Ученики на Учителя.com


Факультативное занятие "Наглядная геометрия. Правильные многогранники" 6 класс

МБОУ лицей № 21.
Факультативное занятие по математике по
теме :
«Наглядная геометрия.
Правильные многогранники.»
Учитель математики
Хоменко Е.А.
Тамбов – 2013г.
Цель:
всестороннее развитие геометрического мышления учащихся 6 классов с
помощью методов геометрической наглядности, геометрическое
конструирование, моделирование и дизайн.
Задачи:
• продолжать работу над формированием у учащихся пространственного
воображения, применять полученные знания при моделирование, создать
условия для развития познавательного интереса к предмету;
• продолжать развивать навыки самостоятельной деятельности;
• развивать познавательную активность, грамотность математической речи;
• воспитывать дисциплинированность, интерес к предмету, самостоятельность
I. Организационный момент.
СЛАЙД №1.
Учитель: Ребята, посмотрите, к нам пришло много гостей. Поприветствуйте их. (дети
встают).
Учитель: Запишите в тетрадях тему нашего занятия
«Правильные многоугольники»
СЛАЙД №2
Учитель: У каждого из вас на столе лежит листочек с изображением окружности.
На листочках нарисуйте тот вид лица, который соответствует вашему
настроению в начале урока.
СЛАЙД №3
Учитель: Вам порою кажется, что геометрия совершенно не связана с нашей
жизнью, что это очень трудная и совсем непонятная наука. Часто самые интересные
факты – из–за малого количества отведенных на предмет часов – проходят мимо вас.
На самом же деле мы с вами живем в мире, который неразрывно связан с геометрией.
Если вы хотите по-новому открыть для себя удивительный мир геометрических тел ,
то это занятие для вас.
II. Подготовка учащихся к усвоению.
Учитель: С понятием многогранника мы с вами сталкивались уже не однократно.
С каким многогранником вы знакомы с детства?
Учитель: Ребята, давайте вспомним, что такое «многогранник»?
Ребята устно отвечают на поставленный вопросы (спросить можно нескольких
детей), затем проверяем ответ на вопрос, с помощью слайда.
СЛАЙД №4 Учитель: определение
МНОГОГРАННИК-
поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое
геометрическое тело.
СЛАЙД №5 Учитель: Из чего же состоит многогранник? Рассмотрим его элементы.
СЛАЙД №6
Учитель: Существует два вида многогранников: выпуклые и невыпуклые.
Учитель: Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну
сторону от плоскости каждой из его граней.
СЛАЙД №7 : Примеры невыпуклого многогранника.
СЛАЙД №8:
Учитель: Определите, какие из многогранников, изображенных на рисунке, являются
выпуклыми?
I I I. Изучение нового материала.
Учитель: И опять вернемся к кубу
Из чего состоит куб?
Ребята – куб состоит из квадратов.
Учитель: Каким свойством обладают стороны, углы квадрата?
Ребята – стороны и углы квадрата равны
Учитель: Многоугольник, у которого все стороны и углы равны, называется
правильным. Правильными бывают не только четырехугольники, но и треугольники ,
пятиугольники, шестиугольники.
(учитель показывает модели правильных многоугольников)
Из всех многогранников мы также выделяем особые - правильные. О них мы сегодня
и поговорим.
СЛАЙД №9Учитель: (определение правильного многогранника)
Многогранник называется правильным, если:
• он выпуклый;
• все его грани являются равными многоугольниками;
• в каждой его вершине сходится одинаковое
число ребер.
СЛАЙД №10
Учитель: "Правильных многогранников вызывающе мало, - написал
когда-то Л. Кэролл, - но этот весьма скромный по численности отряд
сумел пробраться в самые глубины различных наук".
Каково же это вызывающе малое количество?
Всего существует 5 правильных многогранников
На каждом столе лежат модели многогранников. Названия правильных
многогранников пришли из Древней Греции.
Давай запишем их и проверим, все ли они удовлетворяют определению правильных
многогранников.
СЛАЙД № 11-15. Ребята работают с моделями.
В дословном переводе с греческого
тетраэдр, четырехгранник
октаэдр, восьмигранник
гексаэдр, шестигранник
додекаэдр, двенадцатигранник
икосаэдр двадцатигранник.
СЛАЙД № 16-17
Учитель: Изучая любые многогранники, необходимо, конечно же, определить его
свойства, для этого предлагаю определить количество граней, ребер и вершин.
Подсчитаем число указанных элементов правильных многогранников и зафиксируем
результаты в таблице 1.
СЛАЙД № 16 Для икосаэдра заполним таблицу вместе Число граней – …
Число вершин– …
Число ребер– …
Для остальных фигур заполните самостоятельно.
СЛАЙД № 17. Давайте проверим, как вы заполнили таблицу.
Таблица 1
Правильный
многогранник
Число граней
Число вершин
Число ребер
Тетраэдр
4
4
6
Куб
6
8
12
Октаэдр
8
6
12
Додекаэдр
12
20
30
Икосаэдр
20
12
30
Рассматривая табл. 1, зададимся вопросом: «нет ли закономерности в
возрастании чисел в каждом столбце?» По-видимому, нет. Вот в столбце «грани» все
сначала пошло хорошо (4 + 2 = 6, 6 + 2 = 8), а потом намеченная закономерность
«провалилась» (8 + 2). В столбце «вершины» нет даже стабильного возрастания. Число
вершин то возрастает (от 4 до 8, от 6 до 20), а то и убывает (от 8 до 6, от 20 до 12). В
столбце «ребра» закономерности тоже не видно. Но не будем сдаваться. У нас еще
есть поле для эксперимента. Ведь мы сравнивали числа внутри одного столбца. Но
можно рассмотреть сумму чисел в двух столбцах, хотя бы в столбцах «грани» и
«вершины» (Г + В).
СЛАЙД № 18 Для икосаэдра заполним таблицу вместе
СЛАЙД № 19. Давайте проверим, как вы заполнили таблицу 2.
Сравним новую таблицу своих подсчетов (см. табл. 2).
Вот теперь закономерность видна.
Таблица 2
Правильный
многогранник
Число ребер
(Г+В) - Р
Тетраэдр
6
2
Куб
12
2
Октаэдр
12
2
Додекаэдр
30
2
Икосаэдр
30
2
СЛАЙД № 20. Сформулируем ее так: «Сумма числа граней и вершин равна
числу ребер, увеличенному на 2»: Г + В = Р + 2.
Итак, получена формула, которая была подмечена уже Декартом в 1640 г., а
позднее переоткрыта Эйлером (1752), имя которого с тех пор она и носит. Формула
Эйлера верна для любых выпуклых многогранников.
Учитель: История правильных многогранников уходит в глубокую древность.
Правильными многогранниками увлекались Пифагор и его ученики. Их поражала
красота, совершенство, гармония этих фигур. Пифагорейцы считали правильные
многогранники божественными фигурами и использовали в своих философских
сочинениях. Позже учение пифагорейцев о правильных многогранниках изложил в
своих трудах другой древнегреческий ученый, философ - идеалист Платон. Платон
(360г до н. э) сопоставил каждую из четырёх стихий (землю, воздух, воду и огонь)
определённому правильному многограннику. С тех пор правильные многогранники
стали называться Платоновыми телами.
СЛАЙД № 21 (1 щелчок)
Четыре многогранника олицетворяли в ней четыре сущности или "стихии".
Тетраэдр символизировал огонь, т.к. его вершина устремлена вверх;
Икосаэдр - воду, т.к. он самый "обтекаемый";
куб - землю, как самый "устойчивый";
октаэдр - воздух, как самый "воздушный".
Пятый многогранник, додекаэдр, воплощал в себе "все сущее", символизировал все
мироздание, считался главным
VI. Первичная проверка усвоения знаний. Моделирование многогранников.
Учитель: Многогранник , как и многоугольник можно изобразить на плоскости. С
общими правилами построения многогранников познакомимся в старших классах, но
некоторые из них мы можем изобразить сейчас. Например, куб и тетраэдр.
(Учитель на доске показывает построение куба и тетраэдра на плоскости)
Учитель:
Построение остальных правильных многогранников достаточно сложны и их
построение мы рассмотрим позже. Но как это выглядит можно посмотреть на
следующих слайдах.
СЛАЙД № 22-26.
Учитель: Одним из способов изготовления правильных многогранников является
способ с использованием, так называемых развёрток.
СЛАЙД № 27 (Учитель на доске показывает слайд-фильм)
Что же такое развёртка многогранника? Вы скажете — кусок картона, из
которого можно свернуть данный многогранник. В Какой многогранник можно
свернуть из столь хорошо известного латинского креста? Конечно же, куб. Для
этого надо покрасить ребра, как это сделала наша волшебная кисточка (рёбра
одинакового цвета склеиваются в многограннике друг с другом).
Если модель поверхности многогранника изготовлена из гибкого нерастяжимого
материала (бумаги, тонкого картона и т. п.), то эту модель можно разрезать по
нескольким рёбрам и развернуть так, что она превратится в модель некоторого
многоугольника. Этот многоугольник называют развёрткой поверхности
многогранника. Для получения модели многогранника удобно сначала изготовить
развёртку его поверхности. При этом необходимыми инструментами являются клей и
ножницы.
СЛАЙД № 28 Учитель:
Развертка существует для каждого правильного многоугольника. На доске
представлены развертки не только куба, но и других правильных многогранников.
Учитель: В начале урока, на каждый стол были розданы листы, с напечатанными
развертками, каждого правильного многогранника. Ваше задание дома будет –
вырезать эти развертки, используя их склеить модели каждого из 5 правильного
многогранника на двоих, куб моделировать не будем
Учитель: С помощью многогранников человек создает оригинальные здания,
СЛАЙД № 29 Учитель: Рассмотрим правильные многогранники в архитектуре.
СЛАЙД № 30 Жизнь по наклонной: дома-кубы в Роттердаме
Кубические дома в Роттердаме являются наиболее показательным примером
современной архитектуры Нидерландов. Эти уникальные здания были построены в
период между 1978 и 1984 годом по проекту архитектора Пита Блома.
В Роттердаме— архитектор наклонил обычный дом на 45 градусов так, что три грани
куба смотрят в небо, а три — в землю».
СЛАЙД № 31 Архитектор Альберто Гонзалес (Alberto Gonzalez) создал в столице
Колумбии городе Боготе жилой дом под названием Manuel Villa. А в саду этого дома –
небольшой домик для отдыха и работы на природе.
VII. Подведение итогов.
СЛАЙД № 32 Светящийся многогранник. Национальная библиотека Республики
Беларусь.
СЛАЙД № 33 ЦАРСКАЯ ГРОБНИЦА Великая пирамида была построена как
гробница Хуфу, известного грекам как Хеопс. Он был одним из фараонов, или царей
древнего Египта, а его гробница была завершена в 2580 году до н.э. Это правильная
пирамида, в основании которой квадрат со стороной 233м и высотой 146,5м.Не
случайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии.
СЛАЙД № 34 Мы убедились , что с помощью многогранников человек создает
оригинальные, здания, но сам ли человек их придумал. Скорее всего - нет, он
«подсмотрел» их у природы.
СЛАЙД № 35 Правильные многогранники и природа»
Правильные многогранники встречаются в живой природе. Например, скелет
одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) no форме напоминает
икосаэдр .Чем же вызвана такая природная геометризация феодарий? По-видимому,
тем, что из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет
наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает
морскому организму преодолевать давление водной толщи.
СЛАЙД № 36 Правильные многогранники – самые выгодные фигуры, поэтому они
широко распространены в природе. Подтверждением тому служит форма некоторых
кристаллов. Например, кристаллы поваренной соли имеют форму куба.
СЛАЙД № 37. Геологические находки. Гранаты: Андрадит и Гроссуляр
( найдены в бассейне реки Ахтаранда, Якутия)
СЛАЙД № 38 Интересно. Икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их
спорах относительно формы вирусов.
Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить его
форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами,
что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно
такую же тень - икосаэдр.
СЛАЙД № 39 Многогранники в искусстве «Поистине, живопись — наука и законная
дочь природы, ибо она порождена природой» Леонардо да Винчи
СЛАЙД № 40 Титан Возрождения, живописец, скульптор, ученый и изобретатель
Леонардо да Винчи (1452-1519) — символ неразрывности искусства и науки, а
следовательно, закономерен его интерес к таким прекрасным, высокосимметричным
объектам, как выпуклые многогранники вообще и усеченный икосаэдр в частности.
Изображения Леонардо да Винчи
додекаэдра методом жестких ребер (а)
и методом сплошных граней(б)
СЛАЙД № 41 Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией, Альбрехт Дюрер
(1471- 1528), в известной гравюре «Меланхолия» на переднем плане изобразил
додекаэдр.
СЛАЙД № 42 На картине художника Сальвадора Дали «Тайная Вечеря» Христос со
своими учениками изображён на фоне огромного прозрачного додекаэдра.
Форму додекаэдра, по мнению древних, имела ВСЕЛЕННАЯ , т.е. они считали, что
мы живём внутри свода, имеющего форму поверхности правильного додекаэдра.
СЛАЙД № 43 Учитель: «Человек проявляет интерес к многогранникам на
протяжении всей своей сознательной деятельности – от двухлетнего ребенка,
играющего деревянными кубиками, до зрелого математика, наслаждающегося
чтением книг о многогранниках. Правильные многогранники с древних времен
привлекали внимание ученых, строителей, архитекторов и многих других. Их
поражала красота, совершенство, гармония этих многогранников. Правильные
многогранники изучали Теэтет, Платон, Евклид, Кеплер.
Некоторые из правильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие – в
виде вирусов (которые можно рассмотреть с помощью электронного микроскопа).
Весь материал не имеет смысла отражать в словах, поэтому я выбрала, на мой
взгляд, самое важное. Для большей наглядности использовала модели, фотографии.
Теме «Правильные многогранники» уделяется не слишком пристальное внимание на
школьных уроках. На мой взгляд, зря.
На следующий урок, Вы приносите модели многогранников».
СЛАЙД № 36
- Учитель: «Скажите, понравился Вам урок? Для того чтобы ответить на
этот вопрос .В низу на листочках нарисуйте тот вид лица, который
соответствует вашему настроению в конце урока.
Приложение 1.
Таблица 1
Правильный
многогранник
Число граней
Г
Число вершин
В
Число ребер
Р
Тетраэдр
Куб
Октаэдр
Додекаэдр
Икосаэдр
Таблица 2
Правильный
многогранник
Число ребер
Р
Тетраэдр
Куб
Октаэдр
Додекаэдр
Икосаэдр
Приложение 2.
Скачать материал

Геометрия - еще материалы к урокам: