Презентация "Прямоугольные треугольники при решении задач С4" 11 класс

Скачать материал

Подписи к слайдам:

Прямоугольные треугольники
при решении задач С4

Учитель математики
МБОУ башкирская
гимназия с.Малояз
Исмагилова Л.А.
2012 г.

D

B

A

C

α

α

M

α + β = 90º
β = 90 - α

B

A

C

M

α

α

β

β

α

Дано: ∆АВС, АВ=ВС.
AD- биссектриса, DM┴AD
DM ∩ АС = M
Доказать: CD = ½AM
Доказательство:

Р

1)DP║AB
P- cередина AM

2) ∆APD- равнобедренный, AP=PD

5) CD = ½AM

3) ∆PDC- равнобедренный, PD=CD

т.к ∆АВС~ ∆PDC по двум углам, A= P= 2α, С-общий , значит AP=PD=PM=СD

Задача

B

A

C

D

a

b

c

I. CD² = BD · AD
CA² = AB · BD
CB² = AB · BD

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два прямоугольных треугольника, подобных исходному.

F

m

E

n

II. CD = (BC · AC) / AB
AC = (n² + m²) / n
BC = (n² + m²) / m

n

m

Высота из вершины прямого угла

III. В подобных треугольниках АВС,АСD,ВСD имеет место равенство:
d²a+d²b=d²c ; (da, db, dc,-сходственные линейные элементы этих треугольников
P²∆ABC= P²∆ACD+ P²∆BCD
r²a+ r²b= r²c ; R²a + R²b= R²c
ra,rb,rc-радиусы вписанных окружностей в ∆ACD, ∆BCD, ∆ABC
h²a+h²b=h²c (ha,hb,hc, -высоты,опущенные из вершин прямых углов

O1

O2

Окружность - Касательная

Доп-но:доказать,что ∆О1МО2 – прямоуг., М = 90º

II. MN = 2√Rr

R+r

R-r

I. АВ = 2√Rr

А

В

О2

О1

F

r

R

2√Rr

2√Rr

т.к. ∆AKB- прямоугольный, К= 90º, МК- медиана, АМ = МК = МB=√Rr
Аналогично NK= √Rr
Значит MN = МК + КN = 2√Rr

(т.к. О1МО2 – угол между биссектрисами смежных углов АМК и ВМК) МО1-биссектриса AMK, МО2- биссектриса ВМК

K

A

M

B

N

Отрезок общей внешней касательной к двум касающимся окружностям радиусов r и R равен отрезку общей внутренней касательной
(MN) ,заключенному между общими внешними.
Оба эти отрезки равны 2√Rr

Задача

Дано: две касающиеся окружности с центром О1 и О2 , общая внешняя касательная. К – точка касания окружностей. А и В-точки касания. АК = а, ВК = b

Найти: r, R

3)АВ = √a² + b²

А

В

O2

a

b

О1

К

2) Если есть хорда в окружности, то проводим NO2 ┴ КВ, тогда N-середина КВ,

N

4) ∆ BNO2 ~ ∆ AKB : ABK = BO2N
K = N =90º

R

5) Найдем R: АВ : ВО2 = АК : BN
(√a² + b²) : R = a :(b/2) => R = (b√a² +b²) / 2a

Решение:
1) АКВ- прямой

6) Аналогично для r

r

Окружности: вписанные, описанные

I.R=½c , r = ½(a+b-c)= p-c
(p-полупериметр p=½ (a+b+c))

r = S/p ; R=abc/4S

II. BN= d = p-b ;
BN равен разности полупериметра p и противоположной стороны b

А

В

С

О1

О2

N

a

b

c

d

R + r =½(a+b)
r=½(a +b -√a²+b²)

Вневписанная окружность

I. Определение. Окружность называется вневписанной в треугольник, если она касается одной из сторон треугольника и продолжений двух других сторон.

II. Центр вневписанной окружности- точка пересечения биссектрис внутреннего и внешних углов треугольника.

III. BN=BM=p (полупериметр)

IV. Радиус вневписанной окружности

a

b

c

A

B

C

N

K

M

rb

β

О

rb=p·tg(β/2)
ra =p·tg(α/2)
rc =p·tg(γ/2)

rb=S / (p-b)
ra=S / (p-a)
rc=S / (p-c)

ra + rb + rc = r + 4R
(сумма радиусов вневписанных окружностей равна сумме радиуса вписанной окружности и удвоенного диаметра описанной окружности)

Задача

В

А

С

6

8

r1

r2

D

Дано:∆АВС, С= 90º, СD- высота
Вписанные окружности в ∆AСD и ∆BСD
АС = 6см, ВС = 8см
Найти: r1 , r2

Ответ: 1.2см ; 1.6см

Решение:
1)АВ=√6²+ 8² =10(см)

10

2) СD=(АС·ВС)/АВ= (6·8)/10=4.8(см)

4.8

3) ∆АDС : AD=√AC²-CD² =√6²- (4.8)²=√36 – 23.04= =3.6(cм)
∆BDC : DB= √BC²-CD²=√8²-(4.8)²=√(8- 4.8)(8+ 4.8)=6.4(см)

3.6

6.4

r1 = (AD+DC-AC)/2=(3.6 + 4.8 – 6)/2=1.2(см)
r2 = (CD+DB-CB)/8=1.6(см)

1.6

1.2

Геометрия - еще материалы к урокам:

Copyright © 2013-2024 "Учителя.com" | Обратная связь: [email protected]