ЕГЭ 2017 Задача B7 "Применение производной к исследованию функций"

Подписи к слайдам:

Математика

Задача

– 2017

ЕГЭ

Применение производной к исследованию функций

Определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции; описывать по графику поведение и свойства функций, находить по графику функции наибольшие и наименьшие значения; строить графики изученных функций

Определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции; описывать по графику поведение и свойства функций, находить по графику функции наибольшие и наименьшие значения; строить графики изученных функций
Вычислять производные и первообразные элементарных функций
Исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшие и наименьшие значения функций

Содержание задания В7 по КЭС

Исследование функций
4.2.1 Применение производной к исследованию функций и построению графиков
4.2.2 Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных, в том числе социально-экономических, задачах

ОБУЧАЮЩАЯ :

обобщить и закрепить идею геометрического смысла производной на основе знакомства с математическими «портретами»;
сформировать начальное представление об истории развития математического анализа;
учить работать с теоретическими вопросами учебника;
«открыть» зависимость между свойствами монотонности функции, экстремумами и значениями производной.

ВОСПИТАТЕЛЬНАЯ :

способствовать развитию общения как метода научного познания, аналитико-синтетического мышления, смысловой памяти и произвольного внимания,
развитие навыков исследовательской деятельности (планирование, выдвижение гипотез, анализ, обобщение).

РАЗВИВАЮЩАЯ :

развивать у учащихся коммуникативные компетенции,
способствовать развитию творческой деятельности учащихся, потребности к самообразованию.

ЦЕЛЬ УРОКА

АКЦЕНТИРУЕМ ТЕОРИЮ ПО ТЕМЕ

ГРАФИК

1. В чем состоит геометрический смысл
производной ?

2. В любой ли точке графика можно провести
касательную? Какая функция называется
дифференцируемой в точке?

3. Касательная наклонена под тупым углом к
положительному направлению оси ОХ.
Следовательно, • • • .

4. Касательная наклонена под острым углом к
положительному направлению оси ОХ.
Следовательно, • • • .

5. Касательная наклонена под прямым углом к
положительному направлению оси ОХ.
Следовательно, • • • .

6. Касательная параллельна оси ОХ, либо с ней совпадает. Следовательно, • • • .

}

значение производной в точке Х₀

}

тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси ОХ

угловой коэффициент касательной

f ´(x₀) = tg α = к

для дифференцируемых функций : 0° ≤ α ˂180°, α ≠ 90°

вопросы

α - тупой
tg α < 0
f ´(x₀) < 0

α – острый
tg α >0
f ´(x₁) >0

α = 90°
tg α не сущ.
f ´(x₃) не сущ.

α = 0
tg α =0
f ´(x₂) = 0

ПЕРВИЧНЫЙ АНАЛИЗ НАБЛЮДЕНИЙ

Какими из перечисленных свойств обладают заданные на промежутке (a , b ) функции,
графики которых будут представлены ниже.

А. Функция возрастает.

Б. В каждой точке можно
провести касательную.

В. В каждой точке f ´(x) ≥ 0.

Г. В каждой точке касательная
наклонена под острым углом.

Д. Существует конечное число точек, в которых f ´(x) = 0 .

Е. Существует конечное число
точек, в которых f ´(x) не
существует .

ПРОВЕРКА

ПРОВЕРКА

ПРОВЕРКА

ПРОВЕРКА

ПРОВЕРКА

f(x)

f/(x)

№1.На рисунке изображен график производной функции у =f (x), заданной на промежутке (- 8; 8). Исследуем свойства графика и мы можем ответить на множество вопросов о свойствах функции, хотя графика самой функции не представлено!

y = f /(x)

1 2 3 4 5 6 7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

-1
-2
-3
-4
-5

-5

Найдем точки, в которых f /(x)=0 (это нули функции).

ВЫДВИГАЕМАЯ ГИПОТЕЗА

Что выяснили?

существует
связь

Свойства
f(x):

Свойства
f '(x):

возрастания,
убывания,
точки минимума,
точки максимума

существование,
нули,
знакопостоянство

План действий

1. Анализ наблюдений (фактов).
2. Обобщение фактов.
3. Проверка и выдвижение нового
плана действий.

Какая?

f(x)

f/(x)

№1.На рисунке изображен график производной функции у =f (x), заданной на промежутке (- 8; 8). Исследуем свойства графика и мы можем ответить на множество вопросов о свойствах функции, хотя графика самой функции не представлено!

y = f /(x)

1 2 3 4 5 6 7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

-1
-2
-3
-4
-5

-5

Найдем точки, в которых f /(x)=0 (это нули функции).

ВТОРИЧНОЕ ОБОБЩЕНИЕ НАБЛЮДЕНИЙ

Е с л и

свойства
f(x):

,то

свойства
f '(x):

II.

Е с л и

,то

свойства
f(x):

свойства
f '(x):

функция возрастает на промежутке и имеет на нем производную

f ´(x) ≥ 0

f ´(x) ≥ 0

функция возрастает на промежутке и имеет на нем производную

Утверждение верно ???

Почему ???

f(x)

f/(x)

По этой схеме мы можем дать ответы на многие вопросы тестов.

y = f /(x)

1 2 3 4 5 6 7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

-1
-2
-3
-4
-5

-5

Исследуйте функцию у =f (x) на экстремум и укажите количество ее точек минимума.

4 точки экстремума,

Ответ:
2 точки минимума

-8

f(x)

f/(x)

Пример

y = f /(x)

-1
-2
-3
-4
-5

Найдите точку экстремума функции у =f (x) на отрезке [– 6; –1]

Ответ: xmax = – 5

1 2 3 4 5 6 7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

-5

-8

f(x)

f/(x)

Пример

y = f /(x)

-1
-2
-3
-4
-5

Найдите промежутки возрастания функции у =f (x).

В точках –5, 0, 3 и 6
функция непрерывна, поэтому при записи промежутков возрастания эти точки включаем.

1 2 3 4 5 6 7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

-5

Ответ:
(–8; –5], [ 0; 3], [ 6; 8)

-8

f(x)

f/(x)

Пример

y = f /(x)

-1
-2
-3
-4
-5

Найдите промежутки возрастания функции у =f (x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

В точках –5, 0, 3 и 6
функция непрерывна, поэтому при записи промежутков возрастания эти точки включаем.

1 2 3 4 5 6 7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

-5

Сложим целые числа:
-7, -6, -5, 0, 1, 2, 3, 6, 7

-8

(–8; –5], [ 0; 3], [ 6; 8)

Ответ: 1

f(x)

f/(x)

Пример

y = f /(x)

-1
-2
-3
-4
-5

Найдите промежутки убывания функции у =f (x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

1 2 3 4 5 6 7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

-5

Ответ: 5.

-8

f(x)

f/(x)

Пример

y = f /(x)

-1
-2
-3
-4
-5

В какой точке отрезка [– 4; –1] функции у =f (x) принимает наибольшее значение?

1 2 3 4 5 6 7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

-5

Ответ: – 4.

-8

На отрезке [– 4; –1] функция у =f (x) убывает, значит, наибольшее значение на данном отрезке функция будет принимать в точке – 4.

f(x)

f/(x)

Пример

y = f /(x)

-1
-2
-3
-4
-5

В какой точке отрезка [– 4; –1] функции у =f (x) принимает наименьшее значение?

1 2 3 4 5 6 7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

-5

Ответ: – 1.

-8

На отрезке [– 4; –1] функция у =f (x) убывает, значит, наименьшее значение на данном отрезке функция будет принимать в конце отрезка точке х= – 1.

Математический портрет

№2. На рисунке изображен график функции y = f (x), и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение
производной функции y = f (x) в точке х0.

Значение производной функции f(x) в точке х0 равно tga — угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику этой функции в данной точке. Чтобы найти угловой коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на касательной, абсциссы и ординаты которых — целые числа. Теперь определим модуль углового коэффициента. Для этого построим ∆ABC. Важно помнить, что тангенс острого угла прямоугольного треугольника — это отношение противолежащего катета к прилежащему.
Знак производной (углового коэффициента) можно определить по рисунку, например, так: если касательная «смотрит вверх» то производная положительна, если касательная «смотрит вниз» - отрицательна (если касательная горизонтальна, то производная равна нулю).

Решение.

Ответ: 3.

Теоретические сведения.

№3. На рисунке изображен график функции y = f (x), и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение
производной функции y = f (x) в точке х0.

Решение.

Ответ: - 0,75 .

Ответ: - 3 .

№4. На рисунке изображен график функции y = f (x), касательная к этому графику, проведенная в точке 4, проходит через начало координат. Найдите f'(4).

Решение.
Если касательная проходит через начало координат, то можно изобразить ее на рисунке, проведя прямую через начало координат и точку касания. В качестве точек с целочисленными координатами, лежащих на касательной, можно взять начало координат и точку касания. Дальнейшее решение очевидно:

Ответ: 1,5.

№5. На рисунке изображен график функции y = f (x), определенной на интервале (—8; 5). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Решение.

, если

возрастает.

Целые решения при : х=-7; х=-6; х=-5; х=-4; х=2; х=3.
Их количество равно 6.

Ответ: 6.

№6. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-11; 3). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = 2x -5 или совпадает с ней.

Если касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = 2x-5 или совпадает с ней, то ее угловой коэффициент равен 2, а значит нам нужно найти количество точек, в которых производная функции f(x) равна 2.
Для этого на графике производной проведем горизонтальную черту, соответствующую значению y = 2, и посчитаем количество точек графика производной, лежащих на этой линии. В нашем случае таких точек 5.

Решение.

y = 2

Ответ: 5 .

Производная функции в точке х0 равна 0 тогда и только тогда, когда касательная к графику функции, проведенная в точке с абсциссой х0, горизонтальна. Отсюда следует простой способ решения задачи — приложить линейку или край листа бумаги к рисунку сверху горизонтально и, двигая «вниз», сосчитать количество точек с горизонтальной касательной.

№7. На рисунке изображен график функции y = f (x),
определенной на интервале (-6; 8). Найдите количество точек, в
которых производная функции y = f (x) равна 0.

Теоретические сведения.

Решение.

если касательная, проведенная в эту точку имеет вид у = const.

Считаем количество точек пересечения графика функции с касательной.

Ответ: 7.

На рисунке изображен график функции y = f (x), касательная к этому графику, проведенная в точке х0, проходит через начало координат. Найдите f'(х0).

х0= - 4

х0= 4

Решите самостоятельно!

Ответ: 2.

Ответ: 2.

Ответ: 0,5.

Ответ: 3

В-19; 22

В-24

В-29

В-26

На рисунке изображен график функции y = f (x),
определенной на интервале (-8; 3). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Решим эту задачу, воспользовавшись следующим утверждением. Производная непрерывно дифференцируемой функции на промежутке убывания (возрастания) не положительна (не отрицательна). Значит необходимо выделить промежутки убывания функции и сосчитать количество целых чисел, принадлежащих этим промежуткам. Причем производная равна нулю на концах этих промежутков, значит, нужно брать только внутренние точки промежутков.

Решение.

, если

убывает.

Целые решения:
х=-7; х=-6; х=-2; х=-1.
Их количество равно 4.

Ответ: 4.

Теоретические сведения.

На рисунке изображен график функции y = f (x),
определенной на интервале (a;b). Определите количество целых
точек, в которых производная функции положительна.

Решите самостоятельно!

Решение.

, если

возрастает.

Целые решения при :
х=-2; х=-1; х=5; х=6.
Их количество равно 4.

Целые решения при :
х=2; х=3; х=4; х=10; х=11.
Их количество равно 5.

Ответ: 4.

Ответ: 5.

На рисунке изображен график функции y = f (x),
определенной на интервале (a;b). Определите количество целых
точек, в которых производная функции отрицательна.

Решите самостоятельно!

Решение.

, если

убывает.

Целые решения при :
х=2; х=7; х=8.
Их количество равно 3.

Целые решения при :
х=-1; х=0; х=1; х=2; х=9; х=10.
Их количество равно 6.

Ответ: 3.

Ответ: 6.

На рисунке изображен график функции y = f (x), определенной на интервале (-8; 3). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = 8.

Решение. Прямая у = 8 — горизонтальная, значит, если касательная к графику функции ей параллельна, то она тоже горизонтальна. Следовательно, при решении этой задачи можно воспользоваться решением задачи 2, то есть приложить линейку или край листа бумаги горизонтально и, двигая его «вниз», сосчитать количество точек с горизонтальной касательной.

Ответ: 5.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

1. Сделать опорный конспект §49-50
2. Ответить на вопросы:
– Почему признак возрастания (убывания) называется достаточным?
– Почему условие существования экстремума в точке называется необходимым?
3. Объяснить «Штрихи к портрету» ЛЕЙБНИЦА, НЬЮТОНА, ФЕРМА, ЛАГРАНЖА

интегральное
исчисление

Архимед
из Сиракуз
(287г.до н.э.
-212 г. до н.э.

древнегреческий ученый

Ферма Пьер
(1601-1665)

французский математик

Исаак Ньютон
(1643-1727)

английский учёный

Жозеф Луи
Лагранж
(1736-1813)

французский математик и механик

"САМАЯ ТОНКАЯ ОБЛАСТЬ МАТЕМАТИКИ"

дифференциальное
исчисление

Готфрид
Лейбниц
(1646-1716), немецкий философ и математик.

математический анализ

Штрихи к портрету

ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ

Что выяснили?
Что сделали?

Необходимое условие

Достаточное условие

Необходимое и достаточное условие

1. Существует связь между свойствами функции (монотонность, экстремумы) и значениями производной (существование, знакопостоянство, нули).
2. Провели анализ фактов по существующей связи.
3. Провели обобщение наблюдений.
4. Познакомились с математическими «портретами».
5. Познакомились с историзмом проблемы.
6. Наибольшее практическое применение имеет обратная связь.