Презентация "Простейшие вероятностные задачи" 9 класс (УМК Мордкович А.Г.)

МБОУ «Средняя школа №2 им.Е.В. Камышева» г.Гагарин Смоленской области

• Учитель математики
• Никитина Елена Анатольевна
• Высшая кв. категория

• Простейшие вероятностные
• задачи

• Теория вероятностей

• раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события
• (далее СС), случайные величины, их свойства и операции над ними. (Советский энциклопедический словарь, 1982 год)

Основные понятия

• Познание действительности в естественных науках происходит в результате испытаний (эксперимента, наблюдений, опыта).     
•  Испытанием или опытом называется осуществление какого-нибудь определенного комплекса условий, который может быть воспроизведено сколь угодно большое число раз.      
• Случайным (СС)называется событие, которое может произойти или не произойти в результате некоторого испытания (опыта).     

• Таким образом, событие рассматривается как результат испытания.      
• Пример.
•  Бросание монеты – это испытание.
• Появление орла при бросании – событие.

Основные понятия

• Два или несколько событий называются  равновозможными в данном испытании, если имеются основания считать, что ни одно из этих событий не является более возможным или менее возможным, чем другие.      Пример. При одном  бросании одной и той же игральной кости появление 1, 2, 3, 4, 5 и 6 очков - все это события равновозможные.
•      Два события называются несовместными в данном испытании, если появление одного из  них исключает появление другого, и совместными в противном случае.      
• Пример.  В ящике имеются стандартные и нестандартные детали. Берем  на удачу одну деталь. Появление стандартной детали исключает появление нестандартной детали. Эти события несовместные.          
• События А и В называются противоположными, если всякое наступление события А означает ненаступление события В.    
• Обозначение:
• А -событие А
•     _
• А - событие противоположное событию А (читается «не A»).
•       Пример. Попадание и промах при одном выстреле по цели - события противоположные.

• Наблюдаемые нами события различаются по степени возможности их появления и по характеру их взаимосвязи.
• Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в результате данного испытания.
• Пример. Получение студентом положительной или отрицательной оценки на экзамене есть событие достоверное, если экзамен протекает согласно обычным правилам.
• Событие называется невозможным, если оно не может произойти в результате данного испытания.      
• Пример. Извлечение из урны белого шара, в которой находятся лишь цветные (небелые) шары, есть событие невозможное.

ИТАК…

• Случайное событие (СС)- это событие, которое либо произойдёт, либо нет.
• Каждое случайное событие (СС) иметь свою вероятность произойти (сбыться, реализоваться).
• Испытание – любое действие, которое может привести к одному или нескольким результатам.
• Исход - конечный результат испытания. Значит испытание может иметь один или несколько исходов.
• Благоприятный исход - желаемый исход.

Классическое определение вероятности

• Вероятность
• события

• Р(А) –вероятность события А

• =

• Число благоприятных исходов

• N(A) – число благоприятных
• исходов

• Число всех исходов

• N – число всех исходов

• ПРАВИЛО:
• Вероятность всегда равна
• от 0 до 1.
• НИ БОЛЬШЕ,НИ МЕНЬШЕ!

ЗАДАЧА №1.

• Найти вероятность того, что
• при одном бросании
• игральной кости (кубика)
• выпадет:
• а) три очка,
• б) число очков, кратное трем,
• в) число очков, большее трех,
• г)число очков, не кратное трем.

Решение задачи №1(а): выпадет: а) три очка

• N = 6 - число всех исходов

• Событие А : "Выпадение трех очков"
• Оно одно!
• N(А) = 1

• N = 6 - число всех исходов

• N = 6 - число всех исходов

Решение задачи №1(б): выпадет: б) число очков, кратное трем

• N = 6 - число всех исходов

• N (А) = 2
• Событие А :"Выпадение числа
• очков, кратных трем, т. е 3 или 6"

Решение задачи №1(в): выпадет: в) число очков, большее трех

• N = 6 - число всех исходов

• Событие А : " Выпадение числа
• очков,
• большего трех, т.е 4,5,6 "
• N(А) = 3

Решение задачи №1(а): выпадет: г) не кратное трем

• N = 6 - число всех исходов

• Событие А : " Выпадение чисел,
• не кратных трем,
• т.е 1,2,4,5"
• N (А) = 4

Задача №2

• Найти вероятность того, что при вытаскивании
• одной карты из колоды( 52 карты) эта карта окажется:
• а) дамой пик,
• б) дамой любой масти,
• в) картой пиковой масти,
• г) картой черной масти.

Решение задачи 2: а) дамой пик, б) дамой любой масти

• Всего имеем N = 52 возможных исходов

• Решение задачи а):

• Решение задачи б):

• N(А)=1 очевидно,
• что в колоде
• одна дама пик

• N(А)=4

Решение задачи 2: в) картой пиковой масти, г) картой черной масти

• Всего имеем N = 52 возможных исходов

• Решение задачи в):

• Решение задачи г):

• N(А)=13
• (в колоде ровно по 13 карт
• каждой масти)

• N(А)=26
• (в колоде половина карт черной масти)

Задача № 3

• Найти вероятность того, что при подбрасывании двух костей одновременно суммарное число очков будет равным пяти.

Решение задачи №3:

• ВСЕГО ВОЗМОЖНЫХ ИСХОДОВ
• N = 6 • 6 = 36

Решение задачи №3:

	2	3	4	5	6	7
	3	4	5	6	7	8
	4	5	6	7	8	9
	5	6	7	8	9	10
	6	7	8	9	10	11
	7	8	9	10	11	12

• N(А)= 4
• 5 = 1 + 4
• 5 = 2 + 3
• 5 = 3 + 2
• 5 = 2 + 3

Правило умножения

• N – число всех исходов события А
• М – число всех исходов события В

• N • M - число всех возможных исходов независимо проведенных испытаний А и В

• А и В - независимые испытания

Задача №4 (самостоятельно)

• В случайном эксперименте бросают
• две игральные кости.
• Найдите вероятность того, что сумма
• выпавших очков меньше 6.
• Ответ
• округлите до сотых.

Решение задачи №4:

	2	3	4	5	6	7
	3	4	5	6	7	8
	4	5	6	7	8	9
	5	6	7	8	9	10
	6	7	8	9	10	11
	7	8	9	10	11	12

• N= 36
• N ( А ) = 10

Свойство вероятности противоположных событий

• Напомним:
• События А и В называются противоположными, если всякое наступление события А означает ненаступление события В.     Обозначение:
• А - событие А
•     _
• А - событие противоположное
• событию А (читается «не A»).
• Сумма вероятностей противоположных
• событий равна :
• _
• Р(А) + Р(А) = 1

Задача №5

• В случайном эксперименте бросают
• две игральные кости.
• Найдите вероятность того, что сумма
• выпавших очков больше 6.
• Ответ
• округлите до сотых.

Решение задачи №5

• Событие А : « Выпала сумма большая шести»
• _
• Событие А : « выпала сумма меньшая шести»
• Воспользуемся результатом предыдущей задачи:
• вероятность выпадения суммы меньшей
• шести равна
• Тогда:

Напомним:

• Два события называются  несовместными в данном испытании, если появление одного из  них исключает появление другого, и совместными в противном случае.

• Пример:
• В мешке находятся 15 шаров: 7 белых, 5 красных и
• 3 зеленых. Наугад вынимают один шар.
• А – шар оказался красным,
• В –шар оказался зеленым.
• Очевидно: А и В –несовместны.
• С – шар оказался не белым (т.е красным или зеленым)
• Как связана вероятность события С с вероятностями
• cобытий А и В.

• Очевидно, что:

Правило сложения вероятностей:

• Вероятность суммы двух несовместных событий
• равна сумме вероятностей этих событий:
• Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Задача №6

• На учениях летчик получил задание уничтожить три склада боеприпасов. На борту самолета одна бомба.
• Вероятность попадания в первый склад 0,1,
• Во второй - 0,15,
• в третий – 0,2.
• Любое попадание в результате детонации
• Вызывает взрыв остальных складов.
• Найти вероятность того, что склады будут уничтожены.

Решение задачи №5:

• А –попадание в первый склад Р(А) = 0,1
• В- попадание во второй склад Р(В)= 0,15
• С- попадание в третий склад Р(С) =0,2
• События А, В и С – несовместны.
• D- уничтожение складов
• По правилу сложения вероятностей:
• Р(D)=Р(А)+Р(В)+Р(С)=0,1+0,15+0,2 =0,45

Независимые события -если наступление одного не влияет на наступление другого. Например:

• В одном мешке находятся 10 шариков, из которых
• 3 зеленых, а в другом
• 15 шариков, из которых
• 7 зеленых. Из каждого мешка наугад вытаскивают по одному шарику. Какова вероятность того, что оба шарика окажутся зелеными?

Решение:

• А- из первого мешка вынимают зеленый шарик.
• В- из второго мешка вынимают зеленый шарик.
• События А и В – независимы.
• Для события А благоприятны 3 исхода из 10, т. е

• Для события В благоприятны 7 исходов из 15, т. е

• Событие С- состоит из совместного появления событий А и В.
• Общее число исходов события С равно 10•15.
• Благоприятных исходов 3• 7.
• Значит:

• Правило умножения
• вероятностей

Правило умножения вероятностей:

• Если событие С означает
• совместное наступление двух независимых событий событий А и В, то вероятность вероятность события С равна произведению вероятностей события А на событие В.

Задача №6

• Бросают две игральные кости. Какова вероятность появления на его первой кости четного числа очков, а на второй трех очков?

Решение задачи 6:

• А- появление на первой кости четного числа очков
• В -появление на второй кости трех очков
• С- появление на первой кости четного числа очков, а на второй кости нечетного.
• С состоит в совместном появлении независимых событий А и В.

Самостоятельная работа:

• Вариант 1
• 1. Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того,
• что выпало не более 4 очков?
• 2. Ира дважды бросает игральный кубик. В сумме у неё выпало 9 очков.
• Найдите вероятность того, что при одном из бросков выпало 5 очков.

• Вариант 2
• 1. Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того,
• что выпало менее 4 очков?
• 2.Игорь дважды бросает игральный кубик. В сумме у него выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что при одном из бросков выпало 1 очко.

Проверка:

• Вариант 1
• 1. 0,67
• 2. 0,5

• Вариант2
• 1. 0,5
• 2. 0,4

Ответьте на вопросы:

• Какие события называют несовместными?
• Правило сложения вероятностей.
• Свойство вероятностей противоположных событий.
• Какие события называются независимыми?
• Правило умножения вероятностей.

Домашнее задание:

• Конспект
• № 51.2, 51.6,51.8

Литература:

• А.Г. Мордкович  Алгебра 9 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений – М.: Мнемозина, 2011;
• А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская. Алгебра 9 класс. Задачник для общеобразовательных учреждений – М.: Мнемозина, 2009;
• Л.А. Александрова Алгебра 9 класс: Самостоятельные работы для общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2011;
• Энциклопедия. Я познаю мир. Великие ученые. – М.: ООО «Издательство АСТ», 2003;
• Г. Мордкович А.Г.  Алгебра 7-9  Методическое пособие для учителей. – М.: Мнемозина, 2009;
• http://ru.wikipedia.org/
• http://persons-info.com
• Картинки:
• http://clipartsign.com/upload/2016/04/04/dice-adobe-illustrator-tutorials-for-creating-excellent-vector-clipart.jpg
• http://labs.openviewpartners.com/wp-content/uploads/files/2012/08/coin_toss.jpg
• https://rentmania.org/images/photos/large/6182-4182_hTFbFcfhDb4.jpg?1463141032
• http://in-print.ru/arc/kartyigra000l.jpg