Рецензия на сборник по математике «Избранные задачи для подготовки к ЕГЭ на профильном уровне»
«Избранные задачи
для подготовки к
ЕГЭ на профильном
уровне»
Рецензия
на сборник по математике
«Избранные задачи для подготовки к ЕГЭ на профильном уровне»,
учителя математики МОУ «Гимназия №5» г. Тырныауза
Третьяковой Ольги Александровны
Автор пособия делится своим опытом и представляет сборник
тренировочных заданий по математике для подготовки к ЕГЭ в 11 классе
на профильном уровне.
Актуальность пособия в том, что успешная сдача ЕГЭ является
важнейшей ступенью в жизни ученика. При правильной подготовке
каждый ученик может показать высокий результат. Для этого необходима
фундаментальная подготовка. При такой организации работы пользы
больше, чем при натаскивании ученика на решения однотипных номеров
из ЕГЭ. Особенно, если подготовка к ЕГЭ начинается задолго до его
проведения. Стандарты могут в любой момент измениться, и только тот
ученик, который был подготовлен к решению широкого спектра
математических задач, сможет не растеряться на реальном ЕГЭ. Задания
сборника могут дать учащемуся хорошую практику в решении уравнений
и неравенств по всем разделам школьного курса, а также решения задач
планиметрии и стереометрии. Для этой цели приводятся конкурсные
задания прошлых лет со вступительных экзаменов и олимпиад в
различные ВУЗы. Все предлагаемые задачи даны с решениями. Кроме
того имеется раздел заданий для самостоятельного решения. Пособие
имеет практическое значение и служит помощью в подготовке к экзамену.
Рецензент:
методист кафедры
естественного-математического образования
ИПКиПРО КБГУ
Иштрекова С.Х. ____________________
Оглавление
Оглавление ........................................................................................................ 0
Раздел I. Тригонометрические уравнения и их решение. ......................... 3
Раздел II. Логарифмические уравнения и .................................................. 12
неравенства и их решение............................................................................ 12
Раздел III. Показательные уравнения, неравенства, иррациональные
неравенства и их решение. .............................................................. 30
Раздел IV. Задачи по геометрии и их решение. ........................................ 41
Раздел V. Задачи для самостоятельного решения. ................................ 54
Ответы к задачам для самостоятельного решения. ............................. 55
Список литературы ...................................................................................... 56
Раздел I. Тригонометрические уравнения и их решение.
№1. Решите уравнение:
Решение:
;
1)
Пусть
2)
Ответ:
№2 Решите уравнение:
.
Решение:
1. ОДЗ:
2.
Для решения применяем формулу
Пусть
тогда
a)
б)
в)
3. С учетом ОДЗ имеем
Ответ:
y
x
0
/
2
№3 а) Решите уравнение:
;
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
.
Решение:
, имеем:
,
б) 1)
при n=1,
при n=2,
2)
При n=2,
Ответ: а)
б)
№4. Решите уравнение:
Решение:
Приведем
к общему знаменателю sinx:
1)
2)
Ответ:
№5. Решите уравнение:
Решение:
Используем формулу синуса разности двух углов
т.к.
Решаем методом введения вспомогательного угла:
или
,
Ответ:
№6. Решите уравнение:
Решение:
,
Используем формулу косинуса разности двух углов
т.к.
Решаем методом введения вспомогательного угла:
или
Можно и по-другому:
, или
,
.
Ответ:
или
№7. Решите уравнение:
Решение:
Воспользуемся одной из формул разности одноименных функций и формулой синуса двойного
угла.
или 2)
,
Решение 1 и 2 уравнений можно записать как
Решение исходного уравнения:
Ответ:
.
№8. Решите уравнение:
Решение:
,
Пусть , тогда
отсюда
,
Ответ:
№9. Решите уравнение:
Решение:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
Решение уравнения ,
– подмножество решений уравнения ,
поэтому решением заданного уравнения являются:
.
Ответ:
.
№10 а) Решите уравнение:
;
б) Запишите множество решений, принадлежащих отрезку
.
Решение:
,
,
,
Введем замену: пусть , тогда
,
,
,
Возвращаемся к замене:
,
,
,
при n=1:
;
.
Ответ: а)
; б)
.
Раздел II. Логарифмические уравнения и неравенства и их решение.
№1. Решить неравенство:
2
<
2
1
3x
2
.
В ответе указать множество решений, сумму целых значений из этого множества.
Решение:
2
<
2
1
3x
2
1) ОДЗ:
;03
,13
,122
,022
,03
,0107
2
x
x
x
x
x
xx
;3
,13
,13
,
2
1
,1
,3
),;5()2;(
x
x
x
x
x
x
x
.2
,4
,
2
1
,1
),;5()2;(
x
x
x
x
x
Найдем решение системы при помощи числовой прямой
X
);5()2;
2
1
()
2
1
;1(
2)
2
<
2
1
3x
2
2
1
3x
2
=
3x
x3
=
3x
3x
=1
Запишем уравнение в упрощенном виде:
)107
2
x
< 1
)107
2
x
<
X
-1 -
2
1
2 5
а)
;22107
,1220
2
xxx
x
;089
,122
2
xx
x
)
2
1
;1(
);;8()1;(
,
2
1
1
x
x
x
б)
).8;1(
);8;1(
),;
2
1
(
;089
,
2
1
;22107
,122
2
2
x
x
x
xx
x
xxx
x
Объединяя найденные множества решений, учитывая ОДЗ, получаем решение
неравенства
)8;5()2;1()
2
1
;1( x
6+7=13- сумма целых решений
Ответ:
)8;5()2;1()
2
1
;1(
;
сумма целых значений из множества решений 13.
№2. Решите уравнение.
2
-
-
=0.
Решение.
2
-
-
=0
а) ОДЗ:
;01
,04
,04
2
x
x
x
;1
,4
),;2()2;(
x
x
x
x
x
(-
;
-4)
(-4;-2)
(2;
).
б) 2
= 2
=
4x
1x
-1 -
2
1
1 2 5 8
Х
-4 -2 -1 2
=
4x
1x
X=-4 X=-1
Нули подмодульных выражений
а)
);1)(4(4
),4;(
2
xxx
x
;454
),4;(
22
xxx
x
6,1
5
8
),4;(
x
x
нет решений
б)
);1)(4(4
),2;4(
2
xxx
x
;454
),2;4(
22
xxx
x
;052
),2;4(
2
xx
x
;5,2
,0
),2;4(
x
x
x
x=-2,5
в)
);1)(4(4
),;2(
2
xxx
x
;454
),;2(
22
xxx
x
6,1
5
8
),;2(
x
x
нет решений
x=-2,5 – решение исходного уравнения
Ответ: -2,5.
№3. Решите уравнение 2
-
-
=0.
Решение
а) Найдем область допустимых значений x:
;02
,03
,06
2
x
x
x
;2
,3
),;6()6;(
x
x
x
Покажем на числовой оси: x
x
6()6;3()3;(
;
)
б) 2
-
-
=0,
2
= 2
,
=
2x
),
X
2
-6=
23 xx
,
X
2
-6=
)2()3( xx
,
x
X
-4 -2 -1 2
-3 -
6
-2
6
6
X
2
-6=
65
2
xx
Данное уравнение равносильно системе :
;065
,656
065
,656
2
22
2
22
xx
xxx
xx
xxx
);2;3(
052
);;2[]3;(
,125
2
x
xx
x
x
);2;3(
,5,2
,0
);;2[]3;;(
,4,2
x
x
x
x
x
,5,2x
неткорней
ОДЗx 5,2
.
Ответ: -2,5.
№4. Решите уравнение
.
Решение:
1) Найдем область допустимых значений:
;
3
1
,0
,13
,03
,192
,092
2
2
x
x
x
x
x
x
;
3
1
,0
,5
),;
2
3
()
2
3
;(
x
x
x
x
;5
),;
2
3
(
x
x
).;5()5;
2
3
( х
2) Решим, используя свойства логарифмов и формулу перехода к логарифму с другим
основанием:
= log
3x
7 +
3loglog
1
33
x
= log
3x
7 +
x3log
1
3
= log
3x
21
2x
2
-9=3x
2x
2
-3x-9=0
D=9+72=81
х
1
=3
ОДЗ
х
2
= -1,5- не удовлетворяет ОДЗ
Ответ: 3.
№5. При каких значениях х соответственные значения функций
log
2
x и
g(x)= log
2
(3-x) будут отличаться меньше, чем на 1?
Решение:
,1)()( xgxf
;1)3(loglog
22
xx
Используя определение и свойства логарифмов имеем систему неравенств
.1
3
log
,3
,0
2
x
x
x
х
1)
,1
3
log
2
x
x
-1 < log
2
х
х
3
< 1,
log
2
2
1
< log
2
х
х
3
< log
2
2,
2
1
<
х
х
3
< 2,
;
2
1
3
,2
3
x
x
х
х
;0
)3(2
63
,0
3
63
x
x
x
x
);3;1(
),;3()2;(
x
x
x
(1;2)
2) C учетом ОДЗ получаем систему уравнений
21
3
0
x
x
x
1<x<2.
Ответ: (1;2).
№6. Решить уравнение
xx
2
1
2
1
log32log1
.
Решение
Находим ОДЗ уравнения: х>0. Введем обозначение
tx
2
1
log
, тогда уравнение примет вид
tt 321
или
321 tt
(в силу свойства
aa
). Рассмотрим три случая:
t
3, тогда по определению абсолютной величины имеем
33 tt
и
.11 tt
Подставляя в уравнение, получим t-1+2=t-3
1=-3 , что невозможно. Следовательно,
решений нет.
1
t<3, тогда
tt 33
и
11 tt
, уравнение примет вид t-1+2=3-t
2t=2
t=1
211log
21
xx
t<1
tttt 11,33
и 1-t+2=3-t
33
, т.е. уравнение верно при всех t<1 ,
откуда
211log
21
xx
и имеем бесчисленно множество решений.
Объединив второй и третий случаи, получим ответ
.
Ответ:
.
№7. Решить уравнение
хх
х
5
1
4
1
2
20
1
log1
1
5log
1
)32(log
1
.
Решение:
хх
х
5
1
4
1
2
20
1
log1
1
5log
1
)32(log
1
1)Найдем область допустимых значений х:
;1log
,0
,15
,05
,0)32(log
,032
5
1
2
20
1
2
x
x
x
x
x
х
;5
1
;0
;132
);
2
3
()
2
3
;(
2
x
x
x
x
;
5
1
,0
,2
);
2
3
()
2
3
;(
x
x
x
x
.
5
1
,2
),;
2
3
(
x
x
x
Сравним
2
3
и
5
1
:
5
1
2
3
0
25
235
5
1
2
3
Следовательно, областью допустимых значений x является :
x
(
);2()2;
2
3
2)выполним преобразование, используя свойства логарифмов
x
x
x
5
1
5
1
5
32
log
5
1
log
1
4
1
log
20
1
log
2
x
x
x
5
1
5
1
5
32
log5log
1
4
1
log
20
1
log
2
x
x
x
5log
1
4
1
log
20
1
log
5
1
5
32
2
5
1
log
4
1
log
20
1
log
55
32
2
xx
x
20
1
log
20
1
log
5
32
2
x
x
ОДЗx
ОДЗx
D
xx
xx
2
1
3
49
0352
532
2
1
2
2
Ответ: 3.
№8. Решить уравнение
01)106(log)3(log
2
1
2
2
xx
.
Решение:
01)106(log)3(log
2
1
2
2
xx
1)Найдем область допустимых значений
0106
03
2
x
x
);
3
2
1(
);3()3;(
x
x
);3( x
Сравним
3
2
1
и
:3
3
2
1
=
=
9
7
2
9
25
;
3
9
7
2
3
3
2
1
.
ОДЗx
ОДЗx
D
xx
xx
xx
xx
1
2
1
023
533
1062)3(
02log)106(log)3(log)2
2
1
2
2
2
22
2
2
Ответ: 2.
№9. Решите уравнение
.
Решение:
ОДЗ:
0
Решаем уравнение , применяя свойства логарифмов.
12
-3= 0;
=
;
Ответ:
.
№10. Решите уравнение
) .
Решение:
) .
ОДЗ:
x (0;1)(1;
Решаем уравнение, применяя свойства логарифмов.
=4
+ 2
= 2 + 1 - 2
,
= 3 - 2
равносильно системе
ОДЗ,
Ответ:
№ 11 Решите уравнение
Решение: x-5>0 x>5 x>5
1) ОДЗ
7x
>0 x>-7 x>-7 x>5
lg
7x
-lg2 ≠0
7x
≠ 2 x≠-3
2)lg8-lg(x-5)=lg
7x
-lg2
lg8+lg2=lg
7x
+ lg(x-5)
lg(8·2)=lg(
7x
(x-5))
16=
7x
(x-5)
((x-5)
7x
=16
x>5
Можно методом подбора :
Пусть x=9, тогда
(9-5)
79
=16 –верное
Поэтому x=9.
Ответ 9.
№12. Решить уравнение log
2
x+ log
xx
8
=3-log
2/1
x
.
Решение:
log
2
x+ log
xx
8
=3-log
2/1
x
ОДЗ: x>0 x
(0;1)
(1;
)
x≠1
Применяя формулу log
a
b=
a
b
c
c
log
log
рассмотрим:
1)log
2
x+
2log
log
2
2
x
=
2/1
log
2
x
=2log
2
x;
2)log
xx
8=
xx
2
2
log
8log
=
2/3
2
log
3
x
=
x
2
log2/3
3
=
x
2
log
2
;
3)log
2/1
x
=
2/1log
log
2
2
x
=
2/1
log
2/1
2
x
=-2*1/2log
2
x=-log
2
x.
Решим уравнение
2log
2
x+
x
2
log
2
=3+log
2
x.
2 log
2
x-log
2
x+
x
2
log
2
=3
log
2
x+
x
2
log
2
=3
log
2
2
x+2=3log
2
x
log
2
2
x-3log
2
x+2=0
Пусть log
2
x=y, тогда
y
2
-3y+2=0
Д=9-8=1
y
1
=
2
13
=2; y
2
=
2
13
=1, отсюда
log
2
x=2 и log
2
x=1
x=4
ОДЗ
x=2
ОДЗ
Ответ: 2;4.
№ 13. Решите неравенство
0
)1(log
4
2
2/1
2
x
x
.
Решение:
0
)1(log
4
2
2/1
2
x
x
0
)1(log
)2(*)2(
2
2/1
x
xx
Решим методом интервалов.
1) (x-2)*(x+2)=0
x=2 или x=-2
2) log
2/1
(x
2
-1)≠0
a) ОДЗ x
2
-1>0
(x-1)(x+1)>0
-1 1
x
);1()1;(
b) x
2
-1≠1
x
2
≠2
x≠±
2
3)
-2 -
2
-1 1
2
2
x
);;2()2;1()1;2()2;(
Ответ: x
);;2()2;1()1;2()2;(
- + - - + -
-
№14. Решите неравенство 5log
8
(x
2
-15x+56)
6+log
8
8
)7(
5
x
x
.
Решение:
5log
8
(x
2
-15x+56)
6+log
8
8
)7(
5
x
x
Разложим на множители квадратный трехчлен x
2
-15x+56:
X
2
-15X+56=0
D=(-15)
2
-4
56=225-224=1
X
1
=
8
2
115
;
X
2
=7;
X
2
-15X+56=(X-8)(X-7)
5log
8
(x-8)(x-7)
6+log
8
8
)7(
5
x
x
1)ОДЗ:
(x-8)(x-7)>0
;(x
7) (8;
)
.
2)log
8
(x-8)
5
(x-7)
5
- log
8
8
)7(
5
x
x
6
log
8
6
8
)7(
)7()8(
5
55
x
x
xx
log
8
6
)7(
)8()7()8(
5
55
x
xxx
log
8
(x-8)
6
6
log
8
(x-8)
6
log
8
8
6
I способ
log
8
(x-8)
6
log
8
8
6
8log68log6
88
x
т.к. функция y=log
8
u - возрастает, то
88 x
;
-8
88 x
0
16 x
II способ
log
8
(x-8)
6
log
8
8
6
3log
8
(x-8)
2
3log
8
8
2
(x-8)
2
8
2
(x-8)
2
-8
2
0
x
16;0
3.C учетом ОДЗ
x
[0;7)U(8;16]- решение неравенства
Ответ: x
[0;7)U(8;16].
№15.Решите неравенства 9log
12
(x
2
-3x-4)
10+log
12
4
)1(
9
x
x
.
Решение:
9log
12
(x
2
-3x-4)
10+log
12
4
)1(
9
x
x
Разложим на множители выражение x
2
-3x-4.
x
2
-3x-4=0
x
1
=4
x
2
=-1
x
2
-3x-4=(x-4)(x+1)
9log
12
(x-4)(x+1)
10+log
12
4
)1(
9
x
x
1)ОДЗ:
0 7 8 16
);4()1;(0)1)(4(
0
4
)1(
0)1)(4(
9
xxx
x
x
xx
;
2)log
12
(x-4)
9
(x+1)
9
log10
9
4
)1(
9
x
x
log
12
10
)1(
)4()1()4(
9
99
x
xxx
log
12
(x-4)
10
10
l способ
log
12
lx-4l
10
10
10log
12
lx-4l
10
log
12
lx-4l
1
log
12
lx-4l
log
12
12
Функция y=log
12
u-возрастает,
lx-4l
12
-12
x-4
12
-8
x
16
II способ
log
12
(x-4)
10
10
log
12
(x-4)
2
2
log
12
(x-4)
2
log
12
12
2
(x-4)
2
12
2
X
2
-8x+16-144
0
X
2
-8x-128
0
X
1
=-8
X
2
=16
];16;8[x
3)C учетом ОДЗ:
-8 -1 4 16
x
[-8;-1)U(4;16].
Ответ: [-8;-1)U(4;16].
№16. Решите неравенство 7log
12
(x
2
-13x+42)
8+log
12
6
)7(
7
x
x
.
Решение:
7log
12
(x
2
-13x+42)
8+log
12
6
)7(
7
x
x
Разложим на множители выражение x
2
-13x+42.
x
2
-13x+42=0
x
1
=7 x
2
=6
x
2
-13x-42=(x-7)(x-6)
7log
12
(x-7)(x-6)
8+log
12
6
)7(
7
x
x
1)ОДЗ:
x
);7()6;(
.
2)log
12
(x-7)
7
(x-6)
7
-log
12
6
)7(
7
x
x
8
log
12
8
)7(
)6()6()7(
7
77
x
xxx
log
12
(x-6)
8
8
l способ
log
12
(x-6)
8
8
8log
12
lx-6l
8
log
12
lx-6l
log
12
12
Так как функция вида у=log
12
u-возрастает, то
М
lx-6l
12
-12
x-6
12
-6
x
18
II способ
4log
12
(x-6)
2
8
log
12
(x-6)
2
2
log
12
(x-6)
2
log
12
12
2
(x-6)
2
12
2
(x-6)
2
-12
2
0
(x-6-12)(x-6+12)
0
(x-18)(x+6)
0
];18;6[x
3)C учетом ОДЗ:
-6 6 7 18
x
[-6;6)U(7;18].
Ответ: х
[-6;6)U(7;18].
№ 17. Найдите все значения x, при каждом из которых выражения :
принимают равные
значения.
Решение:
1.Из условия задания следует:
10xlog
4
52 x
-2x
2
=2x
2
+5x
2. Решим составленное уравнение:
М
10xlog
4
52 x
-2x
2
=2x
2
+5x
5xlog
4
(2x+5)+2x
2
log
4
(2x+5)=2x
2
+5x
.
Ответ: -0,5; 0.
№18. Решите уравнение log
2x
2
-9
21=
x3log
1
7
+
1log
1
3
x
.
Решение:
1) Найдем область допустимых значений:
;
3
1
,0
,13
,03
,192
,092
2
2
x
x
x
x
x
x
;
3
1
,0
,5
),;
2
3
()
2
3
;(
x
x
x
x
;5
),;
2
3
(
x
x
).;5()5;
2
3
( х
2) Решим, используя свойства логарифмов и формулу перехода к логарифму с другим
основанием:
log
2x
2
-9
21 = log
3x
7 +
3loglog
1
33
x
log
2x
2
-9
21 = log
3x
7 +
x3log
1
3
log
2x
2
-9
21 = log
3x
21
2x
2
-9=3x
2x
2
-3x-9=0
D=9+72=81
х
1
=3
ОДЗ
х
2
= -1,5- не удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 3.
Раздел III. Показательные уравнения, неравенства, иррациональные
неравенства и их решение.
№1. Решить неравенство
02)7323(
1
х
хх
Решение
02)7323(
1
х
хх
Данное неравенство равносильно системе неравенств:
;0
,07323
,02
1
x
х
xx
07
3
2
33
,0
,2
x
x
x
x
1) Решим неравенство
07
3
2
33
х
х
.
Пусть
0,3 tt
х
, но при
,1,0 tх
тогда
3t+
07
2
t
,
,0
273
2
t
tt
решаем методом интервалов
3t
2
-7t+2
0
при t ≥1.
D=49-24=25
t
1
=
;2
6
57
t
2
=
3
1
2;1t
,33
,33
;13
,23
0
2log
3
x
x
x
x
2log02log0
;0
,2log
3
2
3
3
xx
x
x
2) С учетом ОДЗ получаем
22log;0
2log0
,0
,2
3
2
3
2
x
x
x
x
, т.к.
Ответ:
22log;0
3
2
.
1
2
+
–
+
t
0 log
2
3
2 2
x
№2.Решите неравенство:
1
3
142122
х
хх
Решение:
1
3
142122
х
хх
а) Найдем область допустимых значений х:
3
,5,1
,03
,01421
х
х
х
х
,
5,1;3()3;( х
б) Переведем исходное неравенство к стандартному виду
0
3
14215
0
3
3142122
1
3
142122
х
хх
х
ххх
х
хх
.0
3
14215
х
хх
Рассмотрим функцию f(x)=
3
14215
х
хх
.
Используем метод интервалов. Найдем точки в которых числитель и знаменатель дроби обращаются
нуль:
1) 5-х-
01421 х
,
хх 51421
,
21-14х= 25-10х+х
2
,
х
2
+4х+4=0, (х+2)
2
=0,
х=-2
Проверка
;7)2(1421
7)2(5
, значит, х=-2 – корень уравнения
2) х+3=0
х= -3
3) Точки х=-2, х= -3 разбивают область допустимых значений числовой прямой на интервалы
с учетом ОДЗ имеем
0
1
779
34
)4(142145
)4(
f
,
0
5.0
5625.56
5.0
565.7
35.2
)5.2(14215.25
)5.2(
f
,
-3 -2 1,5
– + +
0
3
215
)0(
f
,
2)3;( x
.
Ответ:
2)3;(
.
№3. Решите неравенство: 2
x1
-15
2
3x
<(
2
1
)
18311
2
xx
Решение:
(
1
)
2
1
x
-15
2
3x
<(
2
1
)
18311
2
xx
(
1
)
2
1
x
(1-15
(
2
1
)
4
)<(
)
2
1
18311
2
xx
(
1
)
2
1
x
(1-
16
15
)<(
)
2
1
18311
2
xx
(
41
)
2
1
x
<(
)
2
1
18311
2
xx
Т.к. фукция вида y=(
)
2
1
u
- убывает (0<
)1
2
1
,
То x+3>11-
183
2
xx
,
183
2
xx
>8-x.
Полученное неравенство равносильно совокупности 2-х систем неравенств:
1) Решим первую систему неравенств:
8-x>0
x
2
+3x-18>(8-x)
2
;
8-x<0,
x
2
+3x-18>=0.
2) Решим вторую систему неравенств:
8-x<0, => x>8 => x
);8(
x
2
+3x-18>=0; x
);3[]6;(
;
Решение исходного неравенства найдем из систем:
3) x
]8;
19
6
4(
x
);
19
6
4(
.
x
);8(
Ответ: (4
);
19
6
.
№4. Решите неравенство
xxx
325545225155
Варианты ответа:
]1;)(а
;
);2[]1;)( б
;
];2;1)[в
г)(1;2).
Решение:
xxx
325545225155
,0325545225155
xxx
0)55)(93(
0)55)(93(5
,0)2555)(93(
,0)93(25)93(55
xx
xx
xx
xxx
I способ. Данное неравенство равносильно совокупности 2-х систем
;055
,093
;055
,093
x
x
x
x
1
,2
;1
,2
x
x
x
x
2;1x
II способ. Решим неравенство методом интервалов
Рассмотрим функцию
)55)(93(
xx
у
Найдем нули фукции:
Y(x)=0,при х=2 или х=1
x
]2;1[
.
Ответ: в).
+ - +
1 2
№5. Решите уравнение 4
5
2
xx
-12·2
51
2
xx
+8=0.
Решение:
ОДЗ:
4
5
2
xx
-12·2
51
2
xx
+8=0,
4
5
2
xx
-12·2
51
2
2·
xx
+8=0,
(2
5
2
xx
)
2
- 6
5
2
2·
xx
+8=0.
Пусть 2
5
2
xx
=t ,тогда
t
2
-6t+8=0
8)
2
6
(
4
2
Д
1
t
1
=3+1=4 t
2
=3-1=2
Возвращаемся к замене:
2
5
2
xx
=4 или 2
5
2
xx
=2
x-
5
2
x
=2
2
x-
5
2
x
=1
x-
5
2
x
=2 x-1=
5
2
x
x-2=
5
2
x
(x-1)
2
=(
5
2
x
)
2
x
2
- 4x + 4=x
2
-5 x
2
- 2x +1=x
2
-5
x
2
- 4x - x
2
=-5-4 x
2
- 2x - x
2
=-5-1
-4x=-9 -2x=-6
x=
4
1
2
4
9
ОДЗ x=3 ОДЗ
так как
.
Ответ:
3;
4
1
2
.
№6. Решите уравнение:
02722
124322
22
хххх
.
Решение:
0227222
2143
)1(2
2
2
ххх
х
,
0227)2(2)2(
2122321
22
хххх
,
Пусть а=
1
2
2
х
, b=
х2
2
, a>0, b>0, тогда
a
2
-8b
2
+7ab=0
078
2
2
2
2
b
а
b
b
b
а
078
2
2
b
а
b
а
Пусть
b
= t, где t>0, тогда
t
2
+7t-8=0
D=b
2
-4ac
D=49+32=81>0
t
1
= 1, t
2
=-8<0
отсюда
b
а
=1,
.
,
х
1
=-1+
2
, х
2
=-1-
2
.
Ответ: -1±
2
.
№7. Решить неравенство
xх
х
23
38
2
>1+
х
)
3
2
(
.
Решение:
чх
х
23
38
2
>1+
х
)
3
2
(
;
)
3
2
1(3
338
2
х
х
х
х
>
х
)
3
2
(1
;
))
3
2
(1(9
8
х
>
х
)
3
2
(1
;
Пусть t=
х
)
3
2
(
, тогда
)1(9
8
t
>1+t;
t
t
1
)1(9
8
>0;
)1(9
9)1()1(98
t
ttt
>0;
)1(9
99998
2
t
ttt
>0;
)1(9
19
2
t
t
>0;
)1(9
)13)(13(
t
tt
>0;
t
tt
1
)13)(13(
>0;
Найдем нули числителя и знаменателя дроби:
1) (3t -1)(3t+1)=0
t=
или t=
;
2) 1-t=0, t=1.
t
(-
;-
3
1
)
)1;
3
1
(
.
+ - + -
3
1
. Возвращаемся к замене
1)
х
)
3
2
(
<
3
1
-неверно.
2)
3
1
<t<1, отсюда
3
1
log
3
2
)
3
2
(
<
x
)
3
2
(
<
0
)
3
2
(
.
Так как функция вида y=
x
)
3
2
(
- убывающая (0 <
3
2
<1), то 0<x<log
3
1
3
2
,
то есть х
(0; log
3
1
3
2
).
Ответ: х
(0; log
3
1
3
2
).
№8. Решите неравенство
.
Решение:
,
,
,
,
Из определения убывающей функции получаем:
,
.
Полученное неравенство равносильно системе неравенств:
.
Воспользуемся методом интервалов
.
Ответ: .
№9. Решите неравенство
27
3
9
хх
х
х
.
Решение:
27
3
9
хх
х
х
27
3
)3)(3(
хх
х
хх
03 х
х
9
273 ххх
0)3)(()3(
33
хх
0х
0х
а) (
0)93)(3(()3 хххх
0)931)(3( ххх
Т.к.
3х
>0, то
083 хх
083)(
2
хх
Пусть
х
= t,
-7 - 2
08t3t
2
08t3t
2
D=9-32<0 – уравнение не имеет корней
08t3t
2
при t
[0,
)
083 хх
при х
[0;9)
(9;
).
Ответ: х
[0;9)
(9;
).
№10. Решите неравенство
2
4
x
x
x
x
+8.
Решение:
2
)2)(2(
x
xx
xx
+8
x≠4
x
0
x
+2
x
x
+8
а)
x
+2-((
x
)
3
+2
3
)
0
(
x
+2)-(
x
+2)(x-2
x
+4)
0
(
x
+2)(1-x+2
x
-4)
0
Т.к
x
+2>0 , то
-x+2
x
-3
0
x-2
x
+3
0
(
x
)
2
-2
x
+3
0
Пусть
x
=t,
t
2
- 2t + 3
0
t
2
- 2t + 3=0
D=4-12<0 – уравнение не имеет корней , поэтому
t
2
- 2t + 3>0 при t
[0,
), а
(
x
)
2
-2
x
+3
0
x
;0
но с учетом ОДЗ
x
);4()4;0[
Ответ: x
);4()4;0[
.
O
Раздел IV. Задачи по геометрии и их решение.
Задача №1
В единичном кубе ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
найдите расстояние от точки D до
плоскости (CAD
1
).
Дано: Решение:
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
– куб
BC=1
Определить:
(D, (CAD
1
))
(D; (CAD
1
)) = DK (DK
OD
1
)
I способ. Работаем по формуле h=
c
ab
, т.к.
OD
1
D – прямоугольный
D
1
D=1; OD =
2
2
; OD
1
=
2
2
2
2
1
=
2
6
из
ODD
1
- прямоугольного
KD =
1
1
*
OD
DDOD
, KD =
2
6
2
2
*1
=
3
1
=
3
3
II способ. 1)
ODD
1
– прямоугольный
sin
D
1
OD =
1
1
OD
DD
; DD
1
= 1; OD=
2
1
BD=
2
2
;
OD
1
=
2
2
2
1
=
2
1
1
=
2
3
=
2
3
B
1
B
C
D
A
A
1
D
1
C
1
K
sin D
1
OD= 1 :
2
3
=
3
2
2)
OKD
- прямоугольный
KD=OD sin KOD
KD=
2
2
*
3
2
=
3
1
=
3
3
Ответ :
3
3
Задача №2
В единичном кубе ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
найдите расстояние между прямыми AD и CA
1
.
Дано: Решение:
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
- куб B
1
C
1
AB=1. A
1
D
1
Определить:
(AD,CA
1
) O
B h C
A D
1)AD и CA
1
-скрещивающиеся прямые. За расстояние между скрещивающимися прямыми
принимают расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью , проходящей
через другую прямую, параллельно первой . Но (A
1
AC) не параллельна AD. В этом случае
расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние от точки одной прямой до
другой, т.е. это длина перпендикуляра от точки одной прямой до другой. За данную точку удобно
взять точку пересечения диагоналей плоскости A
1
AC, т.е. точку О, О- точка пересечения всех
диагоналей куба (проведем B
1
D).
2)
(AD; A
1
C)=
(O; AD)= OK, т.к. OK
AD.
AOD- равнобедренный, OK-высота, медиана и биссектриса
AOD.
OK=
,
22
AKAO
AO=
1
2
1
AC
, AC
1
=A
1
C=B
1
D=
3
, AO=
2
3
,
AK=
2
1
; OK=
22
)
2
1
()
2
3
(
=
2
1
=
2
2
;
AAD;(
1
C)=
2
2
.
Ответ:
2
2
.
Задача №3
В правильной треугольной призме ABCA
1
B
1
C
1
, стороны основания которой равны 2, а
боковые ребра 3, найдите расстояние между прямыми AA
1
и BC
1
.
Дано: Решение:
ABCA
1
B
1
C
1
- правильная
треугольная призма А
1
С
1
AB=2, AA
1
=3; 3 В
1
Определить:
(AA
1
;BC
1
)
А С
1)AA
1
, BC
1
- скрещивающиеся прямые. За расстояние между скрещивающимися прямыми
принимают расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей
через другую прямую, параллельно первой.
AA
1
|| (B
1
BC).
2)
(AA
1
; BC
1
) =
(AA
1
; (BB
1
C
1
))=AK, где AK
(BB
1
C), т.к
а) B
1
B
(ABC)=
BB
AK;
б) AK
BC.
3)AK=
2
3а
, где a=2, т.к.
ABC
-правильный.
AK=
3
, значит,
(AA
1
, BC
1
)=
3
.
Ответ:
3
.
К
2
В
Задача №4
В правильной треугольной призме ABCA
1
B
1
C
1
, все ребра которой равны 1, найдите
косинус угла между прямой АС
1
и плоскостью ВВ
1
С
1
.
Дано: Решение:
АВСА
1
В
1
С
1
-правильная
треугольная призма
АА
1
=1
АС=1
Определить cos (АС
1
;(ВВ
1
С
1
))
1) Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к
ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость
АК
ВС С
1
К – проекции АС
1
на (ВСС
1
)
(АС
1
; (ВСС
1
)) =
(АС
1
; С
1
К) =
АС
1
К.
2) Косинус угла АС1К можно найти по теореме косинусов:
АК
2
=АС
1
2
+С
1
К
2
-2АС
1
*С
1
К cos AC
1
K.
а) АК=
2
3
из правильного
АВС по формуле h=
;
2
3а
б) АС1=
2
из прямоугольного
АСС
1
;
в) С
1
К=
4
1
1
=
2
5
из прямоугольного
С
1
СК.
4
3
=2+
4
5
-2
2
*
2
5
cos AC
1
K;
cos AC
1
K=
4
10
, значит, cos (АС
1
;(ВВ
1
С
1
)))=
4
10
.
Ответ :
4
10
А
1
В
1
С
1
А
В
С
К
1
1
Задача №5
Сторона основания правильной треугольной призмы АВСА
1
В
1
С
1
равна
2
13
, а диагональ боковой грани равна 13. Найдите угол между
плоскостью С
1
АВ и плоскостью основания призмы.
Дано: Решение:
АВСА
1
В
1
С
1
– правильная A
1
C
1
треугольная призма
АВ=2
13
B
1
13
ВС
1
=13 A C
Определить: K 2
13
((С
1
АВ);(АВС)). B
1) Угол между двумя плоскостями С
1
АВ и АВС с их общей границей называют
двугранным углом.
С
1
АВС – двугранный. Градусной мерой двугранного угла
называется градусная мера его линейного угла.
((С
1
АВ);(АВС))=
С
1
КС, т.к. СК
АВ, СК – проекция С
1
К, поэтому С
1
К
АВ.
2)Рассмотрим
С
1
КС – прямоугольный и найдем tg C
1
KC =
КС
СС
1
.
С
1
С=
22
)132(13
=
52169
=
117
=3
13
из прямоугольного
ВС
1
С.
КС=
2
3АВ
; КС=
2
3*13*2
=
3*13
- из правильного
АВС.
tg C
1
KC =
3*13
13*3
=
3
3
=
3
;
С
1
КС = 60
о
((С
1
АВ); (АВС))=60
о
Ответ:60
о
.
Задача №6
Диагонали трапеции СЕКМ (ЕК и СМ – основания) пересекаются в точке О.
Площадь треугольника СОЕ равна 16, СО = 2 ОК. Найдите площадь трапеции.
Дано: Решение:
СЕКМ – трапеция
ЕК, СМ – основания
СК
ЕМ=О E K
S
СОЕ
=16 h
СО=2ОК S=16 O h
1
Определить:
S
трапеции
C M
1)S
СОЕ
=
2
1
CO*h, S
СОЕ
=16, OK=
2
1
CO
2)S
ЕОК
=
2
1
OK*h=
2
1
*
2
1
*CO*h=
4
1
*СО*h=
2
1
*16=8, где h – высота
СОЕ
и
ЕОК
.
3)
ЕОК
подобен
МОС по 2 углам (
ЕОК=
СОМ, как вертикальные,
ОЕК=
ОМС, как накрест лежащие при ЕК ||CM и секущей ЕМ) с коэффициентом
подобия
=
2
1
2
ОК
ОК
СО
ОК
;
ЕОК
МОС
=
2
, поэтому
ЕОК
МОС
=(
2
1
)
2
=
4
1
, следовательно,
МОС
=
4
1
; S
МОС
=32.
S
КОМ
=
2
1
h
1
*OK=
2
1
*h
1
*
2
1
CO=
2
1
S
МОС
=16, т.к. h
1
– высота
МОС
и
КОМ
.
S
трап
=16+8+32+16=72.
.
Задача №7
Основанием прямой призмы АВСDA
1
B
1
C
1
D
1
является прямоугольник ABCD, стороны
которого равны 6
5
и 12
5
. Высота призмы равна 8. Секущая плоскость проходит через
вершину D
1
и середины ребер AD и CD. Найдите косинус угла между плоскостью основания
и плоскостью сечения.
Дано: Решение:
АВСDA
1
B
1
C
1
D
1
-прямая призма
ABCD- прямоугольник
DС=6
5
ВС= 12
5
DD
1
=8
М-середина DА
N-середина DC
(D
1
NM)-секущая
Определить
сos ((ABC),(D
1
NM)).
Заметим, что сos ((ABC),(D
1
NM))= сos D
1
PD= сos
, где D
1
P
NM, DP
NM,
D
1
PD -
линейный угол двугранного
D
1
NMD.
1) DB=AC=
22
)53()56(
=30, NM=15, D
1
P=h, P
DB. NP
PM.
2) а) ND
1
=
22
)53(8
=
109
из
D
1
DN-прямоугольного.
б) MD
1
=
22
)56(8
=
244
из
D
1
DM- прямоугольного.
3)
ND
1
M, NP=x, тогда
109-х
2
=244-(15-х)
2
,
109-х
2
=244-225+30х-х
2
,
х=3, т.е. NP=3.
4) h=D
1
P=
22
3)109(
=10 из
DNP - прямоугольного
5) sin
=
PD
DD
1
1
; sin
=
10
8
= 0.8
6) сos
=
2
sin1
из
D
1
DP ; сos
=0,6
Ответ: сos ((ABC),(D
1
NM)) =0,6.
15
M
D
1
h
p
N
x
A
1
B
1
B
C
1
D
1
A
M
D
C
O
P
N
8
Задача №8
Трапеция ABCD вписана в окружность. Найдите среднюю линию
трапеции, если ее большее основание AD равно 15, синус угла BAC
равен
3
1
, синус угла ABD равен
9
5
.
Дано:
ABCD – трапеция, вписанная Решение:
в окружность,
AD=15,
sin ABD=
9
5
Определить:
Среднюю линию трапеции
1) ABCD - равнобедренная трапеция.
а)
ABN=
DCN по 2 признаку равенства треугольников (AB=CD;
BAC=
BDC, как вписанные, опирающиеся на дугу BC ;
аналогично,
ABD=
ACD). Следовательно, BN=NC, AN=ND.
б)
BCN
DAN, т.к.
BNC=
AND, как вертикальные, и
NC
ND
=
NB
AN
.
2) По теореме синусов:
NCD
ND
sin
=
NDC
NC
sin
;
NC
ND
=
NDC
NCD
sin
sin
;
NC
ND
=
3
1
9
5
;
NC
ND
=
3
5
BN
ND
=
3
5
.
B
C
D
A
K
L
N
3)
AD
BC
=
ND
BN
=
AN
NC
;
AD
BC
=
5
3
, но AD=15 , поэтому
15
BC
=
5
3
; BC=9.
4) Найдем среднюю линию трапеции ABCD.
KL=
2
ADBC
; KL=
2
915
= 12.
Ответ: средняя линия трапеции равна 12.
Задача №9
В правильной 6-угольной призме ABCDEFA
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
, все ребра которой
равны 2, найдите расстояние от точки В до прямой A
1
F
1
.
Решение:
F A
2 E B
F A OJJ
E Н B
D C
1)
(В,А
1
F
1
)=
(BE,A
1
F
1
), где ВЕ||A
1
F
1
,B
BE, т.к. ВЕ||AF, AF||A
1
F
1
.
2) A
1
H
BE, поэтому
(ВЕ,А
1
F
1
)=A
1
H.
3)
A
1
AH – прямоугольный. А
1
Н =
2
2
1
АНАА
, где АН – проекция А
1
Н на
плоскость.
4) а)
АНВ – прямоугольный, sin60
o
=
АВ
АН
;
22
3 АН
; АН =
3
Или
б)
ОАВ – равносторонний. АН (высота) =
2
3а
; АН =
2
32
=
3
.
Значит, А
1
Н =
22
)3(2
=
7
.
Ответ:
7
.
D
C
F
1
A
1
E
1
B
1
C
1
D
1
2
H
О
Задача №10
В правильной 6-угольной призме ABCDEFA
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
, стороны основания
которой равны 3, а боковые ребра 4, найдите расстояние от точки С до прямой
E
1
D
1
.
Решение: E
1
D
1
F
1
C
1
A
1
B
1
4
E D
F H C
За расстояние от С до E
1
D
1
берем расстояние между Е
1
D
1
и FC,
(E
1
D
1
;FC) = D
1
H, где
D
1
H
FC.
Задача №11
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
, стороны основания которой
равны 4, а боковые ребра равны 3, найдите расстояние от точки С до прямой А
1
В
1
.
Решение:
1) Расстояние от точки до прямой есть расстояние между двумя параллельными прямыми, на
одной из которых лежит точка.
(А
1
В
1
|| AB, AB || FC)
A
1
B
1
|| FC.
(C; A
1
B
1
)=
(FC; A
1
B
1
)= B
1
H, где В
1
Н
А
1
В
1
.
А
3
В
E
D
F
C
B
A
H
B
1
B
F
1
E
1
F
E
A
1
D
1
C
1
C
D
A
2)
В
1
НВ – прямоугольный. В
1
Н=
22
1
ВНВВ
, ВН из
ВНС – прямоугольного (ВН –
проекция В
1
Н).
60
0
sin 60
0
=
ВС
НВ
;
2
3
=
4
НВ
; НВ=2
3
. В
1
Н=
2
2
)32(3
=
129
=
21
.
Ответ:
21
.
Задача №12
В правильной четырехугольной пирамиде MABCD с вершиной М, стороны основания
равны 6, а боковые ребра равны 5. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью,
проходящей через точку А и середину ребра МС, параллельно прямой BD.
Дано: Решение:
MABCD-правильная пирамида.
DC=6; МС=5.
К-середина МС
Определить:
S
сеч
, проходящего через А и К,
параллельно BD.
1)S
сеч
=
2
1
RK*LN+
2
1
AR*LN=
2
1
LN( RK+AR) =
2
1
LN*AK;
2)
AMC; OM, AK-медианы. AK=AR+RK; RK=
2
1
AR, из
AOR – прямоугольного. AR=
22
ORAO
, AO=
2
1
AC; OR=
3
1
OM; AC=
22
66
=6
2
; AO=3
2
OM=
22
OCMC
; OM=
71825)23(5
22
; OR=
3
7
7
3
1
H
B
C
D
E
A
F
H
R
N
o
L
K
M
C
B
A
D
AR=
22
)
3
7
()23(
=
3
13
3
79*18
9
7
18
RK=
;
6
13
3
13
*
2
1
AK=
2
13
6
39
6
13
3
13
;
3)
LNM подобен
BDM по двум углам; K=
3
2
(MO – медиана, AK–медиана из
AMC,
3
2
MO
MK
)
LN=
3
2
BD, т.е. LN=
3
2
*
2426
;
4) S
сеч
=
21324*
2
13
*
2
1
;
Ответ: S
сеч
= 13
2
.
Задача №13
В правильной четырехугольной пирамиде MABCD с вершиной М стороны основания равны
3, а боковые ребра 8. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью проходящей через
точку В и середину ребра MD, параллельно прямой AC.
Дано: Решение
MABCD-правильная пирамида.
ВС=3; MD=8
P-середина MD
Секущая плоскость
параллельна ФС
Определить: S
сеч
1)Сечение правильной пирамиды – KPSB, где KB=B S из равенства треугольников CKB и ASB,
аналогично, KP=PS. PM- высота (медиана)равнобедренного треугольника
KPS, BM-
высота(медиана)
KBS, т.е. PM
KS и BM
KS.
S
сеч
=
2
1
KS*PM+
2
1
KS*BM=
2
1
KS*PB;
2) KS||AC по условию; B
DMB MO-медиана, BP-медиана, т.е. NO=
MOMNMO
3
2
,
3
1
;
D
N
P
M
K
S
A
B
O
C
KMS подобен
CMA c K=
3
2
KS=
3
2
AC; AC=
2333
22
; KS=
2223*
3
2
;
3) MO=
6
238
;
2
238
2
18256
4
2*9
64)
2
23
(648
222
NOOB
;
OB=
2
23
2
1
2
1
ACBD
;
4) NB=
;
22
ONOB
NB=
;
3
10
6
20
6
400
6
238162
36
238
4
2*9
)
6
238
()
2
23
(
22
PN=
ктPNNB .,
3
5
6
10
;
2
1
BP-медиана
DMB; PB=
5
3
5
3
10
;
5)S
сеч
=
255*22*
2
1
Ответ:
25
.
Раздел V. Задачи для самостоятельного решения.
1) Тригонометрические уравнения.
Решите уравнение:
1.
2.
2) Логарифмические уравнения.
Решите уравнение:
1.
;
2.
;
3.
4.
;
5. Найдите все значения х, при каждом из которых выражения
и
x
принимают равные значения.
3) Показательные неравенства.
Решите неравенство:
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
4) Геометрические задачи.
1. Основание прямой призмы
– треугольник , в котором
Высота призмы равна 17. Найдите тангенс угла между плоскостью
основания призмы и плоскостью
2. Высота ромба равна
, косинус угла А равен
, высота пересекает
диагональ в точке M. Найдите длину отрезка .
3. Основание прямой треугольной призмы
- правильный треугольник
, сторона которого равна
. На ребре
отмечена точка так, что
. Найдите тангенс угла между плоскостями и , если
расстояние между прямыми и
равно 16.
4. В правильной четырехугольной пирамиде с вершиной M стороны
основания равны 4, а боковые ребра равны 8. Найдите площадь сечения пирамиды
плоскостью, проходящей через точку B и середину ребра MD параллельно прямой
AC.
5. В правильной четырехугольной пирамиде с вершиной M стороны
основания равны 15, а боковые ребра равны 16. Найдите площадь сечения
пирамиды плоскостью, проходящей через точку D и середину ребра MB
параллельно прямой AC.
6. В правильной четырехугольной пирамиде с вершиной M стороны
основания равны
, а боковые ребра равны 12. Найдите площадь сечения
пирамиды плоскостью, проходящей через точку C и середину ребра MA
параллельно прямой BD.
7. В кубе
найдите тангенс угла между плоскостями и
.
8. Высота прямоугольной призмы
равна 4. Основание призмы –
треугольник , в которой , , Найдите тангенс угла
между прямой
и плоскостью
.
9. В правильной шестиугольной пирамиде со стороной 2 и боковым ребром
3 точка M делит ребро SD в отношении 1:2 (считая от вершины S). Найдите угол
между прямой BM и плоскостью AEC.
Ответы к задачам для самостоятельного решения.
Задание
Ответ
Задание
Ответ
1.1
1.2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
3.1
3.2
3.3
3.4
4.1
8,5
4.2
3
4.3
4.4
4.5
85
4.6
4.7
4.8
0,3
4.9
Список литературы
1. Заочный курс абитуриента Всероссийская школа математики и физики «Авангард».
2. Л.Д. Лаппо, М.А. Попов. Математика. Экзаменационные тесты, профильный уровень.
Практикум по выполнению типовых тестовых заданий ЕГЭ. М: Издательство «Экзамен»,
2015г.
3. Варианты заданий по математике на вступительных экзаменах в РЭА им. Г. В. Плеханова в
2005г.
4. Методические указания для поступающих в Санкт- Петербургский государственный
институт (технический университет).
5. Математика. 50 типовых вариантов для подготовки к ЕГЭ 2010-2011 уч.г.
6. Типовые тестовые задания 2003, 2008, 2011, 2013 гг.
Математика - еще материалы к урокам:
- Задания к уроку математики
- Как использовать принцип наглядности и интернет – приложения для понимания и запоминания на уроках математики
- Конспект урока "Скорость. Вычисление скорости" 4 класс
- Шаблон анализа контрольной работы по математике
- Открытый урок по математике в 4 классе "Умножение и деление на 7 в пределе 70"
- Методическая разработка урока математики "Переместительное свойство сложения" 1 класс
