Ученики на Учителя.com


Самостоятельная работа "Утверждения, обратные свойству медианы равнобедренного треугольника" 7 класс

Урок 37, 38
Самостоятельная работа №3. Утверждения, обратные свойству медианы
равнобедренного треугольника.
1. Проверка д/з: 1) №12 – назовите ответы в каждом из пунктов.
[1) 6,2; 6,2; 3,2 м; 2) 4,2; 4,2; 7,2 м] Сформулируйте задачу так, чтобы ей
удовлетворяли оба полученных вами ответа
2) Сформулируйте определения медианы, биссектрисы и высоты
треугольника. Какими свойствами обладает медиана равнобедренного
треугольника, проведенная к ее основанию? Докажите это (рис. 1).
Сформулируйте равносильные утверждения.
3) №26 – ответ и обоснование (см. рис. 1) [|BD| = 15 м]. Какое свойство
медианы равнобедренного треугольника было
использовано в этой задаче? Сформулируйте
обратное утверждение. Верно ли оно?
Докажите. Можно ли это утверждение считать
признаком равнобедренного треугольника?
4) №20 – проверим доказательства (см. рис. 2).
Докажите, что отрезки AD и A
1
D
1
, пересекая АС
и А
1
С
1
, образуют соответственно равные углы.
2. Устно: 1) Найдите CDK и DCB (см. рис. 3),
обосновав ответ.
2) Стр. 38, №25 (см. рис. 4)
3. Самостоятельная работа №3 (на листочках, 20 минут).
I вариант.
II вариант.
Дано: АВС; М[AC]; K[MC]; |BM| = |BK|;
ABM = CBK. P
ABC
= 39,6 см.
Дано: АВС; М[AC]; K[MC]; |BM| = |BK|;
|AM| = |CK|. P
ABC
= 25,2 см.
1) Докажите, что АВС – равнобедренный.
1) Докажите, что АВС – равнобедренный.
2) Найдите длины сторон треугольника АВС,
если одна из них в 1,3 раза больше другой.
2) Найдите длины сторон треугольника АВС,
если одна из них в 1,6 раза меньше другой.
3) Укажите еще одну пару равных треугольников и кратко перечислите все возможные
способы доказать их равенство, постаравшись найти максимальное количество.
Ответы.
1) II признак.
2) 12; 12; 15,6 см или 14,3; 14,3; 11 см.
1) I признак.
2) 7; 7; 11,2 см или 9,6; 9,6; 6 см.
3)
АВK =
CВM (6 способов).
3)
АВK =
CВM (6 способов).
4. Новый материал. Докажите, что треугольник АВС –
равнобедренный, используя данные на чертежах (а, б –
устно; в – письменно на доске и в тетрадях; см. рис. 5
а – в).
Дано: АВС; D[AC]; |AD| = |DC|; ABD = CBD.
Доказать: |AB| = |BC|.
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 4
Рис. 5б
Рис. 5а
Доказательство: Проведем [BD) и рассмотрим точку E[BD) | |ED| =
|BD|. EDA = BDC (I пр.), так
как |AD| = |CD| и ADE = CDB. Следовательно, |АЕ| = |ВС| и
AED = CBD. Значит, AED = ABD, то есть, АВЕ –
равнобедренный (|АЕ| = |АВ|). Следовательно, |АВ| = |ВС|, ч. т. д.
Сформулируйте каждое из трех доказанных утверждений. Как
можно их назвать? [признаки равнобедренного треугольника]
Почему?
Треугольник является равнобедренным, если выполняется
хотя бы одно из трех условий: его медиана совпадает с
высотой или его биссектриса совпадает с высотой или его
медиана совпадает с биссектрисой.
5. Устно: Прямая, перпендикулярная медиане ВМ треугольника АВС,
делит ее пополам. Найдите |АВ| : |АС| (см. рис. 6). [1 : 2]
Домашнее задание: признаки, сформулированные на уроке – знать и уметь доказывать;
повторить построение треугольника по трем сторонам (стр. 53);
стр. 38, №21, №22 и задача: Медиана АМ треугольника АВС
перпендикулярна его биссектрисе ВК. Найдите |АВ|, если |ВС| = 12.
1. Контрольная работа №3 (40 минут).
I вариант.
II вариант.
1. (10 баллов) Периметр треугольника равен
40 см. Медиана делит данный треугольник
на два треугольника, периметры которых
равны 28 см и 24 см. Найдите длину
медианы.
1. (10 баллов) В треугольнике проведена
медиана длиной 8 см. Она разделила
данный треугольник на два треугольника,
периметры которых равны 25 см и 27 см.
Найдите периметр данного треугольника.
2. (15 баллов) В равнобедренном
треугольнике АВС проведена медиана ВМ к
основанию АС. На этой медиане выбрана
точка D так, что АDВ = 130. Найдите
ВDС.
2. (15 баллов) В равнобедренном
треугольнике АВС проведена высота ВH к
основанию АС. На этой высоте выбрана
точка K так, что KCH = 40. Найдите HAK.
3. (15 баллов) В равнобедренном
треугольнике АВС на боковых сторонах АВ и
ВС отмечены соответственно точки P и K
так, что АСP = САK. Докажите, что
треугольник PBK – равнобедренный.
3. (15 баллов) В равнобедренном
треугольнике АВС на боковых сторонах АВ и
ВС отмечены соответственно точки D и E
так, что |AD| = |CE|. Отрезки AE и CD
пересекаются в точке О. Докажите, что
треугольник АОС – равнобедренный.
4. Докажите равенство треугольников по
двум сторонам и высоте, проведенной к
одной из них.
4. Докажите, что если две высоты
треугольника равны, то треугольник –
равнобедренный.
«5» – 38 - 40 баллов; «4» – 30 - 37 баллов; «3» – 22 - 29 баллов.
Ответы и решения.
1. 28 + 24 – 2x = 40; x = 6. 6 см.
1. 25 + 27 – 16 = 36 (см).
2. В АВС медиана ВМ является
биссектрисой. АВD = CВD (I пр.), значит,
ВDС = АDВ = 130.
2. В АВС высота ВH является медианой.
KАH = KCH (I пр.), значит, HAK = KCH =
40.
3. BАС = BСА, тогда, АPC = CKA (II пр.),
следовательно, |AP| = |CK|. |BP| = |AB| – |AP|
= |BC| – |CK| = |BK|, ч. т. д.
3. BАС = BСА, тогда, АDC = CEA (I пр.),
следовательно, АСO = САO, значит,
АОС – равнобедренный (признак).
4. Использовать задачу №28 (равенство треугольников по двум сторонам и прямому
углу, противолежащему одной из них).
Рис. 5в
Рис. 6
2. Устный зачет. 16 билетов по 2 вопроса в каждом.
Скачать материал

Геометрия - еще материалы к урокам: