Ученики на Учителя.com


Поурочное планирование "Многочлены от одной переменной" 11 класс

Поурочное планирование для темы
«Многочлены от одной переменной»
в 11 профильном классе.
(8 уроков - готовый материал).
Автор статьи – Дегтярёва Елена Ромуальдовна,
учитель математики высшей
квалификационной категории
МОУ СОШ №3 село Гражданское,
Минераловодский район,
Ставропольский край,
Россия.
Начав работать в профильном информационно-технологичесоком классе,
столкнулась с проблемой подбора практического материала к урокам по теме
«Многочлен от одной переменной». Предлагаю собственную разработку
планирования по данной теме, состоящую из поурочных планов 8 уроков.
Тематическое планирование.
1. Многочлен от одной переменной.
2. Делимость многочленов.
3. Деление многочленов с остатком.
4. Целый корень многочлена с целыми коэффициентами.
5. Теорема Безу.
6. Использование теоремы Безу.
7. Решение уравнений высших степеней.
8. Решение уравнений.
Урок 1.
Тема: Многочлен от одной переменной.
Многочлен ах+b, где а, b – числа (а ≠0), а х – переменная называется
многочленом первой степени;
многочлен ах
2
+bх+с, где а ,b, с – числа, (а ≠
0),
а х – переменная называется
многочленом второй степени или квадратным трехчленом;
многочлен ах
3
+bх
2
+сх+d, где а, b, с, d - числа (а ≠0), а x – переменная
называется многочленом третьей степени.
Вообще, если а,b, с, …, l, m числа (а ≠0), а х – переменная, то многочлен
ах
n
+bx
n-1
+сх
n-2
…+lx+m называется многочленом n-ой степени (относительно
х); ах
n
, bх
n-1
, …lx, m – члены многочлена, а – коэффициент при старшем
члене, m – свободный член многочлена. Обычно многочлен записывают по
убывающим степеням переменной, т.е. степени переменной х постепенно
уменьшаются, в частности на первом месте стоит старший член, последним –
свободный член. Такой многочлен называют расположенным. Пример: 5х
5
–
2х
3
+ 3х
2
+1 – многочлен пятой степени, в котором 5х
5
– старший член, 1
– свободный член многочлена.
Степень старшего члена называют степенью многочлена.
Числовой множитель, стоящий впереди буквенного называют
коэффициентом.
Если среди коэффициентов многочлена ни один не равен нулю, то
многочлен называют полным. В противном случае его называют неполным.
Примеры: 3х
5
– х
4
+ 2х
3
+7х
2
- 4х – 11 – полный многочлен 5-ой степени
относительно х; 19у
4
– 2у
2
+ у + 1 – неполный многочлен 4-ой степени
относительно у с числовыми коэффициентами.
Действия с многочленами.
I. Сложение, вычитание многочленов:
1) раскрытие скобок: а) если перед скобками стоит знак «+» этот «+» и эти
скобки опустить, знаки в скобках не менять; б) если перед скобками стоит
знак «-», этот «-» и эти скобки опустить, знаки в скобках поменять на
противоположные.
2) Заключение в скобки – по обратной схеме.
3) Приведение подобных слагаемых.
Слагаемые с одинаковой буквенной частью являются подобными.
Примеры:
a). Раскрыть скобки: 9а
2
+(7а
2
-2а-(а
2
-3а));
b) Заключить в скобки: крайние члены со знаком «+» перед скобками, а
средние члены со знаком «-» перед скобками: 2х
3
+5х
2
-4х-1.
c) Вычесть в столбик (расположенные многочлены)
_8х
4
-3х
3
+ 7х
2
+ х-18
-5х
4
+6х
3
- 3х
2
-4х+ 7
13х
4
-9х
3
+10х
2
+5х-25 (складывать аналогично).
II. Умножение и деление многочленов.
4). Выполнить деление на одночлен
(
4
3
а
6
+1
5
1
а
3
-
10
9
а):
5
3
а
5) Выполнить умножение :
х
5х
3
- 7х
2
+ х- 6
- 2х
2
- 3х+1_______
-10х
5
+14х
4
- 2х
3
+12х
2
-15х
4
+21х
3
-3х
2
+18х
5х
3
- 7х
2
+ х - 6
-10х
5
- х
4
+ 24х
3
+2х
2
+19х-6
6)
х
х
2
+х+1
х-1
х
3
+х
2
+х
____ -х
2
-х-1
Х
3
-1
Задание на дом: А.Н. Колмогоров. Алгебра и начала анализа. 10-11 класс
стр. 281, №43 (а,б), №41(а), №42(а).
Урок 2.
Тема: Делимость многочленов.
Разделить многочлен М на многочлен D значит найти два новых многочлена
Q и R таких, чтобы равенство M=DQ+R оказалось тождеством и чтобы
степень многочлена R была ниже степени делителя D. Если R=0, то деление
выполняется без остатка, если R
0, то деление выполняется с остатком.
Пример 1.
6х
3
+ х
2
-5х-2 |2х
2
-х-1
6х
3
- 3х
2
-3х 3х+2
4х
2
-2х-2
4х
2
-2х-2
0
Можно сделать проверку делением:
_6х
3
+ х
2
- 5х-2|3х+2 _
6х
3
+4х
2
____ 2х
2
-х-1.
-3х
2
- 5х
-3х
2
- 2х
-3х-2
-3х-2
0
или умножением:
х
2х
2
-х-1
3х+2
+
6х
3
-3х
2
-3х
____4х
2
-2х-2
6х
3
+ х
2
- 5х-2.
Если многочлен содержит несколько букв (параметры), то выполняем
деление по переменной, а остальные буквы считаем коэффициентами.
Пример 2.
_ х
2
+2а
3
х+а
6
|х+а
3
___
х
2
+а
3
х___ х+а
3
_ а
3
х+а
6
а
3
х+а
6
0
Примеры:
1) х
4
-3х
2
+2 |х-1_
Ответ: х
3
+х
2
-2х-2.
2) х
5
+1 |х+1_
Ответ: х
4
-х
3
+х
2
-х+1.
3) 2х
3
+5х
2
-9х-18|х-2_
Ответ: 2х
2
+9х+9
4) 6х
4
+5х
3
-11х
2
+9х-5|3х
2
+4х-5_
Ответ: 2х
2
-х+1
5) х
3
-7х+6|х
2
-3х+2_
Ответ: х+3.
Задание на дом.
Вычислите:
1) х
5
-1|х-1_
2) -2х
5
+х
4
+2х
3
-4х
2
+2х+4|х
3
+2_
А.Н. Колмогоров. Страница 281, №43(а) – второй столбик.
Урок 3.
Тема: Деление многочленов с остатком.
Рассмотрим деление многочлена на многочлен при R
0, т.е. деление с
остатком, тем более, деление многочленов не всегда выполняется нацело. В
большинстве случаев получается остаток.
Пример 1
_ х
3
-1 |х
2
-1_
х
3
-х х
х-1
Деление закончено, т.к. степень остатка ниже степени делителя.
Правильность деления легко проверить, упростив выражение:
(х
2
-1)х + (х-1) = х
3
-1.
Пример 2.
_х
8
+1|х
3
+1_
х
8
+х
5
__ х
5
-х
2
__-х
5
+1
-х
5
-х
2
__
х
2
+1.
Деление прекращается, т.к. высший член остатка не делится нацело на
высший член делителя.
Проверка: (х
3
+1)(х
5
-х
2
)+(х
2
+1)=х
8
-х
5
+х
5
-х
2
+х
2
+1=х
8
+1.
Пример 3.
_х
3
+х
2
+х+2|х
2
+х+1
х
3
+х
2
+х___ х
2.
Пример 4.
х
5
+х
3
+х
2
+1|х
2
+х+1.
Пример 5.
а
6
-2а
5
-а
4
+2а
3
-а+1|а
3
-2а
2
+3а-1.
Задание на дом:
1. х
5
-3х
3
+х
2
-12х+5|х
2
-5_
2. 2х
3
+3х
2
+3х-2|х
2
+8х+4_
3. Найти частное от деления х
5
+х
3
+х
2
+1 на х
2
+1 и разложить на
множители. Ответ: (х
3
+1)(х
2
+1).
Урок 4.
Тема: Целый корень многочлена с целыми коэффициентами.
Корнем многочлена n-ой степени называется такое значение х, при котором
многочлен обращается в 0. Например, число 2 является корнем многочлена
х
3
+2х
2
-7х-2, т.к. 2
3
+2 ·2
2
- 7 ·2-2=0.
Задача составления многочлена по его корням решается следующим образом:
пусть х
1
, х
2,
х
3,
… х
n
– корни многочлена, a – первый коэффициент, тогда a(х-
х
1
)(х-х
2
)…(х-х
n
) – искомый многочлен.
Пример 1. Составить многочлен при a=2; х
1
=2; х
2
=-1.
2(х-2)(х+1)=2(х
2
+х-2х-2)=2х
2
-2х-4.
Пример 2. a=1; х
1
=8; х
2
=-3; х
3
=1.
1(х-8)(х+3)(х-1)=
х
х – 8
х
х
2
-5х-24
х +3 х – 1__
+
х
2
-8х
+
х
3
-5х
2
-24х
__ 3х – 24 -х
2
+5х + 24
х
2
-5х – 24 х
3
-6х
2
-19х+24.
Пример 3. Составить многочлен 5-ой степени по данным его корням:
х
1
= 1; х
2
= i; х
3
= -i; х
4
= 1+i; х
5
=1-i; А=1.
1(х-1)(х-i)(х+i)(х-1-i)(х-1+i) = (х-1)(х
2
+1)((х-1)
2
+1) = (х-1)(х
2
+1)(х
2
-2х+2) =
(х
3
+х-х
2
-1)(х
2
-2х+2).
х
х
3
- х
2
+ х-1
х
2
-2х+2
х
5
- х
4
+ х
3
- х
2
+
-2х
4
+2х
3
-2х
2
+2х
+2х
3
-2х
2
+2х-2
х
5
-3х
4
+5х
3
-5х
2
+4х-2
Ответ: х
5
-3х
4
+5х
3
-5х
2
+4х-2 - искомый многочлен.
Для нахождения корней многочлена надо решить уравнение:
х
n
+ k
1
x
n-1
+…+k
n-1
x + k
n
= 0, все коэффициенты k
1
, k
2
, … , k
n
– целые числа и
k
n
0. Такое уравнение называется приведённым. Уравнение называется
приведённым, когда коэффициент высшего члена равен 1. Если такое
уравнение имеет корень, то он обязательно будет делителем свободного
члена k
n
.
Если ни один из делителей свободного члена не является корнем
приведенного уравнения, то оно не имеет ни одного целого корня.
Уравнение x
n
+k
1
x
n-1
+…+k
n-1
x+k
n
=0 не может иметь ни одного дробного
корня. (Доказательство см. С.И. Туманов «Элементарная алгебра», Учпедгиз,
1962г. Пособие для самообразования. Стр. 628.)
Примеры:
1) Найти корни многочлена: x
3
-2x
2
-5x+6=0
Делители свободного члена ±1; ±2; ± 3; ± 6. Корнями данного многочлена
является: х = 1, х = -2, х = 3.
2) х
3
+4х
2
+х-6
Делители: ±1; ±2; ±3; ±6.
Корнями являются х = -2; х = -3; х = 1.
Задание на дом: составить многочлен по его корням: 1) х
1
=2; х
2
=-2; х
3
=3.
2) х
1
=2+i; х
2
=2-i; х
3
=5.
Найти корни многочлена: 1) х
3
+5х
2
-х-5. 2) х
3
-х
2
-4х+4.
Урок 5.
Тема: Теорема Безу.
Теорема Безу: при делении многочлена n-ой степени относительно х,
расположенного по убывающим степеням х, на двучлен (х - а ) остаток равен
значению делимого при х = а (а может означать любое действительное или
мнимое число, т.е. комплексное число).
Доказательство теоремы Безу.
Пусть f(х) произвольный многочлен n-ой степени относительно х,
расположенный по убывающим степеням х, и пусть при делении на двучлен
(х – а) получилось в частном g(х), а в остатке R.
f(х)|х-а_
R g(х)
g(х) будет многочлен (n-1)-ой степени относительно х, а R будет величиной
постоянной, не зависящей от х.
Если бы остаток R был многочленом хотя бы 1-ой степени относительно х, то
это означало бы, что деление не доведено до конца. Итак, R от х не зависит.
По свойству деления получаем тождество f(х)=(х-а)g(х)+R.
Это равенство справедливо при любом х, значит и при х=а.
Подставим в равенство вместо х число а, получаем: f(a)= (a-a)g(a)+R
(a-a)g(a)=0, следовательно, f(a)=R, что и требовалось доказать.
Следствия из теоремы Безу.
1. Если многочлен делится на (х-а) без остатка, то а будет корнем этого
многочлена.
2. Если а будет корнем этого многочлена, то он обязательно делится на (х-а).
Вывод: для делимости многочлена на (х-а) необходимо и достаточно, чтобы а
было корнем этого многочлена.
Примеры:
1. ( х
3
+5х
2
-6х-6):(х-2).
Найдем остаток от деления: 2
3
+5
•
2
2
-6
•
2-6=8+20-12-6=10.
Проверка: _х
3
+5х
2
-6х-6|х-2_______
х
3
-2х
2
_____ х
2
+7х+8
_7х
2
- 6х
7х
2
-14х__
_ 8х-6
8х-16
10
2. (х
3
+5х
2
-6х-6):(х-3)
Найдем остаток от деления:
3
3
+5
•
3
2
-6
•
3-6=27+45-18-6=48
Проверка.
_х
3
+5х
2
- 6х - 6|х-3 ______
х
3
-3х
2
_____ х
2
+8х+18
_8х
2
- 6х
8х
2
-24х
_18х-6
18х-54
48
3. (х
4
+х-10):(х+2)
Найдем остаток от деления: (-2)
4
+(-2)-10=4
Проверка.
_ х
4
+х-10|х+2________
х
4
+2х
3
_ х
3
-2х
2
+4х-7
_-2х
3
+х
-2х
3
-4х
2
___
_4х
2
+х
4х
2
+8х____
_-7х-10
-7х-14_
4
3. (х
3
+х+1):(х-i)
Найдем остаток от деления.
i
3
+i+1=-i+i+1=1.
Проверка.
_х
3
+ х+ 1|х-i__
х
3
- iх
2
_ х
2
+iх
iх
2
+х
iх
2
+х_
1.
Примеры: пользуясь теоремой Безу найти остаток при делении многочлена
на многочлен и сделать проверку:
1. (х
3
+х
2
+2):(х-1-i) ответ: остаток = 0.
2. (х
5
+2х
3
-х+3):(х+2) ответ: остаток = -43.
3. (х
4
+3х
2
+х-5):(х-1) ответ: остаток = 0.
4. (3х
4
+2х
3
+5х
2
-х+1):(х-2) ответ: остаток = 51.
Задание на дом: найти остаток от деления многочлена на многочлен и
сделать проверку:
1. (х
4
-2х
3
+8х
2
-1):(х+1) ответ: остаток = 10.
2. (х
3
-2х
2
+х-6):(х-3) ответ: остаток = 6.
3. (х
5
+4х
3
-х
2
+3):(х-1) ответ: остаток = 7.
Урок №6.
Тема: Использование теоремы Безу.
Как следствие из теоремы Безу получается, что если а – корень многочлена
Р(х) с действительными коэффициентами, то Р(х) делится без остатка на
(х-а). это дает возможность решать уравнение вида Р(х)=0, называемое
алгебраическим уравнением n-ой степени. Число х
0
такое, что Р(х
0
)=0,
называют корнем многочлена. Уравнения степени выше второй называют
уравнениями высших степеней. Для решения таких уравнений помимо
теоремы Безу используются следующие общие теоремы алгебры:
а). Всякое алгебраическое уравнение n-ой степени во множестве
комплексных чисел имеет n корней, среди которых могут быть и равные.
б). Если уравнение с действительными коэффициентами (а только такие и
рассматриваются в элементарной алгебре) имеют комплексный корень, а+bi,
то оно имеет и сопряжённый с ним корень a-bi. Если это уравнение нечетной
степени, то оно должно иметь, хотя бы один действительный корень.
в). Всякое уравнение с действительными коэффициентами имеет четное
число мнимых корней, попарно сопряжённых.
г). Справедлива теорема Виета.
Для уравнения n-ой степени а
0
х
n
+a
1
x
n-1
+a
2
x
n-2
+…+a
n-1
x+a
n
=0.
Имеем: х
1
+х
2
+…+х
n
=- a
1
/a
0
х
1
· х
2
·… х
n
=(-1)
n
·a
n
/a
0
.
д). Для того, чтобы несократимая дробь
q
p
была корнем уравнения с целыми
коэффициентами а
0
х
n
+a
1
x
n-1
+…+a
n-1
x+a
n
=0 необходимо, чтобы p было
делителем свободного члена а
n
, а q – делителем коэффициента а
0
.
е). Если уравнение имеет целые коэффициенты и коэффициент при х
n
равен
1, то рациональными корнями могут быть только целые числа.
ж). Целые корни уравнения с целыми коэффициентами являются делителями
свободного члена.
Пример 1. х
3
-1=0.
По теореме Безу проверяем остаток при х=1. 1
3
-1=0, т.е. х
1
=1 является
корнем, и выполняется деление: _ х
3
-1|х-1______
х
3
-х
2
х
2
+х+1
_х
2
-1
х
2
-х
_ х-1
_х-1
0.
Далее х
2
+х+1=0 решаем по формулам во множестве комплексных чисел
D=1-4·1·1=-3. х
2,3
=
2
31 i
. Ответ: х
1
=1, х
2,3
=
2
31 i
.
Пример 2. Решить уравнение х
3
-6х
2
+11х-6=0. Так как уравнение имеет
целые коэффициенты и первый коэффициент равен 1, то целыми корнями
могут быть только делители свободного члена, т.е.
1,
2,
3,
6.
Проверим f(1) = 1
3
-6·1+11·1-6=0. На основании теоремы Безу имеем:
_х
3
-6х
2
+11х-6|х-1_______
х
3
-_х
2
______ х
2
-5х+6
_-5х
2
+11х
-5х
2
+ 5х__
_ 6х-6
6х-6
0
х
2
- 5х + 6 = 0
По теореме Виета: х
1
+х
2
=5, х
1
·х
2
=6. х
1
=2, х
2
=3.
Ответ: х=1, х=2, х=3.
Пример3. х
3
+(b
2
-a
2
)х+ab
2
=0.
Решение: проверим остаток при х
1
= -а.
-а
3
+(b
2
-a
2
)(-a)+ab
2
=-a
3
-ab
2
+a
3
+ab
2
=0.
Значит _ х
3
+(b
2
-a
2
)x+ab
2
|x+a_______
х
3
+ax
2
_______ x
2
-ax+b
2
_-ax
2
+(b
2
-a
2
)x
-ax
2
-a
2
x______
_b
2
x + ab
2
b
2
x + ab
2
___
0.
Далее: х
2
-ax+b
2
=0
D=(-a)
2
-4·1·b
2
=a
2
-4b
2
x
2,3 =
2
4
22
bаа
Ответ: х
1
=-а, x
2,3 =
2
4
22
bаа
.
Задание на дом:
1). х
4
+4х
3
-9х
2
-16х+20=0 Ответ: х
1
=1, х
2
= 2, х
3
=-2, х
4
=-5.
2). х
3
+6=7х Ответ: х
1
=1, х
2
=
6
, х
3
=-
6
.
3). х
4
-3х
3
-7х
2
+27х-18=0 Ответ: х
1, 2
=
3, х
3
=1, х
4
=2.
Урок 7.
Тема: Решение уравнений высших степеней.
Обратим внимание на уравнения а
0
х
n
+a
1
x
n-1
+…+a
n-1
x+a
n
=0. для того, чтобы
несократимая дробь
q
p
была корнем, необходимо, чтобы p было делителем
свободного члена а
n
, а q делителем первого коэффициента а
0.
Пример1.
2х
3
-3х
2
-11х+6=0
Решение: выберем несократимые дроби, способные стать корнем уравнения.
Делителями числа а
n
=6 являются ±1, ±2, ±3, ±6. делителями числа
а
0
=2являются ±1, ±2. следовательно претендентами на корень уравнения
будут несократимые ±1, ±2, ±3, ±6,
2
1
,
2
3
.
Проверим: х
1
=
2
1
.
2·(
2
1
)
3
-3·(
2
1
)
2
-11·
2
1
+6=
4
1
-
2
12
6
2
11
4
3
+6=0.
Значит: __2х
3
-3х
2
-11х+6|х-
½
_______
2х
3
-х
2
______ 2х
2
-2х-12
_-2х
2
-11х
-2х
2
+ х____
_ -12х+6
-12х+6
0
2х
2
-2х-12=0| :2
х
2
-х-6=0
По теореме Виета имеем х
2
+х
3
=1. х
2
·
х
3
=-6, т.е. х
2
=3, х
3
=-2.
Ответ: х
1
=
2
1
, х
2
=3, х
3
= -2.
Пример 2:
2х
3
-х
2
+х+1=0
Решение: претендовать на корень могут дроби: х =
2
1
; и х =
1
1
=
1.
2
·
(-
2
1
)
3
-(-
2
1
)
2
-
2
1
+1 = -
8
2
-
2
1
4
1
+1=0.
Значит: х
1
=-
2
1
.
_2х
3
-х
2
+х+1|х+
½
________
2х
3
+х
2
___ 2х
2
-2х+2.
_ -2х
2
+х
-2х
2
-х__
_ 2х+1
2х+1__
0
2х
2
-2х+2=0 | :2
х
2
-х+1=0
D=1-4
·
1
·
1=-3
х
2,3
=
2
31 i
Ответ: х
1
=-
2
1
, х
2,3
=
2
31 i
.
Пример3.
10х
3
-3х
2
-2х+1=0 Ответ: х
1
=-
2
1
, х
2,3
=
5
2 i
.
Пример 4.
2х
4
+7х
3
+6х
2
+7х-6=0 Ответ: х
1
=
2
1
, х
2
=-3, х
3
=-
2
7
2
1
i, х
4
=-
2
7
2
1
i.
Пример 5.
х
4
+х
3
+х
2
-х-2=0 Ответ: х
1
=1, х
2
=-1, х
3,4
=
2
71 i
.
Задание на дом: «Алгебра и начала анализа. 10-11 класс» А.Н. Колмогоров.
§3 «Уравнения, неравенства и системы», №105-112 по выбору учащихся.
Урок 8.
Тема: Решение уравнений.
Защита учащимися своих уравнений.
Например: №105(а).
(х+1)(х+2)(х+4)(х+5)=40
Т.е. х
4
+12х
3
+49х
2
+78х=0
х(х
3
+12х
2
+49х+78)=0
х
1
=0, х
2
=-6, т.к. (-6)
3
+12(-6)
2
+49(-6)+78=0
_х
3
+12х
2
+49х+78|х+6______
х
3
+6х
2
_________ х
2
+6х+13.
_ 6х
2
+ 49х
6х
2
+ 36х_____
13х +78
13х+ 78
0
х
2
+6х+13=0 D=36-4
·
1
·
13=36-52= -16.
х
3,4
=
2
46 i
Ответ: х
1
=0, х
2
=-6, х
3
-3+2i, х
4
=-3-2i.
№106(а).
12
1
)1(
1
)2(
1
2
ххх
Выполним подстановку х+1=а
12
11
)1)(1(
1
2
ааа
12
11
1
1
22
аа
Приведем к общему знаменателю, получим: а
4
-а
2
-12=0 а
0; а
1
по теореме Виета а
1
2
= 4 а
2
2
= -3,
т.е. а
1
= 2 а
2
= -2 а
3
= i
3
а
4
= -i
3
Ответ: х
1
=1, х
2
=-3, х
3
=-1+i
3
, х
4
=-1-i
3
№107(а).
х
2
+
2
1
х
+2(х+
х
1
)=6 (х
2
+2х
х
1
+
2
1
х
)+2(х+
х
1
)=8
(х
2
+2+
2
1
х
)+2(х+
х
1
)=8 (х+
х
1
)
2
+2(х+
х
1
)-8=0
Выполним подстановку х+
х
1
=а х
0
а
2
+2а-8=0
По т.Виета имеем: а
1
=-4 а
2
=2,
т.е. х+
х
1
=-4 х
2
+4х+1=0 х
0
D=16-4·1·1·=12 х
1,2
=
2
324
х
1,2
= -2
3
х+
х
1
= 2 х
2
-2х+1=0 х
3,4
=1
Ответ: х
1
= -2+
3
; х
2
=-2-
3
; х
3,4
=1.
№108(а).
х
4
-2х
3
+
4
3
х
2
-2х+1=0 |·4
4х
4
-8х
3
+3х
2
-8х+4=0
Найдем делители свободного члена:
1,
2,
4 и делители первого
коэффициента:
1;
2;
4, тогда возможный корень может быть:
1;
2;
4;
2
1
;
4
1
Проверим х
1
=2
4·2
4
-8·2
3
+3·2
2
-8·2+4=64-64+12-16+4=0
Выполним деление
4х
4
-8х
3
+3х
2
-8х+4 |х-2______
4х
4
-8х
3
______ 4х
3
+3х-2.
_ 3х
2
- 8х
3х
2
- 6х_____
-2х +4
-2х + 4
0
4х
3
+3х-2=0 Корнями могут быть:
1;
2
1
;
4
1
х
2
=
2
1
Проверяем: 4·(1/2)
3
+3·
2
1
-2=
8
4
+
2
3
-2=0
Выполним деление:
_4х
3
+ 3х - 2 |х-
½
______
4х
3
- 2х
2
______ 4х
2
+2х+4.
_ 2х
2
+ 3х
2х
2
- х_____
4х - 2
4х - 2
0
4х
2
+2х+4=0 |׃2
2х
2
+х+2=0 D=1-4·2·2=1-16= -15
Х
3,4
=
4
151 i
Ответ: х
1
=2, х
2
=
2
1
, х
3
=-
i
4
15
4
1
; х
4
=-
i
4
15
4
1
№109(а).
8х
4
+8х
3
-х-190=0
Найдем делители свободного члена 190:
±
1;
±
2;
±
5;
±
10;
±
19;
±
38;
±
95;
±
190.
Найдем делители первого коэффициента 8:
.8;4;2;1
Проверим х = 2 и х = -
2
5
8·2
4
+8·2
3
-2-190=8·16+8·8-2-190=128+64-2-190=0 т.е. х
1
=2
Проверим х = -
2
5
.0315315315
2
630
190
125
2
5
2
625
190
2
5
8
1258
16
6258
190
2
5
2
5
8
2
5
8
34
х
2 = -
2
5
Найдем частное от деления
(8х
4
+8х
3
-х-190) ׃ ((х-2) · (х+
2
5
))
_8х
4
+ 8х
3
– х - 190 |х
2
+
2
1
х - 5
8х
4
+ 4х
3
– 40х
2
______ 8х
2
+4х+38
_ 4х
3
+ 40х
2
- х
4х
3
+ 2х
2
– 20х___
38х
2
+ 19х - 190
38х
2
+ 19х - 190
0
8х
2
+4х+38=0 |׃2
4х
2
+2х+19=0
D= 4-4·4·19= 4-304= -300
8
3102
4;3
i
х
Ответ: х
1
= 2, х
2
=
2
5
, х
3
=
i
4
35
4
1
, х
4
=
.
4
35
4
1
i
№111(а).
2(х
2
+х+1)
2
– 7(х-1)
2
= 13(х
3
-1)
2х
4
+4х
3
+6х
2
+4х+2-7х
2
+14х-7-13х
3
+13=0
2х
4
-9х
3
-х
2
+18х+8=0
Найдем делители свободного члена:
.8;4;2;1
Найдем делители первого коэффициента:
.2;1
Проверим на корень
.8;4;2;
2
1
;1
х = -1
2·(-1)
4
-9·(-1)
3
- (-1)
2
+18·(-1)+8 = 2+9-1-18+8 = 19-19 = 0
_2х
4
- 9х
3
- х
2
+18х+8 |х+1______
2х
4
+ 2х
3
_________ 2х
3
-11х
2
+10х+8.
_ -11х
3
- х
2
-11х
3
- 11х
2
_____
10х
2
+ 18х
10х
2
+ 10х__
8х + 8
8х +8__
0
х
1
= -1
2х
3
-11х
2
+10х+8=0
Проверим на корень х =
2
1
085
4
12
85
4
11
4
1
8
2
1
10
2
1
11
2
1
2
23
_2х
3
- 11х
2
+ 10х+8 |х+
2
1
______
2х
3
+ х
2
_________ 2х
2
-12х+16.
_ -12х
2
+10х
-12х
2
- 6х_____
16х +8
16х +8__
0
х
2
= -
2
1
2х
2
-12х+16=0 |׃2
х
2
-6х+8=0
По т. Виета имеем: х
3
= 4, х
4
= 2.
Ответ: х
1
= -1, х
2
=
,
2
1
х
3
= 4, х
4
= 2.
Задание на дом: 1). x
3
-4x
2
+x+6=0
2). x
3
-5x
2
-16x+80=0
3). x
3
+2x
2
-49x-98=0
4). x
3
-3x+2=0 ,
можно предложить творческое задание:
«Алгебра и начала анализа 10-11» А.Н. Колмогоров 2003г. 13 издание.
§3 «Уравнения, неравенства и системы» №105-112 (по выбору учащихся).
Литература.
1. «Элементарная алгебра» С.И. Туманов. «Учпедгиз» 1962г.
2. «Математика. Справочные материалы» В.А. Гусев, А.Г. Мордкович.
Москва. «Просвещение» 1988г.
3. «Справочник по элементарной математике, арифметика, алгебра».
К.И. Швецов, Г.П. Бевз. «Наукова Думка». Киев 1965г.
4. «Алгебра и начала анализа. 10-11 класс» .А.Н. Колмогоров. Москва.
«Просвещение». 2003г.
5. «Алгебра 9 класс. Подготовка к ГИА 2010». Под редакцией Ф.Ф. Лысенко.
Елена Ромуальдовна
Сообщение
• Спасибо. Ваш материал отправлен на модерацию и будет опубликован сразу
после проверки.
Моя страница (Елена Ромуальдовна)
Материалы(0)
Просмотр(0)
Избранное(0)
У Вас нет опубликованных работ.
МНЕНИЕ РЕДАКЦИИ СМИ "ЗАВУЧ.ИНФО" МОЖЕТ НЕ СОВПАДАТЬ С МНЕНИЕМ
ЧИТАТЕЛЕЙ, ВЫСКАЗЫВАЕМЫХ В ФОРМЕ КОММЕНТАРИЕВ К СТАТЬЯМ ИЛИ
СООБЩЕНИЙ НА ФОРУМЕ ПОРТАЛА!
СМИ "ЗАВУЧ.ИНФО" не отвечает за содержание и политическую направленность
личных высказываний пользователей портала. Материалы публикуются в авторском
варианте, иллюстрации, пунктуация и лексика авторские. Претензии не принимаются.
Завуч.инфо св-во о рег. СМИ ЭЛ № 77–34271 inf[email protected]
• О ресурсе
• Наши партнеры
• Часто задаваемые вопросы
• Правовая информация
• Контакты
Скачать материал

Математика - еще материалы к урокам: