Презентация "Алгоритмы ускоренных вычислений"

Алгоритмы ускоренных вычислений

«Что математика ...имеет высокую образовательную силу, что она развертывает и упражняет превосходно умственные способности учащихся, в этом не сомневался еще никто из самых заклятых ненавистников ужасной и неприступной науки. Смышленость учеников растет постоянно во время их математических занятий, это так же верно и неизбежно, как то, что мускулы человека крепнут и ловкость его увеличиваются, когда он занимается гимнастическими упражнениями.»

• «Что математика ...имеет высокую образовательную силу, что она развертывает и упражняет превосходно умственные способности учащихся, в этом не сомневался еще никто из самых заклятых ненавистников ужасной и неприступной науки. Смышленость учеников растет постоянно во время их математических занятий, это так же верно и неизбежно, как то, что мускулы человека крепнут и ловкость его увеличиваются, когда он занимается гимнастическими упражнениями.»
• Писарев Д.И.

Введение.

• Сейчас каждому человеку, кем бы он ни был, где бы он ни работал, нужно прочно овладеть основами математики. Это нужно потому, что вся наша жизнь сейчас связана со сложнейшей техникой, с которой нельзя обращаться , а тем более работать без знаний математики.

Тема «Алгоритмы ускоренных вычислений» является актуальной всегда, так как умения быстро и рационально считать способствуют более сознательному усвоению предмета.

• Тема «Алгоритмы ускоренных вычислений» является актуальной всегда, так как умения быстро и рационально считать способствуют более сознательному усвоению предмета.
• Способность рационально и быстро считать развивает у учащихся внимательность, наблюдательность, сообразительность, инициативу, укрепляет волю, повышает дисциплину и интерес к работе.
• Я проанализирую найденные мною алгоритмы быстрого счета, докажу возможность их использования и покажу, что умение их применять полезно для любого человека.

Основополагающий вопрос

Насколько часто мы встречаемся с вычислениями, которые можно выполнить быстро и рационально? Можем ли мы считать знание алгоритмов быстрых вычислений и умение их применять условием развития логического мышления, памяти, внимания?

Аннотация

ЦЕЛЬ: Выяснить, какие алгоритмы быстрых вычислений знают и применяют учащиеся, в том числе, и в нашей школе.

ГИПОТЕЗА: Если ученик умеет считать в уме, знает алгоритмы ускоренных вычислений, то у него лучше развита память, он умеет мыслить логически а также успешен в обучении, причем не только в математике, но и в других образовательных областях.

ЗАДАЧИ:

• проанализировать общие приемы рациональных вычислений,
• показать, как в различных разделах математики можно пользоваться алгоритмами ускоренных вычислений,
• доказать возможность использования отдельных алгоритмов;
• составить задания и провести эксперимент по проверки умений учащихся считать быстро и рационально;
• сравнить результаты опроса с текущей успеваемостью учащихся.

Оглавление.

• I. Введение
• 1. Вступление
• 2. Историческая справка
• II. Теоретическая часть
• 1 Картина Н.П. Богданова - Бельского.
• 2. Алгоритмы ускоренных вычислений.
• III. Исследовательская часть
• Заключение.
• Список использованной литературы.

Историческая справка.

• Изучение истории развития первобытного общества показывает, что распределение пищи, распределение изготовленной одежды и оружия, необходимость учесть свою силу и силу врага поставили первобытного человека-охотника перед необходимостью счета. Устные вычисления развивались раньше письменных. Человек нашел способы ведения счета, был создан предметный счет. Первичными предметами для счета были пальцы рук и ног, камешки, ветки, узелки на шнуре.
• От счета на пальцах человек сделал переход к вычислениям на счетных приборах: счет при помощи зерен, камешков, костей, счет при помощи абака, счет при помощи жетонов.

Первая форма записи чисел была иероглифной.

• Первая форма записи чисел была иероглифной.
• Древние финикияне и евреи для написания чисел пользовались буквами алфавита.
• Римляне, как известно, записывали числа при помощи знаков I, V, X, L, C, D и M.
• Наши предки славяне числа писали при помощи цифр-букв славянской азбуки
• Позднее индусы усовершенствовали способ записи чисел греков и вавилонян, буквы индусов постепенно изменили свою форму и приняли вид наших цифр.

Зачем нужен быстрый устный счет?

• Зачем нужен быстрый устный счет?

Картина Н.П. Богданова – Бельского

• Картина Н.П. Богданова – Бельского
• «Устный счет».

• А какую же задачу дал им учитель? Вот этот пример:
• (10 * 10 + 11*11 + 12*12 + 13*13 +14*14): 365.
• Попробуем решить ее. Десятью десять – сто, это каждый знает. Одиннадцать умножить на одиннадцать – это тоже нетрудно сосчитать: 11 *10 =110,да еще 11, всего 121. Умножая 12 на 12,поступаем так: 12*10=120, да еще 12*2 = 24, а всего будет 144. Действуя аналогично, получится: 13*13 = 169 и 14*14 = 196.
• Числа получились: 100, 121, 144, 169, 196.
• Сложим первые три числа: 100,121, 144. Получим 365. Если сумму первых трех чисел разделить на 365 получится один.
• Теперь сложим остальные два числа: 169 и 196. Получим 365.

приемы устных вычислений

• найти значение выражения: 42+43+44+45+46
• Чтобы сложить несколько последовательных чисел натурального ряда (чисел нечетное количество), надо слагаемое, стоящее посередине (44), умножить на число слагаемых (5):
• 44*5=220
• 365+366+367+368+369=1835
• 2736+27372738+2739+2740=13690

• 22+23+24+25+26+27=
(24+25)*3=147
• 395+396+397+398+399+400+401+402=(398+399)*4=3188
• 2736+2737+2738+2739+2740=
2738*5=13690

Умножить на 11.

• При умножении на 11 можно применить 2 способа вычислений:
• 11=10+1 32*11=32*10+32*1
• При этом цифры множимого как бы раздвигаем и вписываем сумму цифр множимого:
• 32 * 11=352; 54 * 11 = 594; 72 * 11 = 792
• (3+2)=5; (5+4)=9; (7+2)=9

Умножение на 111

• (если сумма чисел множимого меньше 10)
• 25*111
• Находим сумму цифр данного двузначного числа (2+5=7)
• Раздвигаем цифры множимого дважды пишем сумму цифр данного двузначного числа:
• 25*111=2775
• 36*111=3996
• 42*111=4662

Умножение на 111 (если сумма чисел множимого больше 10):

• Умножение на 111 (если сумма чисел множимого больше 10):
• 56 * 111 = 6216
• (5+6=11)
• 6 так и записываем
• Из суммы 11 вписываем только последнюю 1 в десятки
• Затем к 1 дес. + 1 = 2 – число сотен
• Увеличиваем 5 на 1 = 6 - число тысяч
• Пример:
• 47*111=5217
• 76*111=8436
• 69*111=7659
• 95*111=10545
• 97*111=10767
• 88*111=9768

Умножение на 25.

• 36*25=900
• (36*100):4=900
• (36:4)*100=900 25 – ? часть от 100
• Пример:
• 24*25=600
• (24:4)*100=600
• 48*25=1200
• (48:4)*100=1200
• 37*25=925
• (37*100):4=925

Деление на 25:

• Пример:
• 800:25=(800:100)*4=32
• 225:25=(225*4):100=9
• 700:25=(700:100)*4=28
• 425:25=(425*4):100=17

быстрое умножение чисел или возведение чисел в квадрат. Замечания:

• каждое число разбивается на грани по 1–2 цифры (иногда 3) в каждой, и каждая грань читается как отдельное число.
• Для облегчения формулировки многих алгоритмов ускоренных вычислений полезно воспользоваться выражением “к данному числу (а) приписать двумя цифрами (аналогично – тремя и т. д.) другое данное число b”.
• Это выражение означает: “умножить число а на 100 (соответственно – на 1000 и т. д.) и к тому, что получится, прибавить число b”.

Быстрое возведение в квадрат чисел оканчивающихся на 5.

• Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например,95), умножают число его десятков 9) на число десятков, увеличенное на 1 (9+1 = 10), и к полученному числу приписывают 25 (9*10=90. Ответ: 9025). Например:
• 952 = 9025, т. к. 9 * 10. 
 

• Обоснование алгоритма возведения таких чисел в квадрат можно дать с помощью алгебры.
• Число, оканчивающееся цифрой 5, записывается в виде 10n +5,где n – число десятков. Тогда
• (10n+5)2 = (10n )2 +2* 10n * 5 +52 = 100n2 +100n +25 = 100n(n+1)+25

умножение в уме два двузначных числа, близких к 100.

• Если хочешь перемножить два двузначных числа, близких к 100, то поступай так:
• найди недостатки сомножителей до сотни;
• вычти из одного сомножителя недостаток второго до сотни;
• к результату припиши двумя цифрами произведение недостатков сомножителей до сотни.

94*97

• 94*97
6 3
• 94-3=91
• 6*3=18 Ответ:9118

• Пусть нужно перемножить двузначные числа х и у, близкие к 100. Число х мы запишем так: х = 100 – а, где а – недостаток числа х до 100.
• Второй сомножитель у запишем так:
у = 100 – b. Тогда х·у = (100 – а)(100 – b) = (100 – а)· 100 – 100b + ab = (100 – а – b)· 100 + аb = (х – b)· 100 + а·b.
• Итак, в произведении всего х – b сотен и, кроме того, еще а·b единиц. Отсюда и вытекает наш алгоритм.

Как возвести в квадрат число, близкое к 50?

• Пусть нужно возвести в квадрат число х, близкое к 50, но большее 50. Число это запишем так: х = 50+а, где а–избыток числа х над 50.
• Например: 58 = 50 + 8, х = 58, а = 8;
• 63 = 50+ 13, х = 63, а = 13.
• Итак, х = 50 + а, а = х – 50. х2 = (50 + а)2 = 2500 + 100а + 2а = (25 + а)·100 + 2а = (25 + х – 50)·100 + 2а = (х – 25)·100 +2а.

Отсюда следует алгоритм: если хочешь возвести в квадрат число, близкое к 50, но большее 50, то поступай так:

• Отсюда следует алгоритм: если хочешь возвести в квадрат число, близкое к 50, но большее 50, то поступай так:
• вычти из этого числа 25,
• припиши к результату двумя цифрами квадрат избытка данного числа над 50.
• Примеры.
• 1) 582 = 3364.
• Объяснение. 58 – 25 = 33, 82 = 64, 582 = 3364.
• 2) 642 = 4096.
• Объяснение. 64 – 25 = 39, 64 – 50 = 14, 142 = 196,
• 1
• 642 =3996 = 4096

Исследовательская часть.

• Исследовательская часть.

    Правильно решённые примеры: .

• 0,125*0,16*8*5 Решение: (0,125*8)*(0,16*5)=1*0,8=0,8
• 24*11 Решение: (24*10)+24=264
• 39*11 Решение: (39*10)+39=429
• 36*25 Решение: (36*100)/4=900
• 2200/25 Решение: (2200/100)*4=88
• 49+50+51+52+53+54+55 Решение: 52*7 = 364
• 39+40+41+42+43+44+45+46
Решение: (43+42)*8/2=340 8. 94*97 Решение: 94 97 6 3 94-3=91;6*3=18;Ответ: 9118 9. 99*101 Решение: (100-1)*(100+1) = 1002 -1=9999

Выводы:

• Я сравнила результаты опроса с текущей успеваемостью учащихся.
• Я подобрала ряд заданий для проверки умения «считать в уме быстро и правильно».
• Изученный и подобранный мной материал может применяться на уроках математики и во внеклассной работе.

«Счёт является, правда, низкой, но уже идеальной деятельностью человека, и с помощью него столь многое осуществляется в обыденной жизни» … Гёте Информационные ресурсы:

• Алгебра 7 класс Авторы: Макарычев Ю.Н., Мендюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б..
• «Домашняя математика» Ткачёва М.В..
• Энциклопедия для детей «Информатика» Том 22
Авторы: Хлебалина; Леонов.
• «Изучаем математику» Фридман Л.М. Издательство «Просвещение» 1995
• Депман И.Я., Веленикин И.Я., «За страницами учебника по математике» Пособие для учащихся средней школы 5-6 классы, «Просвещение» 1989
• За страничками учебника алгебры Пичурин Л.Ф. Москва «Просвещение» 1990

Спасибо за внимание.