Методы решения уравнений высших степеней
Методы решения уравнений высших степеней
1.Решение уравнений с помощью деления в столбик
2.Возвратные уравнения и к ним сводящиеся
• Возвратные уравнения четной степени
• Возвратные уравнения нечетной степени
3.Уравнения вида
,где
4.Замена переменных по явным признакам
5.В следующих уравнениях используется «идея однородности»
• Пример №1
• Пример №2
• Пример №3
6.Уравнения (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=k, где a+b=c+d
7.В уравнениях вида
и в уравнениях к ним сводящимся
8.В уравнениях вида
9.Выделение полного квадрата
10.Решение уравнений с помощью формулы
11.Уравнения вида
и к ним сводящиеся
12.Решение уравнений относительно коэффициента
13.Метод разложения на простейшие дроби
1) Решение уравнений с помощью деления в столбик
Очевидно х=2-корень уравнения
Очевидно x=3-корень уравнения
(x-4)(x+5)(x-3)(x-2)=0
Ответ:-5;2;3;4
2)Возвратные уравнения и к ним сводящиеся
Уравнение называется возвратным, если в нем коэффициенты
равноудаленные от концов совпадают, т.е.
1)Возвратные уравнения четной степени
2х
4
+9х
3
-х
2
+9х
2
+2=0
т.к х=0-не является корнем уравнения, то разделим обе части уравнения на
х
2
0.
2х
2
+ 9х -1
х
+
х
= 0
2(х
2
+
х
) + 9(х +
х
) – 1 = 0
Введем замену.
Пусть х +
х
=у, х
2
+
х
= y
2
- 2, получим
2y
2
+9y-5=0 y
1
=-5; y
2
=
Вернёмся к замене
х +
х
= -5 или х +
х
=
х
х
=0
х
х
=0
х
1,2 =
корней нет
Ответ:
х
1,2 =
.
2) Возвратные уравнения нечетной степени
Любое возвратное уравнение нечетной степени сводится к квадратному
уравнению четной степени, т.к у любого возвратного уравнения нечетной
степени один из корней всегда равен -1
х
7
+2х
6
-5х
5
-13х
4
-13х
3
-5х
2
+2х+1= 0
Очевидно х=-1 –корень уравнения.
(х+1)(х
6
+х
5
-6х
4
-7х
3
-6х
2
+х+1)=0
х= -1 или х
6
+х
5
-6х
4
-7х
3
-6х
2
+х+1=0
т.к х=0 – не является корнем уравнения, то разделим обе части
уравнения на х
3
0
х
3
+ х
2
- 6х -7 +
х
+
х
+
х
= 0
(х
3
+
х
)+(х
2
+
х
) - 6(х +
х
) -7 = 0
Введем замену.
Пусть х +
х
= y, х
2
+
х
= y
2
- 2, х
3
+
х
= y
3
- 3y,получим
y
3
+ y
2
- 9y – 9 = 0
(у+1)(у-3)(у+3)=0
у= - 1 или у=3 или у= - 3
х +
х
= - 1 х +
х
= 3 х +
х
= -3
х
х
х
х
х
х
корней нет х
1,2 =
х
3,4 =
Ответ: х=-1, х
1,2 =
,
х
3,4 =
.
3) Уравнения вида ах
4
+bх
3
+сх
2
+dх+l =0, где
а
=
решаются как возвратные.
4) Замена переменных по явным признакам
5) В следующих уравнениях используется «идея однородности»
Пример№1
5(
х
х
)
2
- 44(
х
х
)
2
+ 12
х
х
Пусть
х
х
х
х
= V,тогда
5U
2
-44U
2
+12UV=0
1)если V=0,тогда U=0,тогда
х
х
х
х
х
х
решений нет
2) Разделим обе части уравнения наV
2
≠0, получим
5
2
+ 12
- 44 = 0
Решим последнее уравнение, как квадратное относительно
, получим
U= 2V, 5U = - 22V
Вернемся к замене.
х
х
=
х
х
или
х
х
= -
х
х
х
2
+9х+2 = 0 9х
2
+17х+18 = 0 корней нет
х
1,2 =
Ответ :
х
1,2 =
Пример№2
х(
х
х
( х +
х
х
) = 6
х -1
Пусть х
х
х
, х +
х
х
=V, тогда UV=6
Найдем U+V= х
х
х
+ х +
х
х
= 5
Составим систему:
Решая систему подстановкой, получим
х
х
х
х
х
х
х
х
корней нет
или
х
х
х
х
х
х
х
х
х
1
=2; х=1
Ответ: х
1
=2; х=1.
Пример №3
2(х
2
+х+1)
2
– 7(х-1)
2
= 13(х
3
-1)
х=1 – не является корнем уравнения
Разделим обе части уравнения на (х - 1)
2
0, получим
2(
х
х
х
х
Введем замену.
Пусть
х
х
у, тогда
2у
2
-13у -7=0
у
1
= 7; у
2
= -
х
х
7 или
х
х
-
х
2
-6х+8=0 2х
2
+3х+1=0
х
1
= 4; х
2
= 2 х
3
= -1; х
4
= -
Ответ: х
1
= 4; х
2
= 2; х
3
= -1; х
4
= -
6) Уравнения вида (х - а)(х - b)(х - с)(х - d) = к, где а+b = c+d
эффективно решать перемножением (х - а)(х - b) и (х - с)(х - d), затем делать
замену.
7) В уравнениях вида
и в уравнениях к ним сводящимся
в знаменателях обоих дробей необходимо вынести х за скобки и сделать
замену.
х
х
х
+
х
х
х
(1) х
;
х
хх
х
х
хх
х
=
(2)
При переходе (1)
областьопределенияуравнениясузиласьнах
Проверимявляетсялих корнемуравненияНеявляется
х
х
+
х
х
=
Введем замену.
Пусть 2 х + 5 +
х
= y, 2х+11+
х
= y+6, тогда
+
у
1
= 9; y
2
= - 3
2х
+5
+
Х
=9
или
2х+11+
Х
=
-3
х
+5+
х
х
+8х+2=0
х
- 4х + 2 = 0 х
2,3
= - 2
х
1
=1
Ответ х
1
=1; х
2,3
=
-
2
8) В уравнениях вида
(
)(
)
=
кх
2
обе части уравнения делятся на
х
(2х
2
-3х+1)(2х
2
+5х+1) = 9х
2
х = 0 – не является корнем уравнения. Разделим на х
2
получим
(2х - 3 +
х
)(2х + 5 +
х
) = 9
Введем замену.
Пусть 2х - 3+
х
= y; 2х + 5 +
х
= y + 8,тогда
у
2
+ 8у – 9 = 0
у
1
= - 9; у
2
=1
2х – 3 +
х
= - 9 или 2х – 3 +
х
=1
х
1,2 =
х
3,4 =
.
8) Выделение полного квадрата
х
2
+
х
х
(х -
х
х
+
х
Введем замену.
Пусть
х
утогда
у
2
+18у – 40 =0
у
1
= 2; у
2
= - 20
Вернемся к замене.
х
или
х
- 20
х
2
-2х-18=0 х
2
+2х+180=0
х
1,2
= -1 корней нет
10) Решение уравнений с помощью формулы (а
2
- b
2
)=(а - b)(a + b)
х
4
+ 4х
3
+3х
2
+2х -1 = 0
х
4
+ 4х
3
+4х
2
-х
2
+2х -1 = 0
(х
2
+2х)
2
– (х-1)
2
=0
(х
2
+ 2х + х - 1)
2
–( х
2
+ 2х - х-1)=0
х
2
+ 3х – 1=0 или х
2
+ х +1=0
х
1,2 =
корней нет
11) Уравнения вида (х - а)
n
+( х - b)
n
= к и к ним сводящиеся
Решаются при помощи замены у = х –
а
(х +3)
4
+ (х+5)
4
=16
Введем замену.
Пусть у=х+4, тогда
(у -1)
4
+(у+1)
4
=16
(у
2
- 2у +1)
2
+(у
2
+2у+1)
2
=16
у
4
+4у
2
+1-4у
3
+2у
2
-4у +у
4
+4у
2
+1+4у
3
+4у+2у
2
=16
у
4
+6у
2
-7=0
у
2
=1 или у
2
= -7 корней нет
у
1
=1; у
2
= -1
Вернемся к замене.
х+4=1 или х + 4= -1
х
1
= -3 х
2
= -5
Ответ: х
1
= -3, х
2
= -5
12) Решение уравнений относительно коэффициентов
х
6
-7х
2
+
х
6
-((
2
+1)х
2
+
х
6
- х
2
(
2
- х
2
+
х
2
(
2
-
х
2
- х
6
- = 0
а=х
2
b= -1 с = х
2
-х
6
D=1-4х
2
(х
2
-х
6
)= 1- 4х
4
+4х
8
=(2х
4
- 1)
2
│х
│
х
или
│х
│
х
26х
2
= │х
│ 26х
2
= │х
│
26х
2
= х
26х
2
= х
х
4
+6х
2
- 1= 0 х
4
-6х
2
= 0
х
1
=
; х
2
=
; х = 0 – посторонний корень
корней нет х
1,2
=
х
2
=
х
3,4
Ответ: х
1,2
;
х
3,4
=
13) Метод разложения на простейшие дроби.
х
х
+
х
х
+
х
х
+
х
х
= 4 х
х
х
+
х
х
+
х
х
+
х
х
=4
1+
х
+1 -
х
+1 -
х
+1+
х
=4
х
-
х
-
х
+
х
=0
хх
х
х
–
хх
х
х
= 0
х
х
х
-
х
х
х
= 0
5х
2
+5х-16 = 0
х
1,2
=
Ответ: х
1,2 =
Математика - еще материалы к урокам:
- Презентация "Построение сечений многогранника" 11 класс
- Методическая разработка внеклассного мероприятия "Математика в великих битвах" 7 класс
- Входная контрольная работа по математике 1 класс УМК «Школа России»
- Методическая разработка "Закрепление навыков сложения и вычитания в пределах 10" 1 класс
- Технологическая карта урока "Числа от 1 до 20. Закрепление изученного материала" 1 класс УМК «Школа России»
- Конспект урока по математике "Сложение натуральных чисел. Свойства сложения" 5 класс
