Визитная карточка урока "Цилиндр. Конус" 11 класс
Цыганова М. П. учитель математики МБОУ СШ №8
углубленным изучение отдельных предметов
Визитная карточка урока
Предмет: Геометрия.
Класс: 11.
Тема урока: «Цилиндр. Конус»
Цели урока:
Обучающая: закрепить навыки нахождения боковых и полных поверхностей, научить
применять теоретические знании для решения различных задач.
Развивающая: развивать навыки самостоятельной работы, творческие способности,
активизировать мыслительную деятельность через исследовательскую работу.
Воспитательная: формировать толерантное отношение друг к другу, прививать умение
работать в группе, воспитывать внимание, аккуратность, усидчивость, рациональную
организацию бюджета времени.
Здоровьесберегающая: обеспечить комфортные условия для сохранения здоровья в
процессе учебы через создание благоприятного эмоционального климата на уроке.
Тип урока: семинар – практикум
Оборудование и материалы: интерактивная доска, презентация PowerPoint, раздаточный
материал.
Структура урока:
1. Мотивационно – ориентировочная часть
Организационный момент (1 мин)
Повторение предыдущего материала (3мин)
Постановка учебной задачи (1 мин)
2. Операционно- познавательная часть
Решение учебной задачи (30 мин)
Физкультминутка ( 1 мин)
Обсуждение и интерпретация полученных результатов работы (4 мин)
3. Рефлексивно- оценочная часть
Оценка и самооценка учебной деятельности (2 мин)
Подведение итогов урока (2 мин)
Задание на дом (1 мин)
За две недели учитель сообщает учащимся цель этого занятия. Учащиеся разбиваются на 5
группы. Каждая из 5 групп должна работать следующим образом. Все члены группы
решают 2 задачи, работают ученики совместно. На уроке учитель просит представителя
каждой группы показать у доски решение задач, и объяснить способ ее решения. Задачи
ученики должны оформить и сдать учителю на проверку. Во время работы учитель просит
дополнять ответ выступающего представителей, как его группы, так и других.
Ход урока
I. Мотивационно – ориентировочная часть
Появляется тема урока: «Цилиндр. Конус».
Цель урока: Рассмотреть группы задач по цилиндру и конусу.
Учитель: Ребята, вы были разделены на несколько групп. Каждая группа решала
определенный вид задач. Сейчас из каждой группы будет выходить представитель группы
и приводить решение задачи на доске. Остальные записывают решение в канве таблице.
II. Операционно – познавательная часть
1 группа. Цилиндр.
Фронтальный опрос:
Что называется цилиндрической поверхностью?
Рассмотрим произвольную плоскость а и окружность L с центром О радиуса r, лежащую в
этой плоскости. Через каждую точку окружности L проведем прямую, перпендикулярную
к плоскости а. Поверхность, образованная этими прямыми, называется цилиндрической
поверхностью.
рис. 2.12
Что называется цилиндром?
Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами L и L 1,
называется цилиндром.
рис. 2.13
Какая фигура является осевым сечением цилиндра?
Если секущая плоскость проходит через ось цилиндра, то сечение представляет собой
прямоугольник.
рис. 2.14
Что называется образующими цилиндра?
Отрезки, заключенные между плоскостями α и β, называются образующими цилиндра.
рис. 2.15
Что называется радиусом цилиндра?
Радиусом цилиндра называется радиус его основания.
рис. 2.16
Что называется высотой цилиндра?
Длина образующей называется высотой цилиндра.
Что называется осью цилиндра?
Осью цилиндра является прямая, проходящая через центры оснований.
Что такое параллельный перенос?
Параллельный перенос – частный случай движения, при котором все точку пространства
перемещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Иначе, если M
– первоначальное, а M’ – смещенное положение точки, то вектор ′
- один и тот же для
всех пар точек, соответствующих друг другу в данном преобразовании.
Назовите свойство параллельных плоскостей о равенстве отрезков?
Отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями,
равны.
Свойство диагоналей прямоугольника.
Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам.
Какие прямые называются скрещивающимися?
Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости и не имеют
общих точек.
Какие плоскости называются параллельными?
Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.
Третий признак равенства треугольников.
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого
треугольника, то такие треугольники равны.
Теорема Пифагора.
Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
№ 521.
Дано: цилиндр,
r=1,5 м, h= 4 м
Док-ть: осевое сечение цилиндра является прямоугольником, две противоположные
стороны которого – образующие, а две другие – диаметры оснований цилиндра.
Найти: диагональ осевого сечения
рис. 2.17
Доказательство:
Докажем, что осевое сечение цилиндра – это прямоугольник (ABCD). Одно основание
цилиндра получено из другого параллельным переносом, таким образом, BC=AD, т.к.
параллельный перенос сохраняет расстояния. AB и CD перпендикулярны основаниям.
AB=CD, как отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными
плоскостями, т.е. ABCD – прямоугольник.
Решение:
AC=BD=
(см)
№527
Дано: цилиндр,
r, h, B
(AB, OO
1
)=d
Найти: а) h, если r=10 дм, d=8 дм, AB=13 дм
б) d, если h=6 см, r=5 см, AB=10 см
рис. 2.18
Решение:
AB и OO
1
– скрещивающиеся прямые.
а) 1. Построим плоскость, содержащую AB так, чтобы плоскость была параллельна O
1
O.
AA
1
BB
1
– прямоугольник. ρ(AB, OO
1
)=ρ((AA
1
B), OO
1
).
Построим OP_|_A
1
B, ρ(AB, OO
1
)=OP=d.
2. A
1
P=BP=
, A
1
B=
,
A
1
B=
(дм),
H=
(дм).
б) A
1
B=
(см)
A
1
P=BP=4 (см)
Из A
1
OP: d=
(см).
2 группа. Площадь полной и боковой поверхности цилиндра.
Фронтальный опрос:
Определение цилиндрической поверхности.
Рассмотрим произвольную плоскость а и окружность L с центром О радиуса r, лежащую в
этой плоскости. Через каждую точку окружности L проведем прямую, перпендикулярную
к плоскости а. Поверхность, образованная этими прямыми, называется цилиндрической
поверхностью.
рис. 2.19
Определение цилиндра.
Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами L и L 1,
называется цилиндром.
рис. 2.20
Что называется высотой цилиндра?
Высотой цилиндра называется длина образующей.
Формула площади боковой поверхности цилиндра.
Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности
основания на высоту цилиндра. S=2 π rh
Формула площади полной поверхности цилиндра.
S полн=S бок.= 2πRH+ 2πR
2
.
Формула площади круга. S=π r
2
Чему равна длина окружности?
Длина окружности равна произведению числа π на диаметр. C = πD
№ 537
Дано: цилиндр,
d=1 м, h=πd
Найти: S
бок
- ?
Решение: S
бок
=2πrh
r=
(м)
h=1π=π (м)
S
бок
=2π
(м
2
)
Площадь полной поверхности цилиндра.
№539
Дано: бак цилиндрической формы
d=1,5 м, h=3 м
на 1 м
2
– 200 г краски
Найти: сколько понадобиться краски, чтобы покрасит бак - ?
рис. 2.21
Решение:
S
полн
+S
осн
=2πrh+πr
2
=S
бака
S
повбака
=πdh+πr
2
=π
2
=
Тогда количество краски: 0,2 бб (кг)
3 группа. Конус
Фронтальный опрос:
1.Что такое коническая поверхность?
Рассмотрим окружность L с центром О и прямую ОР, перпендикулярную к плоскости
этой окружности. Каждую точку окружности соединим отрезком с точкой Р. Поверхность,
образованная этими отрезками, называется конической поверхностью.
рис. 2.22
2.Дайте определение конуса? (Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с
границей L, называется конусом)
3.Что является высотой конуса? (Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины
конуса на плоскость основания, называется высотой конуса)
5.Что является образующей конуса? (Отрезок, соединяющий вершину и границу
основания, называется образующей конуса.)
6.Что является сечением конуса, если секущая плоскость перпендикулярна к оси конуса?(
если секущая плоскость перпендикулярна к оси конуса, то сечение конуса представляет
собой круг с центром О
1
, расположенным на оси конуса.)
рис. 2.23
7. Чему равна площадь круга? (
)
8. Теорема Пифагора.( квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
)
№547
Дано: конус,
h=15 см, r=8 см
Найти: образующую конуса
рис. 2.24
Решение: По условию SO=h=15 см, r=OA=8 см
AS=
(см)
№549
Дано: конус,
PO=h=8 дм
Найти: на каком расстоянии от вершины конуса надо провести плоскость, параллельную
основанию, чтобы площадь сечения была равна:
а) S
1
=0,5S
осн
б) S
2
=0,25S
осн
рис. 2.25
Решение: Плоскость, параллельная основанию, пересекается с конусом по окружности и
разбивает конус на две части.
ΔPO
1
A
1
~ΔPOA:
S
кр
=πr
2
r
2
=
кр
осн
осн
а) PO
1
=8
осн
=8
(дм)
б) PO
1
=8
осн
=8
(дм)
4 группа. Площадь полной и боковой поверхности конуса.
Фронтальный опрос:
1.Определение конической поверхности.
Рассмотрим окружность L с центром О и прямую ОР, перпендикулярную к плоскости
этой окружности. Каждую точку окружности соединим отрезком с точкой Р. Поверхность,
образованная этими отрезками, называется конической поверхностью.
рис. 2.26
2.Определение конуса. ?(Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с
границей L, называется конусом)
3.Что является образующей конуса? (Отрезок, соединяющий вершину и границу
основания, называется образующей конуса.)
4.Что является осью конуса?(прямая, проходящая через центр основания вершину,
называется осью конуса)
5.Площадь боковой поверхности конуса.( Площадь боковой поверхности конуса равна
произведению половины длины окружностиоснования на образующую )
6.Что является осевым сечением конуса? (равнобедренный треугольник)
7.Площадь треугольника.(S=
bh
b
)
8.Что является высотой конуса(Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины конуса
на плоскость основания, называется высотой конуса)
9.Площадь полной поверхности конуса.( Площадью полной поверхности конуса
называется сумма площадей боковой поверхности и основания )
10.Какой треугольник называется равнобедренным?(Равнобедренным называется
треугольник, у которого две стороны равны.)
11.Теорема Пифагора.(квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катета)
№ 562
Дано: конус,
<OPA=45°
PA=6,5 см
Найти: S
бок
-?
рис. 2.27
Решение:
ΔAOP – равнобедренный
R=OA=lsin 45°=
S
бок
=πrl=π
(см
2
)
№ 563
Дано: конус,
h=1,2 см, S
сеч
=0,6 см
2
Найти: S
полн
- ?
рис. 2.28
Решение: 1) S
полн
=πr(l+r)
2) S
ABP
=0,5ABPO=0,5
0,6=r
(см)
l=
(см)
3) S
полн
=
(см
2
)
5 группа. Задачи –теоремы
Фронтальный опрос:
1.Определение конической поверхности.
Рассмотрим окружность L с центром О и прямую ОР, перпендикулярную к плоскости
этой окружности. Каждую точку окружности соединим отрезком с точкой Р. Поверхность,
образованная этими отрезками, называется конической поверхностью.
рис. 2.29
2.Определение конуса. ?(Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с
границей L, называется конусом)
№556
Дано: α_|_ оси конуса PO.
Док-ть: 1)сечение конуса плоскостью α будет кругом с центром в точке O
1
;
2) r
1
=
рис. 2.30
Док-во: Возьмем некоторую точку M
1
и точку M
1
O
1
(r
1
). (на плоскости α строим
окружность с центром в точке O
1
и радиуса r и на этой окружности выбираем
произвольную точку M
1
).
Через точку P и точку M
1
проводим прямую PM
1
, которая пересечет плоскость основания
конуса в точку M. ΔPO
1
M
1
~ΔPOM как прямоугольные, имеющие одинаковый острый
угол.
при заданной точке P и
окружности O
1
(r
1
).
Тогда: точка M – произвольная, значит, все точки луча PM
1
, пересекающие плоскость
основания конуса, лежат на окружности O®, т.е. равноудалены от некоторой точки O на
расстояние r, что видно из формулы. PM – образующая конуса по определению
3) Образующие составляют коническую поверхность, поэтому докажем, что существует
произвольная точка M
1
, M
1
такая, что M
1
O
1
(r
1
).
4) ΔPO
1
M
1
~ΔPOM (PM – образующая).
O
1
M
1
=
при заданной точке P и r.
Тогда: эта окружность будет сечением боковой поверхности, а круг, границей которого
является O
1
(r
1
), будет сечением конуса плоскостью α.
№ 557
См. рисунок к задаче 556:
, или
S
1
=πr
1
2
, S
2
=πr
2
2
.
Запишем отношение:
III. Рефлексивно-оценочная часть.
Учитель: Каково была цель урока?
Ученики: Рассмотреть группы задач по цилиндру и конусу.
Учитель: Достигли ли мы ее?
Ученики: Да.
Учитель: Как мы ее достигли?
Ученики: Работали в группах дома, каждая группа представила свою работу, решали
задачи и записывали в канву-таблицу.
Приложение 1
Канва-таблица.
1 группа
Цилиндр
№521
Дано: цилиндр,
r=1,5 м, h= 4 м
Док-ть: осевое сечение цилиндра является
прямоугольником, две противоположные
стороны которого – образующие, а две
другие – диаметры оснований цилиндра.
Найти: диагональ осевого сечения
Доказательство:
Докажем, что осевое сечение цилиндра –
это прямоугольник (ABCD). Одно
основание цилиндра получено из другого
параллельным переносом, таким образом,
BC=AD, т.к. параллельный перенос
сохраняет расстояния. AB и CD
перпендикулярны основаниям. AB=CD,
как отрезки параллельных прямых,
заключенные между двумя параллельными
плоскостями, т.е. ABCD – прямоугольник.
Решение:
AC=BD=
(см)
№527
Дано: цилиндр,
r, h, B
(AB, OO
1
)=d
Найти: а) h, если r=10 дм, d=8 дм, AB=13
дм
б) d, если h=6 см, r=5 см, AB=10 см
Решение:
AB и OO
1
– скрещивающиеся прямые.
а) 1. Построим плоскость, содержащую AB
так, чтобы плоскость была параллельна
O
1
O. AA
1
BB
1
– прямоугольник. ρ(AB,
OO
1
)=ρ((AA
1
B), OO
1
).
Построим OP_|_A
1
B, ρ(AB, OO
1
)=OP=d.
2. A
1
P=BP=
, A
1
B=
,
A
1
B=
(дм),
H=
(дм).
б) A
1
B=
(см)
A
1
P=BP=4 (см)
Из A
1
OP: d=
(см).
2 группа
Площади полной и боковой поверхностей
цилиндра
№537
Дано: цилиндр,
d=1 м, h=πd
Найти: S
бок
- ?
Решение: S
бок
=2πrh
r=
(м)
h=1π=π (м)
S
бок
=2π
(м
2
)
Площадь полной поверхности цилиндра.
№539
Дано: бак цилиндрической формы
d=1,5 м, h=3 м
на 1 м
2
– 200 г краски
Найти: сколько понадобиться краски,
чтобы покрасит бак - ?
Решение:
S
полн
+S
осн
=2πrh+πr
2
=S
бака
S
повбака
=πdh+πr
2
=π
2
=
Тогда количество краски: 0,2 б
б (кг)
3 группа
Конус
№547
Дано: конус,
h=15 см, r=8 см
Найти: образующую конуса
Решение: По условию SO=h=15 см,
r=OA=8 см
AS=
(см)
№549
Дано: конус,
PO=h=8 дм
Найти: на каком расстоянии от вершины
конуса надо провести плоскость,
параллельную основанию, чтобы площадь
сечения была равна:
а) S
1
=0,5S
осн
б) S
2
=0,25S
осн
Решение: Плоскость, параллельная
основанию, пересекается с конусом по
окружности и разбивает конус на две
части.
ΔPO
1
A
1
~ΔPOA:
S
кр
=πr
2
r
2
=
кр
осн
осн
а) PO
1
=8
осн
=8
(дм)
б) PO
1
=8
осн
=8
(дм)
4 группа
Площади полной и боковой поверхностей
конуса
№562
Дано: конус,
<OPA=45°
PA=6,5 см
Найти: S
бок
-?
Решение:
ΔAOP – равнобедренный
R=OA=lsin 45°=
S
бок
=πrl=π
(см
2
)
№563
Дано: конус,
h=1,2 см, S
сеч
=0,6 см
2
Найти: S
полн
- ?
Решение: 1) S
полн
=πr(l+r)
2) S
ABP
=0,5ABPO=0,5
0,6=r
(см)
l=
(см)
3) S
полн
=
(см
2
)
5 группа
Задачи-теоремы
556
Дано: α_|_ оси конуса PO.
Док-ть: 1)сечение конуса плоскостью α
будет кругом с центром в точке O
1
;
2) r
1
=
Док-во: Возьмем некоторую точку M
1
и точку M
1
O
1
(r
1
). (на плоскости α строим
окружность с центром в точке O
1
и радиуса
r и на этой окружности выбираем
произвольную точку M
1
).
Через точку P и точку M
1
проводим
прямую PM
1
, которая пересечет плоскость
основания конуса в точку M.
ΔPO
1
M
1
~ΔPOM как прямоугольные,
имеющие одинаковый острый угол.
при заданной точке P и
окружности O
1
(r
1
).
Тогда: точка M – произвольная, значит, все
точки луча PM
1
, пересекающие плоскость
основания конуса, лежат на окружности
O®, т.е. равноудалены от некоторой точки
O на расстояние r, что видно из формулы.
PM – образующая конуса по определению
3) Образующие составляют коническую
поверхность, поэтому докажем, что
существует произвольная точка M
1
,
M
1
такая, что M
1
O
1
(r
1
).
4) ΔPO
1
M
1
~ΔPOM (PM – образующая).
O
1
M
1
=
при
заданной точке P и r.
Тогда: эта окружность будет сечением
боковой поверхности, а круг, границей
которого является O
1
(r
1
), будет сечением
конуса плоскостью α.
№557
См. рисунок к задаче 556:
, или
S
1
=πr
1
2
, S
2
=πr
2
2
.
Запишем отношение:
Приложение 2
№
п/п
Вопросы
«+» или «-»
1.
Доволен ли ты тем, как прошел урок?
2.
Сумел ли ты получить новые знания?
3.
Ты был активен на уроке?
4.
Я умею применять теоретические знания для решения задач
5.
Я умею находить S боковой поверхности цилиндра
6.
Я умею находить S полной поверхности цилиндра
7.
Я умею находить S боковой поверхности конуса
8.
Я умею находить S полной поверхности конуса
9.
Ты сумел показать свои знания?
Геометрия - еще материалы к урокам:
- Презентация "Окружность. Определения. Теоремы и следствия из теорем" 9-11 класс
- Входной тест по геометрии 7 класс
- Презентация "Теорема синусов и косинусов" 9 класс
- Презентация "Конус. Площадь поверхности конуса" 11 класс
- Презентация "Тест "Решение задач на многогранники, цилиндр, конус, шар"" 11 класс
- Презентация "Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны" 8 класс
