Ученики на Учителя.com


Конспект урока "Симметрия в пространстве. Правильные многогранники" 10 класс

Конспект урока на тему: «Симметрия в пространстве. Правильные многогранники».
Урок – лекция. (10 класс) – 1 час.
Учебная задача: совместно с учащимися «открыть»:
• понятия симметричных точек относительно точки, прямой и плоскости по аналогии с изученной ранее темой
«Симметрия на плоскости»;
• понятием правильного многогранника, его виды и элементы симметрии;
• теорему о том, что «не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные
шестиугольники, семиугольники и вообще n-угольники при n6».
Диагностируемые цели:
В результате ученик:
Знает определения точек симметричных относительно точки (прямой, плоскости), центра (оси, плоскости) симметрии,
определение правильного многогранника, виды правильных многогранников, теорему о том, что «не существует
правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и вообще n-
угольники при n6».
Умеет выделять элементы симметрии правильных многогранников, решать простейшие задачи, связанные с элементами
симметрии правильных многогранников.
Метод обучения: УДЕ, частично - поисковый.
Форма обучения: фронтальная, индивидуальная.
Средства обучения: канва – таблица, презентация, модели правильных многогранников.
Действия учителя
Действия учеников
Записи на доске
I. Мотивационно – ориентировочный этап
- Здравствуйте, ребята!
Посмотрите на рисунок и скажите, что
за объемные фигуры изображены на
рисунке?
-Дайте определение многогранника.
-Какие из изображенных
многогранников вам известны?
-На какие две группы можно разделить
эти многогранники?
Какие многогранники называют
выпуклыми? Определим, какие
многогранники будут выпуклыми, а
какие невыпуклыми. Почему 3,6,7
невыпуклые?
- Что мы знаем о сумме всех плоских
углов при каждой вершине выпуклого
многогранника?
- Какая фигура лежит в основании
данного многогранника?
-Чему равна сумма углов в
многоугольнике?
- Давайте подсчитаем, чему равна
сумма всех углов в правильном
На рисунке изображены многогранники.
Поверхность, составленную из
многоугольников и ограничивающую
некоторое геометрическое тело,
называют многогранником.
Правильная призма (1), наклонная
призма(4), пирамида треугольная (2),
пятиугольная (5).
На выпуклые и невыпуклые
многогранники.
Многогранник называется выпуклым,
если он расположен по одну сторону от
плоскости каждой его грани.
Выпуклые:1,2,4,5, невыпуклые:3,6,7.
Сумма всех плоских углов при каждой
вершине выпуклого многогранника
меньше 
.
В основании данного многогранника
лежит правильный шестиугольник.
Сумма углов в многоугольнике равна

   .
Сумма всех углов в правильном
шестиугольнике равна 
. Каждый
(слайд 1)
(слайд 2)
(слайд 3)
(слайд 4)
(слайд 5)
шестиугольнике? Каждого угла
шестиугольника?
Это нам сегодня понадобиться для
изучения новой темы.
- Однажды Л.Н. Толстой сказал: «Стоя
перед чёрной доской и рисуя на ней
мелом разные фигуры, я вдруг был
поражён мыслью: почему симметрия
приятна глазу? Что такое симметрия?
Это врождённое чувство. На чём же
оно основано?».
-С симметрией мы встречаемся в
природе, архитектуре, технике, быту.
Мы часто видим симметричные
творения природы (листья, цветы,
птицы, животные) или творения
человека (здания, техника) - все то, что
окружает нас каждый день. В быту:
молотки, рубанки, лопаты, трубы. Мы
смотрим на себя в зеркало и видим,
что части нашего лица симметричны
друг другу. По улицам ездят
автомобили, автобусы, правая и левая
части которых симметричны. Таким
образом, симметрия бывает не только
на плоскости (кленовый лист), но и в
пространстве (лицо).
Ребята, для начала вспомним такие
понятия, как симметрия относительно
точки, симметрия относительно
угол равен 
.
(слайд 6)
(слайд 7 -11)
(слайд 12)
прямой, которые мы изучили на
плоскости.
-Какие же точки называются
симметричными относительно точки?
При этом точку О называют центром
симметрии.
- Сформулируйте определение точек
симметричных относительно прямой.
При этом прямую а называют осью
симметрии.
По аналогии с симметрией на
плоскости определятся симметрия в
пространстве. Симметрия тесно
связана с многогранниками.
Цель нашего урока: расширить знания
о симметрии и многогранниках.
Тему урока мы запишем в процессе
заполнения таблиц.
Точки 
и называются
симметричными относительно точки О,
если О - середина отрезка
.
Точки 
называются
симметричными относительно прямой
а, если прямая а проходит через
середину отрезка 
и
перпендикулярна к этому отрезку.
(слайд 13)
II. Содержательный этап
- Как было сказано выше, по аналогии
с симметрией на плоскости
определятся симметрия в
пространстве. Поэтому в процессе
работы заполним следующую канву –
таблицу.
Мы вспомнили определение точек
симметричных относительно точки.
Попробуйте сформулировать такое
Точки 
и называются
симметричными относительно точки О,
если О - середина отрезка
.
Симметрия
На плоскости
В пространстве
(слайд 14)
определение только для
симметричных точек в пространстве.
Чем будет точка О?
- А как формулируется определение
точек симметричных относительно
прямой в пространстве?
Чем будет являться прямая а?
- В пространстве существует понятие
точек симметричных относительно
плоскости. Попытайтесь дать
определение.
Значит, плоскость- плоскость
симметрии.
Итак, точка (прямая, плоскость)
называется центром (осью,
плоскостью) симметрии фигуры, если
каждая точка фигуры симметрична
относительно нее некоторой точке той
же фигуры.
Таким образом, в пространстве
помимо центральной и осевой
симметрии, которые есть на
плоскости, добавляется зеркальная
симметрия.
-Оказывается у некоторых
многогранников тоже есть центр, ось и
плоскость симметрии, которые
называют элементами симметрии
Точка О – центр симметрии.
Точки 
называются
симметричными относительно прямой
а, если прямая а проходит через
середину отрезка 
и
перпендикулярна к этому отрезку.
Прямая а – ось симметрии.
Точки 
называются
симметричными относительно
плоскости , если плоскости
проходит через середину отрезка 
и
перпендикулярна к этому отрезку.
Заполненная канва – таблица:
На плоскости
В пространстве
Точки А и А1
называются
симметричными
относительно
плоскости α (плоскость
симметрии), если
плоскость α проходит
через середину отрезка
АА1 и
перпендикулярна к
этому отрезку.
этого многогранника.
-Рассмотрим два многогранника: куб и
параллелепипед. Куб называют
правильным многогранником. Давайте
выясним почему?
Давайте подсчитаем, сколько ребер
сходиться в каждой вершине куба,
параллелепипеда.
Чем являются грани этих
многогранников?
Особо важно, что все грани куба
равны между собой, а у
параллелепипеда не все грани равны
между собой.
Таким образом, куб будем относить к
правильным многогранникам.
- Посмотри на следующий рисунок.
Давайте попробуем определить
является ли одна из этих пирамид
правильным многогранником.
Действуем по той же схеме
(определяем число ребер сходящихся в
каждой вершине, вид граней и их
равенство).
Попробуйте дать определение
правильного многогранника.
Определение. Выпуклый многогранник
называется правильным, если все его
грани – равные правильные
многоугольники и в каждой его
вершине сходиться одно и тоже число
По три ребра в каждой вершине.
Грани куба – квадраты (правильные
многоугольники), грани
параллелепипеда – прямоугольники
(неправильные многоугольники).
(слайд 15)
(слайд 16)
(слайд 17)
ребер.
- Возникает вопрос, сколько граней,
являющихся правильными
многоугольниками, может сходиться в
одной вершине, чтобы в результате
получился правильный многогранник.
Давайте подсчитаем, а полученные
результаты будет сравнивать с ,
так как по теореме, которую мы
вспоминали в начале урока сумма всех
плоских углов при каждой вершине
выпуклого многогранника меньше

.
1. Рассмотрим правильный
треугольник. Сколько градусов равен
каждый угол? Подсчитаем сумму
плоских углов при вершине
треугольника, если:
а) в каждой вершине сходится три
грани;
Сумма меньше 
, значит, такой
правильный многогранник может
быть.
б) в каждой вершине сходится четыре
грани;
Сумма меньше 
, значит, такой
правильный многогранник может
быть.
в) в каждой вершине сходится пять
граней;
Сумма меньше 
, значит, такой
правильный многогранник может
Обсуждение предложенных вариантов.
Каждый угол в правильном
треугольнике равен 
.
Если в каждой вершине сходится три
грани, то сумма плоских углов при
вершине равна    
.
Если в каждой вершине сходится
четыре грани, то сумма плоских углов
при вершине равна   
.
Если в каждой вершине сходится пять
граней, то сумма плоских углов при
вершине равна   
.
быть.
г) в каждой вершине сходится шесть
граней;
Сумма равна 
, противоречит
теореме. Следовательно, такого
многогранника не может быть.
2. Рассмотрим правильный
четырехугольник – квадрат. Сколько
градусов равен каждый угол?
Подсчитаем сумму плоских углов при
вершине квадрата, если:
а) в каждой вершине сходится три
грани;
Сумма меньше 
, значит, такой
правильный многогранник может
быть.
б) в каждой вершине сходится четыре
грани;
Сумма равна 
, противоречит
теореме. Следовательно, такого
многогранника не может быть.
3. Рассмотрим правильный
пятиугольник. Сколько градусов равен
каждый угол? Подсчитаем сумму
плоских углов при вершине квадрата,
если:
а) в каждой вершине сходится три
грани;
Сумма меньше 
, значит, такой
правильный многогранник может
быть.
б) в каждой вершине сходится четыре
Если в каждой вершине сходится шесть
граней, то сумма плоских углов при
вершине равна   
.
Каждый угол в квадрате равен 
.
Если в каждой вершине сходится три
грани, то сумма плоских углов при
вершине равна    
.
Если в каждой вершине сходится
четыре грани, то сумма плоских углов
при вершине равна   
.
Каждый угол в правильном
пятиугольнике равен 
.
Если в каждой вершине сходится три
грани, то сумма плоских углов при
вершине равна    
.
грани, очевидно, что сумма равна

, противоречит теореме.
Следовательно, такого многогранника
не может быть.
Если будем рассматривать правильный
шестиугольник, то сумма плоских
углов при каждой вершине, в которой
сходится три грани, будет равна .
Это тоже противоречит теореме.
Исходя из наших расчетов, можно
сделать предположение, что не
существует многогранника, гранями
которого являются правильные
шестиугольники. Верно ли это
предположение?
-Ответ на этот вопрос дает следующая
теорема. Сформулируем и докажем ее.
Теорема. Не существует правильного
многогранника, гранями которого
являются правильные
шестиугольники, семиугольники и
вообще n-угольники при n6.
Доказательство:
1. Угол правильного n-угольника
при n6 не меньше 
.
Почему? (обратить внимание
учеников на подсчеты в начале
урока).
2. При каждой вершине
многогранника должно быть не
Так как угол в правильном
шестиугольнике равен 
,
следовательно, меньше 
угол
правильного n-угольника при n6 быть
не может.
(слайд 18)
менее трех плоских углов.
Поэтому если бы существовал
правильный многогранник, у которого
грани – правильные n-угольники при
n6, то сумма плоских углов при
каждой вершине такого
многогранника была бы не меньше
чем 
  
. Это невозможно.
Почему? (так как сумма всех плоских
углов при каждой вершине выпуклого
многогранника меньше 
.
Из этого условия сделаем следующий
важный вывод: каждая вершина
правильного многогранника может
быть вершиной либо трех, четырех
или пяти равносторонних
треугольников, либо трех квадратов,
либо трех правильных
пятиугольников. Других возможностей
нет.
В соответствии с этим выводом
получаем следующие виды правильных
многогранников:
1. правильный тетраэдр;
2. правильный октаэдр;
3. правильный икосаэдр;
4. куб;
5. правильный додекаэдр;
Немного из истории.
Одно из древнейших упоминаний о
правильных многогранниках
Сумма всех плоских углов при каждой
вершине выпуклого многогранника
меньше 
(слайд 19)
(слайд 20)
находится в трактате Платона
«Тимаус» (427 -347 до н.э.). Поэтому
правильные многогранники также
называют «платоновыми телами».
Каждый из правильных
многогранников, а их всего пять,
Платон ассоциировал с четырьмя
«земными» элементами: земля (куб),
вода (икосаэдр), огонь (тетраэдр),
воздух (октаэдр), а также с
«неземным» элементом – небом
(додекаэдр).
Рассмотрим виды правильных
многогранников и их элементы
симметрии, заполняя следующую
канву-таблицу (см. приложение). Эту
таблицу мы заполним не полностью,
продолжим заполнение на уроке –
семинаре.
III. Рефлексивно – оценочный этап
- Какова была цель урока?
- О каком новом виде симметрии вы
узнали?
- Сколько видов правильных
многогранников существует? Почему?
Домашнее задание: §3 (п.35-37) выучить определения и формулировки теорем, заполнить до конца канву – таблицу.
(слайд 21)
Канва – таблица по теме: «Симметрия».
Симметрия
рис.
рис.
рис.
Теорема.
Доказательство:
Канва таблица по теме: «Элементы симметрии правильных многогранников» (заполненная на уроке).
Правильный
многогранник
Определение
Центр
симметрии
Ось симметрии
Плоскость симметрии
Тетраэдр
Тетраэдр – правильный многогранник,
составленный из 4 равносторонних
треугольников. Каждая из вершин является
вершиной трех треугольников. Сумма
плоских углов при каждой вершине равна
180°.
Правильный
тетраэдр не
имеет центра
симметрии.
Тетраэдр имеет три оси симметрии,
которые проходят через середины
скрещивающихся рёбер.
Тетраэдр имеет 6 плоскостей
симметрии, каждая из которых
проходит через ребро тетраэдра
перпендикулярно
скрещивающемуся с ним ребру.
Октаэдр
Икосаэдр
Куб
Додекаэдр
Канва – таблица для учеников.
Правильный
многогранник
Определение
Центр
симметрии
Ось симметрии
Плоскость симметрии
Скачать материал

Геометрия - еще материалы к урокам: