Презентация "Представление о правильных многогранниках"

Представление о правильных многогранниках

• ОГАОУ СПО Белгородский строительный колледж
• г. Белгород

• Автор: Агапова Наталья Николаевна,
• преподаватель математики

Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине сходится одно и то же число ребер. Существует пять типов правильных выпуклых многогранников:

• Существует пять типов правильных выпуклых многогранников:

• Тетраэдр

• Икосаэдр

• Додекаэдр

• Октаэдр

• Куб (гексаэдр)

Не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и вообще n-угольники при n≥ 6. Доказательство:

• Угол правильного n-угольника при n≥6 не меньше 120 градусов.
• С другой стороны, при каждой вершине многогранника должно быть не менее трёх плоских углов.

Доказательство:

• Значит, если бы существовал правильный многогранник, у которого грани – правильные n-угольники при n≥6, то сумма плоских углов при каждой вершине такого многогранника была бы не менее чем 120*3=360.

Доказательство:

• Но это невозможно, так как сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше 360 градусов.

Названия правильных многогранников пришли из Греции. Этим красивым телам посвящена 13-я книга "Начал" Евклида. Их еще называют Платоновыми телами, т.к. они занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве мироздания.

• Названия правильных многогранников пришли из Греции. Этим красивым телам посвящена 13-я книга "Начал" Евклида. Их еще называют Платоновыми телами, т.к. они занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве мироздания.

Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» – огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников.

• Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» – огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников.

Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени.

• Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени.
• Икосаэдр - как самый обтекаемый - воду.
• Куб - самая устойчивая из фигур - землю.
• Октаэдр - воздух.

В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества – твёрдым, жидким, газообразным и пламенным.

• В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества – твёрдым, жидким, газообразным и пламенным.
• Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим.
• Это была одна из первых попыток ввести их систематизацию.

Правильный тетраэдр - это правильная треугольная пирамида, у которой все грани являются равносторонними треугольниками.

• Правильный тетраэдр - это правильная треугольная пирамида, у которой все грани являются равносторонними треугольниками.
• Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°.

Куб составлен из шести квадратов.

• Куб составлен из шести квадратов.
• Каждая вершина куба является вершиной трех квадратов.

• Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270°.

Правильный октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников.

• Правильный октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников.
• Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников.
• Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 240°.

Правильный додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников.

• Правильный додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников.
• Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников.

• Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324°.

Правильный икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников.

• Правильный икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников.
• Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников.
• Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300°.

• Поваренная соль состоит из кристаллов в форме куба

• Минерал сильвин также имеет кристаллическую решетку в форме куба.

• Скелет одноклеточного организма феодарии представляет собой икосаэдр.

• Кристаллы пирита имеют форму додекаэдра.

• Минерал куприт образует кристаллы в форме октаэдров

• Молекулы воды имеют форму тетраэдра

Задание: Перерисуйте развертки правильных многогранников на плотные листы бумаги в большем масштабе, вырежьте развертки (сделав необходимые припуски для склеивания) и склейте из них многогранники.

• Задание: Перерисуйте развертки правильных многогранников на плотные листы бумаги в большем масштабе, вырежьте развертки (сделав необходимые припуски для склеивания) и склейте из них многогранники.

• Куб

• Тетраэдр

• Додекаэдр

• Октаэдр

• Икосаэдр

Использованная литература:

• Л. С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, М.: Просвещение, 2007 г.
• М. И. Башмаков. Математика, М.: Академия, 2013 г.

• Источники изображений:

• Изображения многогранников и развёрток
• http://ru.wikipedia.org/wiki/Правильный_многогранник.
• Изображения многогранников в природе
• http://free-math.ru/publ/shkolnaja_matematika/algebra_10_klass/mnogogranniki_v_prirode/38-1-0-288.