Презентация "Системы счисления"

Скачать материал

Подписи к слайдам:

Системы счисления

История возникновения счета

Счет появился тогда, когда человеку потребовалось информировать своих сородичей о количестве обнаруженных им предметов. В разных местах придумывались разные способы передачи численной информации: от зарубок по числу предметов до хитроумных знаков - цифр. Во многих местах люди стали использовать для счета пальцы. Одна из таких систем счета и стала общеупотребительной – десятичная.

Система счисления

Система счисления – это способ записи чисел по определенным правилам с помощью специальных знаков – цифр.
Знаки (символы), используемые в СС для обозначения чисел, называются цифрами.
Алфавит – это набор цифр. {0, 1, 2, …, 9}

Числа:
523
1010011
CXL

Цифры:
0, 1, 2, 3,…
0,1
I, V, X, L, …

Типы систем счисления

Типы систем счисления

Непозиционные

Позиционные

значение цифры не зависит от ее места (позиции) в записи числа;

значение цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа;

Позиционные системы счисления

Значение цифры зависит от ее позиции, т.е. одна и та же цифра соответствует разным значениям в зависимости от того, в какой позиции числа она стоит.

5 десятков

555

Десятичная система

5 сотен

5 единиц

Позиционные системы счисления

Основание системы счисления (N) - количество цифр (знаков), используемых для представления чисел

N=2

Основание

0, 1

Алфавит

Пример

10010112

N=4

0, 1, 2, 3

23014

Двоичная система счисления

Четверичная система счисления

Позиционные системы счисления

Основание

Алфавит

Пример

N=8

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

5278

N=16

10 11 12 13 14 15
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, B, C, D, E, F

2F516

Восьмеричная система счисления

Шестнадцатеричная система счисления

Решение задач

В каких системах счисления записаны числа?
259310, 1101012, 2078, 5С16

2314 73528 2848 21544
101112 10020112 5D812

Найти ошибки в записи чисел в различных С.С.

Решение задач

Какое минимальное основание должна иметь С.С., если в ней могут быть записаны числа

312? 1012? 6720? 790?
1000? 3440? 2F1? А19?

Соответствие между числами в различных системах счисления

10-ая	2-ая	8-ая	16-ая
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	А
11	1011	13	В
12	1100	14	С
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10
17	10001	21	11

Соответствие систем счисления

Десятичная	0	1	2	3	4	5	6	7
Двоичная	0	1	10	11	100	101	110	111
Восьмеричная	0	1	2	3	4	5	6	7
Шестнадцатеричная	0	1	2	3	4	5	6	7

Десятичная	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Двоичная	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111	10000
Восьмеричная	10	11	12	13	14	15	16	17	20
Шестнадцатеричная	8	9	A	B	C	D	E	F	10

Перевод чисел из 10-й СС в 2-ю СС

Правила перевода
Разделить десятичное число на 2. Получится частное и остаток.
Частное опять разделить на 2. Выполнять деление до тех пор, пока последнее частное не станет меньшим 2.
Записать последнее частное и все остатки в обратном порядке. Полученное число и будет двоичной записью исходного десятичного числа.

Перевод чисел из 10-й СС в 2-ю СС

1

5710 → Х2

57

2

Ответ:
5710 = 1110012

Записываем выделенные остатки в обратном порядке

56

28

2

28

0

14

2

14

0

7

2

6

1

3

2

2

1

1

Перевод чисел из 10-й СС в 8-ю СС

4

10010 → Х8

100

8

Ответ:
10010 = 1448

Записываем выделенные остатки в обратном порядке

96

12

8

8

4

1

Перевод чисел из 10-й СС в 16-ю СС

15

33510 → Х16

335

16

Ответ:
33510 = 14F16

Записываем выделенные остатки в обратном порядке

320

20

16

16

4

1

F

Основание (количество цифр): 16
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

A, 10

B, 11

C, 12

D, 13

E, 14

F 15

185 2
184 24 2
1 24 12 2
0 12 6 2
0 6 3 2
0 2 1
1

Решение задач

В двоичную систему:

18510 =

В четверичную систему:

78 4
76 19 4
2 16 4 4
3 4 1
0

7810 =

101110012

10324

Решение задач

Восьмеричная система:

7510 =

132 8
128 16 8
4 16 2
0

2048

75 8
72 9 8
3 8 1
1

279 8
272 34 8
7 32 4
2

27910 =

1138

13210 =

4278

Решение задач

Шестнадцатиричная система:

10710 =

250 16
240 15
10

25010 =

107 16
96 6
11

721 16
720 45 16
1 32 2
13

72110 = 2D116

6В16

FA16

Перевод в десятичную СС

Формы записи числа

Развернутая

Свернутая

=2*100+7*10+5*1 =
=2*102+7*101+5*100

27510

Любое позиционное число можно представить в виде суммы степеней основания системы.

Решение задач

Запишите числа в развернутой форме:
259310, 1101012, 2078, 5С16

Запишите числа в свернутой форме:
1*24+1*23+0*22+1*21+0*20 =
7*102+3*101+1*100 =
3*81+3*80 =
14*161+5*160 =

Перевод из 2-ой в 10-ую СС

11012

3 2 1 0

=1*23

+1*22+0*21+1*2=

Основание системы

Разряд цифры

=8+4+1 = 13

Для перехода из двоичной системы счисления в десятичную необходимо двоичное число представить в виде суммы степеней двойки и найти ее десятичное значение.

Решение задач

100112

4 3 2 1 0

= 1·24 + 0·23 + 0·22 + 1·21 + 1·20
= 16 + 2 + 1 = 1910

11011100 = 1*27 + 1*26 + 1*24 +
+ 1*23 + 1*22 =
= 128 + 64 + 16 + 8 + 4 =22010

7 6 5 4 3 2 1 0

Перевод из 8-ой в 10-ую СС

718

1 0

= 7*81+1*80 = 56+1= 5710

1448

2 1 0

= 1·82 + 4·81 + 4·80 =
= 64 + 32 + 4 = 10010

Перевод из 16-ой в 10-ую СС

7А16

1 0

= 7·161 + 10·160 =
= 112 + 10 = 12210

2С616

2 1 0

= 2·162 + 12·161 + 6·160 =
= 512 + 192 + 6 = 71010

1C516

2 1 0

= 1·162 + 12·161 + 5·160
= 256 + 192 + 5 = 453

C

1D416 = 1*162 + 13*161 + 4*160 =
= 256 + 208 + 4 = 46810

2 1 0

Задание. Перевести в 10-ю СС

1010112 =
1101102 =
758 =
1348 =
7658 =
120314 =

26438 =
1BC16 =
22B16 =
A3516 =
2FE116 =

Домашнее задание

Переведите числа из одной системы счисления в другую.
718 → Х10 → Х2;
5Е16 → Х10 → Х8;
110102 → Х10 → Х16;
AF16 → Х10 → Х2

Домашнее задание

Для каждого из чисел: 12310, 45610 выполнить перевод: 102, 10  8, 10  16.
Для каждого из чисел: 1000112, 1010010112, 11100100012 выполнить перевод: 2  10, 2  8, 2  16.
Для чисел: 543218, 545258, 7778, 1AB16, A1B16, E2E416, E7E516 выполнить соответствующий перевод: 8  2, 16  2.

Перевод дробных чисел в десятичную с.с.

1001,112

3 2 1 0 -1 -2

= 1·23 + 1·20 + 1·2-1 + 1·2-2=
= 8 + 1 + 0,5 + 0,25 = 9,7510

101,0112

2 1 0 -1 -2 -3

= 1·22 + 1·20 + 1·2-2 + 1·2-3=
= 4 + 1 + 0,25 + 0,125 = 5,37510

1003,2014

= 1*43+3*40+2*4-1+1*4-3
=64+3+0,5+0,015625=
=67,51562510

Перевод правильной десятичной дроби из десятичной системы счисления

Алгоритм перевода:
Последовательно умножать десятичную дробь и получаемые дробные части произведений на основание новой системы счисления до тех пор, пока дробная часть не станет равна нулю или не будет достигнута необходимая точность перевода.
Полученные целые части произведений выразить цифрами алфавита новой системы счисления.
Записать дробную часть числа в новой системе счисления начиная с целой части первого произведения.

Перевод дробных чисел 10  2

0,2510 =

,5

0

1

0,012

0 ,25

 2

 2

,0

105,2510 = 105 + 0,25 = 1101001,012

10510 = 11010012

Перевод дробной части числа из десятичной СС в другую позиционную СС выполняется последовательным умножением на основание системы, пока дробная часть не станет равна 0.

Перевод дробных чисел 10  2

25,375 =

,750

0

1

1

11001,0112

0 ,375

 2

 2

 2

,5

,0

0,7 = 0,101100110… = 0,1(0110)2

Многие дробные числа нельзя представить в виде конечных двоичных дробей.
Для их точного хранения требуется бесконечное число разрядов.

Перевод дробных чисел 10  4

233,87510 =?4

180,6562510  х4

18010  23104

,625

2

2

2

0 ,65625

 4

 4

 4

,5

,0

180,6562510  2310,2224

Арифметические операции

<number>

сложение

вычитание

0+0=0 0+1=1
1+0=1 1+1=102
1 + 1 + 1 = 112

0-0=0 1-1=0
1-0=1 102-1=1

перенос

заем

1 0 1 1 02
+ 1 1 1 0 1 12

1



0

0



0

1

1

0

2

1 0 0 0 1 0 12
– 1 1 0 1 12

0

2

1





0 102

1

0

0 1 1 102

0

1

0







Арифметические операции

<number>

<number>

1101012
+ 101102

101112
+ 1011102

1110112
+ 110112

1110112
+ 100112

Арифметические действия

101 1 12
– 11012

101 11012
– 1101112

10 11012
– 110112

Арифметические действия

сложение

1 5 68
+ 6 6 28



1

6 + 2 = 8 = 8 + 0
5 + 6 + 1 = 12 = 8 + 4
1 + 6 + 1 = 8 = 8 + 0



1 в перенос

1 в перенос



08

0

4

1 в перенос

Арифметические действия

<number>

34728
+ 45208
8

103214
+ 20304
4

3 5 38
+ 7 3 68

1 3 5 38
+ 7 7 78

Арифметические действия

вычитание

4 5 68
– 2 7 78



(6 + 8) – 7 = 7
(5 – 1 + 8) – 7 = 5
(4 – 1) – 2 = 1



заем

78

1

5

заем

Арифметические действия

7 2 58
– 3 7 48

1 1 5 68
– 6 6 28

Арифметические действия

сложение

A 5 B16
+ C 7 E16



1 6 D 916

10 5 11
+ 12 7 14

11+14=25=16+9
5+7+1=13=D16
10+12=22=16+6



1 в перенос

1 в перенос

13

9

6

1

Арифметические действия

С В А16
+ A 5 916

10 В А16
+ 8 5 616

Арифметические действия

вычитание

С 5 B16
– A 7 E16

заем



1 D D16

12 5 11
– 10 7 14



(11+16)–14=13=D16
(5 – 1)+16 – 7=13=D16
(12 – 1) – 10 = 1

заем

13

1

13

Арифметические действия

10 В А16
– A 5 916

Арифметические действия

умножение

1 0 1 0 12
 1 0 12

1 0 1 0 12
+ 1 0 1 0 12

1 1 0 1 0 0 12

2 0 1 34
 2 14

2 0 1 34
+ 1 0 0 3 24

1 0 2 3 3 34

Арифметические действия

умножение

7 2 58
 1 48

3 5 2 48
+ 7 2 58

1 2 7 7 48

3 А 216
 3 116

3 А 216
+ А Е 616

В 2 0 216

Информатика - еще материалы к урокам:

Copyright © 2013-2024 "Учителя.com" | Обратная связь: [email protected]