Урок-факультатив "Использование теоремы Виета при решении квадратных уравнений с параметром" 8 класс
Урок – факультатив
Тема : «Использование теоремы Виета при решении квадратных уравнений с
параметром»
Цель: формировать умения решать квадратные уравнения с параметром с использованием
теоремы Виета; развивать логическое мышление, Умение работать в проблемной
ситуации.
Ход урока
1. Актуализация теоретических знаний.
- Какое уравнения называется квадратным?
- Сформулируйте теорему Виета.
- Какие квадратные уравнения называются приведёнными?
- квадратными или линейными называется уравнение b(b-3)x² + (6b – 2)x – 18 = 0:
а) при b = 6; б) b= 0; в) b= 0,5; г) b= 3?
2. Объяснение нового материала.
- При решении квадратных уравнений с параметром часто используют теорему Виета.
Обычно в таких заданиях не требуется нахождение самих корней уравнения, а только
нахождение значений параметров, при которых выполняется наложенное условия.
Вспомним теорему ещё раз.
Теорема Виета. Если х₁ и х₂ - корни квадратного уравнения ах² + bx + с =0, а , то
сумма корней равна
, а их произведение равно
с
.
х₁ + х₂ =
х₁ · х₂ =
с
Обратное утверждение. Если числа х₁ и х₂ таковы, что х₁ + х₂ =
, х₁ · х₂ =
с
, то эти
числа - корни уравнения ах² + bx + с =0, а
Пример 1. Найти корни уравнения и коэффициент р, если известно , что сумма
квадратов корней уравнения х² + px + 20 = 0 равна 104.
Решение : из теоремы Виета имеем:
х₁ + х₂ = р
х₁ · х₂ = .
Кроме того, из условия мы знаем, что х₁² + х₂² = прибавим к обеим частям
уравнения 2 х₁х₂ и получим: х₁² + х₂² + 2 х₁х₂ = + 2 х₁х₂;
(х₁ + х₂)² = 104 + 2 · 20;
х₁ + х₂ = ;
р =
Решим систему х₁ + х₂ = р при полученных значениях р.
х₁ · х₂ = ,
При р = 12
х₁ + х₂ = , х₁ = -10
х₁ · х₂ = . х₂ = -2.
При р = -12
х₁ + х₂ = , х₁ = 10
х₁ · х₂ = . х₂ = 2.
Проверим, будет ли дискриминант при таких значениях р положительным: D = 144 – 4
· 20 = 64, 64
Ответ : р = при При р = 12 х₁ = -10, х₂ = -2; при р = -12 х₁ = 10, х₂ = 2.
Пример 2. Найти все значения параметра а, при которых один из корней уравнения
х² - (2а + 1)х + а² = 0 в 9 раз больше другого.
Решение: пусть х₁ и х₂ - корни данного уравнения. Тогда задача сводится к следующей
системе:
х₁ + х₂ = а
х₁ · х₂ = а²,
х₁ = 9х₂
D .
Найдём из этой системы значения а. Так как х₁ = 9х₂, получаем:
9х₂ + х₂ = а
9х₂ · х₂ = а²,
10х₂ = а
9х₂² = а²,
9 · (
а
)² = а²,
36а² + 36а + 9 = 100а²,
64а² - 36а – 9 = 0,
а₁ =
а₂ =
При этом D = (2а +1)² -4а² = 4а + 1.
4а + 1 а
Оба найденных значения а удовлетворяют этому неравенству.
Пример 3. ( Ученики выполняют задание самостоятельно со следующей проверкой).
Найти все значения параметра а, при которых уравнение 2х² - (а + 1)х + (а – 1) = 0
имеет два корня, разность которых равна их произведению.
Решение: задача сводится к решению системы
х₁ + х₂ =
а
х₁ · х₂ =
а
,
х₁ - х₂ = х₁ · х₂
D .
х₁ + х₂ =
а
х₁ - х₂ =
а
, х₁ =
а
х₂ =
Теперь найдём а:
а
а
2а – 2 = а, а = 2.
Найдём дискриминант исходного уравнения: D = (а + 1)² - 8(а – 1) = а² - 6а + 9 = (а –
3)², который больше нуля при всех значениях а , кроме а = 3. Следовательно
неравенство D выполняется для а = 2.
Ответ: а = 2.
4а + 1 а
Оба найденных значения а удовлетворяют этому неравенству.
Пример 3. Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения
(а – 2)х² - 2ах + а + 3=0 положительны. В ответ записать количество целых значений
параметра, удовлетворяющих неравенству |a|
Решение. Мы не можем утверждать, что данное уравнение является квадратным.
Рассмотрим контрольное значение а – 2 = 0, а = 2. Имеем два случая.
При а =2 уравнение примет вид: -4х +5 = 0, х = 1,25.
х |2| значит а = 2 удовлетворяет нашим условиям.
При а данное уравнение является квадратным. Получим следующую систему:
х₁ + х₂ =
а
а
х₁ · х₂ =
а
а
а
а
,
а
а
.
Откуда а(-∞ ∞.
Кроме того, нужно не забыть потребовать, чтобы дискриминант исходного уравнения:
D =(2а)² - 4(а – 2)(а + 3) = 4(6 –а) был неотрицательным. Получим а (-∞
Итак, а(-∞ . Условию |a| то есть а[-10 соответствует а[-
10 . Выпишем целые значения параметра а , удовлетворяющие
полученному решению и указанному условию: -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, 2, 3 ,4, 5, 6.
Таких значений 12.
Ответ: а(-∞
( В этом примере мы как раз сталкиваемся с необходимость проверки
неотрицательного дискриминанта, на что требуется обратить внимание учащихся).
3. Закрепление пройденного материала.
1) Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения х₁ и х₂
х² - 2х + а =0 удовлетворяет условию 7х₂ - 4х₁ = 47.
2) Найти все значения параметра а, при которых один из корней уравнения
х² - (2а – 1)х + а² + 2=0 в два раза больше другого.
3) Найти все значения параметра а, при которых отношение корней уравнения
х² - ах – 16 =0 равно -4.
4) Найти все значения параметра а, при которых один корень уравнения
4х² - 3х + а =0 равен квадрату другого.
5) Найти все значения параметра а, при которых сумма квадратов корней уравнения
3х² - 2а(х - 1) - 2 =0 равна произведению корней этого уравнения.
6) Найти все значения параметра а, при каждом из которых больший корнь
уравнения
х² - (20а – 3)х + 100а² - 30а = 0 в шесть раз больше, чем его меньший корень.
Ответ : 1) -15; 2) -4; 3) -6; 6; 4) -13,5; 0,5; 5) Решений нет. Решениями системы
являются а₁ = 3; а₂ = 1,5, но при каждом из этих значений дискриминант
квадратного уравнения отрицателен.6) при а =
4. Самостоятельная работа по теме «Решение квадратных уравнений с
параметром».
1) Решите уравнение (а + 3)х² - 2(а +5)х + 2а + 7=0.
2) Найти все значения параметра а, при которых разность квадратов корней
уравнения
х² - 12х + а =0 равна 288.
3) Найти все значения параметра m, при которых сумма квадратов корней уравнения
х² - (m – 2)х – m – 3 =0 равна 18.
Ответ: 1) при а = -3 х = -
; при а(-∞ ∞ корней нет; при а
х=
а
а²а
а
; 2) а = -108; 3) m = 4; m = -2.
5. Домашнее задание.
1) При каких значениях параметра р сумма корней квадратного уравнения
х² - (р²+4р – 5)х – р =0 равна 0. Ответ: 1; - 5.
2) При каких значениях параметра р произведение корней квадратного уравнения
х² -3х +( р²-7р +12)=0 равна 0. Ответ: 3; 4.
3) Дано уравнение х² -(р + 1)х +(2 р²-9р -12)=0. Известно, что произведение корней
равно
-21. Найдите значения параметра р. Ответ: 3; 1,5.
4) Один из корней уравнения 2х² - 14х + р =0 больше другого в 2,5 раза. Найдите
все значения параметра р и корни уравнения. Ответ: 2 и 5 при р = 20.
Литература :
1. Айвазян Д.Ф. Математика. 10 – 11 классы. Решение уравнений и неравенств с
параметрами: элективный курс / авт.-сост. Д.Ф. Айвазян. – Волгоград: Учитель,
2009.
2. Беляев С.А. Задачи с параметрами: методическая разработка для учащихся Заочной
школы «Юный математик» при ВЗМШ и МЦНМО. – М.: МЦНМО, 2009.
3. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. – М.: Илекса,
Харьков: Гимназия, 2005.
4. Дорофеев В.Ю. Пособие по математике для поступающих в СПбГУЭФ. – СПб:
Изд-во СПбГУЭФ, 2003.
5. Дорофеев Г.В. Решение задач, содержащих параметры. Ч. 2 [Текст] / Г. В.
Дорофеев, В. В. Затакавай. – М.: Перспектива, 1990.-с. 2-38.
6. Дубич С. Линейные и квадратные уравнения с параметрами [Текст]: 9 класс / С.
Дубич // Математика. – 2001. №36. -с. 28-31.
7. Егерман Е. Задачи с параметрами. 7-11 классы [Текст] / Е. Егерман // Математика.
– 2003. №1 -с. 18-20.
8. Егерман Е. Задачи с параметрами. 7-11 классы [Текст] / Е. Егерман // Математика.
– 2003. №2. -с. 10-14.
9. Карасев В. Решение задач с параметрами [Текст] / В. Ка-расев, Г. Левшина, И.
Данченков // Математика. – 2005. №4. -с. 38-44.
10. Косякова Т. Решение квадратных и дробно-рациональных уравнений, содержащих
параметры [Текст] / Т. Косякова // Математика. – 2002. №22. -с. 15-18.
11. Крамор В. С. Примеры с параметрами и их решение [Текст]: пособие для
поступающих в вузы / В.С. Крамор. - М.: АРКТИ, 2000.-с. 48.
12. Мордкович А.Г. Решаем уравнения. – М.: Школа-Пресс, 1995.
Математика - еще материалы к урокам:
- Входная диагностическая контрольная работа по математике 7 класс
- Конспект урока "Луч и его обозначение" 2 класс
- Презентация "Совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями"
- Тест "Длина и её единицы" 5 класс
- План-конспект занятия по математике для дошкольников "Путешествие в город Математики"
- Презентация "Применение дифференцированного обучения на уроках математики"
