Логарифмические задания на ЕГЭ

1
Логарифмические задания на Едином Государственном Экзамене
Логарифмы и их свойства. Преобразования логарифмических выражений
Определение. Логарифмом положительного числа b по основанию а (а > 0, а 1)
называется показатель степени, в который нужно возвести основание а, чтобы получить b.
Обозначение: log
a
b.
Десятичный логарифм - логарифм, основание которого равно 10. Обозначение: log
10
x = lgx.
Натуральный логарифм - логарифм, основание которого равно е ≈ 2,7. Обозначение: log
е
x =
lnx.
Cвойства логарифмов:
1) log
a
1 = 0 для любого положительного и отличного от единицы значения а.
2) log
a
a = 1, a > 0, a ≠ 1.
3) a
loga b
= b основное логарифмическое тождество.
4)
log
a
(b·c) = log
a
|b| + log
a
|c|
5)
log
a
(b/c) = log
a
|b| - log
a
|c|
6)
log
a
b
p
= p log
a
| b|, если p нечетно, то формула принимает вид
log
a
b
p
= p log
a
b.
7)
logа
р
b = 1/р log
a
b .
8)
log
a
b = logа
р
b
р
≠0).
9)
logа
р
b
m
= m/p log
a
b.
10)
log
a
b = log
c
b /log
c
a формула перехода к новому основанию.
11)
log
b = log
|a|
b / (1 + log
|a|
|), (aс >0).
12)
log
a
p* log
b
p + log
b
p* log
c
p + log
a
p * log
c
p = (log
a
p* log
b
p* log
c
p)/ log
abc
p
13) a
log c b
= b
log c a
(a>0, b>0, с >0, c≠1).
14)
a
√ loga b
= b
√ logb a
.
15)
log
a
b = 1/ log
b
а.
Замечание. Указанные формулы, как и другие, используются в двух видах: слева направо и
наоборот - справа налево.
2
7
Выражения и их преобразования. Значения выражений.
Пример 1. Упростите выражение Ig25 + 0,5 lgl6.
l)lg 29; 2)2; 3) log 33; 4)10.
Решение. Применив свойство логарифма степени ко второму слагаемому, а затем свойство
суммы логарифмов, получим:
lg 25 + 0.5 lg16 = Ig25 + Ig4 = lg(25 • 4) = lg 100 = 2.
Пример 2. Найдите значение выражения 6
1og
12
- 17.
Ответ: 2.
1) -16; 2) -11; 3) -5; 4) 19.
Решение. В соответствии с основным логарифмическим тождеством первое слагаемое равно
12. Поэтому
6
1оg б 12
- 17 = 12-17 = -5.
Пример 3. Найдите значение выражения
log
2
7
log
4
3
О т в е т: 3.
3
Решение. Данное выражение представляет собой степень с основанием 3. Поэтому
целесообразно привести к этому основанию и логарифмы, стоящие в числителе и
знаменателе показателя степени:
log
2
7 = log
3
7 : log
3
3 = log
3
7 × log
3
2
2
= log
3
7 · 2 log
3
2 = 2 log
3
7 = log
3
49. log
4
3 log
3
2 log
3
4 log
3
2 log
3
2
Применив основное логарифмическое тождество, получим:
log
2
7
log
4
3 log
3
49
3 = 3 = 49. От в е т : 49.
Пример 4. Найдите значение выражения
log
2
0.04
0,5 + log
√7
0,5 - log
1/7
4.
Решение. Значение первого слагаемого можно найти с помощью основного
логарифмического тождества:
log
2
0,04 log
2
0,2
2
log
2
5
-2
0,5 = (2-
1
) = (2
-1
) = 5
2
= 25.
Применяя ко второму и третьему слагаемому формулы
log
а
b
n
= n· log
a
b и log a
m
b= (1/m) log a b, получаем:
log
√7
0,5 = log 7
1/2
2
-1
= 2*(-1)*log
7
2 = -2 log
7
2 , и log 1/7 4 = log
-1
2
2
= -2 log
7
2.
Окончательно получаем: 25 - (-2 log
7
2 ) + (-2 log
7
2) = 25.
О т в е т: 25.
6
3
Уравнения
Определение. Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестная
находится только под знаком логарифма или в основании логарифма (или то и другое
одновременно).
log
2
x(x+2)=3, log
х
(x
2
+ 1) = 2 логарифмическое, но хlgx = 10 – уравнение, содержащее
неизвестное под знаком логарифмической функции.
При решении логарифмических уравнений наиболее употребительны следующие методы:
1)
решение уравнений, основанное на определении логарифма;
2)
решение с помощью операции потенцирования;
3)
применение основного логарифмического тождества;
4)
использование операции логарифмирования;
5)
переход к логарифму по новому основанию;
6)
введение нового неизвестного;
Полезные советы:
1)
При решении логарифмических уравнений, в первую очередь, надо обратить внимание
на основание логарифма. Если в уравнении встречаются разные основания, то следует
попытаться привести к одному основанию.
2)
Если в логарифмическом уравнении логарифмы приведены к одному и тому же
основанию, то надо попробовать выделить какое-то выражение, входящее в уравнение,
для того, чтобы, обозначив это выражение через другую переменную, можно было бы
получить уравнение относительно этой переменной, как правило, не содержащее
логарифмической функции.
3)
Решение логарифмических уравнений, как правило, сопровождается рядом
ограничений на входящую в них переменную и основание, а поэтому обычно
невозможно соблюсти равносильность при выполнении преобразований. В результате
различных преобразований возможно расширение области определения исходного
уравнения или снятие каких-то ограничений, а это может привести к появлению
посторонних корней. Следовательно, необходимо выполнять проверку. Если число не
входит в область определения заданного уравнения, то оно не является корнем этого
уравнения. Если же число принадлежит области определения исходного уравнения, то
это еще не означает, что оно является корнем этого уравнения, нужно проверить это
число непосредственной подстановкой в исходное уравнение.
4)
Если же исходное уравнение удалось представить в виде log
а
(f)x = g(x), то его корни
можно искать из соотношения f(x) = а
g(x)
.
При решении логарифмических уравнений следует обратить внимание учащихся на то, что
применение следующих формул:
log
a
mn = log
a
m + log
a
n,
log
a
m/n = log
a
m log
a
n,
log
a
m
k
= k log
a
m,
4
может привести как к приобретению, так и к потере корней уравнения.
Пример 5. Укажите промежуток, которому принадлежит меньший корень уравнения
log
2
x(x +2) = 3
1) (- ∞;-2]; 2) (-2; 2); 3) [2; 4]; 4) (4; + ∞).
Решение. По определению логарифма получаем: х(х+2)
3
= 2
3
или х
2
+ - 8 =
0.
Корнями этого уравнения являются числа х = -4 или х = 2.
Ответ: 1.
Замечание. При решении этого примера мы пользовались только определением логарифма.
Никаких преобразований, сулящих потерю равносильности, не было. Поэтому вовсе
необязательно в решении приводить, например, такое обоснование: «В соответствии с
определением произведение х(х + 2), стоящее в исходном уравнении под знаком логарифма,
может принимать только положительные значения. В уравнении х·(х+2)=2
3
это выражение
положительно, так как 2
3
> 0. Следовательно, эти уравнения равносильны, т.е. либо имеют
одни и те же корни, либо оба не имеют корней».
При решении уравнений, заменяя выражение log
a
m + log
a
n выражением log
a
mn, можно полу-
чить посторонние корни. Выявить их можно двумя способами:
1)
выполняя преобразования уравнения, сохранять область определения исходного
уравнения, т.е. записывать систему, состоящую из полученного уравнения и неравенств,
задающих область определения исходного уравнения;
2)
проверить полученные корни подстановкой в исходное (и только в исходное!) уравнение.
Покажем оба способа решения.
3)
Пример 6. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения
log
2
x + log
2
(x + 2) = 3. (1)
1) (- ∞ ; -2]; 2) (-2; 2); 3) [2; 4]; 4) (4; + ∞).
Решение .
1 способ. Данное уравнение равносильно системе log
2
x(x + 2) = 3,
x>0,
x+ 2> 0,
которая равносильна системе
log
2
x(x + 2) = 3,
х >0.
Решая уравнение log
2
x(x + 2) = 3, получаем: x = - 4 или х = 2. Число - 4 не удовлетворяет
условию х > 0, т.е. является посторонним корнем.
Число 2 удовлетворяет условию х > 0, значит, является корнем исходного уравнения. Этот
корень принадлежит промежутку, указанному в третьем варианте ответа.
Ответ: 3.
2 способ. Используя формулу: log
а
mn = log
a
m + log
a
n, данное уравнение можно представить в
виде
Далее получаем:
Следовательно, х = -4 или х = 2.
log
2
x(x + 2) = 3.
х
2
+ 2х - 8 = 0.
Проверка. Iog
2
2 + Iog
2
(2 + 2) = 1 + 2 = 3, значит, число 2 - корень исходного уравнения.
5
Выражения log
2
(-4) и log
2
(-4 + 2) не определены, следовательно, число - 4 -
посторонний корень.
О т в е т: 3.
Так же осмотрительно надо осуществлять замену выражения log
a
m - log
а
n выражением log
a
n
/m.
Пример 7. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения
Iog
4
(2x - 3) - Iog
4
(3x - 2) = 1.
1) [-4; -1,5); 2) [-1,5; 0); 3) [0; 2); 4) корней нет.
Решение. Воспользуемся свойством разности логарифмов и, учитывая область
определения логарифмической функции, получим равносильную данному уравнению
систему
log
4
(2x - 3)/(3x - 2) = 1,
3x 2 > 0.
Из определения логарифма следует, что уравнение системы равносильно уравнению
2x- 3 = 4.
Число 0,5 его корень. Он не удовлетворяет неравенству системы. Таким образом,
уравнение Iog
4
(2x - 3) - Iog
4
(3x - 2) = 1 не имеет корней.
О т в е т: 4.
Замечание. Замена выражения log
a
m
k
выражением к log
a
m, наоборот, при четных к может
привести к потере корней.
Избежать в этом случае потери корня можно двумя способами:
1)
использовать определение логарифма, а не формулу степени логарифма;
2)
использовать понятие модуля числа.
Покажем оба способа решения.
Пример 8. Укажите промежуток, которому принадлежит меньший корень уравнения
log
2
x
2
= 4.
1) (- ∞; 4]; 2) (-2; 2); 3) [2; 4]; 4) (4; + ).
Решение.
Iспособ. По определению логарифма получаем
уравнение х
2
= 2
4
равносильное данному. Полученное уравнение равносильно уравнению х
2
=
16, корнями которого являются числа 4 и - 4.
Ответ: 1.
II способ. Данное уравнение равносильно уравнению 1og
2
|x| = 4, а значит, и уравнению log
2
|X|
= 2.
По определению логарифма получаем равносильное последнему уравнение |х| = 2
2
, корнями
которого являются числа 4 и - 4.
Ответ: 1.
Пример 9. Найдите меньший корень уравнения
lg(-x) = lg √ x
2
.
Решение. Так как логарифмическая функция определена на множестве положительных
чисел, то -х > 0, или х < 0. Поэтому решения надо искать на множестве отрицательных
чисел.
Но тогда √ х
2
= - х и уравнение принимает вид lg(-x) = lg (-x).
Сделав замену √ lg(-x) = t, приходим к уравнению t = t
2
, корнями которого являются числа t
= 0 и t = 1, откуда х = -1 или х = -10.
6
В ответ запишем, как требуется в условии, меньший корень.
Пример 10. Решите уравнение
Iog
3
(x
2
+ 2x) = Iog
5
8 .
log
3
(x
2
-4x - 4) log
5
(x
2
- 4x -4).
Ответ: -10.
Решение. В уравнении есть логарифмы с разными основаниями. Поэтому, первым
делом, приведем все логарифмы к одному основанию, например, к основанию 3.
Тогда log
3
8 log
3
(x
2
- 4x - 4) ,
log
5
8 = log
3
5 и log
5
(x
2
- 4x -4) = log
3
5
а уравнение принимает вид
Iog
3
(x
2
+ 2x) = log
3
8
Iog
3
(x
2
-4x- 4) log
3
(x
2
- 4x - 4)
Далее получаем:
Iog
3
(x
2
+ 2x) = log
3
8,
x
2
+ 2x = 8, откуда x = 2 или х = - 4. Однако при х = 2 значение выражения х
2
-
- 4 равно -8, поэтому число 2 не является корнем исходного уравнения.
Ответ: - 4.
Пример 11. Решите уравнение
√ (105 – 8/ log
x
2) = 3 1og
2
0,5x
3
√x.
Решение. 1) Так как х — основание логарифма, то х > 0, х 1. При таких значениях х опре-
делена правая часть уравнения и равносильны следующие преобразования частей уравнения:
8 / log
x
2 = 8 1og
2
x и 3 1og
2
0,5x
3
√x = 3 log
2
0,5 x
4/3
=
= 3 Iog
2
2
-1
+ 4/3 log
2
x = 4 1og
2
x - 3.
Получаем уравнение
√ (105 – 8 log
2
х) = 4 1og
2
x-3.
2) Пусть t = log
2
x. Тогда
105 8t = (4t - 3), 105 8t = (4t - 3)
2
,
105 8t = 16t
2
24t + 9,
16t
2
16t - 96 = 0,
t
2
t 6 = 0,
t =3, t =-2.
3)
Подставляем число - 2 вместо log
2
x в уравнение
l05- 8 1og
2
x = 41og
2
x -3,
получаем неверное равенство
√ 105 + 16 = -8 3.
При t =3 получаем √105-24 = 12-3, 8l = 9, что верно.
4)
Значит, log
2
x = 3, х = 2
3
= 8.
Ответ: 8.
Замечание. Можно было обозначить буквой t выражение 4 1og
2
x.
7
Пример 12.
Решите уравнение 3log
6
(3 3/(2x + 3)) = 4 log
6
(2 + 1/(x + 1)).
Решение. Выполняя тождественные преобразования, получаем:
3(log
6
6 + log
6
((x + 1)/(2x + 3))) = 4 log
6
((x + 1)/(2x + 3))
-1
+ 3;
3 + 3 log
6
((x + 1)/(2x + 3)) = -4 log
6
((x + 1)/(2x + 3)) + 3;
71og
6
((x + 1)/(2x+ 3)) = 0.
По определению логарифма: x + 1 = 1.
2x + 3
Решим полученное уравнение: x + 1 = 2x + 3 x = -2
2x + 3 0; x ≠ 1,5.
Итак, х = -2. Проверим найденный корень подстановкой в исходное уравнение: 3log
6
(3
3/(2(-2) + 3)) = 4 log
6
(2 + 1/((-2) + 1)).
3 log
6
6 = 4 log
6
l + 3;
3 = 3 верно, т.е. х = -2 корень исходного уравнения.
О т в е т: -2.
Пример 13. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
log
2
3
x (2a + 3) log
3
x + a
2
+ 3a = 0
имеет два различных корня, равноудаленных от точки х = 42.
Решение. Введем обозначение t = log
3
x. Уравнение примет вид:
t
2
- (2а + 3)t + а
2
+ За = 0.
Его корни — числа: t = а + 3 и t = а.
Следовательно, log
3
x = а + 3 или log
3
x = a.
Отсюда получаем:
x
1
= 3
a
+
3
, x
2
= 3
a
.
Точка х = 42 равноудалена от точек х, и х
2
, т.е. она является серединой отрезка с
концами в этих точках. Воспользуемся формулой координаты середины отрезка
(3
a+3
+ 3
a
) /2 = 42.
Далее получаем:
((3
3
+ 1)* 3
a
) = 42, 3
a
= 3, а = 1.
О т в е т: а = 1.
8
Неравенства
Между методами решений логарифмических уравнений и логарифмических неравенств есть
существенные отличия:
1)
Для решения логарифмических неравенств необходимо установить характер монотонности
соответствующей логарифмической функции в зависимости от величины её основания.
2)
Решением неравенства, как правило, является бесконечное множество чисел, и значит, о
выполнении проверки найденных решений не может быть и речи, поскольку в отличие от
уравнений это просто невозможно. Поэтому при решении логарифмических неравенств
особое значение приобретает умение проводить равносильные преобразования неравенств.
При решении логарифмических неравенств необходимо учитывать, что
1.
если а > 0, а ≠ 1, то log
a
f(x) ≥ b <=> f(x) а
b
, если а >