Ученики на Учителя.com


Урок-конференция "Число Pi - магический геометрический символ"

Урок – конференция
Число Pi -
магический геометрический символ
Подготовка к конференции
Она проводилась в течение нескольких недель. Заранее на стенде был;
вывешен список дополнительной литературы о числе 71. При отборе нужного
материала проявилось умение учащихся самостоятельно и творчески работать.
Были подготовлены наглядные материалы: красочный плакат «Замечательные
числа 71 и т, хронологическая таблица вычисления числа 71, подобраны стихи и
высказывания о геометрическом символе. £
План урока
I. История числа «7Г».
II. О вычислениях значения числа 71 на современных вычислительных
машинах.
III. Случайности и закономерности, связанные с числом ТС
IV. Вездесущность числа Л (об исследованиях В. Пиотровского).
V. 71 в формулах (интересные задачи, связанные с числом 71)].
Методические рекомендации
При подготовке и проведении урока такого типа необходимо тщательно отбирать
материал, учитывая интерес учащихся и степень их подготовленности. Если
учащиеся проявляют повышенный интерес к математике, то следует более
подробно остановиться на вариантах решения одной из знаменитых задач
древности - «О квадратуре круга» и вычислениях числа 71 при ее решении, а
также на иррациональности и трансцендентности числа л.
Учащимся, знакомым с информатикой и вычислительной техникой, следует
рассказать более подробно о вычислениях числа на различных ЭВМ, о
проведении практической конференции по вычислению на современных ЭВМ,
показать программы вычислений.
Учащимся, увлекающимся естественными науками, поручить подготовить более
подробные доклады по материалам книги Друянова.
Задачи также необходимо подбирать с учетом уровня знаний учащихся по
данному вопросу.
Ход урока
I. Урок следует начать с исторической справки. Проблеме л - 4000 лет.
Исследователи древних пирамид установили, что частное, полученное от
деления суммы двух сторон основания на высоту пирамиды, выражается числом
3,1416. В знаменитом папирусе Ахмеса приводится такое указание для
построения квадрата, равного по площади кругу: «Отбрось от диаметра его
девятую часть и построй квадрат со стороной, равной остальной части, бу-
дет он эквивалентен кругу». Из этого следует, что у Ахмесал = 3,1605. Так
началась письменная история числа тс. I
В Вавилоне в V в. до н.э. пользовались числом 3 8 = 3,1215, а в древней Греции
числом ( 2 + 3) = 3,1462643. В индийских «сутрах» VI - V в. до н.э.
имеются правила, из которых вытекает, что те = 3,008.
Наиболее древняя формулировка нахождения приблизительного значения
отношения длины окружности к диаметру содержится в стихах индийского
математика Ариабхаты (V - VI в):
Прибавь четыре к сотне и умножь на восемь,
Потом еще шестьдесят две тысячи прибавь.
Когда поделишь результат на двадцать тысяч,
Тогда откроется тебе значение Длины
окружности к двум радиусам отношенья, т.е.
длина окружности =62832 =
3.1416 диаметр 20000
Архимед (IIIв. до н.э.) для оценки числа вычислял периметры вписанных и
описанных многоугольников от 6-ти до 96-ти. Такой метод вычисления длины
окружности посредством периметров вписанных и описанных многоугольников
применялся многими видными математиками на протяжении почти 2000 лет.
Архимед получил 3 10 <ТС <31, т.е. 71 =3,1418.
71 7
Долгое время все пользовались значением числа, равным 22.
7
Индусы в V- VI в. пользовались числом 10 = 3,1611, а китайцы - числом 355 =
3,1415927; это значение записывалось в виде именованного числа: 113
3 чжана 1 чи 4 цуня 1 фень 5 ли 9 хао 2 мяо 7 хо.
В XV в. иранский математик ал-Каши нашел значение ТС с 16-ю верными
знаками, рассмотрев вписанный и описанный многоугольники с 80035168
сторонами. Андриан Ван Ромен (Белыия)в XVI в. с помощью 2зо угольников
получил 17 верных десятичных знаков, а голландский вычислитель - Лудольф
ван-Цейлен (1540-1610), вычисляя 71, дошел до многоугольников с 60 2029 со
сторонами и получил 35 верных знаков для 71. Ученый обнаружил большое
терпение и выдержку, несколько лет затратив на определение числа 71 . Вего
честь современники назвали ТС - .Лудольфово число. Согласно завещанию на
его надгробном камне было высечено найденное им значение 71.
Обозначение 7С (первая буква в греческом слове - окружность, периферия)
впервые встречается у английского математика Уильяма Джонса (1706 г.), а после
опубликования работы Леонарда Эйлера (1736г.С.~Петербург), вычислившего
значение 71 с точностью до 153 десятичных знаков, обозначение становится
общепринятым.
В 1767 г. Иоган Ламберт (немецкий математик) доказал традиционность числа
7Т.
Самой важной, можно сказать, переломной датой в истории числа 71 был 1882 г.,
когда немецкий математик Карл Линдеман окончательно установил таинственный
характер этого знака: число 71 не может быть корнем алгебраического уравнения с
рациональными коэффициентами, т. е, оно трансцендентно.
Одно из простейших выражений для тс открыл (серединаXVHв.) Джон Валлис
(английский математик)
2 2 4 4 6 6 8
= 2 ( 1 3 3 5 5 7 7)....)
А несколько десятилетий спустя великий немецкий философ Готфрид-
Вильгельм Лейбниц открыл другую изящную формулу
71=4 (1-1 + 1- 1_+
1 3 5 7 9
Самым неутомимым вычислителем 71 английский математик Уильям
Шенке (конец XIX в.). Более 20 лет жизни он посвятил вычислению 707 знаков
числа тс. К сожалению, он ошибся в 520-м знаке и все последующие цифры
неверны. (Ошибку обнаружили лишь в 1945 г.).
II. С появлением ЭВМ значение числа 7Т было вычислено с достаточно большой
точностью. На уроке можно несколько подробнее рассказать где, на
каких ЭВМ и за какое время были получены значения числа л. В США,
например, был получен результат с более 30 млн. знаков. Японские математики
обещают вычислить 71 со 100 млн. верных знаков. Если распечатать значение
числа, полученное в США, то оно займет 30 томов по 400 страниц в каждом.
Вычисление такого числа знаков для тг не имеет практического значения, а лишь
показывает огромное преимущество и совершенство современных средств и
методов вычисления по сравнению со старыми. Филипп Дж. Девис писал в
своей книге: «Загадочное и чудесное 71 стало чем-то вроде покашливания, которым
вычислительные машины прочищают горло»
III. Много случайностей и закономерностей связано с числом 71. Кратко
перечислим некоторые:
Анализ единиц измерения длины и изменения ускорения свободного падения (g)
от места к месту на земном шаре выявил удивительное равенство:
n = g
Числа Л и т связаны интересным соотношением 71 т = 5; точнее 5 71 = 6 Т
2
,
отсюда
71= 31=3,14138.
Во время урока учащимся предлагается вопрос:
Что больше7Ге илиел?
1пх
Используя функцию у = х , они определяют, что
вл> 7Ге
е 2п\ = 1
Формула Эйлера
окончательно объяснила арифметическую природу числа 71.
Учащиеся должны знать понятие «цепные дроби» все иррациональные числа
выражаются цепными дробями. Для 71 имеем
71 = 3 + 1 _____
7 + 1
15 + 1
1 +...
22 355
Приведенное выражение для 7 =3,1428 и 113 = 3,1415929... дает «обрывание»
цепной дроби.
IV. Материалы о вездесущности числа взяты из книги. В этой книге
рассказывается об идеях и исследованиях кандидата географических наук
В.Пиотровского. Ему удалось установить, что в классификации рельефа можно
выделить 15 порядков. Экспериментальным путем он установил, что все структуры
земного рельефа от мелких до гигантских связаны между собой через
число 71 (три с небольшим!). При расчете В.Пиотровским земных недр и толщи
океана была сделана проверка снизу вверх от центра Земли к ее поверхности и
далее... в космос и доказана вездесущность числа 71. В. Пиотровский считает,
что Земля и окружающий космос построены на основании одного закона, в основе
которого лежат волновые процессы. Этот закон можно назвать законом числа л .
Акустика привлекла внимание ученого благодаря необходимости знаний
геометрии. Анализируя контуры знаменитых скрипок Амати, Гварнели, Страдивари,
он установил, что можно выделить некий объем воздуха в корпусе скрипки. Этот
«шар» ровно в три раза укладывается в двух резонаторах инструмента.
Скачать материал

Математика - еще материалы к урокам: