Ученики на Учителя.com


Конспект "Связь между музыкой и математикой"

Урок как исследовательская
работа
"Связь между музыкой и
математикой"
Учитель музыки
Гаджиева Светлана Загидовна
Введение:
Не задумывались ли вы, почему на протяжении многих веков музыка так
привлекательна для большинства людей? Почему она пленяет умы, способна
организовать, способна создать весёлое настроение или, наоборот,
умиротворить?
Оказывается, музыкальные произведения соединяют, на первый взгляд,
несовместимые вещи: высокие чувства и… математический расчёт. Да-да,
именно благодаря математике мы можем услышать высокий и низкий звук,
протяжное и отрывистое звучание, мы можем двигаться вверх и спускаться
вниз по ступенькам звукоряда, пропевая гамму.
Математические истоки музыки очень хорошо ощущаются в танце. В
танце мы можем менять скорость – двигаться быстро и медленно, двигаться
вперёд-назад, вправо-влево, по кругу, прыгать вверх-вниз. Если быть
изобретательным, каждый танец можно использовать для изучения
пространства – двигаться по прямоугольной, квадратной, овальной
траектории, двигаться по прямой и по кривой линии.
Музыка учит нас не только видеть, но и воспроизводить увиденное, не
только слышать, но и представлять то, что слышишь. Следовательно, она
развивает все виды восприятия: зрительное, слуховое, чувственное – и все
виды памяти: зрительную, слуховую, моторную, образную, ассоциативную.
Начав заниматься в музыкальной школе, я заметила, что стала лучше
понимать учебный материал по математике. Оказывается, занимаясь
музыкой, человек развивает и тренирует свои математические способности,
Ведь некоторые понятия в музыке и математике очень похожи, например:
-доли и дроби;
- параллельность;
- пропорции;
- противоположности.
Математика и музыка – два школьных предмета, два полюса
человеческой культуры. Слушая, музыку мы попадаем в волшебный мир
звуков и открываем в ней совершенство, простоту и гармонию. Решая
математические задачи, мы погружаемся в строгое пространство чисел. И не
задумываясь о том, что мир звуков и пространство чисел издавна тесно
связаны друг с другом.
Цель:
- Провести взаимосвязь между музыкой и математикой.
Для достижения поставленной цели необходимо выполнить ряд задач:
1. Провести свое исследование по установлению связи между музыкой
и математикой.
2. Переложить числа (даты рождения одноклассников) на музыку.
3. Установить связь между звуками и способностями личности.
В своей работе я выдвинула следующую гипотезу:
В музыке и математике много общих закономерностей
Объект исследования: музыка и математика.
Предмет исследования: Энциклопедии, словари, художественная и
научная литература, периодическая печать, тезисы с Интернета.
Методы исследования:
1.Изучение, обработка и анализ документов.
2.Метод исследования музыкального произведения.
3.Метод проблемно-поисковой ситуации.
Исследование проводилось в несколько этапов:
I этап – изучение специальной литературы;
II этап – практический этап;
Методологической основой работы: являются труды Рене Декарта
"Трактат о музыке, " Готфрид Лейбниц, Христиан Гольдбах,
Жан Даламбер, Даниил Бернулли.
Постоянным источником размышления стали взгляды и убеждения
Готфрида Лейбница и Пифагора.
Глава I Музыка и математика
Математика – царица наук, тесным образом перекликается с музыкой.
Несомненно, математика пронизывает музыку.
В различные эпохи философы подчеркивали скрытую взаимосвязь,
существующую между музыкой и математикой. Исследователи Б. Варга, Ю.
Димень, Э. Лопариц находили разнообразные « точки соприкосновения »
математического знания и музыкального творчества. (ритм, вариации –
перестановки; симметрия - отражение, пропорции, последовательности;
параллели- аналогии, противоположности, упорядочение, повторение,
структура).Рассмотрим некоторые из них:
1. РИТМ
Окружающий нас мир полон ритмов. Стоит нам услышать слово ритм,
как наши мысли невольно обращаются к музыке и это вполне понятно: ведь
ритм – один из важнейших элементов музыки.
Что такое ритм?
В любой музыке, в любой песенке кроме мелодии очень важен ритм.
Ритм в переводе с греческого означает "мерность" - это равномерное
чередование каких-либо элементов, в нашем случае звуков.
Сочетание длинных и коротких звуков в определенном порядке
называется ритмическим рисунком.
Хорошо понятен ритм в разных танцах. Все понимают о каком ритме
идет речь, когда говорят: в ритме вальса, марша, танго.
Мы можем найти ритм не только в музыке, но и в повседневной жизни.
Например, взгляните на орнамент, его элементы повторяются- значит он
ритмичен.
Орнаменты мы можем видеть на одежде, посуде, в архитектуре
(например решетка и ограды парков)
Все в мире имеет ритм. Наше сердце - сердечный ритм; есть ритмы
мозга, есть суточный ритм-сон и бодрствование, или утро, день, вечер и ночь.
Смена времен года - это ритм
планеты. Мир наполнен разными ритмами. Поговорим о музыкальном
ритме.
Чтобы записать ритм на бумаге, используют так называемый
музыкальный размер. С его помощью музыканты понимают с каким ритмом
и темпом необходимо играть музыку. Музыкальные размеры бывают разные
и записываются дробями: две четверти, три четверти и.т.д. Чтобы точно
соблюдать ритм, музыкант при разучивании новой мелодии должен считать:
раз и, два и... и так далее, в зависимости от размера.
Для тренировки чувства ритма и во время разучивания мелодий, чтобы
все время не считать и не отвлекаться от нот, музыканты и певцы часто
пользуются метрономом - это такой приборчик, с помощью которого можно
задать ритм, и он будет его отстукивать, как "громкие часы". Он помогает
музыканту держать определенный ритм длительное время. Четкий ритм
придает музыке дополнительную красоту, а если музыкант не попадает в
ритм, то у слушателя возникает чувство дискомфорта. Музыка без ритма
воспринимается как набор звуков, а не мелодия. Особенно точно попадать в
ритм, должны музыканты, которые играют вместе одновременно - например,
в ансамбле.
- Ритмы можно обнаружить и среди чисел.
При изучении табличных случаев умножения и деления мы
познакомились с таблицей Пифагора. Используя данный принцип, мы
расположим 100 натуральных чисел в виде изящной правильной фигуры –
так называемого Пифагорова квадрата.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
Займемся поисками ритмов, скрытых в таблице.
1.у чисел, стоящих в одной строке совпадают первые цифры;
2. у чисел, стоящих в одном столбце, совпадают вторые цифры.
- А теперь попытаемся обнаружить закономерности, скрытые в других
таблицах:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
Эта таблица представляет собой Пифагоров квадрат, в котором
отмечены все числа, делящиеся на 2,3,4,6.
1
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
А по какому правилу здесь выделены числа?
Квадратными рамками здесь обведены так называемые простые числа,
делящиеся только на единицу и на самих себя
2.Составим ряд чисел, которые делятся, например, на 3.
0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 …
Составим ряд чисел, кратных 4, получим следующий ряд:
1, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40…
Сравним их.
Мы получили музыкальный размер 3/4 .
Те же самые вычисления можно провести с другими числами.
II. ПРОПОРЦИИ
Пропорция -
1. Определенное соотношение частей целого между собой; соразмерность.
2. Количественное соотношение между чем-л. // Определенное соотношение
между составными частями чего-либо.
Рассмотрим пропорции в музыке.
В музыке есть короткие и длинные длительности, они составляют
основу любого ритма.
- Шестнадцатая, восьмая, четвертная, половинная, целая нота…
Названия длительности служат одновременно и названиями чисел.
Наглядно длительности можно представить в виде прямоугольников
разной длинны.
Нетрудно понять, почему длительности музыкальных нот заимствовали
свои названия у дробей.
Доли и дроби.
1
1/2
1/2
1/4
1/4
1/4
1/4
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
Мы видим, что длительности получаются так же как дроби: они
возникают при делении целой на равные доли. Поэтому длительность
можно подсчитывать как дробные числа,
Для запоминания названий длительностей можно представить их как
части целого круга.
Каждая следующая длительность ноты по продолжительности звучания
равна половине звучания предыдущей, например:
целая = половинная + половинная (1=1/2+1/2)
половинная = четвертная + четвертная (1/2=1/4+1/4)
четвертная = восьмая +восьмая (1/4=1/8+1/8)
Равенство здесь понимать в том смысле, что длительность слева равна
суммарной длительности справа. С помощью чисел то же равенство можно
записать в виде:
1/4 = 1/8 + 2/16
Каждую из сумм
2/4+1/8+1= +♪+
1/8+1/4+3/16=♪+ +♪.
Если все длительности в музыкальном произведении увеличатся вдвое,
оно станет медленнее.
А если уменьшатся вдвое, то быстрее станет темп произведения.
А теперь обратимся к оркестру. В оркестре звучат различные
инструменты, и каждый из них обладает определенным звучанием,
неповторимой окраской звука - тембром.
Композитор может комбинировать в различных пропорциях
соотношения музыкальных инструментов, исходя из звуковой палитры
задуманного произведения.
Я знакома с таким жанром симфонической музыки как “концерт”.
Это слово означает соперничество, сопереживание.
Каковы пропорции солирующего инструмента и оркестра “Концерта
№3” С.В.Рахманинова, прослушав произведение можно смело сказать:
Фортепиано- оркестр.
В математике мы говорили, то “пропорция”, то “пропорциональность”, -
но значения этих слов не только не совпадают, но даже существенно
отличаются.
Что же такое пропорция?
Возьмем следующие вопросы:
1. В какой пропорции находятся партии товаров, состоящие из 20
изделий и из 2 изделий?
2. В какой пропорции находится кусок дерева длиной в 12 м к планке
длиной в 4м?
3. В какой пропорции находится взрослый человек весом 93 кг и
новорожденный длиной 57см?
В первом случае пропорция составляет 20 : 2 = 10, во втором 12 : 4 = 3. В
третьем случае мы не можем сказать ничего, поскольку вес и длина не
сравнимы.
Вывод: Таким образом, находиться в пропорции могут лишь такие две
величины, которые можно выразить в общих единицах измерения. В первом
примере этими двумя величинами были 30 изделий и 2 изделия, во втором –
2 м и 4 м. Вес 93 кг и длина 57 см не относятся к числу величин, которые
можно было бы выразить в общих единицах измерения.
III. ВАРИАЦИИ
Вариация- это музыкальное произведение, форма музыкального
произведения, состоящего из нескольких частей, каждая из которой
звучит с изменениями.
Существуют 3 типа вариаций:
- Мелодические
- Ритмические
- Гармонические
Композитор, разрабатывая избранную им тему, может варьировать ее
мелодический рисунок, видоизменять ритм и гармонию, т.е. созвучия.
Разумеется, он может варьировать одновременно 2 или даже 3 элемента, с
каждой вариацией всё более уходя от начальной темы.
Рассмотрим вариации в математике.
Слово или число можно определить и описать многими способами.
Числа тоже можно задавать словами, иногда это даже удобнее. Чем обычная
цифровая запись и наоборот.
Давайте запишем цифрами числа, заданные следующими описаниями:
Наименьшее целое число, название которого односложно (1)
Наибольшее целое число, которое совпадает с числом букв в своем
названии (11).
Два положительных целых числа, сумма которых равна их
произведению (2+2= 2 *2)
- Как видите, в данном случае цифровые записи удобнее. А, например,
чтобы задать число, состоящее из тысячи восьмерок словесно, нам
понадобится 31 буква. А теперь я хочу предложить сыграть в одну игру,
которую можно было бы назвать вариациями числа.
Игра:
- Назовите наименьшее трехзначное натуральное число (100)
100 = 50 + 50 = 38 + 62 = 300-200 и т.д.
Следующие вариации отличаются большим изяществом:
100 = 99 + 99:99 = 101 – 101/101
- Запишите число 100 при помощи цифр от 1 до 9, используя каждую
цифру один и только один раз.
Образец: 100 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8*9 = 123 + 45 – 67 + 8 – 9
IV. ПАРАЛЛЕЛИ
Музыка
Параллели во множестве встречаются в природе. Траектории каплей
дождя параллельны, гребни морских волн и т.д. В твореньях, созданных
человеком –тоже много параллелей
(рельсы, строки в книгах, полы и потолки)
В музыке параллели встречаются в нотах
Прежде всего, это 5 прямых, образующих нотный стан. Поразмыслим,
почему ноты приходится располагать на параллельных прямых?
Так ли необходима здесь параллельность? Ведь в древности музыканты
записывали музыку по-разному: и при помощи букв, и графическими
знаками – невмами, передававшими общее направление интонации, но не
позволявшими выразить длительность звучания или его изменение по высоте
вверх или вниз. Музыканта интересует не просто то, что одна нота выше или
ниже другой: ему требуется знать, насколько одна выше или ниже другой.
Измерить высоту нам как раз помогают параллельные линейки.
Параллельные линии можно увидеть не только в нотах, но и во внешней
форме некоторых музыкальных инструментов: струны арф или органные
трубы. Параллели можно обнаружить не только в нотной записи, но в самом
звучании музыки.
Параллельно могут звучать голос и фортепианное сопровождение со
сдвигом на октаву. (“Дважды два – четыре”).
Параллельно будут звучать голоса туристов при исполнении песен у
костра, а может, и в хоре при условии исполнения произведений в унисон.
Слово “параллельный” происходит от греческого “параллелос” - идти
рядом.
a
___________________________________________________________________________________________________________
b
___________________________________________________________________________________________________________
В математике существует правило: «Две параллельные прямые не
пересекаются».
V. ПРОТИВОПОЛОЖНОСТИ
Все мы знаем короткие песенки типа “По дороге Петя шел и горошинку
нашел” и много других таких же. Но есть музыкальные произведения,
которые могут длиться и 30 и 60 минут, а иногда и больше. Это симфонии,
оратории, оперы. Самые длинные – оперы Вагнера – театрология “Кольцо
Нибелунга”.
В музыке существует еще одна пара противоположностей: медленно-
быстро. Эта пара играет весьма важную роль в музыке.
Приведём примеры медленных русских народных песен…
- Эй, ухнем
- Ах ты степь широкая
- Вниз по матушке по Волге.
…и быстрых песен.
- Светит месяц
- А я по лугу
- Солдатушки, бравы ребятушки.
Еще одна противоположность в музыке – высокое и низкое. Некоторые
инструменты устроены так, что из них можно извлекать либо только
высокие, либо низкие звуки (скрипки, контрабасы)
Противоположностей в музыке – великое множество: громкий – тихий,
быстрый – медленный, длинный – короткий; вокальная музыка –
инструментальная музыка; многоголосие – одноголосие.
Существуют ли математические противоположности?
Да, например:
«Плюс» - «минус»
Сложение – вычитание
Умножение – деление
Четное число – нечетное число
Половина – вдвое больше
Делитель – кратное
Больше – меньше
Простое число – составное число
Прямая - кривая
Известна одна старинная математическая задача – шутка, основанная на
неожиданной замене быстрого и медленного темпов. Называется эта задача
“Наследство старого шейха”.
“Предчувствуя свою кончину, старый шейх велел позвать двух своих
сыновей и сообщил им, что в расположенном неподалеку оазисе закопал
несметные сокровища. Шейх повелел сыновьям отправиться на поиски клада,
завещав его целиком тому, чей верблюд достигнет оазиса вторым. Сыновья
шейха призадумались. Если каждый из них будет стремиться отстать от
другого, то они не когда не доберутся до оазиса и не смогут выкопать
сокровища. Изрядно поломав головы, но ничего и не придумав, они
отправились за советом к кадию. Кадий велел сыновьям спешиться и,
подозвав их к себе, прошептал что-то каждому на ухо. Выслушав совет
кадия, наследники шейха торопливо вскочили на поджидавших верблюдов и
что было духу помчались к оазису. Сокровище досталось тому, кто первым
домчался до оазиса. Какой совет дал кадий сыновьям шейха?”
Ответ: В завещании шейха говорилось, что весь клад достанется тому,
чей верблюд достигнет оазиса вторым. Кадий посоветовал сыновьям шейха
обменятся верблюдами: тот из сыновей, кто хотел бы, чтобы его верблюд
пришел вторым, должен был бы поторапливаться и примчаться в оазис
первым на верблюде своего брата.
4. Исследование дат рождений.
Следуя теории Пифагора, числа обладают абсолютной властью над
всеми событиями, над всеми живыми существами, а значит, что числа правят
музыкой. В своих работах он утверждал, что музыка подчиняется высшему
закону (математике) и вследствие этого восстанавливает в организме
человека гармонию.
Нумерология – паранаука о числах. Нумерология имеет еще одно
распространенное название – Магия Чисел. В нумерологии все слова, имена,
числа можно свести к единичным разрядам (однозначным числам), которые
соответствуют оккультным характеристикам, влияющим на жизнь человека.
Это значит, что каждому числу, согласно нумерологии, соответствуют
определенные свойства, образы и понятия. Нумерологию используют для
определения характера человека, его природных способностей, для
выявления сильных и слабых сторон его личности, а также для определения
подходящей профессии, места проживания и многих других факторов.
Даты рождения – это ряд чисел. Попробуем установить связь между
числами и музыкой.
Мною были исследованы даты рождения 8 учащихся 3В класса, в
котором я обучаюсь. Как известно дата – набор цифр. Мы переложим даты на
ноты.
У каждого человека получилось по одному аккорду.
Были аккорды звучащие гармонично и вовсе безобразно и резко (в
музыке гармоническое звучание тонов называется консонансом. А
безобразное, резкое звучание называется диссонансом.
На рисунке, где под аккордом стоит знак «-», аккорд звучал
негармонично, а значит, звучит диссонанс. А если мелодично, то знак «+» -
это консонанс.
Каждой ноте мы присвоили номер ступени. До – 0, ре – 1. ми – 2, фа – 3,
соль – 4, ля – 5, си – 6. до – 7, ре – 8, ми – 9.
После того, как мы переложили даты рождения на аккорды, попробуем
установить связь между звучанием даты рождения и способностями
человека.
Таким образом,все 8 учащихся 3В класса имеют благозвучные аккорды.
Методом опроса я выяснила, чем каждый ученик увлекается.
Таким образом, мы получили следующее:
Дети, у которых аккорды благозвучные:
Сагитова Оксана,11.08.2002 (играет на фортепиано)
Касьянова Виктория,14.03.2002 год ( поет).
Королева Анастасия, 11.02.2002 год (поет).
Хусаинова Диана,03.05.2002 год (поет).
Мельников Дмитрий, 17.05.2002 год (занимается плаванием,поёт)
Хасанов Динислам, 26.11.2002 год (танцует)
Сенько Арсений,01.05.2002 год.(поёт)
Остроушко Данила,14.07.2002 год.
В этой группе детей аккорды звучали мелодично, большинство детей с
творческими наклонностями: некоторые из них занимаются в музыкальной
школе или поют. Данная группа детей обладает творческими способностями,
косвенно или напрямую связаны с музыкой.
У Касьяновой В,Сагитовой О, Королёвой Н в дате есть секунды –это
говорит о том что девочки целеустремлённые и могут заниматься не только
музыкой ,но и попробовать себя в спорте.
Заключение.
Взаимосвязь математики и музыки является одной из самых актуальных
тем. Она до сих пор полностью не раскрыта и не изучена, чем и привлекает к
себе внимание многих ученых.
Исследование, проведенное нами, показало, что многие вопросы,
связанные с природой музыки и ее воздействием на человека могут быть
описаны языком математики.
Музыка математична, а математика музыкальна. И там и тут
господствует идея числа и отношения. Нет такой области музыки, где числа
не выступали бы конечным способом описания происходящего: в ладах есть
определенное число ступеней, которые характеризуются определенными
зависимостями и пропорциональными отношениями; ритм делит время на
единицы и устанавливает между ними числовые связи; музыкальная форма
основана на идее сходства и различия.
Исследуя связь между математикой и музыкой, я пришла к выводу, что
чем глубже поддается музыкальное произведение математическому анализу,
исследованию и подчиняется каким – либо математическим законам, тем
более гармонично и прекрасно его звучание, тем больше оно волнует
человеческую душу. Кроме того, я убедилась, что в этой области еще очень
много важного, интересного и занимательного не раскрыто и можно смело
вести исследования этой темы
В своей исследовательской работе я выдвигала гипотезу о том, что в
музыке и математике много общих закономерностей.
По изложенному в работе материалу можно сказать что моя гипотеза
верна, так как и в музыке и в математике есть общие закономерности. Это
доли и дроби; ритм, параллельность; пропорции;
противоположности,вариации.
В своей работе я провела исследование дат рождений одноклассников.
То, что музыка отражает в себе закономерность числового ряда и как
следствие имеется связь между звучанием дат рождений и наклонностями
человека находит подтверждение в моем исследовании.
Но для утверждения того, что звучание даты рождения определяет
определенный тип особенностей человека, необходимо большее количество
исследуемых. Если в последующем, при более глубоком и многочисленным
исследовании, наше предположение будет доказано, это даст человеку еще
один способ открыть себя, определить род занятий, выбрать профессию, где
наиболее полно раскроется потенциал личности.
Мне была интересна данная работа, я много узнала для себя, а так же
считаю, что материал нашего исследования имеет практическую ценность
для уроков математики, музыки.
В ходе исследования я выяснила, что музыкальные и математические
операции родственны и содержательно и психологически.
Занимаясь музыкой, человек развивает и тренирует свои математические
способности.
Отсюда следуют выводы:
что музыка помогает изучать математику;
ребятам, которые занимаются музыкой, легче справляться
с математикой в школе.
Скачать материал

Музыка - еще материалы к урокам: