Иррациональные уравнения и неравенства
Иррациональные
уравнения и неравенства
.
1
Содержание.
I. Введение
II. Основные правила
III. Иррациональные уравнения:
• Решение иррациональных уравнений стандартного
вида.
• Решение иррациональных уравнений смешанного
вида.
• Решение сложных иррациональных уравнений.
IV. Иррациональные неравенства:
• Решение иррациональных неравенств стандартного
вида.
• Решение нестандартных иррациональных неравенств.
• Решение иррациональных неравенств смешанного
вида.
V. Вывод
VI. Список литературы
2
I. Иррациональные уравнения
Иррациональным называется уравнение, в котором переменная
содержится под знаком корня.
Решаются такие уравнения возведением обеих частей в степень. При
возведении в четную степень возможно расширение области
определения заданного уравнения. Поэтому при решении таких
иррациональных уравнений обязательны проверка или нахождение
области допустимых значений уравнений. При возведении в нечетную
степень обеих частей иррационального уравнения область определения
не меняется.
Иррациональные уравнения стандартного вида можно решить
пользуясь следующим правилом:
f (x) = g(x)
g(x) 0,
f (x) = g
2
(x).
Решение иррациональных уравнений стандартного вида:
а) Решить уравнение
Решение.
2x − 1 = x – 2,
2x − 1
= x – 2,
2x – 1 = x
2
– 4x + 4, Проверка:
x
2
– 6x + 5 = 0, х = 5, 2 5 −1 = 5 – 2,
x
1
= 5, 3 = 3
x
2
= 1 – постор. корень х = 1,
2 1 − 1 1 – 2 ,
Ответ: 5 пост. к. 1 -1.
б) Решить уравнение
Решение.
6 − 4x − x
2
= х + 4,
6 − 4x − x
2
= х + 4,
6 − 4x − x
2
= x
2
+ 8x + 16,
x + 4 0;
2x
2
+ 12x + 10 = 0,
x −4;
x
2
+ 6x + 5 = 0,
x −4;
3
x
x −4,
x
= −1,
1
2
= −5 − пост.к.
Ответ: -1
в) Решить уравнение х – 1 =
Решение.
х – 1 =
х
3
–
3х
2
+
3х
–
1
=
х
2
–
х
–
1,
х
3
–
4х
2
+
4х
=
0,
х(х
2
–
4х
+
4)
=
0,
х
=
0
или
х
2
–
4х
+
4
=
0,
(х
–
2)
2
=
0,
х = 2
Ответ: 0; 2.
г) Решить уравнение х – 5
Решение.
+ 4 = 0,
х – 5
x − 2
+ 4 = 0,
х + 4 = 5 x − 2 , Проверка:
х
2
+
8х
+
16
=
25х
–
50,
х = 11,
11 – 5 11 − 2 + 4 = 0,
х
2
–
17х
+
66
=
0,
0 = 0
х
1
=
11,
х = 6,
6 – 5 6 − 2 + 4 = 0,
х
2
=
6.
Ответ: 6; 11.
0 = 0.
Решение иррациональных уравнений смешанного вида:
• Иррациональные уравнения, содержащие знак модуля:
а) Решить уравнение
Решение.
= x − 3 − 4
5x − 34 = x − 3 − 4 ,
x
Учитывая ноль подкоренного выражения, данное уравнение равносильно двум
системам:
x 3,
или
x 3,
5x − 34 = −x + 3 − 4;
5x − 34 = x − 3 − 4;
x 3,
= −x − 1;
x 3,
= x − 7;
3
x
2
− x − 1,
3
x
2
− x − 1,
x − 2
5x − 34
x −3
–
+
5x − 34
5x − 34
4
29
29
x 3,
− x − 1 0,
5x − 34 = x
2
+ 2x + 1;
x −1,
x
2
− 3x + 33 = 0 − корн.нет
x 3,
x − 7 0,
5x − 34 = x
2
− 14x + 49;
x 7,
x
2
− 19x + 83 = 0;
x 7,
x
1
=
19 +
,
2
19 − 29
Ответ:
19 + 29
2
x
2
=
пост.корень
2
б) Решить уравнение
Решение.
5x − 7 − 27 = x − 7 ,
= x − 7
x
Учитывая ноль подкоренного выражения, данное уравнение равносильно двум
системам:
x 7 5,
x 7 5,
= x − 7;
или
x 7 5,
x 7 5,
= x − 7;
x − 7 0,
− 5x − 20 = x
2
− 14x + 49;
x − 7 0,
5x − 34 = x
2
− 14x + 49;
x 7 5,
x 7,
x 7,
x
2
− 19x + 83 = 0;
x
2
− 9x + 69 = 0;
x 7,
x 7 5,
x 7,
x
1
=
19 −
2
пост.корень
Корн.нет
19 +
Ответ: .
2
x
2
=
19 +
2
29
.
5x − 7 − 27
5x − 7
–
+
− 5x + 7 − 27
5x − 7 − 27
29
5
5
2
5
2
• Иррациональные показательные уравнения:
а) Решить уравнение
Решение.
49
1+
x−2
−
344
7
x−2
= −7
49
1+
7
2+2
x−2
x
−
2
−
344
7
−
344
7
x−2
x
−
2
= −7,
+ 7 = 0,
ОДЗ:
x − 2 0 x 2.
49
7
2
x−2
−
344
7
x−2
+ 7 = 0,
Пусть
7
x−2
= t, t > 0
49t
2
− 344t + 7 = 0,
t
1
= 1 49 ,
t
2
= 7.
Сделаем обратную замену:
7
x−2
= 1/49, или
7
x−2
= 7,
7
x−2
= 7
−2
,
= 1,
x − 2 = −2 – (ур-ние не имеет решений) x = 3.
Ответ: 3
б) Решить уравнение
=
4
,
Решение.
Приведем все степени к одному основанию 2:
=
4
,
2 x
+
4
2
3
=
4
2
−1 5
,
= 2
2−1 5
,
данное уравнение равносильно уравнению:
2x + 4
=
9
,
3 5
10x + 20 = 27,
10x = 7,
x = 0, 7.
Ответ: 0,7
x − 2
3
4
x+2
3
4
x+2
3
4
x
+
2
6
4 − x
3
3 − x
x − 1
2x + 1
• Иррациональное уравнение, содержащее иррациональность
четной степени:
Решить уравнение
Решение.
− = 1
3x − 5 − 4 − x = 1, возведем обе части уравнения в квадрат
3x – 5 – 2
2x – 2 = 2
(3x − 5)(4 − x) + 4 − x = 1,
(3x − 5)(4 − x),
x –1 =
(3x − 5)(4 − x),
x
2
−2x + 1 = (3x − 5)(4 − x),
Проверка:
x
2
−2x + 1 − 12x + 3x
2
+ 20 − 5x = 0, x = 3, 9 − 5 − 4 − 3 = 1,
4x
2
−19x + 21 = 0,
x
1
= 3,
x = 1,75
1 = 1.
4,75 − 5 −
1,
x
2
= 1,75 − ïî ñò .êî ðåí ü
Ответ: 3.
• Иррациональное уравнение, содержащее иррациональность
нечетной степени:
Решить уравнение
Решение.
+ = 4
3
25 + x + = 4, возведем обе части уравнения в куб
25 + x + 3(
3
25 + x )
2
(
3
3 − x ) + 3(
3
25 + x )(
3
3 − x )
2
+ 3 − x = 64,
3
3
(25 + x)(3 − x)(
3
25 + x +
3
3 − x ) = 36, но (
3
25 + x +
3
3 − x ) = 4 , значит:
12
3
(25 + x)(3 − x) = 36 12,
= 3,
(25 + x)(3 – x) = 27,
x
2
+ 22x − 48 = 0,
x
1
= −24,
x
2
= 2.
Ответ: –24; 2.
возведем обе части уравнения в куб
• Иррациональные уравнения, которые решаются заменой:
а) Решить уравнение − 2 = 1,
3x − 5
4 − 1,75
3
25 + x
3
3 − x
3
(25 + x)(3 − x)
2x + 1
x − 1
7
2, 5 − 1
2 2, 5 + 1
4
x
3
+ 8
1
Решение.
2x + 1
− 2
x − 1
x − 1
2x + 1
= 1,
Пусть
2x + 1
x − 1
= t, тогда
1
= , где t > 0
t
t –
2
= 1,
t
t
2
− t − 2
0,
t
t
2
− t − 2 = 0,
t
1
= 2,
t
2
= −1 − пост.корень
Сделаем обратную замену:
2x + 1
= 2, возведем обе части в квадрат
x − 1
2x + 1
= 4,
x − 1
− 2 = 1,
− 2x + 5
= 0, x 1
x − 1
− 2x + 5 = 0,
x = 2,5.
Ответ: 2,5.
Проверка: x = 2,5
2 − 2 = 1,
2
б) Решить уравнение
Решение.
+ = 6
+
Пусть
= 6,
= t, значит
= t
2
, где t > 0
t
2
+ t – 6 = 0,
t
1
= −3,−пост.корень
t
2
= 2
Сделаем обратную замену:
= 2, возведем обе части уравнения в четвертую степень
x
3
+ 8 = 16, Проверка:
x
3
= 8, x = 2, 2
3
+ 8 + = 6,
x = 2. 6 = 6
Ответ: 2.
x − 1
2x + 1
2 2, 5 + 1
2, 5 − 1
x
3
+ 8
x
3
+ 8
4
x
3
+ 8
4
x
3
+ 8
x
3
+ 8
4
x
3
+ 8
4
2
3
+ 8
=
8
x
2
+ 3x − 6
3
5 − x
3
+ 15
x
3
+ 15
3
10
3
10
1
2
в) Решить уравнение
Решение.
x
2
+ 3x − 18 + 4 = 0
x
2
+ 3x − 18 + 4 x
2
+ 3x − 6 = 0,
x
2
+ 3x − 6 − 12 + 4 x
2
+ 3x − 6 = 0,
Пусть x
2
+ 3x − 6 = t, где t > 0
t
2
+ 4t − 12 = 0,
t
1
= 2,
t
2
= −6 − пост.корень
Сделаем обратную замену:
x
2
+ 3x − 6 = 2, возведем обе части уравнения в квадрат
x
2
+ 3x − 6 = 4,
x
2
+ 3x −10 = 0,
x
1
= −5,
Проверка: x = −5,
x = 2 ,
25 − 15 − 18 + 4
0 = 0
4 + 6 − 18 + 4
= 0,
= 0,
x
2
= 2
0 = 0
Ответ: –5; 2.
Решение сложных иррациональных уравнений:
• Иррациональное уравнение, содержащее двойную
иррациональность:
Решить уравнение = x
Решение.
= x,
5 − = x
3
,
возведем обе части уравнения в куб
5 − x
3
= x
3
+ 15,
возведем обе части уравнения в квадрат
25 − 10x
3
+ x
6
= x
3
+ 15,
x
6
− 11x
3
+ 10 = 0,
Пусть x
3
= t
t
2
– 11t + 10 = 0,
t = 10; t = 1
Сделаем обратную замену: Проверка:
x
3
= 10, или x
3
= 1, x = ,
=
3
10,
x = -пост. корень
x = 1 0
25 − 15 − 6
4 + 6 − 6
3
5 − x
3
+ 15
3
5 − (
3
10)
3
+ 15
3
10
9
x − 28
5x
2
− 2x − 3
5x
2
− 2x − 3
3
1 6
1 6
Ответ: 1. x = 1,
3
5 − 1
3
+ 15 = 1,
1 = 1
• Иррациональные логарифмические уравнения:
а) Решить уравнение lg3 + 0,5lg(x – 28) = lg
Решение.
lg3 + 0,5lg(x – 28) = lg
x + 10 ,
lg(3
x − 28)
= lg x + 10 ,
Учитывая ОДЗ, данное уравнение равносильно