Ученики на Учителя.com


Муниципальный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике 9 класс

Муниципальный этап Всероссийской олимпиады школьников
по математике
9 класс
Максимальный балл - 35
1. Решите задачу (7 баллов)
На медосмотре Змею Горынычу сообщили, что если он будет выкуривать в день по
две пачки сигарет, то жить ему осталось всего 5 лет, если же он будет курить по полпачки в
день, то проживёт вдвое больше. Сколько лет проживёт Змей Горыныч, если бросит курить?
(Считаем, что все годы одинаковой продолжительности, а каждая сигарета сокращает жизнь
на одно и то же время).
2. Решите задачу (7 баллов)
Найдите сумму квадратов корней уравнения
(x
2
– x)
2
– 2008(x
2
– x) + 2010 = 0.
3. Решите задачу (7 баллов)
В равнобочной трапеции боковые стороны имеют длину a, а диагонали длину b.
Найдите произведение длин оснований трапеции.
4. Решите задачу (7 баллов)
Можно ли равносторонний треугольник разрезать на равносторонние треугольники и
раскрасить их в синий, красный и зелёный цвет так, чтобы треугольников всех трёх цветов
было поровну, причём треугольники одинакового цвета были одинакового размера, а
треугольники разного цвета – разного размера?
5. Решите задачу (7 баллов)
Каких треугольников больше – разносторонних, которые можно составить из отрезков
длиной 1, 2, ..., 30, или треугольников (не обязательно разносторонних), длины сторон
которых целые числа, не превосходящие 27?
Примерные варианты решений и оценка задач
Муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике
9 КЛАСС
Эвнин А.Ю.
1. На медосмотре Змею Горынычу сообщили, что если он будет выкуривать в день по
две пачки сигарет, то жить ему осталось всего 5 лет, если же он будет курить по полпачки в
день, то проживёт вдвое больше. Сколько лет проживёт Змей Горыныч, если бросит курить?
(Считаем, что все годы одинаковой продолжительности, а каждая сигарета сокращает жизнь
на одно и то же время).
Решение. Пусть Змею Горынычу осталось жить (без курения) х лет, а ежедневное выкуривание
пачки сигарет в течение года сокращает жизнь на y лет. Если он будет выкуривать по две пачки в день в
течение 5 лет, то его жизнь сократится на х – 5 лет, то есть 2y • 5 = х – 5. Если же он будет выкуривать по пол
пачки в день в течение 10 лет, то его жизнь сократится на х – 10 лет, то есть 0,5y • 10 = х – 10. Из полученных
уравнений находим х = 15.
Замечание по оцениванию. Полное решение — 7 баллов.
Эвнин А.Ю.
2. Найдите сумму квадратов корней уравнения
(x
2
– x)
2
– 2008(x
2
– x) + 2010 = 0.
Ответ: 4018.
Решение. Введём новую переменную t = х
2
— х. Имеем уравнение
t
2
– 2008t + 2010 = 0. (*)
У этого уравнения (ввиду положительности дискриминанта) есть корни t
1
t
2
, и их сумма, по теореме Виета,
равна 2008. Кроме того, как видно из уравнения (*),
t
1,2
> 0. Уравнения х
2
– х — t
i
= 0 ( i = 1, 2) имеют корни (т. к. дискриминант 1 + 4t
i
> 0 ) х
1,2
,
3,4
, причём х
1
+
х
2
= х
3
+ х
4
= 1, х
1
х
2
= – t
1,
х
3
х
4
= – t
2
. Теперь легко вычислить сумму квадратов корней:
121
2
21
2
2
2
1
212)( txxxxxx +=−+=+
Аналогично
.21
2
2
4
2
3
txx +=+
Отсюда
4018200822)(22
21
2
4
2
3
2
2
2
1
=+=++=+++ ttxxxx
Замечание по оцениванию. Полное решение – 7 баллов. Если нет обоснования существования корней,
минус 2 балла. За арифметические ошибки минус 1 балл.
Эвнин А.Ю.
3. В равнобочной трапеции боковые стороны имеют длину a, а диагонали длину b.
Найдите произведение длин оснований трапеции.
Решение. Пусть в равнобочной трапеции ABCD большее основание AD = у, а меньшее BC = х. Пусть
также K – основание перпендикуляра, опущенного из вершины С на основание AD. Тогда
2
xy
KD
−
=
,
2
xy
AK
+
=
Применим теорему Пифагора к треугольникам AKC и
DKC
CK
2
= AC
2
– AK
2
= DC
2
– DK
2
Отсюда
2
2
2
2
22
−
−=
+
−
xy
a
xy
b
После несложных преобразований находим ух = b
2
– a
2
Замечание по оцениванию. Полное решение — 7 баллов.
Эвнин А.Ю.
4. Можно ли равносторонний треугольник разрезать на равносторонние треугольники
и раскрасить их в синий, красный и зелёный цвет так, чтобы треугольников всех трёх цветов
было поровну, причём треугольники одинакового цвета были одинакового размера, а
треугольники разного цвета – разного размера?
Ответ: можно.
Решение. Пример нужного разрезания показан на рис. Покажем, как можно было до него догадаться.
Если каждую сторону правильного треугольника разделить на n равных частей, после чего точки деления
соединить отрезками, параллельными сторонам треугольника, то треугольник будет разбит на n
2
. Разобьем 9 из н их
на 4 тре угол ьника а 4 – на 9. Приравняем к 36 количество неразрезанных треугольников: n
2
- (4 + 9) = 36 Отсюда n
= 7 .
Замечание по оцениванию. Полное решение — 7 баллов.
Эвнин А.Ю.
5. Каких треугольников больше – разносторонних, которые можно составить из
отрезков длиной 1, 2, ..., 30, или треугольников (не обязательно разносторонних), длины
сторон которых целые числа, не превосходящие 27?
Решение. Треугольнику со сторонами а < b < с ≤ 30 взаимно однозначно соответствует
треугольник со сторонами а - 1 ≤ b - 2 ≤ с - 3 ≤ 27. Важно отметить, что
а + b > с
(а - 1) + (b - 2) > (с - 3) – существование треугольника со сторонами а, b и с, где а < b < с —
натуральные числа, равносильно существованию треугольника со сторонами а – 1, b – 2 и с – 3, где а - 1 ≤ b
- 2 ≤ с - 3.
Ответ: Их одинаковое количество.
Замечание по оцениванию. Полное решение – 7 баллов. Возможно, некоторые участники
олимпиады смогут с помощью рекуррентных соотношений найти точное количество треугольников одного и
другого вида - 1925.
Скачать материал

Математика - еще материалы к урокам: