Ученики на Учителя.com


Иррациональные уравнения и неравенства

Иррациональные
уравнения и неравенства
.
1
Содержание.
I. Введение
II. Основные правила
III. Иррациональные уравнения:
• Решение иррациональных уравнений стандартного
вида.
• Решение иррациональных уравнений смешанного
вида.
• Решение сложных иррациональных уравнений.
IV. Иррациональные неравенства:
• Решение иррациональных неравенств стандартного
вида.
• Решение нестандартных иррациональных неравенств.
• Решение иррациональных неравенств смешанного
вида.
V. Вывод
VI. Список литературы
2
I. Иррациональные уравнения
Иррациональным называется уравнение, в котором переменная
содержится под знаком корня.
Решаются такие уравнения возведением обеих частей в степень. При
возведении в четную степень возможно расширение области
определения заданного уравнения. Поэтому при решении таких
иррациональных уравнений обязательны проверка или нахождение
области допустимых значений уравнений. При возведении в нечетную
степень обеих частей иррационального уравнения область определения
не меняется.
Иррациональные уравнения стандартного вида можно решить
пользуясь следующим правилом:
f (x) = g(x)
g(x) 0,
f (x) = g
2
(x).
Решение иррациональных уравнений стандартного вида:
а) Решить уравнение
Решение.
2x − 1 = x – 2,
2x − 1
= x – 2,
2x – 1 = x
2
– 4x + 4, Проверка:
x
2
– 6x + 5 = 0, х = 5, 2 5 −1 = 5 – 2,
x
1
= 5, 3 = 3
x
2
= 1 – постор. корень х = 1,
2 1 − 1 1 – 2 ,
Ответ: 5 пост. к. 1 -1.
б) Решить уравнение
Решение.
6 − 4x − x
2
= х + 4,
6 − 4x − x
2
= х + 4,
6 − 4x − x
2
= x
2
+ 8x + 16,
x + 4 0;
2x
2
+ 12x + 10 = 0,
x −4;
x
2
+ 6x + 5 = 0,
x −4;
3
x
x −4,
x
= −1,
1
2
= −5 − пост.к.
Ответ: -1
в) Решить уравнение х – 1 =
Решение.
х – 1 =
х
3
–
3х
2
+
3х
–
1
=
х
2
–
х
–
1,
х
3
–
4х
2
+
4х
=
0,
х(х
2
–
4х
+
4)
=
0,
х
=
0
или
х
2
–
4х
+
4
=
0,
(х
–
2)
2
=
0,
х = 2
Ответ: 0; 2.
г) Решить уравнение х – 5
Решение.
+ 4 = 0,
х – 5
x − 2
+ 4 = 0,
х + 4 = 5 x − 2 , Проверка:
х
2
+
8х
+
16
=
25х
–
50,
11 – 5 11 − 2 + 4 = 0,
х
2
–
17х
+
66
=
0,
0 = 0
х
1
=
11,
6 – 5 6 − 2 + 4 = 0,
х
2
=
6.
Ответ: 6; 11.
0 = 0.
Решение иррациональных уравнений смешанного вида:
• Иррациональные уравнения, содержащие знак модуля:
а) Решить уравнение
Решение.
= x − 3 − 4
5x − 34 = x − 3 − 4 ,
x
Учитывая ноль подкоренного выражения, данное уравнение равносильно двум
системам:
x 3,
или
x 3,
5x − 34 = −x + 3 − 4;
5x − 34 = x − 3 − 4;
x 3,
= −x − 1;
x 3,
= x − 7;
3
x
2
− x − 1,
3
x
2
− x − 1,
x − 2
5x − 34
x −3
–
+
5x − 34
5x − 34
4
29
29
x 3,
− x − 1 0,
5x − 34 = x
2
+ 2x + 1;
x −1,
x
2
− 3x + 33 = 0 − корн.нет
x 3,
x − 7 0,
5x − 34 = x
2
− 14x + 49;
x 7,
x
2
− 19x + 83 = 0;
x 7,
x
1
=
19 +
,
2
19 − 29
Ответ:
19 + 29
2
x
2
=
пост.корень
2
б) Решить уравнение
Решение.
5x − 7 − 27 = x − 7 ,
= x − 7
x
Учитывая ноль подкоренного выражения, данное уравнение равносильно двум
системам:
x 7 5,
x 7 5,
= x − 7;
или
x 7 5,
x 7 5,
= x − 7;
x − 7 0,
− 5x − 20 = x
2
− 14x + 49;
x − 7 0,
5x − 34 = x
2
− 14x + 49;
x 7 5,
x 7,
x 7,
x
2
− 19x + 83 = 0;
x
2
− 9x + 69 = 0;
x 7,
x 7 5,
x 7,
x
1
=
19 −
2
пост.корень
Корн.нет
19 +
Ответ: .
2
x
2
=
19 +
2
29
.
5x − 7 − 27
5x − 7
–
+
− 5x + 7 − 27
5x − 7 − 27
29
5
5
2
5
2
• Иррациональные показательные уравнения:
а) Решить уравнение
Решение.
49
1+
x−2
−
344
7
x−2
= −7
49
1+
7
2+2
x−2
x
−
2
−
344
7
−
344
7
x−2
x
−
2
= −7,
+ 7 = 0,
ОДЗ:
x − 2 0 x 2.
49
7
2
x−2
−
344
7
x−2
+ 7 = 0,
Пусть
7
x−2
= t, t > 0
49t
2
− 344t + 7 = 0,
t
1
= 1 49 ,
t
2
= 7.
Сделаем обратную замену:
7
x−2
= 1/49, или
7
x−2
= 7,
7
x−2
= 7
−2
,
= 1,
x − 2 = −2 – (ур-ние не имеет решений) x = 3.
Ответ: 3
б) Решить уравнение
=
4
,
Решение.
Приведем все степени к одному основанию 2:
=
4
,
2 x
+
4
2
3
=
4
2
−1 5
,
= 2
2−1 5
,
данное уравнение равносильно уравнению:
2x + 4
=
9
,
3 5
10x + 20 = 27,
10x = 7,
x = 0, 7.
Ответ: 0,7
x − 2
3
4
x+2
3
4
x+2
3
4
x
+
2
6
4 − x
3
3 − x
x − 1
2x + 1
• Иррациональное уравнение, содержащее иррациональность
четной степени:
Решить уравнение
Решение.
− = 1
3x − 5 − 4 − x = 1, возведем обе части уравнения в квадрат
3x – 5 – 2
2x – 2 = 2
(3x − 5)(4 − x) + 4 − x = 1,
(3x − 5)(4 − x),
x –1 =
(3x − 5)(4 − x),
x
2
−2x + 1 = (3x − 5)(4 − x),
Проверка:
x
2
−2x + 1 − 12x + 3x
2
+ 20 − 5x = 0, x = 3, 9 − 5 − 4 − 3 = 1,
4x
2
−19x + 21 = 0,
x
1
= 3,
x = 1,75
1 = 1.
4,75 − 5 −
1,
x
2
= 1,75 − ïî ñò .êî ðåí ü
Ответ: 3.
• Иррациональное уравнение, содержащее иррациональность
нечетной степени:
Решить уравнение
Решение.
+ = 4
3
25 + x + = 4, возведем обе части уравнения в куб
25 + x + 3(
3
25 + x )
2
(
3
3 − x ) + 3(
3
25 + x )(
3
3 − x )
2
+ 3 − x = 64,
3
3
(25 + x)(3 − x)(
3
25 + x +
3
3 − x ) = 36, но (
3
25 + x +
3
3 − x ) = 4 , значит:
12
3
(25 + x)(3 − x) = 36 12,
= 3,
(25 + x)(3 – x) = 27,
x
2
+ 22x − 48 = 0,
x
1
= −24,
x
2
= 2.
Ответ: –24; 2.
возведем обе части уравнения в куб
• Иррациональные уравнения, которые решаются заменой:
а) Решить уравнение − 2 = 1,
3x − 5
4 − 1,75
3
25 + x
3
3 − x
3
(25 + x)(3 − x)
2x + 1
x − 1
7
2, 5 − 1
2 2, 5 + 1
4
x
3
+ 8
1
Решение.
2x + 1
− 2
x − 1
x − 1
2x + 1
= 1,
Пусть
2x + 1
x − 1
= t, тогда
1
= , где t > 0
t
t –
2
= 1,
t
t
2
− t − 2
0,
t
t
2
− t − 2 = 0,
t
1
= 2,
t
2
= −1 − пост.корень
Сделаем обратную замену:
2x + 1
= 2, возведем обе части в квадрат
x − 1
2x + 1
= 4,
x − 1
− 2 = 1,
− 2x + 5
= 0, x 1
x − 1
− 2x + 5 = 0,
x = 2,5.
Ответ: 2,5.
Проверка: x = 2,5
2 − 2 = 1,
2
б) Решить уравнение
Решение.
+ = 6
+
Пусть
= 6,
= t, значит
= t
2
, где t > 0
t
2
+ t – 6 = 0,
t
1
= −3,−пост.корень
t
2
= 2
Сделаем обратную замену:
= 2, возведем обе части уравнения в четвертую степень
x
3
+ 8 = 16, Проверка:
x
3
= 8, x = 2, 2
3
+ 8 + = 6,
x = 2. 6 = 6
Ответ: 2.
x − 1
2x + 1
2 2, 5 + 1
2, 5 − 1
x
3
+ 8
x
3
+ 8
4
x
3
+ 8
4
x
3
+ 8
x
3
+ 8
4
x
3
+ 8
4
2
3
+ 8
=
8
x
2
+ 3x − 6
3
5 − x
3
+ 15
x
3
+ 15
3
10
3
10
1
2
в) Решить уравнение
Решение.
x
2
+ 3x − 18 + 4 = 0
x
2
+ 3x − 18 + 4 x
2
+ 3x − 6 = 0,
x
2
+ 3x − 6 − 12 + 4 x
2
+ 3x − 6 = 0,
Пусть x
2
+ 3x − 6 = t, где t > 0
t
2
+ 4t − 12 = 0,
t
1
= 2,
t
2
= −6 − пост.корень
Сделаем обратную замену:
x
2
+ 3x − 6 = 2, возведем обе части уравнения в квадрат
x
2
+ 3x − 6 = 4,
x
2
+ 3x −10 = 0,
x
1
= −5,
Проверка: x = −5,
x = 2 ,
25 − 15 − 18 + 4
0 = 0
4 + 6 − 18 + 4
= 0,
= 0,
x
2
= 2
0 = 0
Ответ: –5; 2.
Решение сложных иррациональных уравнений:
• Иррациональное уравнение, содержащее двойную
иррациональность:
Решить уравнение = x
Решение.
= x,
5 − = x
3
,
возведем обе части уравнения в куб
5 − x
3
= x
3
+ 15,
возведем обе части уравнения в квадрат
25 − 10x
3
+ x
6
= x
3
+ 15,
x
6
− 11x
3
+ 10 = 0,
Пусть x
3
= t
t
2
– 11t + 10 = 0,
t = 10; t = 1
Сделаем обратную замену: Проверка:
x
3
= 10, или x
3
= 1, x = ,
=
3
10,
x = -пост. корень
x = 1 0
25 − 15 − 6
4 + 6 − 6
3
5 − x
3
+ 15
3
5 − (
3
10)
3
+ 15
3
10
9
x − 28
5x
2
− 2x − 3
5x
2
− 2x − 3
3
1 6
1 6
Ответ: 1. x = 1,
3
5 − 1
3
+ 15 = 1,
1 = 1
• Иррациональные логарифмические уравнения:
а) Решить уравнение lg3 + 0,5lg(x – 28) = lg
Решение.
lg3 + 0,5lg(x – 28) = lg
x + 10 ,
lg(3
x − 28)
= lg x + 10 ,
Учитывая ОДЗ, данное уравнение равносильно системе:
x − 28 0,
x + 10 0,
=
x 28,
x −10,
x + 10;
9(x − 28) = x + 10;
x 28,
9x − 252 = x + 10;
x 28,
x = 32,75;
Ответ: 32,75
б) Решить уравнение
Решение.
x
2
log − x log (5x
2
− 2x − 3) = x
2
+ 2x
x
2
log
5x
2
−
2x
−
3
0,
− x log (5x
2
− 2x − 3) = x
2
+ 2x,
x
2
log
6
+ 2x log
6
= x
2
+ 2x;
5x
2
−
2x
−
3
0,
(x
2
+
2x)(log
− 1) = 0;
x + 10
5x
2
− 2x − 3
5x
2
− 2x − 3
5x
2
− 2x − 3
6
6
6
10
5x
2
− 2x − 3
(
(
1
5(x − 1)(x + 3 5) 0,
x(x + 2) log
= 0;
log
6
= 0,
6
6
x − 3 5 _ èëè _ x 1,
x = 0, (í å _ ïî äõî äèò )
= 6,
5x
2
− 2 x − 3 = 36,
5x
2
− 2 x − 39 = 0,
x
2
= −2,
x = −13 5; x = 2
x
= −13 5 ,
1 2
3
x
4
= 3.
Ответ: −13 5; – 2; 3.
IV. Иррациональные неравенства
Неравенства называются иррациональными, если его неизвестное
входит под знак корня (радикала).
Иррациональное неравенство вида
неравенств:
f (x) 0,
g(x) 0,
g(x) равносильно системе
f (x))
2
(g(x))
2
Иррациональное неравенство вида
ности двух систем неравенств:
f (x) 0,
g(x) равносильно совокуп-
g(x) 0,
f (x) 0,
и
g(x) 0
f (x))
2
(g(x))
2
Решение иррациональных неравенств стандартного вида:
а) Решить неравенство
Решение.
x − 1 3 − x,
3 − x
Данное неравенство равносильно системе неравенств:
5x
2
− 2 x − 3
5x
2
− 2 x − 3
f (x)
f (x)
x − 1
6
11
x − 1 0,
3 − x 0,
x − 1 9 − 6x + x
2
;
x 1,
x 3,
x
2
− 7x + 10 0;
x
2
− 7 x + 10 0,
f ( x) = x
2
− 7 x + 10
Î ÄÇ: x R
Í .ô óí êöèè : x = 2, x = 5
1 x 3,
x 2,
x 5
1 2
+ – +
Ответ: [1; 2). 1 3 x
б) Решить неравенство
Решение.
7 + x 7 − 2x
7 − 2x
Данное неравенство равносильно двум системам неравенств:
7 + x 0,
7 − 2x 0,
7 + x 49 − 28x + 4x
2
;
7 + x 0,
7 − 2x 0,
4x
2
− 29x + 42 0;
x
−7; 3, 5
,
x
2; 5, 25
.
x
2; 3, 5
7 + x 0,
7 − 2x 0;
Ответ: x
2;3, 5
в) Решить неравенство
Решение.
x − 3
x − 3
Данное неравенство равносильно системе неравенств:
7 + x
x
2
+ 4x − 12
x
2
+ 4x − 12
12
3x − 2
2x + 3
x + 1
x + 1
2
x
2
+ 4x − 12 0,
x − 3 0,
x
2
+ 4x − 12 x
2
− 6x + 9;
x
(
−; −6
2; +
)
,
x 3,
10x 21;
x
2
+ 4x − 12 0,
2
f ( x) = x
+ 4 x − 12,
x
(
−; −6
2; +
)
,
x 3,
x 2,1;
Î ÄÇ : x R
Í óëè .ô − öèè : x
= −6; x = 2
Ответ: нет решений
Решение иррациональных неравенств нестандартного вида:
а) Решить неравенство
Решение.
Данное неравенство равносильно системе неравенств:
3x − 2 0,
−x + 4 0,
3x − 2 −x + 4;
x 2 3,
x 4,
x 3 2.
Ответ:
x
3 2; 4
.
б) Решить неравенство −
Решение.
−
Данное неравенство равносильно системе неравенств:
−x + 4
3x − 2
−x + 4
x − 2
2x + 3
x − 2
1
13
2x + 3
x + 1
−
2x + 3 0,
x + 1 0,
x − 2 0,
0,
2x + 3 − 2
x − 3 2,
x −1,
x 2,
2x + 3 x + 1,
+ x + 1 x − 2;
2(x + 3) 2 (2x + 3)(x + 1);
x 2,
x −2,
x + 3 (2x + 3)(x + 1);
x 2,
x
2
+ 6x + 9 (2x + 3)(x + 1);
x 2,
x
2
− x − 6 0;
x
2
− x − 6 0,
f ( x) = x
2
− x − 6
Î ÄÇ : x R
x 2,
x (−2;3).
Í óëè .ô
− öèè : x
1
= −2; x
2
= 3
Ответ:
x
2;3).
• Решение иррациональных неравенств с помощью правила знаков
при умножении и делении:
а) Решить неравенство
Решение.
0
5 − x
(2x + 3)(x + 1)
x
2
− 16
14
9 − x
2
9 − x
2
x
5
x
x
5
x
x
5
x
0
5 − x
Учитывая то, что
x
2
− 16 0
и правило знаков при делении данное неравенство
равносильно системе неравенств:
x
2
− 16 0,
5 − x 0;
x
2
− 16 0,
5 − x 0;
x
2
−
16
0,
f
(
x)
=
x
2
−
16
Î ÄÇ : x R
Í óëè.ô − öèè : x
= −4; x = 4
1 2
x (−; − 4
4; +
)
,
x 5;
Ответ: x (−; − 4
4;5
)
.
б) Решить неравенство (2x – 5) 0
Решение.
(2x – 5) 0
Учитывая то, что 0 и правило знаков при делении данное неравенство
равносильно системе неравенств:
9 − x
2
0,
9 − x
2
0,
2x − 5 0;
x
−
3;3
,
x 2, 5.
f ( x) = 9 − x
2
Î ÄÇ : x R
Í óëè _ ô − öèè : x
= −3; x = 3
Ответ:
1 2
x
2,5;3
.
• Решение иррациональных неравенств способом группировки:
Решить неравенство
Решение.
2x
2
+ + 3 − 4 8 − 6x
2x
2
+ + 3
2x
2
+ + 3
− 4 8 − 6x ,
−
4 − 8 + 6x 0, сгруппируем по два слагаемых
(2x
2
+
(2x
2
+ x
2
) + (3
x ) + (3x
+ 6x) − (4
+ 6x) − (4
+ 8) 0,
+ 8) 0,
x
2
(2 + x ) + 3x( + 2) − 4(
+
2) 0, вынесем общий множитель за скобку
x
2
− 16
9 − x
2
x
3
x
3
x
3
x
5
x
3
x
x
x
x
x
15
x
4 − 1 − x
2
(2 + x )(x
2
+ 3x − 4) 0, учитывая, что (2 +
x)
) > 0 и правило знаков при
умножении данное неравенство равносильно системе неравенств:
2 + 0,
x
2
+ 3x − 4 0;
x 0,
x
(
−4;1
)
.
Ответ: x ( 0; 1 )
x
2
+ 3x − 4 0,
f ( x) = x
2
+ 3x − 4
Î ÄÇ : x R
Í óëè _ ô − öèè : x
= −4; x = 1
• Иррациональное неравенство, содержащее два знака
иррациональности:
Решить неравенство
Решение.
Данное неравенство равносильно системе неравенств:
1 − x 0,
5 − x 0,
4 −
4 −
x 1,
x 5,
0,
5 − x;
4 1 − x ,
x − 1
x 1,
1 − x;
16 1 − x,
x
2
− 2x + 1 1 − x;
5 − x
4 − 1 − x
5 − x
1 − x
1 − x
1
16
2 + x
3
3
2 + x
2 + x
3
3
2 + x
x 1,
x −15,
x
2
− x 0;
x
2
− x 0,
f ( x) = x
2
− x
Î ÄÇ : x R
Í óëè .ô − öèè : x
= 0; x = 1
1 2
x
(
−15;1
,
x
(
−;0
)
(1; +).
Ответ: x (−15; 0).
• Решение иррациональных неравенств заменой:
Решить неравенство
Решение.
+ 3 4
+ 3 4
Пусть
3
t − − 4 0,
t
t
2
+ 3 − 4t
= t, тогда
=
1
, t > 0
t
t
f ( x) =
0,
t
2
− 4t + 3
,
t
Î ÄÇ: t 0
Í óëè _ ô
− öèè : t
1
= 1; t
2
= 3
1 t 3
Сделаем обратную замену:
1 3,
возведем в квадрат обе части неравенства
1
3
2 + x
9,
1
2 + x
1, *3
9 3
3
2 + x
3
2 + x
2 + x
3
17
1 3 2 + x 3, −2
−1
2
x 1
3
Ответ:
x
−
2
1
3
;1
.
Решение иррациональных неравенств смешанного вида:
• Иррациональные показательные неравенства:
а) Решить неравенство
Решение.
0, 64
0, 8
x ( x−3)
0, 8
0,5 x ( x
−
3)
0, 64 ,
0,8
2
,
т.к. y = 0,8
t
, то
0,5x(x – 3) < 2,
0,5x
2
– 1,5x – 2 < 0,
x
2
– 3x – 4 < 0,
f(x) = x
2
– 3x – 4,
ОДЗ ( f ) = x R ,
+
–
+
Нули функции: x
1
= 4; x
2
= – 1.
–1
4
x
Ответ: х(−1; 4).
б) Решить неравенство 4
x
– 2
Решение.
x +1
< 2
x +4
– 32
4
x
– 2 x +1
< 2
x +4
– 32, ОДЗ: x > 0
2
2 x
– 2
x
2 < 2
x
2
4
– 2
5
, выполним группировку слагаемых
2
x
(2
x
– 2) – 2
4
(2
x
–2) < 0,
(2
x
– 2) (2
x
– 2
4
) < 0, учитывая правило знаков и ОДЗ данное неравенство
равносильно 2-м системам:
2
2
x
− 2 0,
x
− 2
4
0;
или
2
2
x
− 2 0,
x
− 2
4
0;
2
2
x
2,
x
2
4
;
т.к. y =
2
t
, то
2
2
x
2,
x
2
4
;
т.к. y = 2
t
, то
0, 8
x ( x−3)
18
x
x
x
x
1
2
1,
1,
4,
4,
x
0;
x 1,
x 16.
x 0;
x 1,
x 16.
Ответ: х (1;16).
• Решение иррациональных логарифмических неравенств:
( 4x + 1)
2
+ 15 28
Решить неравенство
Решение.
log
2
x
2
+ 2
+
log
0
x + 5
log
( 4x + 1)
2
+ 15 28
+ log
0,
уч. ОДЗ данное нер-во равносильно системе нер-ств
2
x
2
+ 2
1 2
x + 5
4x + 1 0,
log
2
4(x + 4)
x
2
+ 2
+ log
x + 5
28
0;
4x + 1 0,
log
4(x + 4)(x + 5)
log 1; _ ò .ê. _ y = log
t , _ ò î
2
28(x
2
+ 2)
2 2
4x + 1 0,
(x + 4)( x + 5)
1;
7(x
2
+ 2)
4x + 1 0,
2x
2
− 3x − 2 0;
x −1 4,
x (−1 2 ; 2).
2x
2
−
3x
−
2
0,
f
(
x)
=
2x
2
−
3x
−
2
Î ÄÇ : x R
Í óëè _ ô − öè : x = −1 2 ; x = 2
Ответ:
x
−1 4; 2).
1 2
2
19
Скачать материал

Математика - еще материалы к урокам: