумма первых n членов арифметической прогрессии
ОСВ
ОСВ 80,5
Ответ: 80,5 млн
2) В июле планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн рублей на
некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом
предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше
долга на июль предыдущего года.
Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения
кредита, если наименьший годовой платёж составит 1,25 млн рублей?
Решение:
Пусть − срок кредита
Составим таблицу:
Год
Долг на начало
года
Основной платёж
Дополнительный
платёж
1
9
…
Очевидно, что наименьший годовой платёж будет в последнем году
(потому что платежи равномерно уменьшаются в течение лет)
Наибольший годовой платёж = 1.25 млн
= 9
В таблице все значения становятся известными:
Год
Долг на начало
года
Основной платёж
Дополнительный
платёж
1
9
2.25
…
9
1
1
Общая сумма выплат (ОСВ) – это все основные платежи и все
дополнительные платежи (сумму всех дополнительных платежей найдём с
помощью формулы суммы первых членов арифметической прогрессии)
Сумма первых n членов арифметической прогрессии
ОСВ
ОСВ 20.25
Ответ: 20.25 млн
3) В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей на
некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом
предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше
долга на июль предыдущего года.
На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая
сумма выплат после его полного погашения составит 38 млн рублей?
Решение:
Пусть − срок кредита
Составим таблицу:
Год
Долг на начало
года
Основной платёж
Дополнительный
платёж
1
16
…
Общая сумма выплат (ОСВ) – это все основные платежи и все
дополнительные платежи (сумму всех дополнительных платежей найдём с
помощью формулы суммы первых членов арифметической прогрессии)
Сумма первых n членов арифметической прогрессии
ОСВ
Ответ: 10
4) 15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия
его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на % по сравнению с
концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть
долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму
меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на
30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите .
Решение:
Пусть − сумма кредита
Тогда 1,3 − общая сумма выплат, превышающая сумму кредита на 30%
Составим таблицу:
Месяц
Долг на начало
месяца
Основной платёж
Дополнительный
платёж
1
2
…
19
Общая сумма выплат (ОСВ) – это все основные платежи и все
дополнительные платежи (сумму всех дополнительных платежей найдём с
помощью формулы суммы первых членов арифметической прогрессии)
Сумма первых n членов арифметической прогрессии
Ответ: 3
5) К 15 декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия
возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с
концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тыс.
рублей меньше долга на 15-ечисло предыдущего месяца;
- к 15 –му числу 21 месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат
после полного погашения составит 1604 тыс. рублей.
S тыс.руб – сумма, которую планируют взять в кредит.
3%=0,03
№
Долг по
кредиту на
начало месяца
Сумма, на которую
возрастает долг на 1-е
число каждого месяца
Выплата
1.
s
s∙0,03=0,03 s
30+0,03 s
2.
s-30
0,03 (s-30)
30+0,03 (s-30)
3.
s-2∙30
0,03(s-2∙30)
30+0,03(s-2∙30)
4.
s-3∙30
0,03(s-3∙30)
30+0,03(s-3∙30)
5.
s-4∙30
0,03(s-4∙30)
30+0,03(s-4∙30)
…
….
….
…
20
s-19∙30
0,03(s-19∙30)
30+0,03(s-19∙30)
21
s-20∙30
0,03(s-20∙30)
s-20∙30+0,03(s-20∙30)
Итого:
1604 тыс. рублей
Составим и решим уравнение:
Общая сумма выплат представляет собой сумму суммы, которую
планируют взять в кредит, и сумму сумм, на которые возрастает долг на 1-е
число каждого месяца.
s +0,03 s +0,03 (s-30)+ 0,03(s-2∙30)+….+ 0,03(s-20∙30)=1604
s +0,03∙(s+( s-30)+(s-2∙30)+… (s-20∙30))=1604
s+0,03∙( 21s- (30+2∙30+…20∙30)+=1604
30;2∙30;…;20∙30-арифметическая прогрессия, а
1
=30, а
21
=20∙30
S= *20=6300
s+0,03∙( 21s-6300)=1604
1,63 s-189=1604
1,63s=1793
s=1793:1,63
s=1100
Ответ: 1100 тыс. Рублей
Задачи для самостоятельного решения
1) Жанна взяла в банке в кредит 1,2 млн рублей на срок 24 месяца. По
договору Жанна должна возвращать банку часть денег в конце каждого
месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 2 %, а затем
уменьшается на сумму, уплаченную Жанной банку в конце месяца. Суммы,
выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась
равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму
Жанна вернёт банку в течение первого года кредитования?
2) Александр взял кредит в банке на срок 9 месяцев. В конце каждого
месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на 12%, а затем
уменьшается на сумму, уплаченную Александром. Суммы, выплачиваемые в
конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга
каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину.
Сколько процентов от суммы кредита составила общая сумма, уплаченная
Александром банку (сверх кредита)?
3) 15-го января планируется взять кредит в банке на некоторый срок (целое
число месяцев). Условие его выплаты таковы:
- 1-го числа каждого месяца долго возрастёт на 3% по сравнению с концом
предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму
меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что общая
сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы,
взятой в кредит?
Заключение
Я считаю введение таких задач чрезвычайно полезным так как, работая
над моделями, сформулированными в условиях, они заставляют
задумываться о реальной жизни. О том, что кредиты, отношения с банками,
игра на бирже, колебания курсов ценных бумаг, начисление процентов дело
сложное и требует больших знаний. К этому нельзя относиться
легкомысленно. С чего начинать решать экономические задачи – очень
внимательно читать условия задачи и по шагам распределить действия, затем
постараться математически выразить их и постараться прийти к ответу.
Список литературы
1. Ященко И. В. и др. Подготовка к ЕГЭ по математике в 2018 году.
Базовый и профильный уровни. Методические указания / И. В. Ященко, С. А.
Шестаков, А. С. Трепалин. – М.: МЦНМО, 2015. – 288 с.
2. Демонстрационный вариант контрольно-измерительных материалов
единого государственного экзамена 2018 года по математике. Профильный
уровень. Сайт http://www.ege.edu.ru/
3. Спецификация контрольно-измерительных материалов для
проведения в 2018 году единого государственного экзамена по математике.
Профильный уровень. Сайт http://www.ege.edu.ru/
