Ученики на Учителя.com


Конспект урока "Вычисление углов между векторами, прямыми и плоскостями" 11 класс

Вычисление углов между векторами, прямыми и плоскостями
Ц е л и
обучающие: формировать навыки решения задач на нахождение угла между
векторами, прямыми, прямой и плоскостью;
воспитательные воспитывать чувство коллективизма и сопереживания
успехам и неудачам своих одноклассников;
развивающие: учить проводить доказательные рассуждения, используя
математическую речь, развивать самоконтроль и творчество учеников.
Оборудование: раздаточный материал, листы миллиметровой бумаги
формата А1, фломастеры, проектор, экран.
Тип урока: повторение, обобщение и систематизация пройденного
материала.
Формы работы: индивидуальная и в малых группах, частично – поисковый
метод.
Используемая литература:
Л. С. Атанасян и др. Геометрия 10 – 11.
С. М.Саакян, В.Ф. Бутузов Изучение геометрии 10 – 11 классах М.
«Просвещение» 2004
План урока.
1. Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания.
3. Актуализация.
4. Применение знаний.
5. Домашнее задание.
6. Рефлексия.
Х о д у р о к а
1 . О р г . м о м е н т : Уча щ и е с я р а с с а ж и в а ю т с я п о г р у п п а м ,
о п р е д е л я ю т т е м у и ц е л и у р о к а .
2. Фронтальная проверка домашнего задания (с места): № 451 (б, д),
№ 464 (в; г).
3. Актуализация. Повторение алгоритма решения задач.
А л г о р и т м р е ш е н и я з а д а ч :
1. Ввести прямоугольную систему координат.
2. Записать координаты всех точек.
3. Использовать алгоритм нахождения угла между прямыми, между прямой и
плоскостью.
Решение задач (по готовым чертежам)
B
1
z
C ( ; ; ) ... ... ...
1
C ( ; ; ) ... ... ...
y
D
1
D
B (0; 0; 0)
A
a( ; 0; 0)
x
A
1
Д а н о : ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
– куб.
Вычислить cos
11
,AA AC



.
1. B (0; 0; 0), A (a; 0; 0), C (...; ...; ...),
A
1
(...; ...; ...), C
1
(...; ...; ...).
2.
1
AA
= a;
1
AA
{0; 0; a}.
1
AC
= ... = a
;
1
AC
{–a; a; a}.
3.
2
11
AA AC a
.
4. cos α =
2
3
3
3
a
aa
.
Эту задачу можно решить и традиционным способом рассмотрев Δ AA
1
C
1
:
AA
1
= a, AC
1
= a
, A
1
C
1
= a
2
.
cos α =
1
11
3
3
3
AA
a
AC
a

.
4. Применение знаний. Каждая из четырех групп получает задание на
карточках.
1 карточка.
Решить задачу №456 векторно–координатным способом.
2 карточка.
Решить задачу №465 традиционным способом.
3 карточка.
Решить задачу №465 векторным способом.
4 карточка.
Решить задачу №465 векторно–координатным способом.
Решение задач учащиеся записывают фломастерами на листах формата А1.
Если учащиеся затрудняются при решении задачи, то учитель может дать им
необходимую консультацию или предложить план решения, но не весь, а один
два пункта.
5. Решение задач.
№ 456.
C ( ; ; 0 2 2)
1
B
1
( ; ; 0 0 2)
z
C ( ; ; 0 2 0)
y
B (0; 0; 0)
D
1
A
1
A
(1; 0; 0)
x
D ( ; ; 1 2 0)
Д а н о : ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
–
прямоугольный параллелепипед, AB =
1, BC =
= CC
1
= 2.
Найти
11
,DB BC



.
Р е ш е н и е
1. Введем систему координат. (Пусть учащиеся делают это удобным для них
образом.)
B (0; 0; 0), A (1; 0; 0), D (1; 2; 0), C (0; 2; 0), B
1
(0; 0; 2), C
1
(0; 2; 2).
2.
1
BC
{0; 2; 2},
1
0 4 4 2 2AC
.
1
DB
{–1; –2; 2},
1
1 4 4 17DB
.
11
BC DB
= 0 – 4 + 4 = 0
11
( , )DB BC
= 0°.
№ 465.
M
N
C
D
B
O
A
Д а н о : AB = BC = AC = AD = BD = DC,
AM = MD, BN = NC.
Доказать, что
MN AD MN BC
= 0.
Д о к а з а т е л ь с т в о
1. (Традиционный способ)
( ).
0
BC AN
BC DO BC ADN
AN DO

0.
()
BC ADN
BC MN MN BC
MN ADN
равнобедренный
медиана
AND
AN ND MN AD
MN

0.MN AD
2. (Векторный способ).
1) Рассмотрим базисные векторы
,,DA DB DC
.
2) Выразим векторы
MN
и
AD
через базисные:
1 1 1
( ) ( ).
2 2 2
MN DN DM DB DC DA DB DC DA
.AD DA
3.
2
11
( ) (
22
MN AD DA DB DC DA DA DB DA DC DA
2
)DA

Пусть каждое из ребер тетраэдра равно a. Найдем скалярное произведение.
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
( cos60 cos60 ) 0
2 2 2 2
a a a a a a



MN AD
= 0.
3. (Векторно-координатный способ).
z
D (0; 0; )
a 6
3
C
y
B
x
N
O (0; 0; 0)
M
A
a 3
3
Введем прямоугольную систему
координат.
O (0; 0; 0), N
3
0; ; 0
6
a



, D
6
0; 0;
3
a



,
A
3
0; ; 0
3
a



, M
36
0; ;
66
aa



.
C
O
A (0; 2; 2)
x
y
N
B
36
0; ;
33
aa
AD





,
36
0; ;
36
aa
MN





.
3 3 6 6
0
3 3 3 6
a a a a
AD MN
22
0.
33
aa

В результате разбора решения задач учащиеся должны убедиться в
эффективности координатного метода.
6. Домашнее задание: № 455, 457, 462.
Чтобы обеспечить быструю проверку домашнего задания, необходимо
договориться с учащимися, как ввести в каждом из заданий систему
координат. Пусть учащиеся сделают это сами.
7. Рефлексия. «Сегодня на уроке я выяснил, что …..», «Мне
понравилось…..».
Скачать материал

Геометрия - еще материалы к урокам: