Практикум по теме "Теория вероятностей"

1
Введение
Практикум по теме «Теория вероятностей»
И. И. Аксанова
учитель математики высшей категории
МБОУ «Высокогорская СОШ № 2»
В данной работе представлен авторский алгоритм решения задач по
теории вероятностей. Пособие предназначено для учащихся старших классов
при подготовке к ЕГЭ, для учителей, и также для любого человека, который
хочет научиться решать задачи по теории вероятностей. Идея подхода к
решению задач заключается в схематичном изображении условия задачи: в
виде перебора событий, дерева событий, отрезков вероятностей событий.
Задачи условно разделены на несколько типов. При решении задач
применяются формулы сложения и умножения вероятностей. Наглядность
схемы позволяет ответить на все возможные вопросы по данной задаче. На
схеме около каждого события написана его вероятность.
1. Задачи I типа. Для решения задач этого типа используются формула
Р(А)=m/n вероятность наступления благоприятного события (m- количество
благоприятных событий) из n равновозможных событий. И проводится
перебор событий по условию задачи.
Задача 1.1. Какова вероятность того, что случайно выбранный телефонный
номер оканчивается двумя чётными цифрами?
Решение. Переберем равновозможные события: ЧЧ, ЧН, НН, НЧ, где Ч
четная цифра, Н нечетная цифра, количество равновозможных событий n=4.
Количество благоприятных событий: ЧЧ, m=1
Р=1/4=0,25 Ответ: 0,25
Задача 1.2. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут
честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Ко-
манда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер».
2
Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и по-
следнюю игры.
Решение. В данной задаче нет необходимости записывать перебор всех
равновозможных событий, так как количество равновозможных событий
вычисляется по формуле: n= 2
3
=8 (Команда «Статор» играет с тремя
командами). Количество благоприятных событий: m=1. 101, где 1- начинает
игру, 0 – не начинает игру.
Р= 1 / 8 = 0 , 125 Ответ: 0,125
2. Задачи II типа. Для решения задач этого типа используются формулы:
Р(А В)=Р(А) Р(В) - вероятность независимых событий (на схеме
независимые события «связаны» стрелками по вертикали); Р(А В)=Р(А)+Р(В)
- вероятность несовместных событий (на схеме несовместные события
расположены по горизонтали); Р(Ᾱ)=1 - Р(А) - вероятность противоположного
события. По условию задачи составляем и дерево вероятностей. На схеме
жирным шрифтом выделяются стрелки, указывающие путь решения задачи.
Например, если в задаче даны два несовместных события А и В они
располагаются на схеме по горизонтали, а вероятности несовместных событий
складываются, т.е. вероятности событий по горизонтали складываются.
События А и С, А и D, B и F, B и E попарно независимы они располагаются на
дереве вероятностей по вертикали, а вероятности независимых событий
умножаются, т.е. вероятности событий по вертикали умножаются. Дерево
вероятностей данного примера приведено ниже.
ОПЫТ
А
Р
1
В
Р
2
С
Р
3
D
Р
4
E
Р
5
3
Тогда полная вероятность вычисляется следующим образом
Р=р
1∙
р
3
1∙
р
4
2∙
р
5
2∙
р
6
По условию задачи бывает достаточно просто расположить события на дереве
вероятностей.
Задача 2.1 . Если шахматист А играет белыми фигурами, то он выигрывает
у шахматиста Б с вероятностью 0,5. Если А играет черными, то А выигрывает у
Б с вероятностью 0,3. Шахматисты А и Б играют две партии, причём во вто-
рой партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А выиграет оба
раза.
Решение. На схеме В – выиграл, П проиграл. Р=1-0,5=0,5 вероятность
проиграть первую игру, Р=1-0,3=0,7 вероятность проиграть вторую игру.
ИГРА (игрок А)
1 партия
белыми
В
0,5
П
0,5
2 партия
черными
В
0,3
П
0,7
В
0,3
П
0,7
Р=0,5 ∙ 0,3=0,15 Ответ: 0,15
Примечание. На схеме видно, что можно также ответить и на следующие
вопросы. Первую игру выиграл, а вторую проиграл: Р=0,5 0,7=0,35. Первую
и вторую проиграл: Р=0,5 ∙ 0,7= 0,35.
Задача 2.2. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. По-
купатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких бата-
рейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.
Решение. На схеме ББ бракованная батарейка, ИБ – исправная батарейка.
Р=1- 0,06= 0,94 - вероятность, что батарейка исправна.
4
БАТАРЕЙКА
1 батарейка
ББ
0,06
ИБ
0, 94
2 батарейка
ББ
0,06
ИБ
0,94
ИБ
0,94
ББ
0,06
Р= 0,94∙ 0,94=0,883 Ответ: 0,8836.
Примечание. На схеме видно, что можно также ответить и на следующие
вопросы. Обе батарейки бракованные: Р=0,06 ∙ 0,06=0,0036. Одна из батареек
бракованная, а другая исправная: Р=0,06 ∙ 0,94=0,0564.
Задача 2.3. На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из
списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме
«Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме
«Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к
этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику
достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Решение.
ВОПРОС
Вписанная окружность
0,2
Параллелограмм
0,15
Р=0,2+0,15=0,35 Ответ: 0,35
Задача 2.4. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с
вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени
все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят незави-
симо друг от друга).
Решение. На схеме З – продавец занят, Н продавец не занят. Р=1-0,3=0,7
вероятность, что продавец не занят.