Презентация "Математическая логика формы мышления"

Математическая логика Формы мышления

• Е.А. Тулаева МОУ СОШ №18 г.Пенза

Связь логики и вычислительной техники

• Логика является теоретической основой современных ЭВМ и сложных управляющих систем. Используя методы и средства логической науки, ученые разрабатывают эффективные языки программирования.
• Особое значение логическая наука стала приобретать в вопросах, касающихся проблемы искусственного интеллекта. Именно здесь разработчикам пришлось создать новую область логических исследований – логический анализ.

Связь логики и вычислительной техники

• Внутри машины все числа (а так же информация другого рода: буквы, знаки и др.) представлена в виде двоичных кодов. При выполнении программы арифметическо-логическое устройство (АЛУ) производит различные операции над двоичными числами, выдавая результаты также в виде двоичных чисел. Поэтому АЛУ можно рассматривать как сложный функциональный преобразователь, на вход которого поступают исходные двоичные числа, а на выходе выдаётся новое двоичное число, являющееся той или иной функцией от входных чисел.

Логика.

• Запишите определение логики:
• Опр: Логика – (logos (др. гр.) – слово, мысль, понятие, закон, рассуждение) – наука о законах и формах мышления.
• Основоположник – Аристотель (384-322гг до н.э). Рассмотрел мышление со стороны строения, структуры, т.е. с формальной стороны. Так возникла формальная логика.

Логика.

• Формальная логика – наука, пытавшаяся найти ответ на вопрос, как мы рассуждаем, изучающая логические операции и правила мышления.
• Основоположник математической логики – нем.математик, философ Вильгельм Лейбниц (XVII в.). Первый пытался построить логические исчисления: арифметические и буквенно-алгебраические; высказал мысль о возможности применения двоичной СС в вычислительной математике.
• Дальнейшее развитие его идеи получили лишь в XIXв. В трудах математика Джорджа Буля, отца писательницы Э. Войнич. Он вывел для логических построений особую алгебру – алгебру логики.
• Опр: Раздел математики, занимающийся исследованием логических функций, называется алгеброй логики.

Вильгельм Готфрид Лейбниц

• Вильгельм Готфрид Лейбниц родился в 1646 году в семье философа, профессора университета в городе Лейпциге. Став взрослым и получив университетское образование, Лейбниц поступил на дипломатическую службу. Поездки в Париж и Лондон дали ему возможность ознакомиться с идеями великих математиков Франции и Англии. В 1676 году Лейбниц завязал переписку с Ньютоном. К сожалению, она продолжалась только год и не привела к объединению усилий.
• Научное соперничество и взаимная неприязнь Ньютона и Лейбница породили вопрос, который много лет волновал историков и политиков: кто же все-таки был первооткрывателем? Вероятно, Ньютон придумал основные понятия дифференциального и интегрального исчислений чуть раньше - зато Лейбниц первым опубликовал свои результаты, и к тому же применил более удобную, чем у Ньютона, систему обозначений. Эти обозначения математики используют уже более трёхсот лет.

Аристотель

• АРИСТОТЕЛЬ (ок. 384–322 до н.э.), древнегреческий философ и педагог, родился в Стагире в 384 или 383 до н.э., умер в Халкиде в 322 до н.э. Почти двадцать лет Аристотель учился в Академии Платона и, по-видимому, какое-то время там преподавал.

• Аристотель регулярно читал своим ученикам и помощникам лекции по самым разнообразным предметам.
• Труды Аристотеля можно разделить по следующим группам:
• Во-первых, это труды по логике, обычно собирательно именуемые Органон. Сюда входят Категории; Об истолковании; Первая аналитика и Вторая аналитика; Топика.
• Во-вторых, Аристотелю принадлежат естественнонаучные труды. В-третьих, мы располагаем сводом текстов под названием Метафизика, представляющим собой цикл лекций. В-четвертых, имеются труды по этике и политике.
• Философия Аристотеля. Аристотель нигде не говорит, что логика является частью собственно философии. Он воспринимает ее скорее в качестве методологического инструмента всех наук и философии, а не самостоятельного философского учения. Понятно, что логика должна предшествовать философии.

Джордж Буль

• Родился в семье рабочего. Первые уроки математики получил у отца. Хотя мальчик посещал местную школу, его можно считать самоучкой. В 12 лет знал латынь, затем овладел греческим, французским, немецким и итальянским языками. В 16 лет уже преподавал в деревенской школе, а в 20 открыл собственную школу в Линкольне.

• В 1854 году опубликовал работу «Исследование законов мышления, базирующихся на математической логике и теории вероятностей». Работы 1847 и 1854 годов положили начало алгебре логики, или булевой алгебре. Буль первым показал, что существует аналогия между алгебраическими и логическими действиями, так как и те, и другие предполагают лишь два варианта ответов – истина или ложь, нуль или единица. Он придумал систему обозначений и правил, пользуясь которыми можно было закодировать любые высказывания, а затем манипулировать ими как обычными числами. Булева алгебра располагала тремя основными операциями – И, ИЛИ, НЕ, которые позволяли производить сложение, вычитание, умножение, деление и сравнение символов и чисел. Таким образом, Булю удалось подробно описать двоичную систему счисления. В своей работе «Законы мышления» (1854 г.) Буль окончательно сформулировал основы математической логики. Он также попытался сформулировать общий метод вероятностей, с помощью которого из заданной системы вероятных событий можно было бы определить вероятность последующего события, логически связанного с ними.

Логика.

• Главная задача логики - выявить, какие способы рассуждения правильные, а какие нет; описать и исследовать те способы рассуждений, которые являются правильными.
• Пример неправильного рассуждения …

Основные понятия логики.

• Логика рассматривает три различные формы мышления, в которых осуществляется мышление: понятие, суждение, умозаключение.
• Запишите определение:
• Понятие – мысль, в которой обобщаются и выделяются предметы некоторого класса по определенным, общим и в совокупности специфическим для них признакам.

Основные понятия логики.

• Каждая мысль выражается словами в предложении, которые представляют собой различные суждения (высказывания):
• Запишите определение:
• Суждением (высказыванием) называется всякое утверждение (или всякое предложение), о котором можно судить, истинно оно или ложно. Истинное высказывание обозначается - 1, ложное - 0
• «6 - четное число» - это высказывание, т.к. оно истинное.
• «Рим - столица Франции» - это тоже высказывание т.к. оно ложное.

Основные понятия логики.

• Запишите определение:
• Умозаключение – форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений (предпосылок, условий) выводится новое суждение (заключение, вывод).

Вывод умозаключений

• Путь вывода умозаключений лежит через …
• Рассуждение – это цепочка взаимосвязанных суждений, фактов и общих положений по определенным правилам вывода.

Основные понятия логики.

• Примеры:
• Параллелограмм – это 4-х угольник, у которого противоположные стороны параллельны.
• В параллелограмме противоположные углы равны.
• Если в 4-х угольнике две стороны параллельны и равны, то этот 4-х угольник – параллелограмм.
• Назовите к каким формам мышления относится каждое предложение. В умозаключении назовите условие и заключение. Приведите свои примеры понятия, суждения, умозаключения.

Основные понятия логики.

• Но не всякое предложение является высказыванием. Например предложения «ученик десятого класса» и «информатика - интересный предмет» не являются высказываниями.
• Первое предложение ничего не утверждает об ученике.
• Второе использует слишком неопределенное понятие «интересный предмет».

Основные понятия логики.

• Высказываниями не являются:
• 1. Предложения, содержащие переменные,
• так как нам не известно, какое значение принимает переменная и, соответственно, неизвестно будет истинным это предложение или ложным.
• 2. Восклицательные и вопросительные предложения,
• это не повествовательные предложения.
• 3. Определения.
• мы не можем судить о том истинно такое предложение или ложно, ведь определение – это мы что-то так назвали и расшифровали, что это такое. Кто-то может сказать, что это не так и придумать своё определение.

Основные понятия логики.

• Предложения типа «в городе А более миллиона жителей», «у него голубые глаза» не являются высказываниями, так как для выяснения их истинности или ложности нужны дополнительные сведения, о каком конкретно городе или человеке идет речь.
• Такие предложения называются высказывательными формами .
• Высказывательная форма - это повествовательное предложение, которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием, когда все переменные замещаются своими значениями.

Основные понятия логики.

• Рассмотрим примеры:
• 1. 50 · 4 (не является высказыванием – нельзя сказать 1 или 0)
• 2. 50 = 42 + 8 (высказывание, 1)
• 3. Я сижу за компьютером (высказывание, 1)
• 4. В атаку! (не является высказыванием - восклицательное)
• 5. 5х – 6 = 9 (не является высказыванием – есть переменная)
• 6. 9 > 12 (высказывание, 0)
• 7. х < 43 (не является высказыванием – есть переменная)
• 8. Здравствуйте (не является высказыванием – нельзя сказать 1 или 0)
• 9. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат на одной плоскости и не пересекаются (не является высказыванием, так как определение)

Задание 1.

• Какие из предложений являются суждениями и каково их значение истинности?
• а) «Сижу и смотрю» б) «Верно ли, что  = 3,1415926…?» в) «математическое доказательство» г) «z+5=45» д) «20+30+40+10=100»

Задание 2:

• Приведите примеры:
• а) истинного и ложного высказываний;
• б) предложения, не являющегося высказыванием;
• с) высказывательной формы.
• (запишите в тетрадь)

Задание 3.

• Из представленных суждений получите третье в виде умозаключения:
• А = «Сумма цифр трехзначного числа равна 7»
• B = «Цифры десятков и единиц одинаковы»

Виды суждений

• Частные – выражают конкретные (частные) факты.
• Например:
• «Луна – спутник Земли»
• «7 – 2 > 3»

• Общие –
• характеризуют свойства группы объектов или явлений.
• Например:
• «В любом прямоугольном треугольнике есть прямой угол»
• «X2  0»

Виды суждений

• Простое суждение – никакая его часть не является суждением
• «Париж – столица России» (простое, ложное)

• Сложные суждения –
• Образованы из нескольких суждений с помощью определенных способов соединения суждений.
• «Если в 4-х угольнике все стороны равны, то этот 4-х угольник является ромбом»

Примеры

• Рассмотрим примеры простых и сложных высказываний:
• 1. На улице хорошая погода (простое)
• 2. Когда я пойду домой, по дороге куплю хлеб (сложное, состоит из двух простых: «я пойду домой» и «я по дороге куплю хлеб»)
• 3. Если из двух вычесть пять, то получится восемь (простое: «из двух вычесть пять» и «получится восемь» – сами по себе не являются высказываниями)
• 4. Если 2+3=5 - истина, то 5=2+3 – тоже истина (сложное: «2+3=5 - истина» и «5=2+3 – тоже истина»).

Задание 4.

• Укажите, какие из суждений являются частными, а какие общими, укажите значение истинности для каждого суждения: а) (x + y) (x – y) = x2 – y2 б) «Любой ромб является параллелограммом» в) «a3=a2, если a=1» г) 32 + 22 = 52 д) «Меркурий – спутник Марса» е) «Джордано Бруно – ученик Галилео Галилея»

Задание 5.

• Из сложных суждений выделите простые и обозначьте их буквами: а) Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. б) Есть мера вещей и существуют известные границы (афоризм Горация) в) Студент запланировал выполнить следующие дела: подготовиться к зачету, побывать на тренировке, почитать книгу. г) Если завтра будет туман, мы не сможем вылететь на соревнования

Домашнее задание.

• § 3.1
• Конспект урока.
• Примеры: а) определения, суждения, умозаключения; б) предложения, не являющегося суждением; в) частного и общего суждения; г) простого и сложного суждения.

Алгебра суждений

• Е.А. Тулаева МОУ СОШ №18 г.Пенза

Повторение

• Что такое логика, ее главная задача.
• Что такое понятие, суждение, умозаключение, рассуждение?
• Какие значения могут принимать суждения?
• Какие суждения называют частными и общими?
• Что такое простое и сложное высказывание?
• Приведите примеры.

Рассмотрим следующие примеры сложных высказываний и связь между простыми высказываниями:

• Рассмотрим следующие примеры сложных высказываний и связь между простыми высказываниями:
• 1. Если 12 делится на 6, то делится и на 3 (простые высказывания: «12 делится на 6» и «12 делится на 3»; связь «если, то»).
• 2. На улице льёт дождь или светит солнце (простые высказывания: «на улице льёт дождь» и «на улице светит солнце»; связь «или»)
• 3. Дома отключили свет и воду (простые высказывания: «дома отключили свет» и «дома отключили воду»; связь «и»)
• 4. Два числа равны тогда и только тогда, когда их разность не равна нулю (простые высказывания: «два числа равны» и «разность двух чисел не равна нулю»; связь «тогда и только тогда, когда» и «не»)

Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания «не», «и», «или», «если …, то», «тогда и только тогда» и другие позволяют из уже заданных высказываний строить сложные высказывания.

• Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания «не», «и», «или», «если …, то», «тогда и только тогда» и другие позволяют из уже заданных высказываний строить сложные высказывания.
• Такие слова и словосочетания называются логическими связками.
• Иначе они называются ...

Основные логические операции

• I. Инверсия.
• II. Конъюнкция.
• III. Дизъюнкция.
• IV. Строгая дизъюнкция.
• V. Импликация
• VI. Эквивалентность.

ИНВЕРСИЯ

• Обозначение: Ā, not A.
• Пример:
• А - Дождя не будет
• Ā - Неверно, что дождя не будет

• Таблица истинности

• Логическое отрицание
• 1) НЕ
• 2) НЕВЕРНО, ЧТО

Задание 2:

• Приведите пример высказывания и его отрицания.
• Определите истинность каждого.

КОНЪЮНКЦИЯ

• Обозначения: &, and, ,•.
• Пример:
• А - Дождя не будет.
• В - Небо голубое.
• А&В - Дождя не будет и небо голубое.

• Таблица истинности:

• Логическое умножение
• И

Задание 3:

• а) Приведите примеры двух высказываний и получите составное высказывание используя логическую связку «И».
• б) Определите истинность или ложность каждого из трех высказываний

ДИЗЪЮНКЦИЯ

• Обозначения: OR, V, +
• Пример:
• А - Дождя не будет.
• В - Небо голубое.
• А V В - Дождя не будет или небо голубое.

• Таблица истинности:

• Логическое сложение
• ИЛИ

Задание 4:

• а) Приведите примеры двух высказываний и получите составное высказывание используя связку «ИЛИ».
• б) Определите истинность или ложность каждого из трех высказываний.

Порядок выполнения логических операций:

• НЕ.
• И
• ИЛИ
• Если есть скобки, то сначала выполняются действия в скобках

Пример. Составьте таблицу истинности.

• _ _
• X = (A & B ) V ( A & B)

A	B	_ A	_ B	_ A & B	_ A & B	X
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	0

Пример. Составьте таблицу истинности.

• ______
• X = (A & B V C) V ( A & C)

A	B	C
0	0	0
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0
1	0	1
0	1	1
1	1	1

Самостоятельно.

• Составьте свое выражение, состоящее из 2 или 3 высказываний, с использованием всех рассмотренных логических операций.

Итог:

• Вы познакомились с основными понятиями алгебры логики.
• Рассмотрели элементарные логические операции.
• Разобрали для каждой логической операции таблицу истинности.

Домашнее задание

• § 3.2
• № 3.1.

Алгебра суждений

• Продолжение (2 урок)

СТРОГАЯ ДИЗЪЮНКЦИЯ

• Обозначения: XOR
• Пример:
• А - Дождя не будет.
• В - Небо голубое.
• А xor В - Либо дождя не будет, либо небо голубое.

• Таблица истинности:

• ЛИБО, ЛИБО

Задание 5:

• а) Приведите примеры двух высказываний и получите составное высказывание используя связку «ЛИБО, ЛИБО».
• б) Определите истинность или ложность каждого из трех высказываний

ИМПЛИКАЦИЯ

• Обозначения: 
• Пример:
• А - Дождя не будет.
• В - Небо голубое.
• А  В - Если дождя не будет, то небо голубое.

• Таблица истинности:

• Условная связь
• ЕСЛИ, ТО

Задание 6:

• а) Приведите примеры двух высказываний и получите составное высказывание используя связку «ЕСЛИ, ТО...».
• б) Определите истинность или ложность каждого из трех высказываний

ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ

• Обозначения: 
• Пример:
• А - Дождя не будет.
• В - Небо голубое.
• АВ - Дождя не будет тогда и только тогда, когда небо голубое.

• Таблица истинности:

• 1) Если и только если
• 2) Тогда и только тогда, когда

Задание 7:

• а) Приведите примеры двух высказываний и получите составное высказывание используя связку.
• б) Определите истинность или ложность каждого из трех высказываний