Конспект урока "Длина окружности и площадь круга"
Длина окружности и площадь круга
(Интегрированный урок - геометрия и английский язык)
Разработка этого урока ориентирована на класс гуманитарной
направленности.
Цели:
• повторить и закрепить знания и умения по теме «Правильные многоугольники»;
• проверить знание формул для вычисления стороны вписанного в круг правильного
многоугольника;
• показать вывод формул длины окружности и площади круга;
• формирование умений и навыков применения знаний по английскому языку в
нестандартных условиях;
• развитие любознательности учащихся, развитие познавательного
интереса к математике.
Ход урока
1.Организационный момент.
-Ребята, сегодня перед нами стоят несколько задач:
1) Повторить построение правильного шестиугольника по его заданной стороне;
построение правильного 2я-угольника, если дан правильный «-угольник.
2) Вспомнить формулы для вычисления стороны вписанного в круг правильного
многоугольника.
3) Познакомиться с выводом формул длины окружности и площади круга.
4)Узнать много интересного из истории развития геометрического знания.
5)Прочитать и перевести тексты на английском языке.
Эпиграфом нашего урока служат слова Ф. Тютчева:
«Счастлив в наш век, кому победа далась не кровью, а умом».
Поясните, как вы их понимаете.
2.Повторение
-Давайте вспомним, как построить правильный шестиугольник, сторона которого
равна данному отрезку.
Решение задачи.
1.Построим окружность, радиус которой равен данному отрезку.
2. Отметим на ней произвольную точку А.
3.Затем, не меняя раствора циркуля, построим на этой окружности точки А
2
, А
3
, А
4
,
А
5
, А
6
так, чтобы выполнялись равенства А, А
2
= А
2
А
3
= =А
3
А
4
= А
4
А
5
= А
5
А
6
.
4. Соединяя последовательно построенные точки отрезками, получим искомый
правильный шестиугольник А, А
2
А
3
А
4
А
5
А
6
.
- А как построить правильный 2n-угольник, если дан правильный n-угольник?
Ранение задачи.
Пусть А, А
2
А
3
... А
n
- данный правильный n-угольник. Опишем около него
окружность.
1. Для этого построим биссектрисы углов А, и А
2
и обозначим буквой О точку их
пересечения.
2. Затем проведем окружность с центром О радиуса ОА,.
3. Разделим дуги A
1
A
2
, А
2
А
3
,...А
n
А, пополам и каждую из точек деления
соединим с концами соответствующих дуг.
Применяя указанный способ, можно с помощью циркуля и
линейки построить целый ряд правильных многоугольников, если
построен один из них.
Например, построив квадрат, можно построить правильный восьмиугольник, затем
правильный шестнадцатиугольник и вообще правильный 2
k
-угольник,
где к -любое целое число, большее двух.
Многие правильные многоугольники могут быть построены с помощью циркуля и
линейки. Оказывается, однако, что не все правильные многоугольники допускают
такое построение. Обратимся к историческим фактам.
(Предлагается текст на английском языке.).
- Следующее задание: вспомните формулы для вычисления
стороны вписанного в круг правильного многоугольника и заполните
таблицу.
Число сторон
правильного
многоугольника
Формула для вычисления стороны вписанного
в круг
правильного многоугольника
3
а
3
= R...
4
а
4
=...
2
6
а
6
=...
п
a
n
=2...
Ответ:
Число сторон
правильного
многоугольника
Формула для вычисления стороны
вписанного в круг
правильного многоугольника
3
а
3
=R
3
4
а
4
=R
2
6
a
6
=R
п
а
п
= 2Rsin
n
0
180
- Попробуйте решить задачу. (Текст на английском языке).
3. Вывод формул длины окружности и площади круга.
- Периметр любого правильного вписанного в окружность многоугольника является
приближенным значением длины окружности. Чем больше число сторон такого
многоугольника, тем точнее это приближенное значение, так как многоугольник при
увеличении числа сторон все ближе и ближе «прилегает» к окружности.
Еще в древности ученые заметили, что отношение длины . окружности к ее диаметру
есть одно и то же число для всех окружностей. Архимед в III веке до нашей эры
вычислил периметр правильного девяностошестиугольника и, поделив его на диаметр,
получил результат:
3
71
10
< π < 3
7
1
.
Таким образом,
d
C
= π , или С = πd .
Зная, что S
n
=
2
1
Р
n
• R , где S
n
- площадь многоугольника,
Р
п
- его периметр, R - радиус описанной окружности, а также, что d = 2R, учитывая,
что при n → ∞ S
n
→ S и Р
n
→ Р, получаем
S=
2
1
2πR ▪ R = πR
2
Итак, запомните формулы для вычисления длины окружности
С = πd
и площади круга
S = ΠR
2
- Почему ученые древности такое большое значение придавали выяснению свойств
окружности, вычислению площади круга? Давайте обратимся к истории.
Легенда об основании Карфагена.
- В очень давние времена финикийцы, жившие на восточном
берегу Средиземного моря, начали осваивать новые территории. Они
были отличными мореплавателями. Геродот в своей «Истории» даже
сообщает, что они обогнули Африканский континент, выйдя из
Гибралтарского пролива и вернувшись в Красное море.
Приплывшие на кораблях финикийцы попросили у местных жителей разрешение
поселиться на берегу моря, на что хитрый местный вождь ответил, что они могут
занять столько земли, сколько смогут отгородить шкурой вола. И предводительница
финикийцев Дидона придумала решение, которое осталось в истории. Она велела
разрезать шкуру на тонкие ремешки, связать их в один длинный ремешок и им
отгородила достаточно много места. Так был основан Карфаген.
- Математика занимается решением идеализированных задач.
После того как ремешок был изготовлен, он имел уже вполне определенную длину и
осталось решить вопрос, в виде какой линии его выложить. Вот эта задача и известна в
математике под названием «задача Дидоны».
Вот ее формулировка: по одну сторону от прямой АВ провести линию длины L так,
чтобы площадь фигуры, ограниченной ею и прямой АВ, была максимальной.
Оказывается, что наибольшую площадь имеет фигура, ограниченная
полуокружностью длины /.
А В
Вообще же измерение площадей в древности являлось наиболее актуальной задачей.
Прочтите об этом небольшое сообщение и переведите его на русский язык.
Measurement of areas in Ancient Times.
(Russian text is taken from K.A.Malygin 's book «Elements of the historical method in
teaching mathematics at Secondary School»).
4000 years ago the ancient Egyptians were already able to measure the areas. A narrow
stripe of land between Nile and the desert was fertile. For each unit of this land people had to
pay a tax. But every year Nile flooded this stripe. After the receding of the water it was
necessary to restore the boundaries. The necessity to measure areas quickly and correctly
was one of the reasons of early development of geometry as a branch of knowledge on land
measurement.
ПРЕВОД: Измерение площадей в древности.
(русский текст из книги К.А.Малыгина «Элементы историзма в преподавании
математики в средней школе»).
Еще 4000 лет назад древние египтяне умели определять площади. Узкая полоса земли
между Нилом и пустыней была плодородна. С каждой единицы ее площади люди
платили налог. Но ежегодно эта полоска земли затоплялась Нилом. После спада воды
надо было восстанавливать границы. Необходимость быстро и правильно определять
площадь была одной из причин раннего развития геометрии как науки об измерении
земли.
5. ТВОРЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ.
Подготовьте сообщение (на выбор) на английском языке:
1) об одной из знаменитых задач древности - задаче о квадратуре круга (построить
при помощи циркуля и линейки квадрат, площадь которого равна площади данного
круга);
2) о числе я;
3) об Архимеде;
4) о нахождении площадей частей круга (сектора и сегмента).
6. ИТОГ УРОКА Рефлексия (см. слайд выбери меня)
